5.5 指数函数与对数函数的应用-2024-2025学年中职高一数学同步（高教版2021·基础模块下册）

５．５　指数函数与对数函数的应用 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．了解函数模型的广泛应用,体现指数函数与对数函数的应用价值 ２．初步掌握从实际情境中抽象出指数函数或对数函数模型,解决有 关简单的实际问题 通过函数模型的应用提升 数学建模,直观想象,数学 运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　一种专门占据内存的计算机病毒,开机时占 据内存２KB,然后每３分自身复制一次,复制后 所占内存是原来的２倍．那么开机后多少分,该 病毒会占据６４MB内存(１MB＝１０２４KB)? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点一]　指数型函数模型 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 形如　　　　(k∈R,且k≠０;a＞０且a≠１) 的函数是指数型函数模型． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．设原有量为N,每次的增长量为p, 经过x次增长,该量增长到y,则x,y之间 满足的关系式是什么? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [知识点二]　二种函数的性质及增长速度 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 比较 􀪋􀪋 指数函数 对数函数 解析式 y＝ax(a＞１) y＝logax 　　　　 单调性 在(０,＋∞)上单调　　　　 图像(随x的 增大) 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 增长速度 (随x的增大) y的增长速度 越来越　　 y的增长速度 越来越　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．我们常说指数增长、指数爆炸,对于指 数型函数模型,还有没有别的变化方式? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３．我们知道当底数大于１时,对数函数的增 长速度越来越慢,那么当底数小于１时,对 数函数的变化有何特点? 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．下列函数中随x的增大而增大且速度最快 的是 (　　) A．y＝ex　　　　　　B．y＝lnx C．y＝２x D．y＝e－x ２．某公司为了适应市场需求,对产品结构进行 了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后 来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型 来反映该公司调整后利润y与产量x 的关 系,则可选用 (　　) A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 ３．某种细菌每半小时分裂一次(一个分裂为两 个),经过３小时,这种细菌由１个可繁殖 (　　) A．８个 B．１６个 C．３２个 D．６４个 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２􀅰 第５章　指数函数与对数函数 　　　指数型函数的实际应用 　随着我国经济的不断发展,２０１８年年底 某偏远地区农民人均年收入为３０００元,预 计该地区今后农民的人均年收入将以每年 ６％的平均增长率增长,那么２０２５年年底该 地区的农民人均年收入为 (　　) A．３０００×１􀆰０６×７元 B．３０００×１􀆰０６７ 元 C．３０００×１􀆰０６×８元 D．３０００×１􀆰０６８ 元 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据规律写出函数关系式y ＝N(１＋p)x． [听课记录]　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　容器内现有纯酒精１０L,每次从中侧出 １L溶液后再加满水,试给出操作次数x与 所剩酒精y 之间的函数解析式,已知７５％ 纯度的酒精可作医用,问操作４次后,容器 中的溶液能否作医用? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　每次从容器中倒出１L 溶 液,再加满水,等同于容器中溶液的酒精浓 度被稀释为之前的 １－１１０ æ è ç ö ø ÷． [听课记录]　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 指数函数模型的应用 在实际问题中,有关人口增长、银行利 率、细胞分裂等增长率问题常可以用指 数函数模型表示．通常可以表示为y＝ N(１＋p)x(其中 N 为基础数,p 为增长 率,x为时间)的形式． 􀳀[变式训练] １．(１)已知某种产品的生产成本每年降低 ２５％．若该产品 ２０２０ 年底的生产成本为 ６４００元/件,那么２０２３年底的生产成本为 　　　　元/件． (２)调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的 主要原因,交通法规规定:驾驶员在驾驶机 动车时血液中酒精含量不得超过０．２mg/ml． 如果某人喝了少量酒后,血液中酒精含量将迅 速上升到０．８mg/ml,在停止喝酒后,血液 中酒精含量就以每小时５０％的速度减少, 则他至少要经过　　　　　小时后才可以 驾驶机动车． (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ 　　对数函数在实际问题中的应用 　某化工厂生产一种溶液,按市场要求, 杂质含量不能超过０．１％,若初时含杂质 ２％,每过滤一次可使杂质含量减少１４ ,问至少 应过滤多少次,才能使产品达到市场要求? (参考数据lg２＝０．３０１０,lg３＝０􀆰４７７１) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据规律写出函数关系式 x＝N(１－p)y,求指数即可． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２􀅰 [听课记录]　 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 建立对数函数模型解决应用问题 对数运算是求指数的运算,因此要建立对 数函数模型,可设指数变量为y,利用指数 与对数的互化得到对数函数解析式,再利 用已知数据或计算工具计算解题． 􀳀[变式训练] ２．某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投 入,若该公司２０２３年全年投入研发资金１３０万 元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一 年增长１２％,求该公司全年投入的研发资金开 始超过２００万元的年份(参考数据:lg１．１２≈ ０．０５,lg１．３≈０．１１,lg２≈０􀆰３０)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．下列说法正确的个数是 (　　) (１)函数y＝log１３x的衰减速度越来越慢． (２)增长速度不变的函数模型是一次函数 模型． (３)若a＞１,n＞０,对于任意x０∈R,一定有 ax０＞xn０． A．０　　　　　　　B．１ C．２ D．３ ２．专家预测,在我国大西北某地区荒漠化土地 面积每年平均比上年增长１０．４％,经过x 年可能增长到原来的y 倍,则函数y＝f(x) 的图像大致为 (　　) ３．某地为了保护水土资源,实行退耕还林,如 果２０１８年退耕８万公顷,以后每年比上一 年增加１０％,那么２０２３年需退耕 (　　) A．８×１．１４ 万公顷 B．８×１．１５ 万公顷 C．８×１．１６ 万公顷 D．８×１．１３ 万公顷 ４．函数y＝２(a－１)x 是刻画指数衰减变化规 律的模型,则a的取值范围是　　　　． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２􀅰 第５章　指数函数与对数函数 由于⑤中log４x系数为２, ∴⑤不是对数函数; 只有③、④符合对数函数的定义． [答案]　B 变式训练 １．解:只有(５)为对数函数． (１)中真数不是自变量x,∴不是对数函数; (２)中对数式后减１,∴不是对数函数; (３)中log７x前的系数是２,而不是１, ∴不是对数函数; (４)中底数是自变量x,而非常数a,∴不是对数函数． 题型二 [例２]　[解析]　(１)若 使 函 数 式 有 意 义 需 满 足 条 件: x＋１＞０ ２－x＞０{ ⇒ x＞－１, x＜２,{ 解得－１＜x＜２,故函数的定义域 为(－１,２)． (２)由题意有 ２x＋１＞０, ２x＋１≠１,{ 解得x＞－ １ ２ 且x≠０,则函数的 定义域为 －１２ ,０( )∪(０,＋∞)． [答案]　(－１,２)　 －１２ ,０( )∪(０,＋∞) 变式训练 ２．解:(１)要使函数有意义,需满足 x－２＞０, x－３≠０,{ 解得x＞２且 x≠３,∴函数的定义域为(２,３)∪(３,＋∞)． (２)要使函数有意义,需满足 １６－４x＞０, x＋１＞０． x＋１≠１, ì î í ïï ï 解得－１＜x＜０或０＜x＜４． ∴函数定义域为(－１,０)∪(０,４)． 题型三 [例３]　[解]　(１)∵函数y＝log２x 在(０,＋∞)上是增函 数,π＞０􀆰９,∴log２π＞log２０．９． (２)由于log２０．３＜log２１＝０,log０．２０．３＞log０．２１＝０, ∴log２０．３＜log０．２０．３． (３)当a＞１时,函数y＝logax 在(０,＋∞)上是增函数, 又３．１＜５．２,所以loga３．１＜loga５．２;当０＜a＜１时,函数 y＝logax 在(０,＋∞)上是 减 函 数,又 ３．１＜５．２,所 以 loga３．１＞loga５．２． 变式训练 ３．D　[因为函数y＝log２x在(０,＋∞)上是增函数,且３．６＞２, 所以log２３．６＞log２２＝１,因为函数y＝log４x在(０,＋∞)上是 增函数,且３．２＜３􀆰６＜４,所以log４３．２＜log４３．６＜log４４＝１, 所以log４３．２＜log４３􀆰６＜log２３．６,即b＜c＜a．] 随堂步步夯实 １．D　[A、B、C都不符合对数函数的定义,故选 D．] ２．D　[由１－x＞０得x＜１,故选 D．] ３．D　[由题知,a＝log４５＞１,b＝ １ ２( ) ０ ＝１,c＝log３０．４＜０, 故c＜b＜a．] ４．解析:设对数函数为y＝logax,则４＝loga１６, ∴a４＝１６, ∴a＝２,∴y＝log２x． 答案:y＝log２x ５．５　指数函数与对数函数的应用 课前预习学案 情境引入 提示:２×２n＝６４×２１０,n＝１５ ∴需时间为１５×３＝４５分钟． 必备知识　知识点一 y＝kax [思考] １．提示:y＝N(１＋p)x(x∈N)． 知识点二 (a＞１)　递增　快　慢 [思考] ２．提示:有,还有指数衰减． ３．提示:当底数小于１时,对数函数的递减速度越来越慢． 预习自测 １．A　[由函数随x的增大而增大可排除 D,由增长速度最 快可得答案 A．] ２．D　[满足初期利润增长迅速,后来增长越来越慢的对数 函数模型,故选 D．] ３．D　[根据题意知,该种细菌分裂的个数满足指数函数y ＝２x,x∈N∗; 经过３小时,细菌分裂６次,x＝６, 细菌分裂的个数为y＝２６＝６４．故选:D．] 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解析]　由题意知,２０２５年底该地区农民人均收 入为３０００×(１＋６％)７＝３０００×１．０６７,故选B． [答案]　B [例２]　[解]　依题意可以得到,１０L的纯酒精在操作了x次 后,所剩的酒精含量y(L)为y＝１０× １－１１０( ) x (x∈N)． 经过４次操作后,容器中的酒精含量为y＝１０×０．９４＝ ６．５６１, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６０１􀅰 此时,容器中溶液的酒精浓度为６．５６１ １０ ＝６５．６１％＜７５％ , 不能作医用． [答]　操作次数x与所剩酒精y 之间的函数关系为y＝ １０×０．９x(x∈N),操作４次后,容器中的溶液不能作 医用． 变式训练 １．(１)解析:２０２３ 年 底 生 产 成 本 ６４００× (１－２５％)３＝ ２７００元． 答案:２７００ (２)B　[设n小时后才可以驾车,据题意得 ０．８(１－５０％)n≤０．２,∴０．５n≤１４ ,∴n≥２, 即至少要经过２小时后才可以驾驶机动车,故选B．] 题型二 [例３]　[解]　设过滤y次后杂质含量为x, 则x＝０．０２ １－１４( ) y ,即５０x＝ ３４( ) y , 则y＝log３４ (５０x), 令x＝０􀆰００１,则 y＝log３４ ０．０５＝log３４ １ ２０＝ － lg２０ lg３４ ＝ lg２０lg４－lg３ ＝ １＋０．３０１０２×０．３０１０－０．４７７１≈１０．４２ , 所以至少过滤１１次才能使产品达到市场要求． 变式训练 ２．解:设经过y年后公司的研发资金为x, 则x＝１３０(１＋１２％)y,即 x１３０＝１．１２ y, 所以y＝log１．１２ x １３０ ,令x＝２００, 所以y＝log１．１２ ２００ １３０＝log１．１２ ２ １．３＝ lg２－lg１．３ lg１．１２ ≈３􀆰８ , 所以到２０２７年,公司研发资金开始超过２００万元． 随堂步步夯实 １．C　[对于(１),由函数y＝log１３x 的图像可知其衰减速度 越来越慢,正确;对于(２),一次函数的图像是直线,因此 其增 长 速 度 不 变,正 确;对 于 (３),如 ２３＜３２,错 误．故 选C．] ２．D　[由题意可知y＝(１＋１０．４％)x,故选 D．] ３．B　[２０２３年需退耕８×(１＋１０％)５＝８×１．１５,故选B．] ４．解析:由题意得０＜a－１＜１,∴１＜a＜２． 答案:(１,２) 第６章　直线与圆的方程 ６．１　两点间距离公式和 线段的中点坐标公式 课前预习学案 必备知识　知识点一 (１)|P１P２|＝ (x２－x１)２＋(y２－y１)２　(２)x２＋y２ |x２－x１|　|y２－y１| [思考] 提示:可以,原因是 (x２－x１)２＋(y２－y１)２＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２,也就是说公式中 P１,P２ 两点 的位置没有先后之分． 预习自测 １．C 　 [由 点 A (２,４),B (５,４),得 |AB| ＝ (２－５)２＋(４－４)２＝３, 所以A,B 两点之间的距离等于３．故选:C．] ２．B　[设B(x,y),AB 的端点A(３,４)及中点O(０,３), 则 ０＝３＋x２ ３＝４＋y２ ì î í ï ï ïï ,解得: x＝－３ y＝２{ ,故点B 的坐标为(－３,２)． 故选:B．] ３．C　[|AB|＝ (－４－２)２＋(１－３)２＝２ １０,中点坐标为 ２－４ ２ ,３＋１ ２( ),即(－１,２),故选C．] 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　∵|AB|＝ (a－３)２＋(３－３a－３)２＝５,即 ５a２－３a－８＝０,∴a＝－１或a＝８５． 变式训练 １．解 析:设 点 P 的 坐 标 为 (x,０),由|PA|＝１０ 得 (x－３)２＋(０－６)２＝１０, 解得x＝１１或x＝－５．∴点P的坐标为(－５,０)或(１１,０)． 答案:(－５,０)或(１１,０) 题型二 [例２]　[解析]　R 的坐标为 －１＋３２ ,０＋４ ２( ),即为(１,２)． [答案]　A [例３]　[解析]　设 M(x,y),由题意得 １＝－２＋x２ , ０＝５＋y２ , ì î í ï ï ïï 解得 x＝４, y＝－５,{ 即 M(４,－５)． 则点 M 到原点的距离为 (４－０)２＋(－５－０)２＝ ４１． 故选:B． [答案]　B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７０１􀅰 参考答案