5.3.1 对数的概念-2024-2025学年中职高一数学同步（高教版2021·基础模块下册）

第5章指数函数与对数函数 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.若函数f(x)=(1一2a)产在实数集R上是 4.求函数y=√/3-27的定义域. 减函数，则实数a的取值范围是 B0, n(-32 2.已知八>（则a6的大小关系是 ( ) A.1>a>b>0 B.a<b C.a>b D.1>b>a>0 3.函数y=a+3(a>0且a≠1)的图像恒过 C温馨提 定点 学习至此，请完成配套训练 5.3 对数 5.3.1 对数的概念 课程标准 素养解读 1.理解对数的概念；会进行指数式与对数式之间的互化 通过对对数概念的理解，培养学 2.掌握利用计算器求对数值的方法 生数学抽象，逻辑推理素养 》 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 3.若a=V,如何表示x呢？ 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2 个分裂成4个…以此类推.回答下列问题： 必备知识 1.1个这样的细胞分裂2次得到多少个细胞？ [知识点一]对数的概念 分裂x次得到多少个细胞？ 一般地，若a”=N(a>0,且a≠1)，则数b叫做 以a为底N的对数，记作b= ,其中a 称为对数的 ,N称为 2.分裂多少次可得到8个，16个呢？如何 2思考1.对数式logV是不是log。与N的 求解？ 乘积？ 13 色效学草础模快卫 [知识点二]对数与指数的关系 [知识点四]常用对数和自然对数 当a>0且a≠1，N>0时，a=N台x= (1)常用对数：通常我们将以 为底的 对数叫做常用对数，并把log。N记为 由此可知，已知底数a和幂V,求指数b,就是 求以a为底N的对数， (2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数 ?思考2.对数与指数的关系是什么？ e=2.71828…为底数的对数，以e为底的 对数称为自然对数，并把log。N记为 预习自测 [知识点三]对数的基本性质 1.logb=2化为指数式是 ( 设a>0且a≠1； (1)1og1=,即1的对数为 A.5=2 B.b=2 (2)1og.a= ,即底的对数等于； C.52=b D.b=5 (3)N 0,即 和 没有对数 2.3=5化为对数式是 ( 2思考3.你能否推导出对数的性质(1)(2)？ A.1og3=5 B.log 5=b C.log:b=3 D.log;3=b 3.利用计算器求1g2(保留到小数点后第3 位)的值为 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一 指数式与对数式的互化 例1将下列指数式与对数式互化： 102=4:2102=100:(3)e=16: (4)64=4:(6)1og,9=2:(6)1logy= [思路点拨]先判断出是指数式还是对数 式，再利用指对数的关系转化求解。 [听课记录] 通法通性 指数式与对数式互化的方法 (1)指数式化为对数式： 将指数式的幂作为真数，指数作为对 数，底数不变，写出对数式 14。 第5章指数函数与对数函数 (2)对数式化为指数式： [听课记录] 将对数式的真数作为幂，对数作为指 数，底数不变，写出指数式 对数式与指数式的关系如图 并非所有指数式都可以直接化为对数 式.如（一3）2=9就不能直接写成 log-89=2,只有a>0且a≠1，N>0 时，才有a'=N曰x=logV. 4444444444444444444444444444444444444444444444 ⊙[变式训练] 1.将下列指数式、对数式互化： a4=64:2na=6:32 =n 通法通性 (4)1g1000=3. 对数性质在计算中的应用 (1)对数运算时的常用性质：log,a=1, 1og1=0. (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或 真数进行变形后才能运用：对于多重 对数符号的，可以先把内层视为整体， 逐层使用对数的性质 ◇[变式训练] 2.求下列各式中x的值： (1)x=log16; (2)1ogx=- 3 (3)1og2(1og4x)=0; 题型二 求对数的值 例2求下列各式中的x: (1)log3(1og2x)=0; (2)log3(1og7x)=1; (3)Ig(In x)=1; (4)lg(lnx)=0. [思路点拨]利用指数式与对数式的互化 进行解答。 ·15· 色效学草础模快卫 题型 利用计算器求值 ⊙[变式训练] 例3 利用计算器求下列各式的值（保留到小 3.利用计算器求下列各式的值（保留到小数点 数点后第3位)： 后第3位)： (1)lg8;(2)ln4;(3)1og7. (1)lg6.5: 准备计算器，观察计算器上的按键并阅读相 (2)ln15: 关的使用说明书，小组完成利用计算器计算 (3)1og0.95. 对数的方法， 汇思路点拨]首先置计算器为普通计算状 态，然后分别使用lg键，ln键，log键进行 计算。 [听课记录] 》 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.下列说法：其中正确命题的个数为( 3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是 ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成为对数式： A.10°=1与1g1=0 ③以10为底的对数叫做常用对数： B.27=号51g3 =-3 ④以e为底的对数叫做自然对数. C.log9=2与32=9 A.1 B.2 D.log5=1与5=5 C.3 D.4 4.利用计算器求下列各式的值（保留到小数点后 2.1og2√2的值为 ( 第3位) A.-2 B.2 log23= :logs2= c号 C温馨提 D.2 学习至此，请完成配套训练 ·16·(３)在同一平面直角坐标系中 画出指数函数y＝ ２３( ) x 与y ＝ ３４( ) x 的图像,如图所示,当 x＝ －０􀆰５ 时,观 察 图 像 可 得 ２ ３( ) －０．５ ＞ ３４( ) －０．５ ． 题型三 [例３]　[解]　设在２０２０年后的第x年我国总人口为３亿 人,则 第１年y＝１４．４３５×(１＋０．５３％)＝１４．４３５×１．００５３． 第２年y＝１４．４３５×１．００５３×(１＋０．５３％)＝ １４．４３５×１．００５３２; 第３年y＝１４．４３５×１．００５３２×(１＋０．５３％)＝１４．４３５× １．００５３３; 由此得到,第x年我国总人口数y＝１４．４３５×１．００５３x 当x＝１０时,得到２０３０年我国总人口数y＝ １４．４３５×１．００５３１０＝１５．２２(亿人)． [答]　到２０３０年,我国总人口约为１５．２２亿人． 变式训练 ３．解析:年折旧率６％,则一年后价值为１００－１００×６％＝ １００×(１－６％),􀆺,五年后价值为１００×(１－６％)５≈７３． 答案:７３ 随堂步步夯实 １．B　[由已知,得０＜１－２a＜１,解得０＜a＜１２ ,即实数a 的取值范围是(０,１２ )．] ２．B　[因为y＝ １π( ) x 在(０,＋∞)上是单调递减函数,且 １ π( ) a ＞ １π( ) b ,所以a＜b,故选B．] ３．解析:因为在函数y＝ax＋３中,当x＝０时,恒有y＝a０＋３ ＝４,所以y＝ax＋３的图像恒过定点(０,４)． 答案:(０,４) ４．解:依题意得,３x－２７≥０,所以３x≥２７＝３３．又y＝３x 为 单调递增函数,所以x≥３．所以函数y＝ ３x－２７ 的定义 域为[３,＋∞)． ５．３　对数 ５．３．１　对数的概念 课前预习学案 情境引入 １．提示:分裂２次得到４个细胞,分裂x次得到２x 个细胞． ２．提示:设分裂x次可得到８个,即２x＝８＝２３,故x＝３,所 以分裂３次可得到８个,同理由２x＝１６可得x＝４􀆺􀆺 ３．提示:x＝logaN． 必备知识　知识点一 logaN　底数　真数 [思考] １．提示:不是,logaN 是一个整体,是求幂指数的一种运算, 其运算结果是一个实数． 知识点二 logaN [思考] ２．提示:指数式与对数式的互化(其中a＞０,且a≠１): 知识点三 (１)０　０　(２)１　１　(３)＞　０　负数 [思考] ３．提示:因为a０＝１,所以loga１＝０; 因为a１＝a,所以loga ＝１． 知识点四 (１)１０　lgN　(２)lnN 预习自测 １．C　[由指数式与对数式可得答案C．] ２．B　[由３b＝５⇔log３５＝b,可知选B．] ３．解 析:操 作 步 骤 为:按 lg → ２ → ＝ ,显 示 计 算 结 果０．３０１０．．． 答案:０．３０１ 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　(１)log２ １ ４＝－２ ; (２)log１０１００＝２,即lg１００＝２; (３)loge１６＝a;(４)log６４ １ ４＝－ １ ３ ; (５)３２＝９;(６)xz＝y． 变式训练 １．解:(１)因为４３＝６４,所以log４６４＝３; (２)因为lna＝b,所以eb＝a; (３)因为 １２( ) m ＝n,所以log１２n＝m; (４)因为lg１０００＝３,所以１０３＝１０００． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３０１􀅰 参考答案 题型二 [例２]　[解]　(１)由log３(log２x)＝０得log２x＝１,∴x＝２; (２)log３(log７x)＝１,log７x＝３１＝３,∴x＝７３＝３４３; (３)lg(lnx)＝１,lnx＝１０,∴x＝e１０; (４)lg(lnx)＝０,lnx＝１,∴x＝e． 变式训练 ２．解:(１)∵x＝log１２１６,∴ １ ２( ) x ＝１６,即２－x＝２４． ∴－x＝４,即x＝－４． (２)∵log８x＝－ １ ３ ,∴x＝８－ １ ３ ＝１３ ８ ＝１２． (３)∵log２(log４x)＝０,∴log４x＝１,∴x＝４． 题型三 [例３]　[解]　(１)操作步骤为:按lg→８→ ＝ ,显示计算 结果０．９０３０．．． 所以lg８≈０．９０３ 同样地,通过计算器可算得其他各式的值． (２)ln４≈１．３８６ (３)log４７≈１．４０４． 变式训练 ３．解:(１)操作步骤为:按lg→６→ ．→５→ ＝ , 显示计算结果０．８１２９．．．,所以lg６．５≈０．８１３． 同样地,通过计算器可得其他各式的值． (２)ln１５≈２．７０８ (３)log５０．９５≈－０．０３２． 随堂步步夯实 １．C　[①正确;②底数小于０的指数式不可以化成对数式; ③④叫法正确,故选C．] ２．D　[由log２ ２＝log２２ １ ２ ＝１２log２２＝ １ ２ ,易知 D正确．] ３．B　[对B选项２７－ １ ３ ＝１３ 化为对数式为 log２７ １ ３＝－ １ ３． ] ４．解析:利用计算器按操作步骤可得结果． 答案:１．５８５　０．６３１ ５．３．２　积、商、幂的对数 课前预习学案 情境引入 １．提示:因为am＝２,an＝３,所以m＝loga２,n＝loga３,因此 m＋n＝loga２＋loga３; 或者因为am􀅰an＝am＋n＝２×３, 所以m＋n＝loga(２×３)． ２．提示:因为am＝M,an＝N,所以m＝logaM,n＝logaN, 因此m＋n＝logaM＋logaN; 或者因为am􀅰an＝am＋n＝M􀅰N, 所以m＋n＝loga(M􀅰N), ∴logaMN＝logaM＋logaN． 必备知识　知识点一 logaM＋logaN　logaM－logaN　nlogaM [思考] １．提示:适用,loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ,积的对 数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积． 知识点二 logcb logca [思考] ２．提示:logab＝ lgb lga ,logab＝ lnb lna． 预习自测 １．A　[loga(MN)＝logaM＋logaN 成立的前提条件是a＞０ 且a≠１,M＞０,N＞０．] ２．C　[２log５１０＋log５０．２５＝log５１００＋log５０．２５＝log５(１００ ×０．２５)＝log５２５＝log５５２＝２log５５＝２．] ３．解析:lg０．０１＋log２１６＝－２＋４＝２． 答案:２ 课堂互动学案 题型一 [例１]　 [解]　 (１)loga(xy２)＝logax＋logay２＝logax ＋２logay． (２)loga(x y)＝logax＋loga y＝logax＋ １ ２logay． (３)loga ３ x yz２ ＝１３loga x yz２ ＝１３ [logax－loga(yz２)]＝ １ ３ (logax－logay－２logaz)． 变式训练 １．解:(１)loga(x３y５)＝logax３＋logay５＝３logax＋５logay． (２)loga x yz＝loga x－loga (yz)＝logax １ ２ －(logay＋ logaz)＝ １ ２logax－logay－logaz． 题型二 [例２]　[解]　(１)(lg５)２＋lg２×lg５＋lg２＝lg５×(lg５ ＋lg２)＋lg２＝lg５×lg１０＋lg２ ＝lg５＋lg２ ＝lg１０ ＝１; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４０１􀅰