6.1 两点间距离公式和线段的中点坐标公式-2024-2025学年中职高一数学同步（高教版2021·基础模块下册）

世数学草础候快( 6.1两点间距离公式和线段的中点坐标公式 课程标准 素养解读 1.通过两点间距离公式和线段的中点坐标公式的学习，培 1.掌握两点间距离公式 养逻辑推理和直观想象的数学素养 2.掌握线段的中点坐标公式 2.体验“数形结合”研究问题的便捷，感受科学思维方法 》 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 2思考两点P1(x1y1),P2(x2y2)间的距 离公式是否可以写成P,P,|= /(x1一x2)2+(y一y2)2的形式？ 围棋起源于中国.如果把围棋的棋盘看作 平面直角坐标系，黑白棋子所落的位置，可以 用点坐标表示，棋盘上两枚棋子之间间隔大小 [知识点二]线段中点的坐标 和中位所在，对应的就是平面直角坐标系上两 设P,(x1y)、P2(x2y2)为平面内任意两点， 点间的距离和线段的中点 则线段PP2中点P。(xoy)的坐标为： 在平面直角坐标系中，每个点对应着一对 有序实数对，即每个点都有坐标，那么两点间 To= x1十x2 y+y 2 2 的距离与它们的坐标又有着怎样的关系呢？ 预习自测 1.已知点A(2,4),B(5,4),那么A,B两点之 间的距离等于 ( ) 心备知识 A.8 B.6 C.3 D.0 [知识点一]两点间的距离公式 2.已知线段AB的端点A(3,4)及中点O(0, (1)公式：点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离 3),则点B的坐标 ( 公式 (2)两点间距离的特殊情况 A(层引 B.(-3,2) ①原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离 C.(3,2) D.(3,10) OP= 3.已知点A(2,3)和B(一4,1)，则线段AB的 ②当PP2∥x轴(y=y2)时，|P,P2|= 长及中点坐标分别是 ( ③当PP2∥y轴(x1=x2)时，|PP2|= A.210,(1,2) B.2√10，(-1，-2) C.2/10,(-1,2) D.2/10,(1,-2) ·26· 第6章直线与圆的方程 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一 平面上两点间的距离 题型二 线段的中点坐标 例1 已知A(a,3)和B(3,3a+3)的距离为 例2已知平面上两点M(一1,0)，N(3,4), 5,求a的值. 则线段MN的中点R的坐标为 ( [思路点拨]利用两点间距离公式列方程 A.(1,2) B.(1,4) 解得a的值. C.(-2,2) D.(2,4) [听课记录] [思路点拨了“直接带入中点坐标公式求解 即可 [听课记录] 例3 已知直角坐标平面上连接点（一2,5）和 点M的线段的中点是(1,0)，则点M到原 点的距离为 ( A.41 B.41 C.39 D.39 通法通性 [思路点拨]先由中点坐标公式求出M 两点间的距离公式|P,P2| 的坐标，再由两点间距离公式求解. √(x1一x2)十(y,一y2)严与两点的先后顺 [听课记录] 序无关，利用此公式可以将有关的几何间 题转化为代数问题进行研究.我们求线段 ◇[变式训练] 的长度时，常常使用两点间的距离公式. 2.若点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB ⊙[变式训练] 的中点M的坐标是(3,4)，则|AB的长为 1.已知点A(3,6),在x轴上的点P与点A的 ( 距离等于10，则点P的坐标为 A.10 B.5 C.8 D.6 》 随堂·步步夯实 《 巩因即学 夯基固本 1.已知点A(2,-1),B(a,4),且|AB=√41， 3.已知△ABC的顶点为A(2,1),B(-2,3),C 则a的值为 (0,一1)，则AC边上的中线长为 ( A.2 B.6 A.3 B.32 C.4 D.4√2 C.-2或-6 D.-2或6 4.已知两点P(-1,0)、P2(0,-2),则P1P2 2.已知点A(1,5),点B的坐标是（一1,2），则 ,线段PP,的中点坐标为 AB的中点M坐标为 ) Ao, B.(-3,-1) C温馨提污 学习至此，请完成配套训练 C.(2,3) D.(0,7) ·27·此时,容器中溶液的酒精浓度为６．５６１ １０ ＝６５．６１％＜７５％ , 不能作医用． [答]　操作次数x与所剩酒精y 之间的函数关系为y＝ １０×０．９x(x∈N),操作４次后,容器中的溶液不能作 医用． 变式训练 １．(１)解析:２０２３ 年 底 生 产 成 本 ６４００× (１－２５％)３＝ ２７００元． 答案:２７００ (２)B　[设n小时后才可以驾车,据题意得 ０．８(１－５０％)n≤０．２,∴０．５n≤１４ ,∴n≥２, 即至少要经过２小时后才可以驾驶机动车,故选B．] 题型二 [例３]　[解]　设过滤y次后杂质含量为x, 则x＝０．０２ １－１４( ) y ,即５０x＝ ３４( ) y , 则y＝log３４ (５０x), 令x＝０􀆰００１,则 y＝log３４ ０．０５＝log３４ １ ２０＝ － lg２０ lg３４ ＝ lg２０lg４－lg３ ＝ １＋０．３０１０２×０．３０１０－０．４７７１≈１０．４２ , 所以至少过滤１１次才能使产品达到市场要求． 变式训练 ２．解:设经过y年后公司的研发资金为x, 则x＝１３０(１＋１２％)y,即 x１３０＝１．１２ y, 所以y＝log１．１２ x １３０ ,令x＝２００, 所以y＝log１．１２ ２００ １３０＝log１．１２ ２ １．３＝ lg２－lg１．３ lg１．１２ ≈３􀆰８ , 所以到２０２７年,公司研发资金开始超过２００万元． 随堂步步夯实 １．C　[对于(１),由函数y＝log１３x 的图像可知其衰减速度 越来越慢,正确;对于(２),一次函数的图像是直线,因此 其增 长 速 度 不 变,正 确;对 于 (３),如 ２３＜３２,错 误．故 选C．] ２．D　[由题意可知y＝(１＋１０．４％)x,故选 D．] ３．B　[２０２３年需退耕８×(１＋１０％)５＝８×１．１５,故选B．] ４．解析:由题意得０＜a－１＜１,∴１＜a＜２． 答案:(１,２) 第６章　直线与圆的方程 ６．１　两点间距离公式和 线段的中点坐标公式 课前预习学案 必备知识　知识点一 (１)|P１P２|＝ (x２－x１)２＋(y２－y１)２　(２)x２＋y２ |x２－x１|　|y２－y１| [思考] 提示:可以,原因是 (x２－x１)２＋(y２－y１)２＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２,也就是说公式中 P１,P２ 两点 的位置没有先后之分． 预习自测 １．C 　 [由 点 A (２,４),B (５,４),得 |AB| ＝ (２－５)２＋(４－４)２＝３, 所以A,B 两点之间的距离等于３．故选:C．] ２．B　[设B(x,y),AB 的端点A(３,４)及中点O(０,３), 则 ０＝３＋x２ ３＝４＋y２ ì î í ï ï ïï ,解得: x＝－３ y＝２{ ,故点B 的坐标为(－３,２)． 故选:B．] ３．C　[|AB|＝ (－４－２)２＋(１－３)２＝２ １０,中点坐标为 ２－４ ２ ,３＋１ ２( ),即(－１,２),故选C．] 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　∵|AB|＝ (a－３)２＋(３－３a－３)２＝５,即 ５a２－３a－８＝０,∴a＝－１或a＝８５． 变式训练 １．解 析:设 点 P 的 坐 标 为 (x,０),由|PA|＝１０ 得 (x－３)２＋(０－６)２＝１０, 解得x＝１１或x＝－５．∴点P的坐标为(－５,０)或(１１,０)． 答案:(－５,０)或(１１,０) 题型二 [例２]　[解析]　R 的坐标为 －１＋３２ ,０＋４ ２( ),即为(１,２)． [答案]　A [例３]　[解析]　设 M(x,y),由题意得 １＝－２＋x２ , ０＝５＋y２ , ì î í ï ï ïï 解得 x＝４, y＝－５,{ 即 M(４,－５)． 则点 M 到原点的距离为 (４－０)２＋(－５－０)２＝ ４１． 故选:B． [答案]　B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７０１􀅰 参考答案 变式训练 ２．A　[线段AB 的中点为M, 设A(a,０),B(０,b)⇒M a２ ,b ２( ),所以 a ２＝３ ,b ２＝４⇒a ＝６,b＝８,所以A(６,０),B(０,８)⇒|AB|＝ ６２＋８２＝１０． 故选:A．] 随堂步步夯实 １．D 　 [由 两 点 间 的 距 离 公 式,可 得 |AB| ＝ (a－２)２＋(４＋１)２＝ ４１,解 得a＝－２ 或a＝６．故 选:D．] ２．A　[因点A(１,５),点B(－１,２),于是得线段AB 中点坐 标为 ０,７２( ),所 以 AB 的 中 点 M 坐 标 为 ０, ７ ２( )．故 选:A．] ３．B　[设AC的中点为D,因为A(２,１),C(０,－１),所以D (１,０), 所 以 AC 边 上 的 中 线 长 BD ＝ (－２－１)２＋(３－０)２＝３ ２．故选:B．] ４．５　 －１２ ,－１( ) ６．２　直线的方程 ６．２．１　直线的倾斜角与斜率 课前预习学案 必备知识　知识点一 上　０　倾斜程度　倾斜角 [思考] １．[提示]　都不对． 知识点二 正切值　R　y２ －y１ x２－x１ [思考] ２．[提示]　不是．若直线没斜率,则其倾斜角为９０°． 预习自测 １．(１)×　(２)×　(３)×　(４)√ ２．B　[由倾斜角的定义知直线l的倾斜角为１３５°．] ３．解析:∵k＝tanα＝ ３．∴α＝６０°． 答案:６０° 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解析]　由倾斜角α∈[０°,１８０°)知②错;又平行于 x轴的直线的倾斜角是０°, 这样的直线有无数条,故③④错;只有①是正确的． [答案]　A 变式训练 １．D　[解答本题可先借助直 观图形,再利用倾斜角的定 义求解．如图,当l向上方向 的部分在y 轴左侧时,倾斜 角为９０°＋α;当l向上方向的部分在y 轴右侧时,倾斜角 为９０°－α,故选 D．] 题型二 [例２]　[解]　由斜率公式得kAB＝ １－１ １－(－１)＝０． kBC＝ ３＋１－１ ２－１ ＝ ３．kAC＝ ３＋１－１ ２－(－１)＝ ３ ３． 倾斜角的取值范围是０°≤α＜１８０°．又∵tan０°＝０, ∴直线AB 的倾斜角为０°． ∵tan６０°＝ ３,∴直线BC的倾斜角为６０°． 又∵tan３０°＝ ３３ ,∴直线AC的倾斜角为３０°． 变式训练 ２．解:(１)直线的斜率k＝ ３－０－２＋３＝ ３＝ tan６０°,此直线的斜率为 ３,倾斜角为６０°． (２)直线的斜率k＝－２＋２５－１ ＝０ ,此直线的斜率为０,倾斜 角为０°． (３)直线的斜率k＝ ９－４－２－３＝－１ ,此直线的斜率为－１,倾 斜角为１３５°． (４)因为两点横坐标都为３,故直线斜率不存在,倾斜角 为９０°． 随堂步步夯实 １．C　[①③中直线的倾斜角为α,故选C．] ２．A　[k＝－３－５－１－３＝２． ] ３．D　[由tanα＝－ ３３ ,可得倾斜角α＝１５０°,故选 D．] ４．解析:l平 行 于y 轴,即 直 线l垂 直 于x 轴,故 倾 斜 角 为９０°． 答案:９０° ６．２．２　直线的点斜式方程与斜截式方程 课前预习学案 必备知识　知识点一 (１)y－y０＝k(x－x０)　(２)y＝y０　x＝x０ [思考] １．提示:不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂 直于x轴的直线,其方程都不能用点斜式表示． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８０１􀅰