5.4 对数函数-2024-2025学年中职高一数学同步（高教版2021·基础模块下册）

(２)(lg５)２＋lg２×lg５＋lg８＋２lg５＝lg５×(lg５＋lg２) ＋lg２３＋２lg５ ＝lg５×lg１０＋３lg２＋２lg５ ＝lg５＋３lg２＋２lg５ ＝３lg２＋３lg５＝３(lg２＋lg５) ＝３lg１０＝３． 变式训练 ２．解:(１)原式＝(lg５)２＋(２－lg２)lg２ ＝(lg５)２＋(１＋lg５)lg２ ＝(lg５)２＋lg２􀅰lg５＋lg２ ＝(lg５＋lg２)􀅰lg５＋lg２ ＝lg５＋lg２＝１． (２)原式＝log５(５×７)－２(log５７－log５３)＋log５７－log５ ９ ５ ＝log５５＋log５７－２log５７＋２log５３＋log５７－２log５３＋log５５ ＝２log５５＝２． 题型三 [例３]　[解]　解法一: 原式＝ log２５３＋ log２２５ log２４ ＋ log２５ log２８ æ è ç ö ø ÷􀅰 log５２＋ log５４ log５２５ ＋ log５８ log５１２５ æ è ç ö ø ÷＝ ３log２５＋ ２log２５ ２log２２ ＋ log２５ ３log２２ æ è ç ö ø ÷􀅰 log５２＋ ２log５２ ２log５５ ＋ ３log５２ ３log５５ æ è ç ö ø ÷ ＝ ３＋１＋１３( )log２５􀅰３log５２ ＝１３log２５􀅰log５２ ＝１３． 解法二:原式＝ lg１２５ lg２ ＋ lg２５ lg４＋ lg５ lg８( ) lg２ lg５＋ lg４ lg２５＋ lg８ lg１２５( ) ＝ ３lg５lg２＋ ２lg５ ２lg２＋ lg５ ３lg２( ) lg２ lg５＋ ２lg２ ２lg５＋ ３lg２ ３lg５( ) ＝ １３lg５３lg２( ) ３lg２ lg５( ) ＝１３． 解法三:原式＝(log２５３＋log２２５２＋log２３５)(log５２＋log５２ ２ ＋log５３２３)． ＝ ３＋１＋１３( )log２５􀅰３log５２＝３× １３ ３＝１３． 变式训练 ３．解:(１)log９２７＝ log３２７ log３９ ＝ log３３３ log３３２ ＝ ３log３３ ２log３３ ＝３２． (２)log２３􀅰log３５􀅰log５３２＝ lg３ lg２ 􀅰lg５ lg３ 􀅰lg３２ lg５ ＝ lg３２ lg２ ＝ ５lg２ lg２ ＝５． 随堂步步夯实 １．B　[log２２＝１,故选:B．] ２．C　[由lg２＋lg５＝lg(２×５)＝lg１０＝１．故选:C．] ３．D　[３log５１０＋log５０．１２５＝log５１０００＋log５０．１２５ ＝log５(１０００×０．１２５)＝log５１２５＝log３５３＝３．] ４．解析:(１)lg１０００００lg１０００ ＝ lg１０５ lg１０３ ＝５３ ; (２)lg２０－lg２＝lg２０２＝lg１０＝１． ５．４　对数函数 课前预习学案 情境引入 提示:由于y＝２x 是单调函数,所以对于任意y∈(０,＋∞), 都有唯一确定的x与之对应,故x也是关于y 的函数,其 函数解析式是x＝log２y,此处y∈(０,＋∞)． 必备知识　知识点一 对数函数　(０,＋∞) [思考] １．提示:ax＝N⇔logaN＝x,真数为幂值 N,而 N＞０,故式 子logax 中,x＞０． ２．提示:在对数函数的定义表达式y＝logax(a＞０,且a≠１) 中,logax 前边的系数必须是１,自变量x 在真数的位置 上,否则就不是对数函数． 知识点二 ３．提示:底数a与１的大小关系决定了对数函数图像的“升 降”:当a＞１时,对数函数的图像“上升”;当０＜a＜１时, 对数函数的图像“下降”． 预习自测 １．D　[判断一个函数是否为对数函数,其关键是看其是否 具有“y＝logax”的形式,A,B,C全错,D正确．] ２．D　[要使函数y＝lg(３x－２)有意义,应满足３x－２＞０, ∴x＞２３ ,故选 D．] ３．解析:因为y＝log２x在(０,＋∞)上是增函数,且３．１＜５．２, 所以log２３．１＜log２５．２． 答案:＜ 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解析]　根据对数函数的定义进行判断．由于①中 自变量出现在底数上, ∴①不是对数函数; 由于②中底数a∈R不能保证a＞０且a≠１, ∴②不是对数函数; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５０１􀅰 参考答案 由于⑤中log４x系数为２, ∴⑤不是对数函数; 只有③、④符合对数函数的定义． [答案]　B 变式训练 １．解:只有(５)为对数函数． (１)中真数不是自变量x,∴不是对数函数; (２)中对数式后减１,∴不是对数函数; (３)中log７x前的系数是２,而不是１, ∴不是对数函数; (４)中底数是自变量x,而非常数a,∴不是对数函数． 题型二 [例２]　[解析]　(１)若 使 函 数 式 有 意 义 需 满 足 条 件: x＋１＞０ ２－x＞０{ ⇒ x＞－１, x＜２,{ 解得－１＜x＜２,故函数的定义域 为(－１,２)． (２)由题意有 ２x＋１＞０, ２x＋１≠１,{ 解得x＞－ １ ２ 且x≠０,则函数的 定义域为 －１２ ,０( )∪(０,＋∞)． [答案]　(－１,２)　 －１２ ,０( )∪(０,＋∞) 变式训练 ２．解:(１)要使函数有意义,需满足 x－２＞０, x－３≠０,{ 解得x＞２且 x≠３,∴函数的定义域为(２,３)∪(３,＋∞)． (２)要使函数有意义,需满足 １６－４x＞０, x＋１＞０． x＋１≠１, ì î í ïï ï 解得－１＜x＜０或０＜x＜４． ∴函数定义域为(－１,０)∪(０,４)． 题型三 [例３]　[解]　(１)∵函数y＝log２x 在(０,＋∞)上是增函 数,π＞０􀆰９,∴log２π＞log２０．９． (２)由于log２０．３＜log２１＝０,log０．２０．３＞log０．２１＝０, ∴log２０．３＜log０．２０．３． (３)当a＞１时,函数y＝logax 在(０,＋∞)上是增函数, 又３．１＜５．２,所以loga３．１＜loga５．２;当０＜a＜１时,函数 y＝logax 在(０,＋∞)上是 减 函 数,又 ３．１＜５．２,所 以 loga３．１＞loga５．２． 变式训练 ３．D　[因为函数y＝log２x在(０,＋∞)上是增函数,且３．６＞２, 所以log２３．６＞log２２＝１,因为函数y＝log４x在(０,＋∞)上是 增函数,且３．２＜３􀆰６＜４,所以log４３．２＜log４３．６＜log４４＝１, 所以log４３．２＜log４３􀆰６＜log２３．６,即b＜c＜a．] 随堂步步夯实 １．D　[A、B、C都不符合对数函数的定义,故选 D．] ２．D　[由１－x＞０得x＜１,故选 D．] ３．D　[由题知,a＝log４５＞１,b＝ １ ２( ) ０ ＝１,c＝log３０．４＜０, 故c＜b＜a．] ４．解析:设对数函数为y＝logax,则４＝loga１６, ∴a４＝１６, ∴a＝２,∴y＝log２x． 答案:y＝log２x ５．５　指数函数与对数函数的应用 课前预习学案 情境引入 提示:２×２n＝６４×２１０,n＝１５ ∴需时间为１５×３＝４５分钟． 必备知识　知识点一 y＝kax [思考] １．提示:y＝N(１＋p)x(x∈N)． 知识点二 (a＞１)　递增　快　慢 [思考] ２．提示:有,还有指数衰减． ３．提示:当底数小于１时,对数函数的递减速度越来越慢． 预习自测 １．A　[由函数随x的增大而增大可排除 D,由增长速度最 快可得答案 A．] ２．D　[满足初期利润增长迅速,后来增长越来越慢的对数 函数模型,故选 D．] ３．D　[根据题意知,该种细菌分裂的个数满足指数函数y ＝２x,x∈N∗; 经过３小时,细菌分裂６次,x＝６, 细菌分裂的个数为y＝２６＝６４．故选:D．] 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解析]　由题意知,２０２５年底该地区农民人均收 入为３０００×(１＋６％)７＝３０００×１．０６７,故选B． [答案]　B [例２]　[解]　依题意可以得到,１０L的纯酒精在操作了x次 后,所剩的酒精含量y(L)为y＝１０× １－１１０( ) x (x∈N)． 经过４次操作后,容器中的酒精含量为y＝１０×０．９４＝ ６．５６１, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６０１􀅰 世数学草础候快（下 5.4对数函数 课程标准 素养解读 1.通过对对数函数的理解培养数学直观素养 1.理解对数函数的概念 2.通过对数函数的图像与性质培养直观想象素养， 2.掌握对数函数的图像与性质 提升数学建模和逻辑推理素养 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 特点 a>1 0<a<1 已知函数y=2,那么反过来，x是否为关 定义域(0，十∞)，值域(-∞，十o∞) 于y的函数？ 过定点(1,0)，即x=1时，y=0 必备知识 性 在(0，十∞)上是增 在(0，十∞)上是 质 [知识点一]对数函数 函数 减函数 般地，形如y=logx(a>0且a≠1)的函数 当0<x<1时，y 称为 ,其中x是自变量，定义域 当0<x<1时，y<0 >0 是 当x>1时，y>0 当x>1时，y<0 2思考1.对数函数的定义域为什么是 ?思考3.底数a的取值与对数函数y (0,+∞)？ logx(a>0且a≠1)的图像有什么关系？ 2.对数函数的解析式有何特征？ 预习白测 1.下列函数是对数函数的是 A.y=2+logax [知识点二] 对数函数的图像及性质 B.y=log(2a)(a>0,且a≠1) 特点 a>1 0<a<1 C.y=logx2(a>0,且a≠1) D.y=ln x x=1 x=1 2.函数y=lg(3.x一2)的定义域是 图 y=log,x(a>1) A.[1,+∞) B.(1,+o∞) 像 1(1,0) 1,0 y=logx(0ca<l) c[导+ n.(+ 3.比较大小：log23.1 1og25.2. ·20· 第5章指数函数与对数函数 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一 对数函数的概念 题型二 对数函数的定义域 例1 下列函数表达式中，是对数函数的有 例2 (1)函数f(x)= 1 +ln(x+1)的定 ( 2-x ①y=log2;②y=logx(a∈R)；③y= 义域为 logsx;④y=lnx;⑤y=2logx (2)函数f(x)= 1og1(2x+1) 的定义域为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 [思路点拨]利用对数函数的定义判断. [思路点拨] 依据使函数有意义的条件列 [听课记录] 出不等式组→解不等式组→写出函数的定 义域 [听课记录] 通法通性 判断一个函数是否是对数函数，必须严格 符合形如y=logx(a>0且a≠1)的形式， 通法通性 即满足以下条件： 求对数型函数定义域的原则 (1)系数为1. (1)分母不能为0. (2)底数为大于0且不等于1的常数， (2)根指数为偶数时，被开方数非负. (3)对数的真数仅有自变量x. (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. ⊙[变式训练] ⊙[变式训练] 1.指出下列函数中哪些是对数函数？ 2.求下列函数的定义域： (1)y=logx2(a>0且a≠1)： (2)y=log2x-1; (()(-2+ (3)y=21log7x; (2)f(z)=log+(16-4x). (4)y=log,a(x>0且x≠1)； (5)y=logsx. ·21· 世数学草础候快的卫型 题型利用对数函数的单调性比较大小 例3比较下列各组数的大小： (1)log2π与log20.9: (2)log20.3与log.20.3; 通法通性 (3)log3.1.log5.2(a>0,且a≠1) 比较对数值大小时常用的4种方法 [思路点拨]利用对数函数的单调性判断， (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的 [听课记录] 单调性直接进行比较. (2)若底数为同一参数，则根据底数对对数 444444444 函数单调性的影响，对底数进行分类 讨论. (3)若底数不同，真数相同，则可以先用换 底公式化为同底后，再进行比较，也可 以利用顺时针方向底数增大画出对数 函数的图像，再进行比较 (4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等 中间量进行比较. ⊙[变式训练] 3.已知a=log23.6,b=log3.2,c=log3.6,则 () A.b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.下列函数中，是对数函数的是 3.已知实数u=log5,b=(分”.c=log0.4 A.y=log,a(x>0且x≠1) 则a,b,c的大小关系为 ( B.y=log2z-1 A.b<c<a B.b<a<c C.y=21gsa C.c<a<b D.c<b<a D.y=logsx 4.对数函数的图像过点M(16,4),则此对数函 2.函数f(x)=ln(1-x)的定义域是( 数的解析式为 A.(0,1) B.[0,1) C温馨提西 学习至此，请完成配套训练 C.(1,+∞) D.(-∞，1) ·22·