5.1.1 有理数指数幂-2024-2025学年中职高一数学同步（高教版2021·基础模块下册）

第5章指数函数与对数函数 5.1实数指数幂 5.1.1有理数指数幂 课程标准 素养解读 1.了解次根式的概念：理解分数指数幂的定义；掌握指数1.通过运用根式的性质应用提升 幂的运算法则 数学抽象和数学运算素养 2.掌握根式与分数指数幂之间的转化：会利用计算器求根2.通过学习指数幂的运算性质， 式和分数指数幂的值 提升逻辑推理及数学运算素养 盘点新知 课前·预习学案 落实双基 情境引入 归纳总结] 1.如果x2=a,则x叫做a的平方根，记作 (1)任何实数均有奇次方根，仅有非负数才 有偶次方根，负数没有偶次方根。 x=士a;如果x3=a,则x叫做a的三次方 (2)W0=0(n>1,且n∈N). 根（立方根），记作x=a;若x=a呢？ 2.根式 (1)定义：式子 叫做根式，这里n叫做 ,a叫做 2.如果x”=a,则x叫做a的什么？如何表示 (2)性质：(n>1,且n∈N°) ①(a)"=a. ②a" a,n为奇数， 必备知识 a,n为偶数. [知识点一]根式 配思考 1.n次方根 1.我们已经知道若x2=3,则x=士3，那么 定 般地，如果x”=a,那么x叫做a的 (3)2等于什么√3呢？√(-3)产呢？ 义 ,其中n>1,且n∈N n是 a>0 x>0 x仅有一个值， 奇数 a<0 x<0 记为a 2.(a)”与a"中的字母a的取值范围是否 个 一样？ x有两个值，且互为相反 数 n是 a>0 数，记为±a 偶数 a<0 x不存在 色改学草础膜快（卫 [知识点二] 分数指数幂 4.同底数幂相除a÷a,同次的指数相除 正分数 规定：a”- (a>0,m, 分 指数幂 n∈N",且n>1) 分别等于什么？ 数 负分数 规定：a号= 1 指 指数幂 数 (a>0,m,n∈N°，且n>1) 幂 0的分数0的正分数指数幂等于 预习自测 指数幂 0的负分数指数幂 1.一8的值是 [知识点三]有理数指数幂的运算性质(a>0, A.2 B.-2 b>0.p.qEQ) C.±2 D.-8 (1)a'a9=a+9.(2)(a)9=am. (3)(ab)=ab. 2.把根式aa化成分数指数幂是 2思考3.为什么分数指数幂的底数规定 A.(-a) B.-(-a) D.a a>0? C.-a 3.利用计算器求下式的值（保留到小数点后第 3位)： 3= 直击题型 课堂·互动学案 通法悟道 题型一 n次方根的概念 通法通性 例1(1)16的平方根为 ,-27的5 (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数， 次方根为 任意实数的奇次方根只有一个. (2)已知x2=6,则x= (2)根式a的符号由根指数n的奇偶性及 (3)若x一2有意义，则实数x的取值范围 被开方数a的符号共同确定：①当n为 是 [思路点拨] 偶数时，a为非负实数：；②当n为奇数 依a的1次方根的定义判断 求解。 时，a的符号与a的符号一致. [听课记录] ⊙[变式训练] 1.有下列说法： ①一27=3：②16的4次方根是士2；③81 =土3；④√(x+y)2=|x十y|;⑤若x<2, 则(x-2)+(x-2)3=2-√2. 其中正确的是 (填正确说法的序号) 2 第5章指数函数与对数函数 题型已根式与分数指数幕的互化 通法通性 例2将下列各分数指数幂写成根式的形式： 根式与分数指数幂互化的规律 (1)a;(2)a;(3)a. 根指数化为分数指数的分母，被开方数 [思路点拨]把握好形式互化过程中字 (式)的指数，化为分数指数的分子. 母位置的对应关系，按照规定正向进行形 ⊙[变式训练] 式的转化. 2.将下列各根式写成分数指数幂的形式： [听课记录] 例3 将下列各根式写成分数指数幂的形式： ag,2a,87a0. [思路点拨]把握好形式互化过程中字母 位置的对应关系，按照规定逆向进行形式 3.将下列各分数指数幂写成根式的形式： 的转化 (1)4;(2)3;(3)(-8);(4)1.2. [听课记录] 3 色效学草础模快卫 题型 利用计算器求值 ⊙[变式训练] 例4利用计算器求下列各式的值（保留到小 4.利用计算器求下列各式的值（保留到小数点 数点后第3位)： 后第3位)： (1)2:(2)0.3564:(3)3:(4)5: (1)/0.5:(2)/273:(3) 1 准备计算器，观察计算器上的按键并阅读相 V0.45 关的使用说明书，小组完成利用计算器计算 分数指数幂的方法， 汇思路点拨]操作步骤为：设置计算器为 普通计算状态→输入底→按→输入指 数→按=显示计算结果 [听课记录] 随堂·步步夯实 《 巩固即学 夯基固本 1.已知x5=6,则x等于 4.利用计算器求下式的值（保留到小数点后第 A.6 B.6 4位)： C.-6 D.±6 3. 2.4可化为 ( A.8 B.2 C.g D.2 e温攀提 3.a3.9a= 学习至此，请完成配套训练参考答案 参考答案 第5章 指数函数与对数函数 变式训练 5.1 实数指数幕 1.解析:当n是奇数时,负数的n次方根是一个负数,故 -27一一3,①错误;16的4次方根有两个,为士2,②正 5.1.1 有理数指数幕 确;81-3,③错误;v(x十y)是正数,所以(x十y){②} 课前预习学案 lx+yl,④正确.由题意知x-2<0,故(x-2)+ 情境引入 #-2)=l-2+x-②=2-+-②=2- 1.提示:若x一a,则x叫做a的4次方根,记作x一士. 正确. 2.提示;若x”一a,则x叫做a的n次方根,若n为奇数,则x 答案:②④ 一;若n为偶数,则x三士ū(a二0). 题型二 必备知识 知识点一 [例2][解](1)n-5,m-2,故-a; 1.n次方根 2.(1) 根指数 被开方数 (2)n=2,n-3.故a-1 [思考] 1.提示:3)-3;v3--3(-3)--3 (3)n-5.m-3,故}-a. [例3][解](1)n-4,m-3,故8-8; 2.提示;取值范围不同,式子(ū)”中隐含a是有意义的,若 (2)n-3,m-4,故va-a; n为偶数,则a0,若”为奇数,aR;式子a“中,aéR (3)n=5.m-3.故-a-. 知识点二 “} _” 0 不存在 变式训练 2.解:(1)-9; 知识点三 (2)#1-()}# [思考] 3.提示;①当a<0时,若”为偶数,m为奇数,则a.a“无 意义; ②当a一0时,a”无意义。 (4)V4.3-4.3. 4.提示:①a“-a'-a;②-()” 预习自测 (2)3-3; 1.B [-8--2,故选B.] (3)(8)--1 (78)}) 2.D [a-a·a-a,故选D.] (4)1.2-V1.2. 3.3×+-3-v27~2.280 题型三 课堂互动学案 [例4] [解](1)将/2化为2,再指数运算.操作步骤为: 题型一 接2→→→1→→3→D→=,显计计算结 [例1][解析](1)·:(士4)②-16. 果1.2599.. .16的平方根为士4.-27的5次方根为-27 (2)·7-6.'x- 所以/2~1.260. (2)将0.3564化为0.3564 ,再指数运算,操作步骤:按 (3)要使:-2有意义, 0→.→3→→→④→→(→1→→3→ 则需x-20,即x2. 因此实数x的取值范围是[2,十) D→,显示计算结果0.7089.. [答案](1)士4 -27 (2)v (3)[2,+) 所以0.3564~0.709. .99. 数学基础模快(G下) (3)操作步骤:按3→→→3→→④→→ 预习自测 =,显示计算结果2.2795.. 1.D 所以3~2.2800 2.D[原文一1-(1-2)(寻)-1--3)× (4)操作步骤:按→→→→④→→→ 故选D.] →=.显示计算结果0.2759... 3.解析:原式-^{·{-+-} 所以5-~0.276. 答案:{ 变式训练 课堂互动学案 4.解:(1)将\0.5化为0.5,再指数运算,操作步骤为:按 题型一 0→→→→→1→→④→D→,显示 [例1] [解] (1)原式-3××2×-3×2 计算结果0.8408... 2916. 所以0.5~0.841. (2)()× 5×()--(){×() (2)将\273化为273,再指数运算,操作步骤为; 按273→→→1→→→→,显示计算 ( -({×()×() =(){ 结果2.2285... -#)#一# 所以V273~2.229 (3)将 1化为0.45-,再指数运算,操作步骤为:按 (3)原-(2)+}+() 0.453 16 7103. →→④→→→→→③→回→→→ =,显示计算结果1.6146 变式训练 1.解:(1)原式=[n(一)]2/(n)/-. ($)3×3v27-33x3-33. 随堂步步夯实 题型二 1.B [x为6的5次方根,所以x- [例2] [解](1)原式-a+---. (2)原式-(-)12-()12-a*。 3.解析:a--3+-. (3)由于Vab-(a-b?)=a-1b,-,V6 答案:al #$ *,所以 ab^- {}- b=a1b-a-b=$ 4.解:3--1-1-9-十~0.3570.3-十~0.357. ##-+#-早} 3 #--1-,-}# 5.1.2 实数指数需 ##---# 课前预习学案 必备知识 知识点一 [思考] 1.提示;规定底数大于零是必要的,否则会出现(一1),就 +6-1-1--1- 无法确定是1还是一1. 知识点二 变式训练 [思考] 正格数指数基1 (2)解析:(2a^b)(-6a^{b)-(-3a^{6b)-2×(-6) 0指数 白数数写 -3 数数程 鉴数指数: ·+寸-+十^{+--4a. 分数指数有弹数数写】 实数数 七环数数 答案:4u ·100.