专题07 三角函数与解三角形-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（新高考通用）

专题07 三角函数与解三角形 题型概览 题型01三角函数的图像与性质：奇偶性、单调性、奇偶性、值域与最值问题 题型02伸缩变换问题及求解析式问题 题型03三角恒等变换 题型04 与的取值与范围问题 题型05三角函数的概念及弧长公式、扇形面积公式 题型06正余弦定理综合应用 题型07角平分线、中线、高问题 题型08解三角形范围与最值问题 题型09周长与面积问题 题型10解三角形中的几何应用 ( 题型0 1 )三角函数图像与性质奇偶性、单调性、奇偶性值域与最值1．（2025·江西赣州·一模）已知函数，，若恰有3个极值点，则正数ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南安阳·一模）已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南安阳·一模）定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（2025·广东深圳·一模）已知，下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．当时，的取值范围为 D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 5．（2025·北京平谷·一模）已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 6．（2025·山东泰安·一模）已知函数的最小正周期为在上的图象与直线交于点，与直线交于点，且，则 . 7．（2025·福建泉州·一模）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．曲线关于直线对称 C．在区间上有4个零点 D．在区间内单调递减 8．（2025·甘肃兰州·一模）已知曲线． (1)定义：若对于曲线上任意一点沿向量平移得到点仍在曲线上，其中T与是不同时为0的常数，则称曲线沿向量的方向上有周期性．判断是否存在向量使曲线S具有周期性，若存在请写出一个符合要求的向量，若不存在，请说明理由： (2)证明：曲线S是中心对称图形； (3)当时，曲线S为一条封闭的曲线，四条直线，，，，围成矩形ABCD，其中为锐角，，证明：曲线S在矩形ABCD的内部或边上，且过矩形对角线交点的直线平分曲线S围成的面积． 9．（2025·山东济宁·一模）若函数的两个零点分别为和，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山东菏泽·一模）已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则 . ( 题型0 2 )伸缩变换问题及求解析式问题 1．（2025·山东聊城·一模）已知函数，，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．直线是曲线的一条对称轴 D．将的图象向右平移个单位得到的图象 2．（2025·山东济宁·一模）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江西萍乡·一模）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，设，则在内的极大值点为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏宿迁·一模）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象所对应的函数是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏南通·一模）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 ( 题型0 3 )三角恒等变换 1．（2025·黑龙江·一模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东泰安·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东湛江·一模）已知，则 ． 5．（2025·广东江门·一模）已知，则（ ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )与的取值与范围问题 1．（2025·黑龙江·一模）已知为函数（，）的一个零点，直线为曲线的一条对称轴，设的最小正周期，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京平谷·一模）已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 3．（2025·山东青岛·一模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 4．（2025·江西九江·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．5 B．8 C．11 D．13 5．（2025·河南郑州·一模）若，是函数两个相邻的最值点，则等于（      ） A．2 B． C．1 D． ( 题型0 5 )三角函数的概念及弧长公式、扇形面积公式 1．（2025·广东湛江·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·北京平谷·一模）冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为的扇形蛋卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总体积约为（    ）（忽略蛋筒厚度） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·一模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点.动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东汕头·一模）若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江西九江·一模）在棱长为的正方体中，点在正方体内（包含边界）运动．若直线与所成角为，则动点所围成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． ( 题型0 6 )正余弦定理综合应用 1．（2025·广东江门·一模）在中，已知，是上的点，平分，，则（ ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·一模）在中，角的对边成公差为的等差数列.若，则的面积为 . 3．（2025·江西赣州·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求证：； (2)已知，当角取最大值时，求的面积. 4．（2025·河南安阳·一模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，点到直线的距离为，求的周长. 5．（2025·山东济宁·一模）在中，内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．外接圆的面积为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 ( 题型0 7 )角平分线、中线、高问题 1．（2025·黑龙江·一模）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若为的中点，在下列两个条件中任选一个，求的长度． 条件①：的面积，且， 条件②： 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 2．（2025·北京平谷·一模）在中，. (1)求的大小； (2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 3．（2025·江西上饶·一模）已知的内角的对边分别为，． (1)求； (2)若，边上的高为，求的周长． 4．（2025·山西吕梁·一模）如图，已知三角形的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若，设为三角形的角平分线，求的长. 5．（2025·湖南岳阳·一模）已知分别为的内角的对边，且，点为边的中点，若，且. (1)求； (2)求的面积. ( 题型0 8 )解三角形范围与最值问题 1．（2025·江苏南通·一模）已知的三边所对的角分别为． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 2．（2025·重庆·一模）在平面直角坐标系中，已知点，若满足（为正常数）的动点的轨迹为，则下列说法正确的是（   ） A．，使得曲线经过原点 B．，曲线既是轴对称图形，也是中心对称图形 C．当时，面积的最大值为 D．当时，曲线围成的面积大于曲线围成的面积 3．（2025·江西南昌·一模）在中，角的对边成公差为2的等差数列． (1)若为锐角三角形，求a的取值范围； (2)若，求的面积． 4．（2025·安徽合肥·一模）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 (1)证明：； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 5．（2025·山东淄博·一模）在中，内角所对的边分别为，且角为锐角，，则的值为 ． ( 题型0 9 )周长与面积问题 1．（2025·福建泉州·一模）四边形中，． (1)求； (2)若，求四边形的面积． 2．（2025·云南昭通·一模）在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，． (1)若，求的面积； (2)若，求的周长． 3．（2025·江西萍乡·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求C； (2)若，求的面积的最大值. 4．（2025·江西·一模）设向量，，． (1)求的单调递减区间； (2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积 5．（2025·广东湛江·一模）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，D为边上的点，且平分． (1)求的大小； (2)若，，求的周长． ( 题型 10 )解三角形中的几何应用 1．（2025·云南昆明·一模）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（   ）（单位：米，） A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42 2．（2025·山西临汾·一模）的内角，，的对边分别为，，，且，.若点与点在两侧，，且，，，四点共圆，则四边形的面积为 . 3．（2025·江西·一模）如图，在中，的平分线与AB交于点，. (1)求； (2)若，求的值. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角函数与解三角形 题型概览 题型01三角函数的图像与性质：奇偶性、单调性、奇偶性、值域与最值问题 题型02伸缩变换问题及求解析式问题 题型03三角恒等变换 题型04 与的取值与范围问题 题型05三角函数的概念及弧长公式、扇形面积公式 题型06正余弦定理综合应用 题型07角平分线、中线、高问题 题型08解三角形范围与最值问题 题型09周长与面积问题 题型10解三角形中的几何应用 ( 题型0 1 )三角函数图像与性质奇偶性、单调性、奇偶性值域与最值1．（2025·江西赣州·一模）已知函数，，若恰有3个极值点，则正数ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的范围，结合余弦函数的性质列不等式求解即可. 【详解】因为，所以当时，， 因为恰有3个极值点，所以， 解得，即的取值范围为. 故选：C 2．（2025·河南安阳·一模）已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，根据恒成立，得到，不妨取，画出图象，数形结合，利用对称性得到，求出答案. 【详解】时，， 令，则当时，， 故要想在时满足恒成立， 需满足，不妨取， ，， 画出在上的图象，如下： 由图象可知，，， 则， 故， 两式相加得， 所以. 故选：C 3．（2025·河南安阳·一模）定义：已知函数在其定义域上的最大值为，最小值为，若，则称是“间距函数”，则下列函数是“间距函数”的有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】对于A，利用的性质，求出最大值和最小值，即可求解；对于B，利用反比例函数的性质，求出最大值和最小值，即可求解；对于C，令，，利用复合函数的单调性，求出最大值和最小值，即可求解；对于D，令，则，求出在区间上最值，即可求解. 【详解】对于选项A，易知的最大值为，最小值为，则，所以选项A错误， 对于选项B，因为在区间上单调递减， 所以的最大值为，最小值为，则，所以选项B正确， 对于选项C，，令，， 当时，，又在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又在区间上单调递增，所以的最大值为，最小值为， 则，所以选项C正确， 对于选项D，令，因为，则，且， 易知在区间上单调递增，所以在区间的最大值为，最小值为， 则，所以选项D正确， 故选：BCD. 4．（2025·广东深圳·一模）已知，下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．当时，的取值范围为 D．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】BD 【分析】根据三角函数的图象与性质，以及函数图象变换法则计算可判断每个选项的正误. 【详解】因为，所以函数的最小正周期为，故A错误， 因为，所以，所以在上单调递增，故B正确； 因为，，所以，的取值范围为，故C错误； 由于，将其向右平移得到，得到，故D正确. 故选：BD. 5．（2025·北京平谷·一模）已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】作出函数的图象， 根据的位于不同的位置，即可分情况求解. 【详解】如图所示，的图象，此时，函数的最小正周期为 ， 点, 当点在点时，点在曲线上， ， 当点在曲线上从接近时，减小，所以逐渐增大； 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，减小，逐渐减小， 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，增大, 逐渐增大， 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，增大,逐渐见减小， 当点在点时，, 综上可得的最小值是1 故选：B 6．（2025·山东泰安·一模）已知函数的最小正周期为在上的图象与直线交于点，与直线交于点，且，则 . 【答案】 【分析】先确定函数的解析式，再数形结合，利用函数图象的性质列式求值即可. 【详解】因为. 又函数最小正周期为，且，所以. 所以. 当时，，所以. 做函数，的草图如下： 函数图象关于直线对称. 设，则，.， 所以， ， 解得或（舍去）. 所以. 故答案为： 7．（2025·福建泉州·一模）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．曲线关于直线对称 C．在区间上有4个零点 D．在区间内单调递减 【答案】AD 【分析】A选项，和的最小正周期，得到的最小正周期；B选项，，B错误；C选项，变形得到，令得或，从而得到在区间上有5个零点，C错误；D选项，求导，得到在上恒成立，D正确. 【详解】A选项，的最小正周期为，的最小正周期为， 两者的最小公倍数为，故的最小正周期为，A正确； B选项，， 故曲线不关于直线对称，B错误； C选项，， 令得，故或， 因为，所以的解为，，，，， 的解为，，， 综上，在区间上有5个零点，C错误； D选项， 当时，，， 即，所以在区间内单调递减，D正确 故选：AD 8．（2025·甘肃兰州·一模）已知曲线． (1)定义：若对于曲线上任意一点沿向量平移得到点仍在曲线上，其中T与是不同时为0的常数，则称曲线沿向量的方向上有周期性．判断是否存在向量使曲线S具有周期性，若存在请写出一个符合要求的向量，若不存在，请说明理由： (2)证明：曲线S是中心对称图形； (3)当时，曲线S为一条封闭的曲线，四条直线，，，，围成矩形ABCD，其中为锐角，，证明：曲线S在矩形ABCD的内部或边上，且过矩形对角线交点的直线平分曲线S围成的面积． 【答案】(1)存在；，（m，，且m，n不同时为0） (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用正余弦函数的周期性计算可得结论； （2）利用，计算可得当在曲线S上时，必有在曲线S上，可得结论； （3）先用反证法证明曲线S上的点在直线的上方或直线上，由第（2）问可知，点是曲线S的中心，可证明点M也是矩形ABCD的中心，进而可得结论. 【详解】（1）因为， 所以当在曲线S上时，（m，，且m，n不同时为0）必在曲线S上，故存在向量使曲线S具有周期性， 向量，（m，，且m，n不同时为0），（m，n取一个符合要求的值即可）． （2）因为，， 所以当时， 故当在曲线S上时，必有在曲线S上， 而P与关于点对称，所以曲线S是中心对称图形，对称中心为，（m，n取一个符合要求的值也可）； （3）先证明曲线S上的点在直线的上方或直线上， 设是曲线S上任意一点，即证． 由可得， 令，则，原命题即证． 用反证法证明，假设，则， 由可得， 由于时原式不成立，故，则， 若，则，所以， 又， 故，得，矛盾． 故，即，又，因此， 从而，可得，因此， 所以，这与已知矛盾，故假设不成立， 由第（2）问可知，点是曲线S的中心，过M垂直于的直线为， 由，得，将其分别代入曲线S的方程两边， 左边，右边， 故点既在曲线S上又在直线上，从而曲线S上的点在直线的上方或直线上． 由于点到直线的距离， 到直线的距离，故， 到直线的距离， 到直线的距离，故， 所以点M也是矩形ABCD的中心，根据中心对称性可知曲线S上的点在直线的下方或直线上，同理可证，曲线S上的点也在直线之间，或直线上，因此，曲线S在矩形ABCD的内部或边上，又由于矩形ABCD和曲线S的对称中心重合，因此过矩形ABCD对角线交点的直线必平分曲线S围成的面积． 9．（2025·山东济宁·一模）若函数的两个零点分别为和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，最后利用二倍角的余弦求值. 【详解】函数，其中锐角由确定， 由，得，而， 因此，即，则， 即，于是， 所以. 故选：C 10．（2025·山东菏泽·一模）已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则 . 【答案】或 【分析】可以根据区间的定义，，得到，然后根据余弦函数单调性和特殊角的余弦值得到或. 【详解】根据区间的定义，左端点小于右端点，，得到，即根据余弦函数的性质，，由题意：，根据函数的周期为，而且其在单调递减，在单调递增，，，即，所以，即， 当时，，在单调递减，则，可得； 当时，，在单调递减，且在单调递增，，. 故答案为：或. ( 题型0 2 )伸缩变换问题及求解析式问题 1．（2025·山东聊城·一模）已知函数，，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．直线是曲线的一条对称轴 D．将的图象向右平移个单位得到的图象 【答案】BD 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】因为， 对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，当时，， 所以，在上单调递增，B对； 对于C选项，因为，故直线不是曲线的一条对称轴，C错； 对于D选项，将的图象向右平移个单位，得到函数 的图象，D对. 故选：BD. 2．（2025·山东济宁·一模）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数周期，再由函数平移的性质结合余弦函数的诱导公式可得. 【详解】函数周期，所以函数的图象向右平移个周期可得. 故选：D 3．（2025·江西萍乡·一模）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，设，则在内的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移规律求出，再利用导数求出极值点即可. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得函数的图象， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 则.令，得，或. 当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以在内的极大值点为. 故选：A. 4．（2025·江苏宿迁·一模）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象所对应的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象横坐标缩短到原来的 倍，就是变为原来的2倍进行变换，即可得到答案． 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变， 就是变为原来的2倍进行变换，即得到函数的解析式为：. 故选：D. 5．（2025·江苏南通·一模）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【分析】利用辅助角公式化简函数，由已知求出即得解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断. 【详解】， 由关于原点对称，得，， 而，则，， 对于A，的最小正周期，A正确； 对于BC，由，得，直线是的图象一条对称轴，B正确，C错误； 对于D，由，得，而在上有极大值点又有极小值点， 则，解得，D正确 故选：ABD ( 题型0 3 )三角恒等变换 1．（2025·黑龙江·一模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用两角和差正弦公式计算，再结合二倍角余弦公式计算即可. 【详解】已知，且， 则，所以， 则. 故选：C. 2．（2025·山东泰安·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，然后根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案. 【详解】依题意，， 解得， . 故选：B 3．（2025·黑龙江·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件求出与的值，再利用三角函数的两角和公式求出，最后根据二倍角公式求出. 【详解】由，可得，且， 故. 故选：C. 4．（2025·广东湛江·一模）已知，则 ． 【答案】/0.8 【分析】利用同角关系式可求得，利用诱导公式可得，再利用倍角公式即可求解. 【详解】，即． 又，所以， 所以 ． 故答案为：. 5．（2025·广东江门·一模）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用和差角的正弦公式及二倍角的余弦计算得解. 【详解】由，得，即， 因此，所以. 故选：B ( 题型0 4 )与的取值与范围问题 1．（2025·黑龙江·一模）已知为函数（，）的一个零点，直线为曲线的一条对称轴，设的最小正周期，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的图象性质，通过图象中两个特殊点的距离与周期的关系求出周期，再结合周期公式求出，最后代入特殊点求出，进而求得的值. 【详解】由三角函数的图象与性质可得，，解得，， 又因为，故有且仅有时满足题意，此时，解得， 此时，代入，可得，， 又因为，故有且仅有时满足题意，此时.故. 故选：C. 2．（2025·北京平谷·一模）已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由，得，进而结合题意可得，进而求解即可. 【详解】由，， 则， 因为在区间上没有最值， 所以， 则，解得， 所以的最大值为. 故选：A. 3．（2025·山东青岛·一模）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（   ） A．13 B．11 C．9 D．7 【答案】C 【分析】先根据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断为奇数，由在，单调，分在单调递增、单调递减两种情况，分别求得的最大值，综合可得它的最大值． 【详解】函数，，为的零点，为图象的对称轴， ，，且，， 相减可得，，即，即为奇数． 在单调， ①若在单调递增， 则，且，， 即①，且，②， 把①②可得：，，故有奇数的最大值为11． 当时，，，，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，，，，， 此时在上单调递减，不满足题意； 故此时无解． ②若在单调递减， 则，且，， 即③，且，④， 把③④可得：，，故有奇数的最大值为11． 当时，，，，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，由①在上单调递减，满足题意； 故的最大值为9． 故选：C 4．（2025·江西九江·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．5 B．8 C．11 D．13 【答案】D 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求出，得到答案. 【详解】依题意，得为偶函数， 则，即， 当时，，D正确，其他选项均不正确. 故选：D． 5．（2025·河南郑州·一模）若，是函数两个相邻的最值点，则等于（      ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意得到函数的最小正周期，再用最小正周期公式可解. 【详解】由，是函数两个相邻的最值点， ， 所以，即. 故选：A. ( 题型0 5 )三角函数的概念及弧长公式、扇形面积公式 1．（2025·广东湛江·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是． 故选：D 2．（2025·北京平谷·一模）冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为的扇形蛋卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总体积约为（    ）（忽略蛋筒厚度） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由扇形弧长，求得底面半径及高，再由圆锥体积公式即可求解； 【详解】设圆锥底面面积为， 由题意可知， 所以， 设圆锥得高为，则， 所以圆锥的体积为：， 所以该种冰淇淋中奶油的总体积约为， 故选：D 3．（2025·安徽·一模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点.动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题意结合三角函数、弧长公式等依次求出、圆O的半径和，再由结合两角和正切公式即可求解. 【详解】由题得，且圆O的半径为， 所以， 所以. 故选：C 4．（2025·广东汕头·一模）若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面周长，求得底面半径，进而求得圆锥的高，即可求解； 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，则， 由题意可得：，即， 所以， 故， 故选：A 5．（2025·江西九江·一模）在棱长为的正方体中，点在正方体内（包含边界）运动．若直线与所成角为，则动点所围成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与所成角为，得直线与直线所成角为，动点所围成的图形是圆锥侧面的四分之一，根据圆锥的表面积公式求出即可. 【详解】解：如图，在正方体中，，直线与所成角为， 即直线与直线所成角为，故动点所围成的图形是：高为，底面半径为1， 母线长为2的圆锥侧面的四分之一．即动点所围成的图形的面积为， 故选：B． ( 题型0 6 )正余弦定理综合应用 1．（2025·广东江门·一模）在中，已知，是上的点，平分，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由角平分线的性质可得出，设，则，由可得出，然后在中应用余弦定理可求得的长，利用正弦定理可求出的值，利用同角三角函数的基本关系可求得的值. 【详解】如下图所示： 因为平分，由角平分线的性质可知点到边、的距离相等， 因为，设，则， 由可得， 可得， 在中，由余弦定理可得 ，故， 由正弦定理可得，所以，， 易知为锐角，则， 所以，. 故选：A. 2．（2025·山东青岛·一模）在中，角的对边成公差为的等差数列.若，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】首先根据等差数列的概念结合正弦定理可得，，，通过余弦定理求出，最后由面积公式即可得结果. 【详解】因为成公差为的等差数列，所以； 因为，由正弦定理可得； 解得，，， 由余弦定理可得， 因为，所以， 所以的面积为， 故答案为：. 3．（2025·江西赣州·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求证：； (2)已知，当角取最大值时，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式结合正弦定理、余弦定理，即可证明结论. （2）根据余弦定理结合基本不等式可得角的最大值，即可求出三角形面积. 【详解】（1）∵，∴， ∴，即， ∴， 由得，， 由正弦定理及余弦定理得，， ∴. （2）由余弦定理得，， 当且仅当时取等号，此时取最大值，为等边三角形. 由得，. ∴的面积为. 4．（2025·河南安阳·一模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，点到直线的距离为，求的周长. 【答案】(1) (2)14. 【分析】（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. （2）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式列式求解. 【详解】（1）在中，，， 则，而，， 解得，则，所以. （2）由正弦定理得，不妨设，则， 由余弦定理得，解得， 由，得，解得， 所以，即的周长为14. 5．（2025·山东济宁·一模）在中，内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．外接圆的面积为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A：利用余弦定理边角转化即可；对于B：利用正弦定理求三角形外接圆半径，即可得结果；对于CD：根据选项A中结论，结合基本不等式运算求解. 【详解】对于选项A：因为， 由余弦定理可得， 整理可得，则， 且，所以，故A错误； 对于选项B：由正弦定理可得外接圆的半径， 所以外接圆的面积为，故B正确； 对于选项C：由可得， 且，即，解得，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于选项D：由可得，即， 且，即， 解得，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为，故D正确； 故选：BCD. ( 题型0 7 )角平分线、中线、高问题 1．（2025·黑龙江·一模）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若为的中点，在下列两个条件中任选一个，求的长度． 条件①：的面积，且， 条件②： 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角转化，再应用余弦定理求解即可； （2）选条件①先应用面积公式计算得出，再应用余弦定理计算求解；选条件②先应用同角三角函数关系得出，再应用正弦定理结合余弦定理计算求解. 【详解】（1）由题意得， 由正弦定理得， ， ． （2）若选条件①： ∵的面积，，， ， ， 为的中点，， 在中，， ． 若选条件②： ， 由正弦定理得，， ，解得或（舍）， 为的中点，， 在中，， ． 2．（2025·北京平谷·一模）在中，. (1)求的大小； (2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式即可求解，或者利用余弦定理边角互化求解， （2）根据三角形存在可知不能选①，选②，利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解，或者利用正弦定理求解，进而根据和差角公式求解,由面积公式求解，选③根据高，即可利用选②的方法求解. 【详解】（1）方法一：由正弦定理及，得 .① 因为， 所以.② 由①②得 因为，所以. 所以.因为，所以. 方法二：在中，因为， 由余弦定理得， 整理得 所以，所以. （2）若选条件①：；，所以,而，这与矛盾，故不能选①. 选条件②： 方法一：由余弦定理，得 即，解得. 所以 方法二：由正弦定理，所以，因为 ，所以， 所以. 选条件③： 边上的高，所以， 以下与选择条件②相同. 3．（2025·江西上饶·一模）已知的内角的对边分别为，． (1)求； (2)若，边上的高为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合二倍角公式求角. （2）根据，可求，根据正弦定理可得的数量关系，再结合余弦定理，可求的值，进而可求的周长. 【详解】（1）由， 所以. 由正弦定理可得：，因为，所以. 所以，又，所以. （2）因为，边上的高为， 所以. 根据正弦定理：. 由余弦定理：， 所以或（舍去），所以. 所以的周长为：. 4．（2025·山西吕梁·一模）如图，已知三角形的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若，设为三角形的角平分线，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式和三角形内角和公式求解； （2）利用面积方法和三角形的面积公式计算. 【详解】（1）由得, 又因为， 所以, 又因为， 所以, 又因为, 所以. （2）因为， 所以, 又因为, 所以, 所以, 故答案为：. 5．（2025·湖南岳阳·一模）已知分别为的内角的对边，且，点为边的中点，若，且. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合，辅助角公式得到，从而求出； （2）根据和余弦定理得，结合，得到，根据求出，由三角形面积公式求出答案. 【详解】（1），利用正弦定理可得 ， 又， 故， 即， 因为，所以，故， 由辅助角公式得， 又，故， 即，所以； （2），故， 由余弦定理得， 由为中点，化简得， ，故， 又，所以， 又，故， 将代入上式得，即， 解得，负值舍去， 则的面积为 ( 题型0 8 )解三角形范围与最值问题 1．（2025·江苏南通·一模）已知的三边所对的角分别为． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）可以采用正弦定理边角互化，再用余弦定理得到，最后结合和角公式和同角三角函数关系式计算即可; （2）有了，两角之间的正切关系，直接将用和表示，转变成关于的函数，借助函数单调性求范围即可． 【详解】（1）由正弦定理得 ， ． （2） ，令, 由于在上单调递增， 则原函数也是在上单调递增. ，即的取值范围为． 2．（2025·重庆·一模）在平面直角坐标系中，已知点，若满足（为正常数）的动点的轨迹为，则下列说法正确的是（   ） A．，使得曲线经过原点 B．，曲线既是轴对称图形，也是中心对称图形 C．当时，面积的最大值为 D．当时，曲线围成的面积大于曲线围成的面积 【答案】ABD 【分析】根据条件，列出曲线的方程，分析方程的特点，判断各选项的准确性. 【详解】由题意，轨迹的方程为：① 选项A：取，①即为，曲线经过原点．A正确． 选项B：用代替方程不变，用代替方程也不变，同时用代替，代替方程也不变.所以曲线关于轴，轴和原点对称．B正确． 选项C：当时，①即为．若，则的面积为；若，由曲线的对称性，不妨设，则，所以，此时的面积大于．C错误． 选项D：当时，由，得．曲线：上任意一点满足．所以曲线“包含于”曲线，两条曲线的公共点仅有，曲线围成的面积大于曲线围成的面积．D正确． 故选：ABD 3．（2025·江西南昌·一模）在中，角的对边成公差为2的等差数列． (1)若为锐角三角形，求a的取值范围； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列得到的关系，确定最大角为角，且，利用可得结果； （2）根据正弦定理得到，求出的值，利用余弦定理求出的值，进而得到的值，利用面积公式可得结果. 【详解】（1）∵是公差为2的等差数列， ∴， 由三角形三边关系得，， ∴，又∵为锐角三角形， ∴最大角， ∴，即， ∴，即，解得或， ∴. （2）∵， ∴由正弦定理可得， ∴，解得，则， ∴，∴， ∴． 4．（2025·安徽合肥·一模）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 (1)证明：； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件及正弦定理可得，结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式可得，最后结合B，C的范围可证得结论. （2）由已知条件及（1）可求出，然后利用正弦定理及二倍角公式化简所求式，进而得到结论. 【详解】（1）由正弦定理及，知， 即， 所以， 所以或， 因为B，，所以，即 （2）由（1）知，，又为锐角三角形， 所以，， 故，所以，得， 故 5．（2025·山东淄博·一模）在中，内角所对的边分别为，且角为锐角，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据二倍角公式求出的值，进而求出的值，再利用正弦定理求出的值，判断的范围并求出的值，最后根据三角函数的两角和公式求出的值. 【详解】已知，根据二倍角公式，则有. 因为为锐角，即，等式两边同时除以可得：. 已知，将其代入可得：，解得. 因为为锐角，根据，可得. 由正弦定理，已知，，，则. 因为，根据大边对大角可知，又因为为锐角，所以也为锐角. 根据，可得. 因为，所以， 则 . 故答案为： ( 题型0 9 )周长与面积问题 1．（2025·福建泉州·一模）四边形中，． (1)求； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一，根据余弦定理求边和，再根据正弦定理求；方法二：中，利用正弦定理，求，再根据两角和的正弦公式，即可求解； （2）方法一：根据平行线的性质，以及余弦定理求，再分别求和的面积，即可求解；方法二：同样先求，再求梯形的高，即可求解. 【详解】（1） 解法一：在中，， 由， 即，整理得， 得或（舍） 又， 由，即 解得． 解法二：在，由， 得， 故， （2）方法一：因为，所以， 在中，由余弦定理，得， 故， 在中，由， 即，整理得， 解得（舍去）或， 在中， 由可得，， 故四边形的面积为． 方法二：因为，所以， 由（1）可得， 在中，由， 即，整理得， 解得（舍去）或， 在中，边上的高为， 故四边形的面积为． 2．（2025·云南昭通·一模）在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，． (1)若，求的面积； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解； （2）先利用正弦定理化边为角，再结合求出，进而可求出，再利用正弦定理求出即可得解. 【详解】（1）由余弦定理得， 则 解得，则， 则； （2），由正弦定理得， 又， 解得， ，∴， 故或，则或， 由正弦定理得： 若，则， 故的周长为； 若，则， 故的周长为， 综上所述，的周长为或. 3．（2025·江西萍乡·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求C； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】先利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，求出角；再根据余弦定理和基本不等式求出ab的最大值，进而求出三角形面积的最大值. 【详解】（1）由及正弦定理，得， 因为，所以.又（若， 则，所以， 这与矛盾，所以假设不成立， 从而），所以，即. （2）由余弦定理，得， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 则，即的面积的最大值为. 4．（2025·江西·一模）设向量，，． (1)求的单调递减区间； (2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简求得，再利用正弦型函数的性质求递减区间； （2）由得，结合正弦定理可得，结合余弦定理有，联立求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】（1）由题意得 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）因为为锐角三角形，由得， 由可得， 所以，故， 在中，由正弦定理得，所以， 所以①， 由余弦定理得，得②， 由①②解得， 所以的面积为. 5．（2025·广东湛江·一模）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，D为边上的点，且平分． (1)求的大小； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)15 【分析】由正弦定理得，进而可得，根据辅助角公式可得的大小. 由题意可得，从而可得，由余弦定理求得，即可求的周长. 【详解】（1）由正弦定理得． 又因为，所以， 所以， 或，， 或， 又，∴． （2）平分 ， ， 所以， 所以， 即．①     由余弦定理得， 即．②   将①代入②得， 所以，（舍去）， 所以的周长为． ( 题型 10 )解三角形中的几何应用 1．（2025·云南昆明·一模）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（   ）（单位：米，） A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42 【答案】B 【分析】在中，由正弦定理求出BC，进而在中求得答案即可. 【详解】由题意，在中，， 由正弦定理可知. 在中，易知， 于是. 故选：B. 2．（2025·山西临汾·一模）的内角，，的对边分别为，，，且，.若点与点在两侧，，且，，，四点共圆，则四边形的面积为 . 【答案】 【分析】先利用正弦定理对题设条件进行边角互化可解得，由，且，，，四点共圆，可知四边形为等腰梯形，圆心为 中点，由计算即可得出结论. 【详解】根据题意，， 所以， 由正弦定理可得：， 所以, 又因为，， 所以，即，解得； 因为，，则,且，，，四点共圆， 根据圆内接四边形对角互补，可知 ， 设DC的终点为O，连接，则为等边三角形， 则, 所以中点即为圆心，，四边形为等腰梯形，如图所示： 则也为等边三角形，所以 在 中，由余弦定理得， 即，解得， 所以. 故答案为： 3．（2025·江西·一模）如图，在中，的平分线与AB交于点，. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理结合二倍角的余弦公式求解余弦值即可. （2）利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系求出，再依据求出的长度，再利用余弦定理求出，最后用正弦定理求解结果即可. 【详解】（1）如图，在中，由题意得， 设，则，， 则由余弦定理得， 因为是的平分线，所以，， 由二倍角公式得. （2）由（1）知，易得， 所以， 由余弦定理得， 结合诱导公式得， 在中，由正弦定理得， 因为，所以，， 由余弦定理得， 因为，所以，由正弦定理得. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$