6.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程-2024-2025学年中职高一数学同步（高教版2021·基础模块下册）

变式训练 ２．A　[线段AB 的中点为M, 设A(a,０),B(０,b)⇒M a２ ,b ２( ),所以 a ２＝３ ,b ２＝４⇒a ＝６,b＝８,所以A(６,０),B(０,８)⇒|AB|＝ ６２＋８２＝１０． 故选:A．] 随堂步步夯实 １．D 　 [由 两 点 间 的 距 离 公 式,可 得 |AB| ＝ (a－２)２＋(４＋１)２＝ ４１,解 得a＝－２ 或a＝６．故 选:D．] ２．A　[因点A(１,５),点B(－１,２),于是得线段AB 中点坐 标为 ０,７２( ),所 以 AB 的 中 点 M 坐 标 为 ０, ７ ２( )．故 选:A．] ３．B　[设AC的中点为D,因为A(２,１),C(０,－１),所以D (１,０), 所 以 AC 边 上 的 中 线 长 BD ＝ (－２－１)２＋(３－０)２＝３ ２．故选:B．] ４．５　 －１２ ,－１( ) ６．２　直线的方程 ６．２．１　直线的倾斜角与斜率 课前预习学案 必备知识　知识点一 上　０　倾斜程度　倾斜角 [思考] １．[提示]　都不对． 知识点二 正切值　R　y２ －y１ x２－x１ [思考] ２．[提示]　不是．若直线没斜率,则其倾斜角为９０°． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)×　(４)√ ２．B　[由倾斜角的定义知直线l的倾斜角为１３５°．] ３．解析:∵k＝tanα＝ ３．∴α＝６０°． 答案:６０° 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解析]　由倾斜角α∈[０°,１８０°)知②错;又平行于 x轴的直线的倾斜角是０°, 这样的直线有无数条,故③④错;只有①是正确的． [答案]　A 变式训练 １．D　[解答本题可先借助直 观图形,再利用倾斜角的定 义求解．如图,当l向上方向 的部分在y 轴左侧时,倾斜 角为９０°＋α;当l向上方向的部分在y 轴右侧时,倾斜角 为９０°－α,故选 D．] 题型二 [例２]　[解]　由斜率公式得kAB＝ １－１ １－(－１)＝０． kBC＝ ３＋１－１ ２－１ ＝ ３．kAC＝ ３＋１－１ ２－(－１)＝ ３ ３． 倾斜角的取值范围是０°≤α＜１８０°．又∵tan０°＝０, ∴直线AB 的倾斜角为０°． ∵tan６０°＝ ３,∴直线BC的倾斜角为６０°． 又∵tan３０°＝ ３３ ,∴直线AC的倾斜角为３０°． 变式训练 ２．解:(１)直线的斜率k＝ ３－０－２＋３＝ ３＝ tan６０°,此直线的斜率为 ３,倾斜角为６０°． (２)直线的斜率k＝－２＋２５－１ ＝０ ,此直线的斜率为０,倾斜 角为０°． (３)直线的斜率k＝ ９－４－２－３＝－１ ,此直线的斜率为－１,倾 斜角为１３５°． (４)因为两点横坐标都为３,故直线斜率不存在,倾斜角 为９０°． 随堂步步夯实 １．C　[①③中直线的倾斜角为α,故选C．] ２．A　[k＝－３－５－１－３＝２． ] ３．D　[由tanα＝－ ３３ ,可得倾斜角α＝１５０°,故选 D．] ４．解析:l平 行 于y 轴,即 直 线l垂 直 于x 轴,故 倾 斜 角 为９０°． 答案:９０° ６．２．２　直线的点斜式方程与斜截式方程 课前预习学案 必备知识　知识点一 (１)y－y０＝k(x－x０)　(２)y＝y０　x＝x０ [思考] １．提示:不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂 直于x轴的直线,其方程都不能用点斜式表示． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８０１􀅰 知识点二 (１)y＝kx＋b　(２)截距　截距　９０° [思考] ２．提示:截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标 或纵坐标,可以为正数、负数和０．当直线过原点时,它的 横截距和纵截距都为０． 预习自测 １．(１)×　(２)√　(３)×　(４)× ２．B　[依题意,直线的斜率k＝tan１３５°＝－１, 所以直线方程为:y－７＝－１×(x＋５),即x＋y－２＝０． 故选B．] ３．D　[由题意知,直线的斜率k＝－１,又在y轴上截距为－ １,故直线方程为y＝－x－１,选 D．] 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　(１)∵直线过点P(－４,３),斜率k＝－３, 由直线方程的点斜式得直线方程为y－３＝－３(x＋４)． (２)与x轴平行的直线,其斜率k＝０,由直线方程的点斜 式可得直线方程为y－(－４)＝０×(x－３),即y＋４＝０． (３)过 点 P(－２,３)、Q(５,－４)的 直 线 的 斜 率kPQ ＝ －４－３ ５－(－２)＝ －７ ７ ＝－１． 又∵直线过点P(－２,３), ∴直线的点斜式方程为y－３＝－(x＋２)． 变式训练 １．解:(１)y－５＝３(x＋２)． (２)k＝tan１３５°＝－１,∴y＋３＝－(x－２)． (３)y＝－１． (４)x＝１． 题型二 [例２]　[解]　(１)y＝３x－３． (２)∵k＝tan６０°＝ ３,∴y＝ ３x＋５． (３)∵k＝tan１５０°＝－ ３３ ,∴y＝－ ３３x． 变式训练 ２．解析:(１)方程为y＝５x－１,即５x－y－１＝０． (２)方程为y＝xtan３０°＋ ３,即x－ ３y＋３＝０． 答案:(１)５x－y－１＝０　(２)x－ ３y＋３＝０ 随堂步步夯实 １．D　[由点斜式方程可知,直线的方程为y－０＝３(x＋２), 即y＝３(x＋２),故选 D．] ２．D　[直线２x＋y＋３＝０整理为y＝－２x－３．∴直线在y 轴上的截距是－３．] ３．C　[由直线的点斜式的定义可知,直线的斜率k＝３．] ４．解析:斜率是－２;在y 轴上的截距是３;令y＝０得x＝ ３ ２ ,即在x轴上的截距是３２． 答案:－２　３　３２ ６．２．３　直线的一般式方程 课前预习学案 情境引入 提示:(１)y－８＝x－１;(２)y＝x＋７．如果我们画出这２条 直线的图像,你会惊奇地发现:这２条直线是重合的．事 实上,它们的方程都可以化简为x－y＋７＝０．这样前几种 直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的 直线的一般式方程． 必备知识　知识点一 Ax＋By＋C＝０　一般式方程 [思考] １．提示:都可以,原因如下: (１)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b,可转 化为kx＋(－１)y＋b＝０,这是关于x,y的二元一次方程． (２)若直线的斜率k不存在,方程可表示成x－a＝０,它可 以认为是关于x,y的二元一次方程,此时方程中y的系 数为０． 知识点二 y－y０＝k(x－x０)　y＝kx＋b　Ax＋By＋C＝０(A,B 不同 时为０) [思考] ２．提示:(１)若A＝０,则y＝－CB ,表示与y 轴垂直的一条 直线． (２)若B＝０,则x＝－CA ,表示与x轴垂直的一条直线． (３)若C＝０,则Ax＋By＝０,表示过原点的一条直线． 预习自测 １．(１)√　(２)√　(３)×　(４)× ２．C　[直线斜率k＝－ ３３ ,所以倾斜角为１５０°,故选C．] ３．解析:由直线点斜式方程可得y－３＝２(x－１),化成一般 式为２x－y＋１＝０． 答案:２x－y＋１＝０ 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　(１)由点斜式方程可知,所求直线方程为y －３＝ ３(x－５),化为一般式方程为 ３x－y＋３－５ ３ ＝０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９０１􀅰 参考答案 数学耳快(Gu下) 通法通性 [变式训练] (1)对求斜率的两个公式注意其应用的条 2.求经过下列两点直线的斜率,并根据斜率指 件,必要时应分类讨论; 出其倾斜角 (2)当直线绕定点由与x轴平行(或重合) (1)(-3,0)(-2/3);(2)(1,-2)(5,-2); 位置按逆时针方向旋转到与v轴平行 (3)(3,4)、(-2,9);(4)(3,0)、(3.3). (或重合)时,斜率由0逐渐增大到士 ;按顺时针方向时,斜率由0逐渐减 小到一oo,这种方法即可定性分析倾斜 角与斜率的关系,也可以定量求解斜率 和倾斜角的取值范围, 随堂·步步夯实 夯基因 1. 下图中,a能表示直线/的倾斜角大小的是 2.已知P(3,5)、P(-1,-3),则直线PP ) ( 的斜率一 (. ) A.2 B.1 . D.不存在 3.若直线经过原点和点A(一3.③),则直线的 倾斜角为 ( ) A.30g B.60。 C.120* D. 150。 4.若直线/平行于v轴,则/的倾斜角为 ③ ④ 温馨提示 A.① B.①② D.②④ C.①③ 学习至此,请完成配套训练 6.2.2 直线的点斜式方程与斜截式方程 课程标准 素养解读 通过对直线的点斜式和斜截式方 1.掌握直线的点斜式方程,会求直线的点斜式方程 程的学习,培养数学抽象、逻辑推 2.掌握直线的斜截式方程,会求直线的斜截式方程 理、数学运算的数学素养 课前·预习学案 盘点新知 落实双基 情境引A 笛卡尔的思想核心是; 笛卡尔出生于法国,毕业 把几何学的问题归结成代 5x-6_-5r=18 数形式的问题,用代数学的 干普瓦捷大学,法国著名哲学 -12 方法进行计算、证明,从而 家、物理学家、数学家,被黑格 达到最终解决几何问题的 尔称为“近代哲学之父” 目的,依照这种思想他创立了“解析几何学” .30. 第6章 直线与圆的方程 我们知道给定一个点和一” [知识点二] 直线的斜截式方程 个方向可以唯一确定一条直线, (1)定义:如图所示,直线/的 这样,在平面直角坐标系中给定 斜率为,且与v轴的交点 (n) 一个点P。(工。·y。)和斜率k就能唯一确定一 为(0,),则方程 条直线,也就是说这条直线上任意一点坐标 叫做直线/的斜截式方程 (x,y)与点P。的坐标(x,y)和斜率k之间的 (2)说明:一般地,把直线与v轴交点(0,)的 关系是完全确定的,那么这一关系如何表 纵坐标称为直线在y轴上的 示呢? 与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为直线 心备知识 在x轴上的 ,倾斜角是 [知识点一] 直线的点斜式方程 的直线没有斜截式方程 (1)定义:如图所示,直线/过定 ②思考2.截距是距离吗?为什么? 点P(x·v),斜率为,则把 #Py 方程 叫做直线 /的点斜式方程 (2)说明: 预习白测 当斜率k一0时,直线/的方程为 ,此时直线/平行于:轴(或与x轴重 1.判断正误(正确的打“/”,错误的打“×”) ( (1)v轴所在直线方程为y一0 合),如图1所示. ) 当斜率不存在时,直线/的方程为 (2)直线y-3=k(x十1)恒过定点(-1,3). ( .此时直线/平行于y轴(或与y轴 _~ 重合),如图2所示. (3)直线在v轴上的截距是直线与v轴交点到 原点的距离, ( ) (4)直线y-x一b在y轴上的截距为$ ( 2.过点P(一5,7),倾斜角为135^*}的直线方 图1 图2 程为 ( ) ②思考1.直线的点斜式方程能否表示坐标 A.x-y+12-0 Bx+y-2-0 平面上的所有直线呢? C.x+y-12-0 D.x-y+2-0 3.倾斜角为135^{},在v轴上的截距为一1的直 线方程是 ( ) A.y-x十1 B.y-:-1 C.y--x十1 D.y---1 .31. 数学基础快(Go下) 直去题型 课堂·互动学案 通法道 直线的点斜式方程 题型一 直线的斜截式方程 例1 求满足下列条件的直线的点斜式方程: 例2 写出下列直线的斜截式方程: (1)过点P(-4,3),斜率=-3; (1)斜率是3,在v轴上的截距是一3; (2)过点P(3,一4),且与x轴平行; (2)倾斜角是60{*},在v轴上的截距是5; (3)过P(-2,3)、Q(5,-4)两点. (3)倾斜角是150{*},在y轴上的截距是0 [思路点拨] 先确定直线的斜率k,再根 [思路点拨] 确定直线的斜率及在y轴上 据点斜式方程写出直线的方程 的截距,用斜截式写出直线方程. [听课记录] [听课记录] 通法通性 求直线的点斜式方程的步骤:定点(x。·y。) →定斜率k→写出方程y-y。一k(x一x。). 点斜式方程y一y。一k(x一x。)可表示过点 P(x。·y)的所有直线,但x一x。除外. [变式调练] 1.你能写出下列直线的点斜式方程吗?没有 点斜式方程的直线和斜率为0的直线如何 通法通性 表示? 斜截式方程的求法 (1)经过点A(一2,5),斜率是3; 已知直线的斜率与v轴上的截距,可直接 (2)经过点B(2,-3),倾斜角是135^*; 写出直线的方程;已知直线的斜截式方程, (3)经过点C(-1.-1),与x轴平行; (4)经过点D(1,1),与x轴垂直. 可得直线的斜率与v轴上的截距,直线的 斜截式方程形式简单,特点明显,是运用较多 的直线方程的形式之一, [变式训练] 2.写出满足下列条件的直线的方程 (1)斜率为5,在y轴上截距为一1, (2)倾斜角30{},在v轴上截距为/③; .32. 第6章 直线与圆的方程 因即学 随堂·步步夯实 夯基团 1.过点P(一2,0),斜率为3的直线的方程是 3.直线/的点斜式方程是y-2-3(x十1),则 ( ) ( 直线/的斜率是 ) B.-1 C.3 A.2 A.y-3x-2 B.y-3x+2 D.-3 C.-3(x-2) D.y-3(x+2) 4.直线y=-2x十3的斜率是 ,在y 2. 直线2x士v士3=0在v轴上的截距是( ) 轴上的截距是 ,在x轴上的截距是 A B.- c温提示 C.3 D.-3 学习至此:请完成配套训练 6.2.3 直线的一般式方程 课程标准 素养解读 1.了解直线方程的一般式形式 通过学习直线三种形式的方程相互转 2.掌握直线的点斜式方程化为一般式方程的方法 化,提升逻辑推理、直观想象、数学抽 3.掌握直线的斜截式与一般式方程之间的互化 象、数学运算的数学素养 课前·预习学案 盘点新知 落实双基 情境引A ②思考1.平面直角坐标系中的每一条直线 问题:由下列各条件,写出直线的方程,并画出 都可以用一个关于x,v的二元一次方程表 图形. 示吗? (1)斜率是1,经过点A(1,8); (2)在v轴上的截距是7,倾斜角是45^{*} [知识点二 直线的三种形式的方程 形式 方程 局限 心备知识 不能表示斜率 [知识点一] 直线的一般式方程 点斜式 不存在的直线 关于x和的二元一次方程都表示一条直线。 我们把关于x,v的二元一次方程 不能表示斜率 斜截式 (其中A,B不同时为0)称为直线的 不存在的直线 一般式 无 .33.