5.3.2 积、商、幂的对数-2024-2025学年中职高一数学同步（高教版2021·基础模块下册）

题型二 [例２]　[解]　(１)由log３(log２x)＝０得log２x＝１,∴x＝２; (２)log３(log７x)＝１,log７x＝３１＝３,∴x＝７３＝３４３; (３)lg(lnx)＝１,lnx＝１０,∴x＝e１０; (４)lg(lnx)＝０,lnx＝１,∴x＝e． 变式训练 ２．解:(１)∵x＝log１２１６,∴ １ ２( ) x ＝１６,即２－x＝２４． ∴－x＝４,即x＝－４． (２)∵log８x＝－ １ ３ ,∴x＝８－ １ ３ ＝１３ ８ ＝１２． (３)∵log２(log４x)＝０,∴log４x＝１,∴x＝４． 题型三 [例３]　[解]　(１)操作步骤为:按lg→８→ ＝ ,显示计算 结果０．９０３０．．． 所以lg８≈０．９０３ 同样地,通过计算器可算得其他各式的值． (２)ln４≈１．３８６ (３)log４７≈１．４０４． 变式训练 ３．解:(１)操作步骤为:按lg→６→ ．→５→ ＝ , 显示计算结果０．８１２９．．．,所以lg６．５≈０．８１３． 同样地,通过计算器可得其他各式的值． (２)ln１５≈２．７０８ (３)log５０．９５≈－０．０３２． 随堂步步夯实 １．C　[①正确;②底数小于０的指数式不可以化成对数式; ③④叫法正确,故选C．] ２．D　[由log２ ２＝log２２ １ ２ ＝１２log２２＝ １ ２ ,易知 D正确．] ３．B　[对B选项２７－ １ ３ ＝１３ 化为对数式为 log２７ １ ３＝－ １ ３． ] ４．解析:利用计算器按操作步骤可得结果． 答案:１．５８５　０．６３１ ５．３．２　积、商、幂的对数 课前预习学案 情境引入 １．提示:因为am＝２,an＝３,所以m＝loga２,n＝loga３,因此 m＋n＝loga２＋loga３; 或者因为am􀅰an＝am＋n＝２×３, 所以m＋n＝loga(２×３)． ２．提示:因为am＝M,an＝N,所以m＝logaM,n＝logaN, 因此m＋n＝logaM＋logaN; 或者因为am􀅰an＝am＋n＝M􀅰N, 所以m＋n＝loga(M􀅰N), ∴logaMN＝logaM＋logaN． 必备知识　知识点一 logaM＋logaN　logaM－logaN　nlogaM [思考] １．提示:适用,loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ,积的对 数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积． 知识点二 logcb logca [思考] ２．提示:logab＝ lgb lga ,logab＝ lnb lna． 预习自测 １．A　[loga(MN)＝logaM＋logaN 成立的前提条件是a＞０ 且a≠１,M＞０,N＞０．] ２．C　[２log５１０＋log５０．２５＝log５１００＋log５０．２５＝log５(１００ ×０．２５)＝log５２５＝log５５２＝２log５５＝２．] ３．解析:lg０．０１＋log２１６＝－２＋４＝２． 答案:２ 课堂互动学案 题型一 [例１]　 [解]　 (１)loga(xy２)＝logax＋logay２＝logax ＋２logay． (２)loga(x y)＝logax＋loga y＝logax＋ １ ２logay． (３)loga ３ x yz２ ＝１３loga x yz２ ＝１３ [logax－loga(yz２)]＝ １ ３ (logax－logay－２logaz)． 变式训练 １．解:(１)loga(x３y５)＝logax３＋logay５＝３logax＋５logay． (２)loga x yz＝loga x－loga (yz)＝logax １ ２ －(logay＋ logaz)＝ １ ２logax－logay－logaz． 题型二 [例２]　[解]　(１)(lg５)２＋lg２×lg５＋lg２＝lg５×(lg５ ＋lg２)＋lg２＝lg５×lg１０＋lg２ ＝lg５＋lg２ ＝lg１０ ＝１; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４０１􀅰 (２)(lg５)２＋lg２×lg５＋lg８＋２lg５＝lg５×(lg５＋lg２) ＋lg２３＋２lg５ ＝lg５×lg１０＋３lg２＋２lg５ ＝lg５＋３lg２＋２lg５ ＝３lg２＋３lg５＝３(lg２＋lg５) ＝３lg１０＝３． 变式训练 ２．解:(１)原式＝(lg５)２＋(２－lg２)lg２ ＝(lg５)２＋(１＋lg５)lg２ ＝(lg５)２＋lg２􀅰lg５＋lg２ ＝(lg５＋lg２)􀅰lg５＋lg２ ＝lg５＋lg２＝１． (２)原式＝log５(５×７)－２(log５７－log５３)＋log５７－log５ ９ ５ ＝log５５＋log５７－２log５７＋２log５３＋log５７－２log５３＋log５５ ＝２log５５＝２． 题型三 [例３]　[解]　解法一: 原式＝ log２５３＋ log２２５ log２４ ＋ log２５ log２８ æ è ç ö ø ÷􀅰 log５２＋ log５４ log５２５ ＋ log５８ log５１２５ æ è ç ö ø ÷＝ ３log２５＋ ２log２５ ２log２２ ＋ log２５ ３log２２ æ è ç ö ø ÷􀅰 log５２＋ ２log５２ ２log５５ ＋ ３log５２ ３log５５ æ è ç ö ø ÷ ＝ ３＋１＋１３( )log２５􀅰３log５２ ＝１３log２５􀅰log５２ ＝１３． 解法二:原式＝ lg１２５ lg２ ＋ lg２５ lg４＋ lg５ lg８( ) lg２ lg５＋ lg４ lg２５＋ lg８ lg１２５( ) ＝ ３lg５lg２＋ ２lg５ ２lg２＋ lg５ ３lg２( ) lg２ lg５＋ ２lg２ ２lg５＋ ３lg２ ３lg５( ) ＝ １３lg５３lg２( ) ３lg２ lg５( ) ＝１３． 解法三:原式＝(log２５３＋log２２５２＋log２３５)(log５２＋log５２ ２ ＋log５３２３)． ＝ ３＋１＋１３( )log２５􀅰３log５２＝３× １３ ３＝１３． 变式训练 ３．解:(１)log９２７＝ log３２７ log３９ ＝ log３３３ log３３２ ＝ ３log３３ ２log３３ ＝３２． (２)log２３􀅰log３５􀅰log５３２＝ lg３ lg２ 􀅰lg５ lg３ 􀅰lg３２ lg５ ＝ lg３２ lg２ ＝ ５lg２ lg２ ＝５． 随堂步步夯实 １．B　[log２２＝１,故选:B．] ２．C　[由lg２＋lg５＝lg(２×５)＝lg１０＝１．故选:C．] ３．D　[３log５１０＋log５０．１２５＝log５１０００＋log５０．１２５ ＝log５(１０００×０．１２５)＝log５１２５＝log３５３＝３．] ４．解析:(１)lg１０００００lg１０００ ＝ lg１０５ lg１０３ ＝５３ ; (２)lg２０－lg２＝lg２０２＝lg１０＝１． ５．４　对数函数 课前预习学案 情境引入 提示:由于y＝２x 是单调函数,所以对于任意y∈(０,＋∞), 都有唯一确定的x与之对应,故x也是关于y 的函数,其 函数解析式是x＝log２y,此处y∈(０,＋∞)． 必备知识　知识点一 对数函数　(０,＋∞) [思考] １．提示:ax＝N⇔logaN＝x,真数为幂值 N,而 N＞０,故式 子logax 中,x＞０． ２．提示:在对数函数的定义表达式y＝logax(a＞０,且a≠１) 中,logax 前边的系数必须是１,自变量x 在真数的位置 上,否则就不是对数函数． 知识点二 ３．提示:底数a与１的大小关系决定了对数函数图像的“升 降”:当a＞１时,对数函数的图像“上升”;当０＜a＜１时, 对数函数的图像“下降”． 预习自测 １．D　[判断一个函数是否为对数函数,其关键是看其是否 具有“y＝logax”的形式,A,B,C全错,D正确．] ２．D　[要使函数y＝lg(３x－２)有意义,应满足３x－２＞０, ∴x＞２３ ,故选 D．] ３．解析:因为y＝log２x在(０,＋∞)上是增函数,且３．１＜５．２, 所以log２３．１＜log２５．２． 答案:＜ 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解析]　根据对数函数的定义进行判断．由于①中 自变量出现在底数上, ∴①不是对数函数; 由于②中底数a∈R不能保证a＞０且a≠１, ∴②不是对数函数; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５０１􀅰 参考答案 第5章指数函数与对数函数 5.3.2积、商、幂的对数 课程标准 素养解读 1.了解积、商、幂的对数：掌握对数的运算性质1.通过对对数运算性质的理解，培养逻辑推理 2.了解换底公式，能运用该公式进行简单的化 和数学运算素养 简计算 2.通过对换底公式的应用，提升数学抽象素养 》 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 ?思考1.在积的对数运算性质中，三项的乘 1.设a"=2,a"=3,如何求m十n? 积式log.(MNQ)是否适用？你可以得到 个什么样的结论？ 2.设a"=M,a"=N,如何求m十n? [知识点二]换底公式 若a>0且a≠1，b>0,c>0且c≠1，则有 log b= ?思考2.对数的换底公式用常用对数、自然 必备知识 对数表示成什么形式？ [知识点一]对数的运算性质 条件 M>0,N>0,a>0,且a≠1 预习自测 log,(MN)= 1.log3(xy)=logx+log3y成立的条件是( A.x>0,y>0 B.x>0,y<0 性质 log. C.x<0,y>0 D.x∈R,y∈R 2.2log510+1og0.25= ( A.0 B.1 log M"= (n∈R) C.2 D.4 3.lg0.01+log216的值是 ( 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型二 对数运算性质的应用 (3)log 例1 用logx,logy,log。x表示下列各式： [思路点拨]正用对数的运算性质，对真 (1)log (y); 数进行处理 (2)log.(x√y); ·17· 数学基础膜快(G [听课记录] 题型二利用对数的运算性质化简、求值 例2计算下列各式。 (1)(1g5)2+lg2×1g5+1g2: (2)(lg5)2+lg2×lg5+lg8+21g5. 汇思路点拔]分析可以逆向运用对数的运 算性质，将几个对数式化为一个对数式，再 利用对数的基本性质求出结果， [听课记录] 通法通性 底数相同的对数式的化简和求值 (1)基本原则 通法通性 对数的化简求值一般是正用或逆用公 底数相同的对数式的化简和求值的常用方法 式，对真数进行处理，选哪种策略化简， ①“收”，将同底的两对数的和（差）收成积 取决于问题的实际情况，一般本着便于 (商)的对数： 真数化简的原则进行， ②“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对 (2)注意事项 数的和（差）. 对对数式进行计算、化简时，一要注意 此外，对于常用对数的化简要充分利用“g5 准确应用对数的性质和运算性质.二要 十lg2=lg10=1”解题 注意取值范围对符号的限制。 ⊙[变式训练] ◇[变式训练] 2.(1)(1g5)2+2lg2-(1g2)2; L.用logx、logy、logx表示下列各式： (1)log.(z3y3): (21og35-21bg号+1og,7-lbg1.8. (2)log. ·18· 第5章指数函数与对数函数 题型 换底公式的应用 通法通性 例3 计算(log2125+log,25+log85)·(1og2 关于换底公式的用途和本质： +log2s4十log12s8). (1)换底公式的本质是化异底为同底，这是 汇思路点拨]由于题目中各个对数的底数 解决对数问题的基本方法。 都不相同，解答本题时可先通过对数换底 (2)在运用换底公式时，若能结合底数间的 公式统一底数，再进行化简求值， 关系恰当选用一些重要的结论，如 [听课记录] 1 log,b= loga log.a"=n,logb”=2 logb;lg2十lg5=1等，将会达到事半 功倍的效果。 ◇[变式训练] 3.计算下列各式： (1)log27; (2)log23·log35·logs32 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.log22= 3.3log10+1og0.125的值为 () A.3 B.1 A.0 B.1 C.2 D.3 4.计算： c 1 0.6 (1)g100000 lg1000 2.lg2+lg5= ( (2)1g20-1g2= A.-1 B.0 C温粹提 C.1 D.10 学习至此，请完成配套训练 ·19·