5.1.2 实数指数幂-2024-2025学年中职高一数学同步（高教版2021·基础模块下册）

第5章指数函数与对数函数 5.1.2实数指数幂 课程标准 素养解读 1.通过对实数指数幂a°(a>0,且a≠1，a∈R)含义的认识，1.通过实数指数幂的意义提升数 了解指数幂的拓展过程 学抽象素养 2.掌握实数指数幂的运算性质 2.通过实数指数幂的运算性质提 3.会利用计算器求实数指数幂的值 升逻辑推理和数学运算素养 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 (2)(a)3=ap 当生物体死亡后，有机体内原有的碳14 (3)(ab)°=ab 会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰 ?思考2.指数幂是怎样从正整数指数幂推 减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，据 广到实数指数幂的？ 此规律，人们获得了生物体内碳14含量p与 死亡年数t的关系.p= 必备知识 [知识点一] 无理数指数幂 无理数指数幂a°(a>0,a是无理数)是一个确 预习自测 定的实数 1.计算(2)的结果是 2思考1.为什么规定底数a>0? A.√2 B.-√2 C.2 1 D. 2-1-0.5)÷图)的值为 [知识点二]实数指数幂的运算性质(a>0, b>0,a,3∈R) A- c (1)aa2=a+9 3.aa= 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型 实数指数幕的求值 2()×厚×) 例1 计算下列各式： (1)(32)5 e)+a.1r+e)+器 ·5· 心数学基础模快6 [思路点拨]若a>0,b>0,a,3∈R,则 ⊙[变式训练] a”a2=aa+m,(a)2=a,(ab)°=ab 1.计算下列各式： [听课记录] ;(2)3×3×27. 题型二 实数指数幂的化简 例2 化简下列各式： (Daia (2)(a于a)2 (3ab÷a÷F; (4) a2-b2 &1+b+(-at-bt)(a-bt). [思路点拨了先把根式写成分数指数幂， 然后再进行化筒与计算， [听课记录] 通法通性 指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做 指数运算。 (2)先乘除后加减，负指数暴化成正指数暴 的倒数 (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数， 先化成分数，底数是带分数，先化成假 分数 (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可 通法通性 能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性 1.关于根式的化简 质来解答 含根式的式子要统一成分数指数幂，利 (5)运算结果不能同时含有根式和分数指 用分数指数暴的运算性质计算，对于多 数幂，也不能既有分母又含有负指数暴，形 层根式，应从里向外逐层化为分数指数 式力求统一· 幂进行运算. 6 第5章指数函数与对数函数 2.关于分数指数幂的综合应用 [听课记录] 对所有的常数进行乘除运算，对同底数 幂转化为指数加减运算.最后结果的形 式一般与原来的式子相同. ⊙[变式训练] 2.(1)化简Naa(a>0)的结果是 A.a B.a C.a2 D.a (2)化简：(2ab)(-6ab)÷ (-3ab)(a>0且b>0)= 题型 利用计算器求值 ⊙[变式训练] 例3利用计算器求下列各式的值（保留到小 3.利用计算器求下列各式的值（保留到小数点 后第3位)： 数点后第三位)： (1)0.522.(2)3.2;(3)4;(4)5F (103.143;(2)0.75:(3)2 准备计算器，观察计算器上的按键并阅读相 关的使用说明书，小组完成利用计算器计算 分数指数幂的方法。 汇思路点拨]操作步骤为：设置计算器为 普通计算状态→输入底→按巴→输入指 数→按曰显示计算结果 》 巩固即学 随堂·步步夯实 夯基因本 1.化简 高的值是 3.计算：(3-x)° A- B一号 B.-2 c号 D士号 C.- D 4.利用计算器求下式的值（保留到小数点后第 2.计算（π下）9的结果是 4位)： A.π B.√元 (1)2.2510s= :(2)52= C温器提 C.-π D.I 学习至此，请完成配套训练 7。(３)操作 步 骤:按 ３ →xy → (→ ３ → ÷ → ４ → )→ ＝ ,显示计算结果２．２７９５􀆺 所以３ ３ ４ ≈２．２８００ (４)操作步骤:按５→xy → (→ － →４→ ÷ →５→ ) → ＝ ,显示计算结果０．２７５９􀆺 所以５－ ４ ５ ≈０．２７６． 变式训练 ４．解:(１)将 ４ ０．５化为０．５ １ ４ ,再指数运算,操作步骤为:按 ０→ ．→５→xy → (→１→ ÷ →４→ )→ ＝ ,显示 计算结果０．８４０８􀆺 所以 ４ ０．５≈０．８４１． (２)将 ７ ２７３化为２７３ １ ７ ,再指数运算,操作步骤为: 按２７３→xy → (→１→ ÷ →７→ )→ ＝ ,显示计算 结果２．２２８５􀆺 所以 ７ ２７３≈２．２２９ (３)将 １５ ０．４５３ 化为０．４５－ ３ ５ ,再指数运算,操作步骤为:按 ０→ ．→４→５→xy → (→ － →３→ ÷ →５→ )→ ＝ ,显示计算结果１．６１４６􀆺 所以 １５ ０．４５３ ≈１．６１５． 随堂步步夯实 １．B　[x为６的５次方根,所以x＝ ５ ６．] ２．C　[４－ ３ ２ ＝１ ４ ３ ２ ＝ １ ２２× ３ ２ ＝１ ２３ ＝１８． ] ３．解析:a３􀅰 ３ a２＝a３􀅰a ２ ３ ＝a３＋ ２ ３ ＝a １１ ３ ． 答案:a １１ ３ ４．解:３－ ２ ３ ＝ １３ ３２ ＝１３ ９ ＝９－ １ ３ ≈０．３５７０,３－ ２ ３ ≈０．３５７． ５．１．２　实数指数幂 课前预习学案 必备知识　知识点一 [思考] １．提示:规定底数大于零是必要的,否则会出现(－１)２,就 无法确定是１还是－１． 知识点二 [思考] ２． 　 预习自测 １．D　[(２２)－ ２ ２ ＝２－１＝１２ ,故选 D．] ２．D　[原式＝１－(１－２２)÷ ３２( ) ２ ＝１－(－３)×４９＝ ７ ３． 故选 D．] ３．解析:原式＝a ２ ３ 􀅰a ３ ２ ＝a ２ ３＋ ３ ２ ＝a １３ ６ ． 答案:a １３ ６ 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　(１)原 式 ＝３２×３２×２ ２ ３×３２＝３６×２２＝ ２９１６． (２) ３５( ) ２ ３ × ４ ５ ３ × ３ ５( ) －５１２ ＝ ３５( ) ２ ３ × ５３( ) １ ４ × ３ ５( ) －５１２ ＝ ３５( ) ２ ３ × ３５( ) －１４ × ３５( ) －５１２ ＝ ３５( ) ２ ３－ １ ４－ ５ １２ ＝ ３５( ) ０ ＝１ (３)原式＝ ２５９( ) １ ２ ＋ １ ０．１２ ＋ ６４２７( ) －２３ ＋３７４８＝ ５ ３＋１００＋ ９ １６ ＋３７４８＝１０３． 变式训练 １．解:(１)原式＝ π ３－ ３ ２( )[ ]２３＝(π ３ ２ )２３＝π３． (２) ３ ３× ４ ３× ４ ２７＝３ １ ３ ×３ １ ４ ×３ ３ ４ ＝３ ３ ３． 题型二 [例２]　[解]　(１)原式＝a π ６＋ ２π ３－π＝a－ π ６ ． (２)原式＝(a π ３－ π ６ )１２＝(a π ６ )１２＝a２π． (３)由于 ３ a－３b２＝(a－３b２) １ ３ ＝a－１b ２ ３ , ３ a２＝a ２ ３ , ４ b３＝ b ３ ４ ,所以, ３ a－３b２÷ ３ a２÷ ４ b３＝a－１b ２ ３ ÷a ２ ３ ÷b ３ ４ ＝a－１ b ２ ３a－ ２ ３b－ ３ ４ ＝a－１－ ２ ３b ２ ３－ ３ ４ ＝a－ ５ ３b－ １ １２ (４)原式＝ １ a２ －１ b２ １ a＋ １ b ＋(－b－ １ ２ )２－(a １ ２ )２＝a－１－b－１－a ＋b－１＝１a－a＝ １－a２ a ． 变式训练 ２．(１)B　 ３ a a ＝ ３ a􀅰a １ ２ ＝ ３ a ３ ２ ＝a １ ２ ＝ a． (２)解析:２a ２ ３b １ ２( ) －６a １ ２b １ ３( )÷ －３a １ ６b ５ ６( ) ＝２× (－６) －３ 􀅰a ２ ３＋ １ ２－ １ ６b １ ２＋ １ ３－ ５ ６ ＝４a． 答案:４a 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰００１􀅰 题型三 [例３]　[解]　(１)操作步骤为:按０→ ．→５→xy →２ → ．→２→ ＝ ,显示计算结果０．２１７６􀆺 所以０．５２．２≈０．２１８． (２)操作步骤为:按３→ ．→２→xy → (→３→ ÷ → ５→ )→ ＝ ,显示计算结果２．００９５􀆺 所以３．２ ３ ５ ≈２．０１０． (３)操作步骤为:按４→xy → 　 →２→ ＝ ,显示计算 结果７．１０２９􀆺 所以４２≈７．１０３． (４)操作步骤为:按５→xy → (→ － → 　 →３→ ) → ＝ ,显示计算结果０．０６１５􀆺􀆺 所以５－ ３≈０．０６２． 变式训练 ３．解:(１)操作步骤为:按３→ ．→１→４→xy → (→ － →３→ )→ ＝ ．显示计算结果０．０３２３􀆺 所以３．１４－３≈０．０３２． (２)操作步骤为:按 ０ → ．→ ７ →xy → 　 → ５ → ＝ ．显示计算结果０．４５０４􀆺 所以０．７５≈０．４５０ (３)操作步骤为:按 　 →２→xy → 　 →３→ ＝ , 显示计算结果１．８２２６􀆺 所以 ２３≈１．８２３ 随堂步步夯实 １．A　[ ３ － ８１２５＝ ３ －２５( ) ３ ＝－２５． ] ２．D　[(π３)－ ３ ３ ＝π－１＝１π ． ] ３．D　[原式＝１－ ２３( ) ３×１３ ＝１－２３ ＝ １ ３ ． ] ４．解析:利用计算器按操作步骤操作可得答案． 答案:(１)２．３０５４　(２)０．０９７１ ５．２　指数函数 第１课时　指数函数的概念 课前预习学案 情境引入 １．提示:分裂次数与细胞个数: 分裂次数 １ ２ ３ 􀆺 x 细胞个数 ２ ２×２＝２２ ２×２×２＝２３ 􀆺 ２×２×􀆺×２＝２x 归纳:y＝２x(x∈N∗)． ２．提示:经过１年,剩余量为y＝１×８４％＝０．８４;经过２年, 剩余量为y＝０．８４×０．８４＝０．８４２; 􀆺􀆺 经过x年,剩余量为y＝０．８４x． ３．提示:共同点:变量x与y 构成的函数关系式是指数的形 式,自变量在指数位置,底数是常数;不同点:底数的取值 不同． 必备知识　知识点 y＝ax(a＞０,且a≠１)　R [思考] １．提示:①如果a＝０,当x＞０时,ax 恒等于０,没有研究的 必要;当x≤０时,ax 无意义． ②如果a＜０,例如y＝(－４)x,这时对于x＝１２ ,１ ４ ,􀆺,该 函数无意义． ③如果a＝１,则y＝１x 是一个常量,没有研究的价值． 为了避免上述各种情况,所以规定a＞０,且a≠１． ２．提示:指数函数解析式的３个特征:①底数a为大于０且 不等于１的常数;②自变量x的位置在指数上,且x的系 数是１;③ax 的系数是１． 预习自测 １．C　[只有y＝３－x＝ １３( ) x 符合指数函数的定义,A、B、D 中函数都不符合y＝ax(a＞０且a≠１)的形式．] ２．C　[由a－１＞０,且a－１≠１得a＞１且a≠２．故选C．] ３．解析:设f(x)＝ax(a＞０,且a≠１), 因为f(x)的图像过点(２,４),所以a２＝４,a＝２,即f(x)＝ ２x,所以f ３( ) ＝８． 答案:８ 课堂互动学案 题型一 [例１]　[解]　(１)y＝１０x 符合定义,是指数函数． (２)y＝１０x＋１中指数是x＋１而非x,不是指数函数． (３)y＝－４x 中系数为－１而非１,不是指数函数． (４)y＝xx 中底数和指数均是自变量x,不符合指数函数 定义,不是指数函数． (５)y＝xα 中底数是自变量,不是指数函数． 变式训练 １．解:(１)为指数函数． (２)中底数不是常数,故不是指数函数． (３)是－１与指数函数３x 的乘积． (４)中底数－３＜０,故不是指数函数． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１０１􀅰 参考答案