专题05 平面解析几何-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（新高考通用）

专题05 平面解析几何 题型概览 题型01直线与圆及圆与圆的位置关系 题型02轨迹方程与标准方程 题型03圆锥曲线的几何性质 题型04圆锥曲线的弦长与周长问题 题型05圆锥曲线的离心率问题 题型06圆锥曲线的定直线问题 题型07圆锥曲线的定点定值问题 题型08圆锥曲线的面积定值与范围问题 题型09圆锥曲线综合求范围与最值问题 ( 题型0 1 )直线与圆及圆与圆的位置关系 1．（2025·山东泰安·一模）已知直线与圆交于两点，若成等差数列，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西萍乡·一模）已知直线的斜率为，则的最大值为 . 3．（2025·黑龙江·一模）已知曲线为上一点，则以下说法正确的有（    ） A．存在点，使得 B．的取值范围为 C．若的值与无关，且，则取值范围为 D．若的值与无关，则其最小值为． 4．（2025·江西上饶·一模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使圆关于直线对称 B．直线过定点 C．对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点 D．当时，直线被圆所截弦长为2 5．（2025·广西·一模）已知直线与椭圆交于、两点，为坐标原点． (1)证明：； (2)已知，证明：点到直线的距离为定值． 6．（2025·广东江门·一模）已知曲线，则（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线围成图形的面积为 C．曲线上的点到点的距离最大值为 D．若点是曲线上的点，则的最大值为1 7．（2025·山东临沂·一模）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·江西·一模）已知点，直线：与抛物线：交于，两点，且，则直线的斜率之和为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·山东临沂·一模）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 10．（2025·安徽·一模）已知是直线的一个方向向量，若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． ( 题型0 2 )轨迹方程与标准方程 1．（2025·山东烟台·一模）在平面直角坐标系中，已知动点到点与到轴的距离之积为常数，设点的轨迹在轴右侧的部分为曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线关于直线对称 B．若，则曲线与直线有三个公共点 C．当时，曲线上的点到点距离的最小值为 D．无论为何值，曲线均为一条连续曲线 2．（2025·江西萍乡·一模）已知曲线，则（    ） A．不是封闭图形 B．有4条对称轴 C．与坐标轴有4个交点 D．与直线有4个交点 3．（2025·安徽·一模）已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 4．（2025·辽宁·一模）在棱长为1的正方体中，为平面内一点（含边界），为平面内一点（含边界），则下列结论正确的是（    ） A．若，则点轨迹为圆的一部分 B．若，则点轨迹为椭圆的一部分 C．若点到与到的距离相等，则点轨迹为抛物线的一部分 D．若点到的距离为1，则点轨迹为双曲线的一部分 5．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）点为直线上的动点，为坐标原点，过点作直线垂直于轴，过点作直线的垂线交直线于点. (1)求点的轨迹方程； (2)记点轨迹为曲线，上一定点，过作两不同直线分别交于两点， ①直线的斜率满足，且直线过点，求定点坐标； ②若点，且直线的斜率满足，设的外接圆为圆，过点作曲线的切线，判断直线与圆位置关系，并说明理由. ( 题型0 3 )圆锥曲线的几何性质 1．（2025·山东青岛·一模）抛物线的焦点为，直线过且与交于两点，为坐标原点，点为上一点，且，则（    ） A．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有条 B．当的面积为时， C．为直角三角形 D．的最小值为 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 3．（2025·天津武清·一模）已知椭圆 过点 分别为椭圆的左右焦点且 (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆交于两点(在的左侧)，都是圆的切线且若存在，求出圆的方程：若不存在，请说明理由. 4．（2025·广东深圳·一模）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 5．（2025·广东深圳·一模）已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ． ( 题型0 4 )圆锥曲线的弦长与周长问题 1．（2025·广东·一模）设曲线，抛物线，记抛物线的焦点为，，为分别为曲线，上的动点，为曲线的切线，则（    ） A．若与无公共点，则 B．若过点，则被截得的弦长为 C．当时， D．当时， 2．（2025·福建泉州·一模）已知拋物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与和轴都相切，则该圆被轴截得的弦长等于（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2025·山东菏泽·一模）已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（） A．曲线C关于直线对称 B．， C．曲线C被直线截得的弦长为 D．曲线C上任意两点距离的最大值为 4．（2025·江苏南通·一模）若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西渭南·一模）已知椭圆的方程为，则（   ） A．椭圆关于轴对称 B．直线被椭圆截得弦长为 C．椭圆的长轴长为 D．椭圆的离心率为 6．（2025·山东淄博·一模）已知双曲线，离心率，点在双曲线上 (1)求双曲线的标准方程； (2)点分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为12，求直线的方程． 7．（2025·吉林延边·一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为 . 8．（2025·云南昭通·一模）已知，，，动点满足MA与MB的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的轨迹方程为（） B．的最大值为3 C．的最小值为 D．过点的直线垂直AC交曲线于，，则的周长为8 9．（2025·山西吕梁·一模）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ） A． B． C．13 D．15 10．（2025·甘肃兰州·一模）已知曲线，则以下说法正确的是（    ） A．点在曲线内部 B．曲线关于原点对称 C．曲线与坐标轴围成的面积为 D．曲线的周长是 ( 题型0 5 )圆锥曲线的离心率问题 1．（2025·云南曲靖·一模）若双曲线的焦距为4，实轴长为2，则其离心率为（   ） A．2 B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山西临汾·一模）已知双曲线的左、右两个焦点为，，若是双曲线左支上的一点，且，则此双曲线离心率的最大值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025·山西·一模）已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）关于双曲线，下列说法正确的有（    ） A．实轴长为16 B．焦点坐标为， C．离心率为 D．渐近线方程为 6．（2025·广东深圳·一模）椭圆的左顶点为，点均在上，且关于原点对称，若直线的斜率之积为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知椭圆：的左焦点为，过点且倾斜角为的直线交轴于点，交椭圆于，两点（点在点左侧），，则椭圆的离心率为 . 8．（2025·广东江门·一模）已知是第三象限角，则曲线的离心率的取值范围为 ．（用区间表示） 9．（2025·湖南岳阳·一模）已知椭圆分别为椭圆的左右焦点，离心率为，点为直线上的一点.当的外接圆周长取最小值时，该圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 10．（2025·山东聊城·一模）设是椭圆的左焦点，，是上的任意两点，周长的取值范围为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． ( 题型0 6 )圆锥曲线的定直线问题 1．（2025·山东济宁·一模）已知椭圆的离心率为分别为的左．右顶点，为的上顶点，且． (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为0的直线交于两点，设直线与交于点． ①证明：点在定直线上； ②求的最大值． 2．（2025·贵州毕节·一模）设，两点的坐标分别为，．直线，相交于点P，且它们的斜率之积为4．记点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)数列，是正项数列，且数列是公差为4的等差数列，点在曲线C上，求证：； (3)过点的直线l交曲线C于A，B两点（A，B两点在y轴右侧），在线段AB上取异于A，B的点D，且满足，证明：点D在定直线上． 3．（2025·陕西西安·一模）已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. (1)若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； (2)当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； (3)已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. ( 题型0 7 )圆锥曲线的定点定值问题 1．（2025·辽宁·一模）已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量. (1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标； (2)已知曲线的方程为，点是曲线上任意一点. （i）是否存在定点，使得为定值？若存在，求出这个定值及两定点坐标；若不存在，请说明理由； （ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值. 2．（2025·浙江·一模）已知椭圆：，直线l：.，是椭圆的左、右顶点，，是椭圆的左、右焦点，过直线l上任意一点P作椭圆的切线PM，PN，切点分别为M，N，椭圆上任意一点Q（异于，）处的切线分别交，处的切线于点，，则（   ） A．直线MN过定点 B．，，，四点共圆 C．当时，是线段MN的三等分点 D．的最大值为9 3．（2025·广东汕头·一模）已知的三个顶点都在抛物线上，其中． (1)当是直角三角形且时，证明直线过定点； (2)设直线过点，是否有在以弦为底边的等腰？若存在，这样的三角形有几个？若不存在，请说明理由． 4．（2025·山西·一模）已知双曲线E：的左，右顶点分别为，，，双曲线E渐近线的方程为，过作斜率非零的直线l交E于，直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的斜率分别为，，求证为定值； (3)在x轴上是否存在定点，使得定点恰好在以为直径的圆上，若存在，求出T的坐标；若不存在，说明理由． 5．（2025·山东聊城·一模）设动直线与抛物线相交于，两点，分别过，作的切线，设两切线相交于点，则（   ） A．直线经过一定点 B．抛物线的焦点为 C．点到坐标原点的距离不小于 D．的面积的最小值为 6．（2025·重庆·一模）椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为5 . (1)求椭圆的方程; (2)若直线与椭圆相交于（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的左顶点，求证:直线过定点，并求出该定点的坐标. 7．（2025·山西吕梁·一模）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. ( 题型0 8 )圆锥曲线的面积定值与范围问题 1．（2025·山东泰安·一模）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 2．（2025·江西南昌·一模）已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． (1)求椭圆方程； (2)设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； (3)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 3．（2025·重庆·一模）已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 4．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线的焦点为F，准线为过F的直线交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，若，则的面积是面积的 倍. 5．（2025·山东·一模）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上，过的左焦点的直线与的左支相交于两点，且分别交的两条渐近线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若是坐标原点，，求的面积． ( 题型0 9 )圆锥曲线综合求范围与最值问题 1．（2025·广东湛江·一模）已知，，点P满足，当取到最大值时，的面积为（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·四川巴中·一模）已知双曲线：与曲线：有4个交点A，B，C，按逆时针排列 (1)若方程有4个实数根，，，证明： (2)设O为坐标原点，证明：为定值； (3)求四边形ABCD面积的最大值． 3．（2025·安徽滁州·一模）已知椭圆的焦距为2，且经过点，M为C的右顶点，过点P的直线l与C交于点异于点 (1)求C的标准方程; (2)求面积的最大值. 4．（2025·江西上饶·一模）已知点是直线上的动点，为坐标原点，过点作轴的垂线，过点作直线的垂线交直线于点，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)过曲线上一点的直线分别交于两点（异于点），设的斜率分别为． （Ⅰ）若，求证：直线过定点； （Ⅱ）若，且的纵坐标均不大于0，求的面积的最大值． 5．（2025·山东临沂·一模）已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的方程； (3)若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面解析几何 题型概览 题型01直线与圆及圆与圆的位置关系 题型02轨迹方程与标准方程 题型03圆锥曲线的几何性质 题型04圆锥曲线的弦长与周长问题 题型05圆锥曲线的离心率问题 题型06圆锥曲线的定直线问题 题型07圆锥曲线的定点定值问题 题型08圆锥曲线的面积定值与范围问题 题型09圆锥曲线综合求范围与最值问题 ( 题型0 1 )直线与圆及圆与圆的位置关系 1．（2025·山东泰安·一模）已知直线与圆交于两点，若成等差数列，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设数列公差为d，结合等差数列通项公式分析可知直线过定点，再根据圆的性质可知当时，弦长最小，此时最小，进而运算求解. 【详解】      由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为成等差数列，所以设， 则可化为， 即， 令，可知直线过定点， 且，所以在圆C内部， 当时，弦长最短，此时最小， 又，所以， 所以， 又，所以， 故选:C 2．（2025·江西萍乡·一模）已知直线的斜率为，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【分析】先求出直线的斜率，化简可得，再利用基本不等式即可求得的最大值. 【详解】， 当且仅当时取等号，所以k的最大值为. 故答案为：. 3．（2025·黑龙江·一模）已知曲线为上一点，则以下说法正确的有（    ） A．存在点，使得 B．的取值范围为 C．若的值与无关，且，则取值范围为 D．若的值与无关，则其最小值为． 【答案】BCD 【分析】首先对曲线进行化简，分类讨论点的位置判断A，利用点到直线的距离公式结合余弦函数的性质判断B，利用平行线间的距离公式结合直线与椭圆的位置关系判断C，D即可. 【详解】我们首先对曲线的方程化简，得到， 对于A，若点在曲线上时， 有，此时，不可能有； 当点在曲线上时，曲线的渐近线方程， 当点在上时，曲线的渐近线方程， 如图，因为直线与渐近线方程平行， 则不存在点，使得，故A错误； 对于B，因为可看作到 直线的距离的倍， 因为直线与平行， 且之间的距离为1，故， 由图可知，当点在曲线上时， 点到直线的距离有最大值， 设， 点到直线的距离为， 结合余弦函数有界性可得， 当且仅当等号成立，即， 则的取值范围为，故B正确． 对于C，设 由 得表示点到直线和的距离之和的倍， 的值与无关，则该曲线在两平行线和之间， 当与曲线椭圆部分相切时， 联立得，且，解得或， 所以的范围为，故C正确； 对于D，当为渐近线为 与曲线椭圆部分相切的直线时， 的值最小， 由平行线间距离公式得与的距离， 则， 且，故D正确． 故选：BCD 4．（2025·江西上饶·一模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使圆关于直线对称 B．直线过定点 C．对任意实数，直线与圆有两个不同的公共点 D．当时，直线被圆所截弦长为2 【答案】BCD 【分析】根据直线是否过圆心判断A的真假；把点代入方程判断B的真假；根据B的结论可判断C的真假；利用几何法求弦长可判断D的真假. 【详解】对A：因为圆的圆心为，因为，所以不存在，使得直线经过圆心，即不存在实数，使圆关于直线对称.故A错误； 对B：因为恒成立，所以直线过定点，故B正确； 对C：因为，所以点在圆：内部，又直线过定点，所以直线与圆必有两个不同的公共点，故C正确； 对D：当时，直线：即. 圆心到直线的距离为：，所以弦长为：，故D正确. 故选：BCD 5．（2025·广西·一模）已知直线与椭圆交于、两点，为坐标原点． (1)证明：； (2)已知，证明：点到直线的距离为定值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，利用判别式列出不等式推理即得. （2）利用韦达定理，结合数量积的坐标表示及点到直线距离公式推理即得. 【详解】（1）由消去，得，由直线与椭圆交于两点， 得， 所以. （2）设，由（1）知，， ，由，得， 整理得，因此点到直线的距离为定值， 所以点到直线的距离为定值． 6．（2025·广东江门·一模）已知曲线，则（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线围成图形的面积为 C．曲线上的点到点的距离最大值为 D．若点是曲线上的点，则的最大值为1 【答案】AD 【分析】用换判断A；确定曲线对应的图形，结合圆的相关知识求解判断BCD. 【详解】对于A，令是曲线上的任意一点，即， 则成立，即点在曲线上，因此曲线关于轴对称，A正确； 当时，，即，是以为圆心， 2为半径的圆在直线及上方的半圆，当时，， 即，是以为圆心，为半径的圆在直线及下方部分， 对于B，曲线在直线及上方的半圆面积为，B错误； 对于C，曲线在直线及下方部分上的点与点的距离最大值为 ，C错误； 对于D，表示曲线上的点与点确定直线斜率的， 观察图形知，当过点的直线与曲线在轴下方部分相切时，直线斜率最大， 设此切线方程为，则，解得，所以的最大值为1，D正确. 故选：AD 7．（2025·山东临沂·一模）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把直线方程化为斜截式，根据直线方向公式进行判断即可. 【详解】，所以该直线的一个方向向量为， 因为，所以向量与向量是共线向量， 其他选项的向量与向量不是共线向量， 故选：B 8．（2025·江西·一模）已知点，直线：与抛物线：交于，两点，且，则直线的斜率之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由弦长公式求得，再结合斜率公式及韦达定理代入即可求解； 【详解】由题意知直线过的焦点，将与联立， 得，所以，，， 由抛物线定义可得. 又，解得，直线的斜率为， 直线DA与DB的斜率之和为， 所以直线的斜率之和为. 故选：B. 9．（2025·山东临沂·一模）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出圆心距即可判断. 【详解】圆的圆心，半径， 圆，即，圆心，半径， 则，所以两圆外切. 故选：C. 10．（2025·安徽·一模）已知是直线的一个方向向量，若，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先由直线方向向量定义结合直线方程求出直线的一个方向向量，再利用向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 所以若，则，解得. 故选：A. ( 题型0 2 )轨迹方程与标准方程 1．（2025·山东烟台·一模）在平面直角坐标系中，已知动点到点与到轴的距离之积为常数，设点的轨迹在轴右侧的部分为曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线关于直线对称 B．若，则曲线与直线有三个公共点 C．当时，曲线上的点到点距离的最小值为 D．无论为何值，曲线均为一条连续曲线 【答案】AC 【分析】根据和都符合，即可判断选项A，把代入轨迹方程，分类求解即可判断选项B，结合B选项做法，即可判断选项C，分析轨迹方程两侧函数式，即可判断选项D. 【详解】设动点，则其到的距离为， 动点到轴的距离为， 则， 即， 因为点也符合上式， 所以选项A正确； 若，则把代入上式， 得方程， 当时，， 方程为，解得或（舍去）， 即得对应点， 当时，方程为， 解得，即得对应点，所以B错误； 当时，的轨迹方程为， 令曲线上的点到点距离为， 则，， 因为是对称轴，所以代入轨迹方程得， 当时，方程为，解得， 当时，方程为，则无解， 将代入方程得， 则点到的距离最小，且为，C正确； 因为轨迹方程为，， 不妨取，，此时， 当时，方程为，解得（负值舍去）， 当时，方程为，解得或， 取，，则，无解，即直线与曲线无交点， 但在直线两侧均有点在曲线上，此时曲线的曲线不连续，D错误. 故选：AC 2．（2025·江西萍乡·一模）已知曲线，则（    ） A．不是封闭图形 B．有4条对称轴 C．与坐标轴有4个交点 D．与直线有4个交点 【答案】ACD 【分析】根据曲线化简得出单位圆及双曲线判断A，根据图象特征得出对称轴判断B，根据曲线与坐标轴交点判断C，结合双曲线特征判断交点个数判断D. 【详解】对于A，因为， 所以或， 所以E是由单位圆M和实轴长为2，焦点为的等轴双曲线构成，故A正确； 对于B，由A项分析知，E只关于轴，轴对称，所以E只有两条对称轴，故B错误； 对于C，由A项分析可知，曲线E与坐标轴的交点为，故C正确； 对于D，因为C的一条渐近线方程为且， 根据双曲线的性质可知，直线与双曲线有2个交点， 又直线与圆M有2个交点，故直线与有4个交点，故D正确. 故选：ACD. 3．（2025·安徽·一模）已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②的取值范围为. 【分析】（1）由双曲线定义即可求解； （2）①由切线方程和导数几何意义依次求出和即可得证； ②求出直线的方程，与曲线联立，利用判别式结合焦半径公式即可求解. 【详解】（1）设， 则即 ， 所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且 所以动点的轨迹方程为. （2）①证明：由（1）曲线:,，设， 对函数求导得， 所以两切线方程为：，即， 又切线过点P，所以， 即满足，即满足方程， 所以， 设， 则由， 所以，即三点在直线上，即三点共线； ②由上得，所以直线的方程为即， 联立， 因为直线与有两个交点，则由题意可知方程有两个不等负根， 所以， 所以. 所以的取值范围为. 4．（2025·辽宁·一模）在棱长为1的正方体中，为平面内一点（含边界），为平面内一点（含边界），则下列结论正确的是（    ） A．若，则点轨迹为圆的一部分 B．若，则点轨迹为椭圆的一部分 C．若点到与到的距离相等，则点轨迹为抛物线的一部分 D．若点到的距离为1，则点轨迹为双曲线的一部分 【答案】AC 【分析】根据各个选项的条件，结合圆，椭圆，抛物线，双曲线的定义逐一分析判断即可. 【详解】对于A，若， 则点轨迹为平面内以为圆心，以1为半径的圆，故A项正确； 对于B，若， 则点为平面与以为轴、为底面半径的圆锥面的公共点， 轨迹为双曲线的一部分，故B项错误； 对于C，设与交于点，点到的距离等于， 若点到与到的距离相等，即点到点的距离与到的距离相等， 则轨迹为抛物线的一部分，故C项正确； 对于D，若点到的距离为1， 则点为平面与以为轴、为底面半径的圆柱面的公共点， 轨迹为椭圆的一部分，故D项错误． 故选：AC． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）点为直线上的动点，为坐标原点，过点作直线垂直于轴，过点作直线的垂线交直线于点. (1)求点的轨迹方程； (2)记点轨迹为曲线，上一定点，过作两不同直线分别交于两点， ①直线的斜率满足，且直线过点，求定点坐标； ②若点，且直线的斜率满足，设的外接圆为圆，过点作曲线的切线，判断直线与圆位置关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)①；②直线与圆相切，理由见解析 【分析】（1）设，可得直线和直线的方程，分和两种情况求解即可； （2）①设，，，直线：，联立方程由韦达定理即可求解；②设直线：，直线：与抛物线方程联立结合韦达定理可得，联立中垂线和中垂线即可证明. 【详解】（1）设，则直线：，直线：， 时，直线：，点的轨迹为， 时，， 综上，点的轨迹方程； （2）    ①设，，， 由已知直线的斜率存在， 所以设直线：， 联立方程得， 所以，由题意得， 所以，解得，所以； ②   当时，由可得，求导可得， 当时，，所以切线的斜率为，所以直线：， 设直线：，联立抛物线方程得， ，， 可得，所以， 中垂线：， 同理，中垂线：， 联立可得，， ，即直线与圆相切. ( 题型0 3 )圆锥曲线的几何性质 1．（2025·山东青岛·一模）抛物线的焦点为，直线过且与交于两点，为坐标原点，点为上一点，且，则（    ） A．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有条 B．当的面积为时， C．为直角三角形 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】由可得抛物线方程，对于A，注意到与抛物线线有一个公共点的直线有两类，一类是抛物线切线，另一类是与y轴垂直的直线，据此可判断选项正误；对于B，设，由的面积为，可得，由韦达定理可判断选项正误；对于C，由B，验证是否等于0可判断选项正误； 【详解】抛物线的焦点为，准线为 因点为上一点，且，由抛物线定义可得， 则抛物线方程为：. 对于A，注意到，则点M在抛物线外，如图所示，则过M点可做抛物线的两条切线，此外直线过点M，且与抛物线只有一个公共点，故过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有条，故A错误； 对于B，设直线AB方程为：，将直线AB方程与抛物线联立，可得： ，设，由韦达定理： ，由图可得， 则. 又由抛物线定义可得 ，故B正确； 对于C，可得注意到，则 ，故为钝角，则为钝角三角形，故C错误； 对于D，由B， ，则由抛物线定义： . 当且仅当，即时取等号.故D正确. 故选：BD 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线的左右焦点分别为，过且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，中点纵坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】设的方程为，联立渐近线方程求出纵坐标，根据中点坐标公式结合列方程组求解可得. 【详解】易知，直线的斜率不为0，设方程为， 双曲线的渐近线方程为， 联立解得，由解得， 由题知，，即， 整理得①， 因为，记的中点为，则，， 所以，整理得②， ②代入①得，整理得③， ③代入②整理得，即， 因为，所以，所以， 又，所以，即，所以渐近线方程为. 故答案为：. 3．（2025·天津武清·一模）已知椭圆 过点 分别为椭圆的左右焦点且 (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆交于两点(在的左侧)，都是圆的切线且若存在，求出圆的方程：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据椭圆的性质和已知条件列出方程组，求解出椭圆的基本参数 、、，进而得到椭圆的标准方程； （2）利用圆和椭圆的对称性，结合向量垂直的性质求出交点坐标，再根据直线垂直的关系确定圆心坐标和半径，从而判断圆是否存在并求出圆的方程. 【详解】（1）已知椭圆过点，分别为椭圆的左、右焦点，且、距离为. 可列出方程组，即. 由，可得.将代入，得，即. 将代入，可得. 即.化为. 因为，解得（负值舍去）. 将代入，可得.因此，椭圆的标准方程为. （2）设圆心在轴上的圆与椭圆相交，，是两个交点，且，，，是圆的切线，且. 由圆和椭圆的对称性可知，，，. 由（1）知，，所以，. 因为，根据向量垂直的性质，则，即，可得. 又因为点在椭圆上，所以，将代入可得. 展开整理得，解得或. 当时，，重合，此时题设要求的圆不存在. 当时，. 过，分别与，垂直的直线的交点即为圆，设. 因为，可得，即. 化简得，解得. 则圆的半径. 所以圆的方程为. 4．（2025·广东深圳·一模）已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)试探究：抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，和 【分析】（1）由在抛物线上，代入求出，即可求出抛物线的方程； （2）设，求出直线并与抛物线的方程联立，求出点坐标，将转化为，求出并检查是否符合题意即可. 【详解】（1）由在抛物线上，则，解得， 因此可得抛物线的方程为. （2） 存在点在抛物线上， 设点， 由直线的斜率为，且过， 则直线的方程为：，即， 联立，可得，解得，或， 即可得点的纵坐标为，代入，得，即， 若，则，即， 又， 则可得， 整理得，，解得，或，或，或， 当时，与重合，舍去， 当时，与重合，舍去， 当时，， 当时，， 综上知，抛物线上存在点，为和时，. 5．（2025·广东深圳·一模）已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】由，，可得为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义即可求解周长. 【详解】因为，， 所以直线为， 设， 由，得， 则， 所以， 因为，， 所以， 所以 故答案为：12 ( 题型0 4 )圆锥曲线的弦长与周长问题 1．（2025·广东·一模）设曲线，抛物线，记抛物线的焦点为，，为分别为曲线，上的动点，为曲线的切线，则（    ） A．若与无公共点，则 B．若过点，则被截得的弦长为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】选项A将与无公共点转化为无零点，由导数求最小值大于0即得；选项B先求切线方程为，联立，利用韦达定理和弦长公式即可求得；选项C利用导数求得的最小值小于，进而可得；选项D根据的切线方程和抛物线的切线方程为，进而可得. 【详解】选项A：联立得，设， 由题意可知无零点，， 故当时，，当时，， 故，由题意，得，故A正确； 选项B：由题意，由得， 设与曲线的切点为，则切线方程为， 因过点，故，解得， 所以的方程为，即， 与联立得， 设与的交点坐标为， 则，故，故B错误； 选项C：当时，，因在曲线上， 可设为，则， 设，， 设，则， 故在上单调递增，又，， 故，使得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，又，故，故C错误； 选项D：当时，在处的切线方程为， 将代入得， 而曲线在处的切线方程为， 要使得两曲线上得点M，Q之间距离最小，当时，， ，则，两直线的距离为， 显然两切点为得连线与切线不垂直，故，故D正确. 故选：AD 2．（2025·福建泉州·一模）已知拋物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与和轴都相切，则该圆被轴截得的弦长等于（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据相切的到点然后代入抛物线方程得到，最后利用勾股定理求弦长. 【详解】拋物线的准线方程为，不妨取点在第一象限， 设以为圆心的圆的半径为， 因为以为圆心的圆与和轴都相切，所以， 将代入抛物线方程得，解得， 则到轴的距离为1，该圆被轴截得的弦长为. 故选：D. 3．（2025·山东菏泽·一模）已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（） A．曲线C关于直线对称 B．， C．曲线C被直线截得的弦长为 D．曲线C上任意两点距离的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据对称的理解，进行运算即可判断A；对于B，通过分析方程的特征可求出的范围；对于C，求出直线和曲线的交点，用两点间的距离公式即可求解；对于D，对方程进行变形可知曲线C为椭圆，结合椭圆的形状判断即可. 【详解】选项A：将方程中的和互换，得到，与原方程一致，因此曲线关于直线对称，A正确； 选项：通过分析方程，设固定，解关于的二次方程，判别式要求， 得，即，超出，同理的范围也超过，B错误； 选项C：将直线代入曲线方程，解得交点为和， 故弦长为，C正确； 选项D：则即 又，即， 则 同理可得：， 则曲线的上任一点到的距离之和为： 曲线表示以为焦点且的椭圆，则， 则线段的最大值为正确； 故选：ACD 4．（2025·江苏南通·一模）若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出准线的方程，进而可求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得结果. 【详解】抛物线的准线方程为， 圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为， 所以，截圆所得的弦长为， 故选：A. 5．（2025·陕西渭南·一模）已知椭圆的方程为，则（   ） A．椭圆关于轴对称 B．直线被椭圆截得弦长为 C．椭圆的长轴长为 D．椭圆的离心率为 【答案】BCD 【分析】利用曲线的对称性可判断A选项；将直线方程与椭圆方程联立，结合弦长公式可判断B选项；求出椭圆的对称轴方程，将对称轴方程与椭圆方程联立，求出、的值，可判断C选项；利用椭圆的离心率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，在椭圆上任取一点，则， 则点关于轴的对称点为，因为不恒成立， 故椭圆不关于轴对称，A错； 对于B选项，设直线交椭圆于点、， 联立得，解得，， 因此，直线被椭圆截得弦长为，B对； 对于C选项，在椭圆上任取一点，则， 点关于直线的对称点， 因为，即椭圆关于直线对称， 同理可知，椭圆关于直线对称， 联立可得或， 所以直线截椭圆所得弦长为， 联立解得或， 所以，直线截椭圆所得弦长为， 因为，所以， 所以椭圆的长轴长为，C对； 对于D选项，由C选项可知，，， 所以，椭圆的离心率为，D对. 故选：BCD. 6．（2025·山东淄博·一模）已知双曲线，离心率，点在双曲线上 (1)求双曲线的标准方程； (2)点分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为12，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得：，，解方程求出，即可得出答案； （2）由题意可得，设，与双曲线联立，得出韦达定理，利用弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得，则，即， 又因为点在双曲线上，所以， 解得：，所以双曲线的标准方程为：. （2）因为的周长为12，所以①， 由双曲线的定义可得：， 所以②， 所以由①②可得：， 由（1）知，，所以， 因为直线的斜率不为，所以设， 则联立直线与双曲线可得， 当，即，直线与双曲线只有一个交点，不合题意，所以， ， 所以， 所以， 解得：（舍去）或，所以， 直线的方程为：，即. 7．（2025·吉林延边·一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由已知可得，再由的周长为10，可得，求出，从而可求出离心率. 【详解】由椭圆方程可得，得， 因为是上一点，所以， 因为的周长为10， 所以，得， 所以的离心率为. 故答案为： 8．（2025·云南昭通·一模）已知，，，动点满足MA与MB的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的轨迹方程为（） B．的最大值为3 C．的最小值为 D．过点的直线垂直AC交曲线于，，则的周长为8 【答案】ABD 【分析】设，根据题意列出方程即可判断A；根据椭圆得范围结合两点间得距离公式即可判断B；分直线斜率是否存在两种情况讨论，设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再利用弦长公式求出的表达式即可判断C；易得为椭圆的上，下焦点，再根据椭圆的定义即可判断D. 【详解】对于A：设， 则，整理得， 所以的轨迹方程为（），故A正确； 对于B： ， 故， 故当时，，故B正确； 对于C：当直线的斜率不存在时，， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 联立，消得， 则， 所以 ， 当且仅当取等号， 综上所述，的最小值为3，故C错误； 对于D：在中，，则， 故为正三角形，则垂直平分，则， 由题意为椭圆的上，下焦点， 则的周长为 ，故D正确. 故选：ABD. 9．（2025·山西吕梁·一模）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ） A． B． C．13 D．15 【答案】D 【分析】求出点的坐标，利用抛物线的光学性质，结合三点共线求出点的坐标即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，由轴，点，得， 由抛物线的光学性质，得点共线，设，则， 解得，点，于是，，， 所以的周长为. 故选：D 10．（2025·甘肃兰州·一模）已知曲线，则以下说法正确的是（    ） A．点在曲线内部 B．曲线关于原点对称 C．曲线与坐标轴围成的面积为 D．曲线的周长是 【答案】BC 【分析】选项A，结合图象，当时，或，可判断；选项B，将换成，将换成，方程不变，可得；选项C，结合方程的对称性，在第一象限时，图象为圆的一部分，根据圆的方程可得其在第一象限与坐标轴围成的面积，进而可得；选项D，同C结合方程的对称性，求在第一象限部分的长度即得. 【详解】 选项A：当时，得，即， 因，故，故或， 因，故点在曲线外部，故A错误； 选项B：将换成，将换成，方程不变， 故曲线关于原点对称，故B正确； 选项C：将将换成，方程不变，故曲线关于轴对称， 设曲线在第一象限与坐标轴围成的面积为， 则曲线与坐标轴围成的面积为， 当时，方程，即， 其圆心坐标为，半径为，如图， 当时，得或，故弦长， 由，故， 则，故，故C正确； 选项D：由题意可知曲线的周长为，故D错误， 故选：BC ( 题型0 5 )圆锥曲线的离心率问题 1．（2025·云南曲靖·一模）若双曲线的焦距为4，实轴长为2，则其离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的几何性质求出得解. 【详解】由题可得，，， 所以双曲线的离心率为. 故选：A. 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑只需点位于长轴端点时，，可得，然后可解. 【详解】由对称性可知，， 因为，， 所以当点位于长轴端点时最小， 由题可知，在椭圆上存在一点，使得， 只需当点位于长轴端点时，，即，故， 又，所以椭圆离心率的取值范围为. 故选：B    3．（2025·山西临汾·一模）已知双曲线的左、右两个焦点为，，若是双曲线左支上的一点，且，则此双曲线离心率的最大值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设，根据双曲线的定义以及性质可得，再利用离心率的式子即可求解． 【详解】作图，设， 则有 解得，因为是双曲线左支上的一点， 所以， 即，解得， 故选：． 4．（2025·山西·一模）已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点P满足，求出点P的轨迹方程，再与椭圆方程联立解方程组，结合有3个点列出不等式求出离心率范围. 【详解】设，由，得，化简得， 即点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，则该圆与椭圆有3个交点， 由消去得，即， 显然是方程的一个解，点是圆与椭圆的1个公共点，因此必为方程的另一个解， 则，解得，所以椭圆C的离心率. 故选：C 5．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）关于双曲线，下列说法正确的有（    ） A．实轴长为16 B．焦点坐标为， C．离心率为 D．渐近线方程为 【答案】ABC 【分析】将双曲线方程化为标准形式，求解长轴判断A，求解焦点坐标判断B，求解离心率判断C，求解渐近线方程判断D即可. 【详解】因为，所以， 则，化简得，则， 对于A，则实轴长为，故A正确， 对于B，焦点坐标为，，故B正确， 对于C，离心率为，故C正确， 对于D，渐近线方程为，故D错误. 故选：ABC 6．（2025·广东深圳·一模）椭圆的左顶点为，点均在上，且关于原点对称，若直线的斜率之积为，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据题设得到，再结合，得到，即可求解. 【详解】设，则，， 由题有，即，又，则， 所以，得到，所以的离心率为， 故选：A. 7．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知椭圆：的左焦点为，过点且倾斜角为的直线交轴于点，交椭圆于，两点（点在点左侧），，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设直线为，求得纵坐标，由求得的坐标，代入椭圆方程即可求解. 【详解】由题设，令直线为， 易得 因为 可得，又， 可得：，再结合， 可得 代入椭圆方程，又， 所以 化简可得：，因为， 易知 所以，即 所以 故答案为：. 8．（2025·广东江门·一模）已知是第三象限角，则曲线的离心率的取值范围为 ．（用区间表示） 【答案】 【分析】分析可得，分析可知，曲线为双曲线，利用双曲线离心率公式可求得双曲线离心率的取值范围. 【详解】因为是第三象限角，则， 曲线的方程可化为，曲线为双曲线，且，， 所以，双曲线的离心率为. 故答案为：. 9．（2025·湖南岳阳·一模）已知椭圆分别为椭圆的左右焦点，离心率为，点为直线上的一点.当的外接圆周长取最小值时，该圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先由几何关系确定当外接圆的半径为时，周长取最小值，再由离心率及焦点坐标得出，即可得出半径. 【详解】    设的外接圆的圆心为，则在的垂直平分线上 又在上，在轴上 ，即当的外接圆的半径为时，周长取最小值， 由题意可知，，即，所以该圆的半径为4. 故选：C. 10．（2025·山东聊城·一模）设是椭圆的左焦点，，是上的任意两点，周长的取值范围为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义，结合三角形的三边关系以及共线关系可得周长范围，再与给定范围比对即可得解. 【详解】令椭圆右焦点为，， 周长，当且仅当共线时取等号，则，即， 又，因此， 则，解得，所以C的离心率为. 故选：A. ( 题型0 6 )圆锥曲线的定直线问题 1．（2025·山东济宁·一模）已知椭圆的离心率为分别为的左．右顶点，为的上顶点，且． (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为0的直线交于两点，设直线与交于点． ①证明：点在定直线上； ②求的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见详解；②. 【分析】（1）根据条件可求，根据离心率可求，进而可求； （2）①假设直线的方程，与椭圆联立列出韦达定理，联立直线与，将韦达定理整体代入最终可求解点的横坐标； ②设直线的倾斜角分别为，则，利用①的结论可得关于角的表达式，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 所以，即． 又，所以， 所以． 所以的方程为． （2）①由于直线过点且斜率不为0，所以可设直线的方程为． 由得， 设，则， 所以． 因为椭圆的左，右顶点分别为， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 联立直线与的方程得 , 解得，所以点在定直线上． ②设直线的倾斜角分别为，则， 由①知，所以， 所以 当且仅当时取等号，所以的最大值为． 2．（2025·贵州毕节·一模）设，两点的坐标分别为，．直线，相交于点P，且它们的斜率之积为4．记点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)数列，是正项数列，且数列是公差为4的等差数列，点在曲线C上，求证：； (3)过点的直线l交曲线C于A，B两点（A，B两点在y轴右侧），在线段AB上取异于A，B的点D，且满足，证明：点D在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，结合斜率公式求解即可； （2）易知，都在第一象限，列出等式作差得，结合，可得，设的中点为，结合双曲线的渐近线方程求证即可； （3）设出直线的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求证即可． 【详解】（1）设，由题意得， 即，化简整理得， 所以曲线C的方程为； （2）证明：由题意可知，都在第一象限， 作差化简整理得， 而，所以， 设的中点为，所以， 因为曲线C的渐近线方程为，所以， 所以； （3）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，，， 联立方程组，整理得， 则，所以，， 因为，同理由， 得化简整理得， 所以，化简整理得， 代入，化简整理得， 所以点D在定直线上. 3．（2025·陕西西安·一模）已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. (1)若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； (2)当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； (3)已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据极线及焦点坐标分别列式即可求解即得椭圆方程； （2）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个根，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程，最后得出直线方程结合极线定义证明即可； （3）利用代数法证明点在椭圆C外，则点和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.根据题意中的概念求出点对应的极线MN方程，可得该直线恒过定点，最后利用点差法求出直线的斜率，即可求解. 【详解】（1）因为极点对应的极线l为，即，所以， 因为右焦点是，所以，所以， 所以椭圆C的方程为； （2）当斜率存在时，设切线方程为， 联立椭圆方程，设切点， 可得，化简可得： ， 由题可得： 化简可得：，该方程只有一个根，记作， ，为切点的横坐标， 切点的纵坐标， 由于，则， 则切线方程为：， 化简得：． 当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程， 综上上一点,的切线方程为； 同理上一点,的切线方程为； 设，点在两个切线上，所以， 所以的直线方程为，根据极线定义直线MN为极点Q的极线； （3）由题意，设点的坐标为(,)， 因为点在直线上运动，所以， 联立，得， ，该方程无实数根， 所以直线与椭圆C相离，即点在椭圆C外，又都与椭圆C相切， 所以点和直线是椭圆C的一对极点和极线. 对于椭圆，与点对应的极线方程为， 将代入，整理得， 又因为定点T的坐标与的取值无关， 所以，解得，所以存在定点恒在直线上. 当时，T是线段的中点， 设，直线的斜率为， 则，两式相减， 整理得，即， 所以当时，直线的方程为，即. ( 题型0 7 )圆锥曲线的定点定值问题 1．（2025·辽宁·一模）已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量. (1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标； (2)已知曲线的方程为，点是曲线上任意一点. （i）是否存在定点，使得为定值？若存在，求出这个定值及两定点坐标；若不存在，请说明理由； （ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）存在，，理由见解析；（ii）. 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）（i）将曲线绕着原点沿顺时针方向旋转得到曲线，设为曲线上点旋转后的对应点，设，进而可求出的坐标，再代入曲线的方程，即可求出求出曲线的方程，进而可得出结论； （ii）根据题意问题可转化为：直线过定点与曲线交于，直线过定点与曲线交于，且，求四点构成四边形面积的最小值.分直线是否与重合讨论，当直线与重合时，设直线，联立方程，理由韦达定理求出，再根据弦长公式求出，同理求出，列出面积的表达式，进而可得出答案. 【详解】（1）因为，即， 绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点， 则，所以； （2）（i）将曲线绕着原点沿顺时针方向旋转得到曲线， 设为曲线上点旋转后的对应点， 设， 则， 又因为， 所以， 整理得， 点到点和点的距离之和为， 旋转时，曲线形状不变，所以为定值， 定点的坐标分别为； （ii）由（i）知曲线绕着原点沿顺时针方向旋转得到曲线， 定点为曲线的两个焦点，在曲线对应点和点， 在旋转过程中图形不变，问题可转化为：直线过定点与曲线交于，直线过定点与曲线交于，且，求四点构成四边形面积的最小值. 与交点满足，且在椭圆内部， 当与重合时，； 当与不重合时，设直线， 联立，整理得， 则， 所以， 同理可得， ， 当且仅当，即时取等号， 因为， 所以四点构成四边形面积的最小值为， 即四点构成的四边形面积的最小值为. 2．（2025·浙江·一模）已知椭圆：，直线l：.，是椭圆的左、右顶点，，是椭圆的左、右焦点，过直线l上任意一点P作椭圆的切线PM，PN，切点分别为M，N，椭圆上任意一点Q（异于，）处的切线分别交，处的切线于点，，则（   ） A．直线MN过定点 B．，，，四点共圆 C．当时，是线段MN的三等分点 D．的最大值为9 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的极点和极线方程可列式求出直线l关于椭圆的极点坐标，即可由此求出A、C答案。由极点和极限方程性质可表示出过Q点的切线方程，由此表示出四点坐标，通过向量法求解可得出B答案，根据圆的相交弦定理和椭圆的光学性质可知，由此可得出D答案。（椭圆极点与极线方程定义及其证明见后附。） 【详解】 对于A，根据椭圆极点、极线定义，直线l关于椭圆存在极点，即为直线MN的定点（证明后续提供）， 设极点为，则直线l的方程为，又由于直线l的方程为：， 故直线l关于椭圆的极点（定点）为，故A正确； 对于B，设，则Q点处的切线方程为，令，得，， 而，故，同理，即四点共圆，故B正确； 对于C，当时，直线MN的方程为，可以验证此时有，故C不正确； 对于D，由圆的相交弦定理和椭圆的光学性质可知， 等号在Q为短轴端点时取到，故D正确. 故选：ABD. 附注：1.定义：任取一点，它可以在圆锥曲线上，也可以在圆锥曲线外或内， 过这点作圆锥曲线的割线，产生两个交点，过这两个交点作圆锥曲线的切线， 两条切线相交于一点.随着割线绕任取之点运动，交点将描绘出一条直线. 若任取之点称为极点，则这条直线就称为极点的极线. 反之，任意作一条直线，它可以与圆锥曲线相交、相切或相离， 在直线上且位于圆锥曲线外任取一点，过这点作圆锥曲线的两条切线， 连接两个切点可得一直线.让任取之点在其所在直线上运动， 则连接两切点的直线也跟着运动，但它将绕着一个不动的点转动. 若开始时的直线称为极线，则这个不动的点就称为这条极线的极点. 2.结论：设极点坐标为，那么，不管极点在椭圆上，椭圆外还是椭圆内， 极点的极线的方程都是 证明：（1）先证明也就是求出极点在椭圆上时椭圆切线方程为. 设过点的椭圆切线方程为：， 与椭圆联立方程得： ， 因为切线方程只存在一个解，即， 化简得：，即得， 从而得出切线方程为，化简得. （2）极点在椭圆之外的情况.过极点作椭圆的两条切线，设切点分别为和. 由上面的第（1）条，直接写出两条切线的方程：和 由于极点当然在这两条切线上，所以和， 这又说明，点和的坐标都满足方程：， 所以上式就是直线AB的方程，即极点P的极线的方程. （3）极点在椭圆之内的情况.过点作轴的垂线，与椭圆交于点（另一交点同理）. 于是由第（1）条，得过点的椭圆切线方程为. 让，得切线与x轴的交点也就是切线的横截距. 同理可以得到切线与y轴的交点即切线的纵截距. 于是，由直线的截距式方程得切线方程为，即. 3．（2025·广东汕头·一模）已知的三个顶点都在抛物线上，其中． (1)当是直角三角形且时，证明直线过定点； (2)设直线过点，是否有在以弦为底边的等腰？若存在，这样的三角形有几个？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，一个 【分析】（1）设直线的方程为，、，联立抛物线的方程，根据结合抛物线方程求解即可； （2）由（1）知直线的方程为，且，，设中点坐标为，根据中点坐标公式结合由等腰三角形性质化简可得，再构造函数求导分析单调性与零点即可. 【详解】（1）设直线的方程为，、， 由得：， 所以，且，， 由即得：， 则， 所以或， 从而或， 进而或， 当时，，不合题意，所以， 故直线的方程为，过定点； （2）假设存在以弦为底边的等腰， 由（1）知直线的方程为，且，， 设中点坐标为， 则，， 由等腰三角形性质知，即（*）， 令，则， 所以在R上递增， 又，， 所以在R上有且只有一个零点，即方程（*）在R上有且只有一根， 故存在以弦为底边的等腰，且这样的三角形只有一个． 4．（2025·山西·一模）已知双曲线E：的左，右顶点分别为，，，双曲线E渐近线的方程为，过作斜率非零的直线l交E于，直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的斜率分别为，，求证为定值； (3)在x轴上是否存在定点，使得定点恰好在以为直径的圆上，若存在，求出T的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）依据题意求解出基本量，再得到标准方程即可. （2）设出交点坐标，利用韦达定理表示，，再通过运算证明定值即可. （3）将问题转化为向量数量积问题，并假设定点存在，得到，再求解方程，发现方程有解，证明存在性即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为双曲线E渐近线的方程为，所以， 解得，，则双曲线的标准方程为． （2）易知，， 如图，设，，直线l的方程为， 联立，得， 则，，，， 得到，故， . （3）由题可知：， ：，下面我们给出示意图， 联立可得：，所以， 即，同理． 假设在x轴上存在定点满足条件，则， 即， 则， 得到， ， ， 即，解得， 则在x轴上存在定点满足条件． 5．（2025·山东聊城·一模）设动直线与抛物线相交于，两点，分别过，作的切线，设两切线相交于点，则（   ） A．直线经过一定点 B．抛物线的焦点为 C．点到坐标原点的距离不小于 D．的面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据直线的定点求法计算判断A，根据焦点坐标判断B，设l的方程及A、B坐标，利用导数求抛物线切线斜率及切线方程，联立两直线可得P坐标判定C，利用点到直线的距离公式、弦长公式结合幂函数的性质、三角形面积公式可判定D. 【详解】对于A：化简为， 无论为何值时，令，可得定点为，A选项正确； 对于B：的焦点在轴且，所以，所以抛物线的焦点为，B选项错误； 对于C：设，与抛物线方程联立有， 设，，有，， 由，所以的斜率分别为， 又因为,则两切线，， 联立两直线方程解得，所以， 点到坐标原点的距离为， 当时点到坐标原点的最小距离为，所以C正确； 对于D：P到l的距离为， 所以， 当时，此时取最小值，故D正确； 故选：ACD． 6．（2025·重庆·一模）椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为5 . (1)求椭圆的方程; (2)若直线与椭圆相交于（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的左顶点，求证:直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）由左焦点到点的距离及离心率可求解； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可得和，把用和表示化简可得出答案. 【详解】（1）设左焦点， ∴，解得， ，，由， ∴椭圆方程为. （2） 由（1）可知椭圆左顶点， 设，，∵以为直径的圆过， ∴即，∴， ∵，， ∴① 联立直线与椭圆方程： ，整理得 ∴，， ∴， ，代入到① ， ∴， ∴，即， ∴或， 当时，：，∴恒过 当时，：，∴恒过，但为椭圆左顶点，不符题意，故舍去， ∴恒过. 7．（2025·山西吕梁·一模）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)； (2)证明见解析，定点为. 【分析】（1）利用椭圆所过点及焦距建立方程组求出，即可得椭圆的方程. （2）设,，当时，利用点差法求出直线的斜率，进而求得直线的方程及所过定点，再讨论的情况即可得证. 【详解】（1）由点在椭圆上，得，由椭圆的焦距为，得， 解得，所以椭圆的方程为. （2）设,，代入椭圆方程得，由题知， 当时，设,、,，显然， 由，得，即， 由为线段的中点，得，直线的斜率， 由，得直线的方程为，即， 因此直线过定点，当时，直线，此时为轴亦过点， 所以直线恒过定点. ( 题型0 8 )圆锥曲线的面积定值与范围问题 1．（2025·山东泰安·一模）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题目所给的条件，求出即可； （2）（i）设，由已知可得，根据点在椭圆上，可得，可求得最大值；（ii）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由题意可得，设直线的方程为：，联立方程组，由根与系数的关系可得，求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 椭圆方程为， （2）（i）设， 则， ， ，，， 又在椭圆上，， ，，即， ， ， ， ； （ii）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为， ，， 又， ， 由题意的斜率不为0，设直线的方程为：， 由，得， 设， 则，又， ， 即， 整理得， ，， 的方程为. 2．（2025·江西南昌·一模）已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． (1)求椭圆方程； (2)设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； (3)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意列出方程组求出得解； （2）根据三角形面积公式及面积比，利用相似转化为关于点的坐标的方程，求解即可； （3）利用直线斜率之积为常数，转化为斜率之间的关系，再由两角差的正切公式及基本不等式求解即可． 【详解】（1）由题意，，则， 椭圆方程为： （2）如图， 设，则， 对，令， 所以由相似三角形可得：， 所以， 又因为，所以，， 解得或，所以对应的分别为或， 所以或． （3）设， 则， 则． 又因为， 所以，则， 设，直线倾斜角为，直线倾斜角为， 所以， 则， 因为，所以，此时， 所以直线方程为． 3．（2025·重庆·一模）已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】由点到线的距离公式可得右焦点到渐近线的距离为，根据的面积等于，可得，再利用不等式即可求解. 【详解】    设，是渐近线上的两点，右焦点到渐近线的距离为， 所以的面积为， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：. 4．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线的焦点为F，准线为过F的直线交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，若，则的面积是面积的 倍. 【答案】 【分析】通过设直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理得到一些关系式，再结合向量关系求出相关量，进而计算三角形面积并求出它们之间的比例关系. 【详解】设直线， 代入抛物线C方程，消元可得， 设，， 则，，， 由，得，，，则， 因为， ， 所以 ， 由抛物线定义得，， 则， 得， 所以， 即， 又， 则 故答案为：. 5．（2025·山东·一模）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上，过的左焦点的直线与的左支相交于两点，且分别交的两条渐近线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若是坐标原点，，求的面积． 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）由题意可得，进而可得； （2）当时，易知，不合题意，当时，联立直线方程和渐近线方程可得，进而可得，进而由可得，进而可得. 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且点在双曲线上， 可得，解得， 所以双曲线的方程为 （2） 设， 由（1）可知双曲线C的左焦点为，渐近线方程为， 所以可设直线的方程为， 当时，易知，不合题意，故． 由，得，其中， 所以， ，解得（舍去）或， 所以，故． ( 题型0 9 )圆锥曲线综合求范围与最值问题 1．（2025·广东湛江·一模）已知，，点P满足，当取到最大值时，的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得点P轨迹方程，然后由直线与圆D相切时，最大，可得答案. 【详解】设，由得， 即，则点P轨迹为的圆心为，半径为的圆. 当直线与圆D相切时，最大，则． 又，，所以． 又，所以． 故选：D． 2．（2025·四川巴中·一模）已知双曲线：与曲线：有4个交点A，B，C，按逆时针排列 (1)若方程有4个实数根，，，证明： (2)设O为坐标原点，证明：为定值； (3)求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意得出，展开整理，对比系数即可得证； （2）由题意整理出关于x的方程，得出，，代入，即可求解； （3）按点O的位置，分O在内部和当O在外部时两个情况，根据面积关系结合基本不等式即可得证． 【详解】（1）由题意可得： ， 对比系数得：，. （2）由，得， 平方得， 将代入，化简得， 设，，，， 由（1）知，， 且，，，， 所以 （3）记，，，， 当O在内部时，设，，，， 可得 ， 当且仅当时，等号成立， 此时， 当且仅当时，等号成立， 可得， 当且仅当四边形ABCD为正方形，等号成立； 当O在外部时，设，，，， 可得 ， 当且仅当时，等号成立， 可得； 综上所述：四边形ABCD面积最大值为 3．（2025·安徽滁州·一模）已知椭圆的焦距为2，且经过点，M为C的右顶点，过点P的直线l与C交于点异于点 (1)求C的标准方程; (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，，求解即可； （2）设与直线PM平行的直线l的方程为，与椭圆方程联立，利用时，求得切线方程，进而求得椭圆上的点到直线PM的距离的最大值，进而求得面积的最大值. 【详解】（1）由题，故， 把代入椭圆方程中得到， 解得：，， 所以椭圆的标准方程为； （2）由题，直线PM的方程为， 设与直线PM平行的直线m的方程为， 当直线m与椭圆相切时，切点到直线PM距离取得最大值，Q为切点时，面积最大， 把代入椭圆方程中得：， 当直线m与椭圆相切时，距离最大， 故有，即， 所以，即， 当时，与之间的距离即为椭圆上点到直线PM距离的最大值， 此时， 所以面积最大值为 4．（2025·江西上饶·一模）已知点是直线上的动点，为坐标原点，过点作轴的垂线，过点作直线的垂线交直线于点，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)过曲线上一点的直线分别交于两点（异于点），设的斜率分别为． （Ⅰ）若，求证：直线过定点； （Ⅱ）若，且的纵坐标均不大于0，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）证明见解析，（Ⅱ）6 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解， （2）联立直线与抛物线方程可得韦达定理，进而根据斜率公式，化简即可求解（Ⅰ），根据斜率关系可得，进而根据弦长公式以及点到直线的距离得面积的表达式，即可根据导数，求解函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）设，则， 根据可得，故， （2）设直线， 联立与可得， 设, 则， 故， 将代入抛物线方程中可得， （Ⅰ）若，则， 化简可得， 故，故或， 当时，直线的方程为，故，此时直线经过点，不符合题意，故舍去， 当时，直线的方程为，故，此时直线经过点，故直线过定点； （Ⅱ）由于的纵坐标均不大于0，则， 由，则, 故， 则， 故， 则， 可得，故， 由（Ⅰ）知，故， 故，故， 故， 点到直线的距离为， 故， 记， 则， 当单调递增， 故当时，此时取最大值为9 故的面积的最大值6 5．（2025·山东临沂·一模）已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的方程； (3)若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)，或； (3) 【分析】（1）根据椭圆焦距公式。椭圆离心率公式，结合椭圆标准方程中的关系进行求解即可； （2）根据直线的斜率是否为零，结合椭圆弦长公式分类讨论进行求解即可 （3）根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式、三角形的特点、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为该椭圆的离心率为，所以， 所以椭圆的方程为； （2）当直线的斜率为零时，此时方程为，此时， 显然此时，不符合题意， 故设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 因为， 所以设，则有， 由 ， 所以直线的方程为，或； （3）由（2）可知：，所以 因此的坐标为， 设故设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 因为， 所以设，则有， ， 所以的坐标为， 因为的斜率乘积为， 所以，因此的坐标为， 显然边与横轴平行， 因此， 即 即时，取等号，即当时取等号， 所以面积的最大值. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$