5.2 第2课时 指数函数的图像与性质-2024-2025学年中职高一数学同步（高教版2021·基础模块下册）

题型二 [例２]　(１)[解析]　依题意应有 a２－a－１＝１, a＞０, a≠１, ì î í ïï ï 解得a＝２(a＝－１舍去)．所以a的值是２． (２)[解析]设f(x)＝ax(a＞０,a≠１),所以a２＝１２ ,所以a ＝ ２２ ,所以f(x)＝ ２２ æ è ç ö ø ÷ x ． [答案]　 ２ ２ æ è ç ö ø ÷ x 变式训练 ２．(１)C　[由指数函数的定义知: a２－３a＋３＝１ a＞０且a≠１{ ,∴a＝２(a＝１舍去)．] (２)解析:设f(x)＝ax(a＞０,a≠１),将点(２,９)的坐标代 入,得a２＝９,解得a＝３或a＝－３(舍去),所以f(x)＝ ３x,所以f(－１)＝１３． 答案:１ ３ 题型三 [例３]　[解]　(１)要使y＝２ １ x－４有意义,则应有x－４≠０,所以 x≠４,所以函数的定义域为(－∞,４)∪(４,＋∞)． (２)要使y＝ ２３( ) －|x| 有意义,则应有x∈R,所以函数的 定义域为(－∞,＋∞)． 变式训练 ３．解:(１)要使y＝ １２( ) x ２ －２x－３ 有意义,则应有x∈R,所以 函数的定义域为(－∞,＋∞)． (２)要使y＝５ １ ２x－４有意义,则应有２x－４＞０,所以x＞２, 故函数的定义域为(２,＋∞)． 随堂步步夯实 １．D　[由指数函数的定义可知 D为指数函数,ABC不是指 数函数,故选 D．] ２．B　[设f(x)＝ax(a＞０且a≠１),由f(３)＝a３＝８,得a＝ ２．故f(x)＝２x,选B．] ３．解析:设f(x)＝ax(a＞０且a≠１), 由f(２)＝４得a２＝４,∴a＝２或a＝－２(舍去)． ∴f(１)＝２． 答案:２ ４．解:(１)要使y＝ １３x－１ 有意义,则应有３x－１≠０,所以x≠０, 所以函数的定义域为(－∞,０)∪(０,＋∞)． (２)要使y＝ １２( ) ２－x 有意义,则应有x∈R,所以函数的 定义域为(－∞,＋∞)． 第２课时　指数函数的图像与性质 课前预习学案 情境引入 提示:y＝２x． 必备知识　知识点 (－∞,＋∞)　(０,＋∞)　(０,１)　增函数 [思考] １．提示:当x＝０时,a０＝１(a≠０)恒成立,即指数函数的图 像一定过点(０,１)． ２．提示:关于y轴对称． 预习自测 １．B　[由y＝３－x＝ １３( ) x 知:函数在定义域内单调递减, 且y＞０ 恒 成 立,所 以 只 有 B 所 表 示 的 函 数 图 像 符 合 要求．] ２．B　[∵y＝３x＞０,∴f(x)＝３x＋１＞１．] ３．解析:由题意可得０＜２－a＜１,解得１＜a＜２． 答案:１＜a＜２ 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　(１)指数函数y＝３x 的底数a＝３＞１,故函数 y＝３x 在R上单调递增; (２)函数y＝２－x＝(２－１)x＝ １２( ) x ,由于底数a＝１２＜１ , 故函数y＝２－x在R上单调递减; (３)函数y＝２ x ２ ＝ ２ １ ２( )x＝(２)x,由于底数a＝ ２＞１,故 函数y＝２ x ２ 在R上单调递增． 变式训练 １．C 题型二 [例２]　[解]　(１)∵１．８２．２,１．８３ 可看作函数y＝１．８x 的 两个函数值, ∵１􀆰８＞１,∴y＝１．８x 在R上为增函数, 又２􀆰２＜３, ∴１．８２．２＜１．８３． (２)∵y＝０．７x 在R上为减函数, 又∵－０􀆰３＞－０􀆰４,∴０．７－０．３＜０．７－０．４． (３)∵１．９０．４＞１．９０＝１,０．９２．４＜０．９０＝１, ∴１．９０．４＞０．９２．４． 变式训练 ２．解:(１)考查指数函数y＝１．７x,由于底数１􀆰７＞１,∴指数 函数y＝１．７x 在(－∞,＋∞)上是增函数． ∵２􀆰５＜３,∴１．７２．５＜１．７３． (２)考查函数y＝０．８x,由于０＜０􀆰８＜１, ∴指数函数y＝０．８x 在(－∞,＋∞)上为减函数． ∵－０􀆰１＞－０．２,∴０􀆰８－０．１＜０􀆰８－０．２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２０１􀅰 (３)在同一平面直角坐标系中 画出指数函数y＝ ２３( ) x 与y ＝ ３４( ) x 的图像,如图所示,当 x＝ －０􀆰５ 时,观 察 图 像 可 得 ２ ３( ) －０．５ ＞ ３４( ) －０．５ ． 题型三 [例３]　[解]　设在２０２０年后的第x年我国总人口为３亿 人,则 第１年y＝１４．４３５×(１＋０．５３％)＝１４．４３５×１．００５３． 第２年y＝１４．４３５×１．００５３×(１＋０．５３％)＝ １４．４３５×１．００５３２; 第３年y＝１４．４３５×１．００５３２×(１＋０．５３％)＝１４．４３５× １．００５３３; 由此得到,第x年我国总人口数y＝１４．４３５×１．００５３x 当x＝１０时,得到２０３０年我国总人口数y＝ １４．４３５×１．００５３１０＝１５．２２(亿人)． [答]　到２０３０年,我国总人口约为１５．２２亿人． 变式训练 ３．解析:年折旧率６％,则一年后价值为１００－１００×６％＝ １００×(１－６％),􀆺,五年后价值为１００×(１－６％)５≈７３． 答案:７３ 随堂步步夯实 １．B　[由已知,得０＜１－２a＜１,解得０＜a＜１２ ,即实数a 的取值范围是(０,１２ )．] ２．B　[因为y＝ １π( ) x 在(０,＋∞)上是单调递减函数,且 １ π( ) a ＞ １π( ) b ,所以a＜b,故选B．] ３．解析:因为在函数y＝ax＋３中,当x＝０时,恒有y＝a０＋３ ＝４,所以y＝ax＋３的图像恒过定点(０,４)． 答案:(０,４) ４．解:依题意得,３x－２７≥０,所以３x≥２７＝３３．又y＝３x 为 单调递增函数,所以x≥３．所以函数y＝ ３x－２７ 的定义 域为[３,＋∞)． ５．３　对数 ５．３．１　对数的概念 课前预习学案 情境引入 １．提示:分裂２次得到４个细胞,分裂x次得到２x 个细胞． ２．提示:设分裂x次可得到８个,即２x＝８＝２３,故x＝３,所 以分裂３次可得到８个,同理由２x＝１６可得x＝４􀆺􀆺 ３．提示:x＝logaN． 必备知识　知识点一 logaN　底数　真数 [思考] １．提示:不是,logaN 是一个整体,是求幂指数的一种运算, 其运算结果是一个实数． 知识点二 logaN [思考] ２．提示:指数式与对数式的互化(其中a＞０,且a≠１): 知识点三 (１)０　０　(２)１　１　(３)＞　０　负数 [思考] ３．提示:因为a０＝１,所以loga１＝０; 因为a１＝a,所以loga ＝１． 知识点四 (１)１０　lgN　(２)lnN 预习自测 １．C　[由指数式与对数式可得答案C．] ２．B　[由３b＝５⇔log３５＝b,可知选B．] ３．解 析:操 作 步 骤 为:按 lg → ２ → ＝ ,显 示 计 算 结 果０．３０１０．．． 答案:０．３０１ 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　(１)log２ １ ４＝－２ ; (２)log１０１００＝２,即lg１００＝２; (３)loge１６＝a;(４)log６４ １ ４＝－ １ ３ ; (５)３２＝９;(６)xz＝y． 变式训练 １．解:(１)因为４３＝６４,所以log４６４＝３; (２)因为lna＝b,所以eb＝a; (３)因为 １２( ) m ＝n,所以log１２n＝m; (４)因为lg１０００＝３,所以１０３＝１０００． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３０１􀅰 参考答案 世数学基础膜快(GJ) 通法通性 ⊙[变式训练] 3.求下列函数的定义域： 定义域的求法 2x-3 (1)依据：分式分母不为0，二次根式的被开方 (1)y :(2)y=5 2 数不小于0,0次幂的底数不为0等 (2)应用：如果解析式中含有多个式子，则 用大括号将x满足的条件列成不等式 组，求交集 》 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.下列函数中，是指数函数的是 4.求下列函数的定义域 A.y=(-8) B.y=2x2-1 y=3- C.y=a' D.y=(2a-1Dr>2,且a≠l 2.若指数函数f(x)的图像过点(3,8)，则f(x) 的解析式为 A.f(x)=x B.f(x)=2 C.f(z)= D.f(r)=x 3.若函数f(x)是指数函数，且f(2)=4,则 ©温器提西 f(1)= 学习至此，请完成配套训练 第2课时 指数函数的图像与性质 课程标准 素养解读 1.理解指数函数的图像及性质 1.通过作指数函数的图像及其性质，培养学生的数学抽象， 2.了解指数函数在生产、生活中的 直观想象和数学逻辑素养 应用 2.通过学习指数函数的应用，培养分析与解决问题的能力 》 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 x次后，你知道所得病毒的个数y与x的函数 “红色代码”被认为史上破坏性极强的计 关系式是什么，你了解此函数的性质吗？ 算机病毒之一，具有快速自我复制能力，它可 以由1个变成2个，2个变成4个，….复制 ·10· 第5章指数函数与对数函数 必备知识 ?思考1.对于指数函数y=2,y=3,y [知识点]指数函数的图像和性质 〔)w=(得…，为什么一定过点0D? 特点 a>1 0<a<1 y y=a 2.当两个指数函数的底数互为倒数时，它们 图像 的图像有什么关系？ (0,1) 0,1) 定义域： ;值域： 预习自测 图像过点 1.函数y=3‘的图像是 在（一∞，十∞） 在(-∞，十∞) 性 上是 上是减函数 A B 质 2.函数f(x)=3+1的值域为 当x<0时， 当x<0时， A.(-1,+o∞) B.(1,+∞) 0<y<1 y>1 C.(0,1) D.[1,+o∞) 当x>0时， 当x>0时， 3.指数函数y=(2一a)在定义域内是减函 y>1 0<y<1 数，则a的取值范围是 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一 指数函数图像的单调性 例1 判断下列函数在R上的单调性。 (1)y=3;(2)y=2;(3)y=2. [思路点拨]对于指数函数y=a'(a>0 且a≠1)，当a>1时，函数在（一o∞，十o∞） 上是增函数；当0<a<1时，函数在（一o∞， [归纳总结]本题考查对指数函数概念及 十∞)上是减函数. 性质的理解，能利用指数函数的性质判断其 [听课记录] 单调性。 ⊙[变式训练] 1.下列函数中为增函数且经过点(0,1)的函 数是 () A.y=2 B.y=-x2+1 C.y=2 D.y=z ·11 心数学基础膜快G下 题型二 利用单调性比较大小 题型三】 指数型函数的实际应用 例2比较下列各题中两个值的大小 例3根据2020年全国第七次人口普查的结 (1)1.822,1.83: 果，我国总人口约为14.435亿人，若全国人 (2)0.703,0.70.4: 口的年平均增长率为0.53%，那么到2030 (3)1.9°4,0.924： 年，我国的人口约为多少亿人？（精确到 [思路点拨](1)(2)利用指数函数的单调 0.01亿人). 性比较： [思路点拔]本题考查指数函数的实际应 (3)借助中间量1进行比较. 用，采用函数与方程思想，建立函数模型 [听课记录] as=ak(1士x%)P】 [听课记录] 通法通性 三类指数式的大小比较问题 (1)底数相同、指数不同：利用指数函数的 单调性解决， (2)底数不同、指数相同：利用指数函数的 图像解决. (3)底数不同，指数也不同：采用介值法（中 通法通性 间量法)，1和0是常用的中间值。 解决指数型函数应用题的流程 ⊙[变式训练] (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字 2.比较下列每组中两个数的大小： 母的意义，从题意中提取信息： (1)1.72.5,1.73: (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关 (2)0.801,0.80.2； 系式 )() (3)解模：运用数学知识解决问题. (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论， ⊙[变式训练] 3.一台价值100万元的新机床，按每年6%的折 旧率折旧，5年后这台机床大约值 万 元（保留到整数位）. ·12· 第5章指数函数与对数函数 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基固本 1.若函数f(x)=(1一2a)在实数集R上是 4.求函数y=√3一27的定义域. 减函数，则实数a的取值范围是 A.(分+o) B0, D(- 2.已知日)>（日），则a6的大小关系是 A.1>a>b>0 B.a<b C.a>b D.1>b>a>0 3.函数y=a'十3(a>0且a≠1)的图像恒过 C温蓉提 定点 学习至此，请完成配套训练 5.3 对数 5.3.1 对数的概念 课程标准 素养解读 1.理解对数的概念；会进行指数式与对数式之间的互化 通过对对数概念的理解，培养学 2.掌握利用计算器求对数值的方法 生数学抽象，逻辑推理素养 》 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 3.若a=V,如何表示x呢？ 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2 个分裂成4个…以此类推.回答下列问题： 1.1个这样的细胞分裂2次得到多少个细胞？ 必备知识 [知识点一]对数的概念 分裂x次得到多少个细胞？ 般地，若a=V(a>0,且a≠1)，则数b叫做 以a为底N的对数，记作b= ,其中a 称为对数的 ,N称为 2.分裂多少次可得到8个，16个呢？如何 2思考1.对数式logV是不是log。与N的 求解？ 乘积？ 13.