专题03 导数及其应用-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（新高考通用）

专题03 导数及其应用 题型概览 题型01切线、单调性及最值问题 题型02恒成立存在问题 题型03证明不等式 题型04双变量问题 题型05函数零点问题 题型06利用导数比较大小及构造解不等式 ( 题型0 1 ) 切线、单调性及最值问题 1．（2025·天津武清·一模）已知 曲线在点处的切线为. (1)当 时，求直线 的方程； (2)证明: 与曲线有一个异于点P的交点且； (3)在（2）的条件下， 令 求k的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）设，，利用零点存在定理证明存在使得即可； （3）易知，则计算可得. 令，则命题即要研究有正根的充要条件. 再对分类讨论，利用多次求导研究的单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，而，所以. 所以的方程是，即 （2）由于，故的方程可化为. 设，则直线的方程为. 令， 设，则对有，所以在上单调递增. 记， 则. 由于， 且 ， 故一定存在，使得，即. 而，故是与曲线的交点，且 （3）对，设. 则， 令，则， 令，. 由于当时，的导数， 故在上单调递增. 若，则. 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上单调递增； 所以对有，从而在上无零点. 若，则. 由于对有， 故. 从而存在使. 结合在上单调递增，知对有， 从而在上单调递减； 所以对有，从而在上单调递减； 所以对有，从而在上单调递减； 所以， 又由于对有 ， 故对有，从而当时， 有 . 结合，就知道在上存在零点，从而在上存在零点. 综上，对，函数在上存在零点的充要条件是. 最后，一方面因为，就有 ， 所以在上存在零点，故； 另一方面，对任意，取，则在上存在零点. 记该零点为，取，则 . 所以这样的满足原条件，且. 综上，的取值范围是. 2．（2025·福建泉州·一模）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解； （2）由条件转化为恒成立．再转化为导函数的最小值大于等于0，即可求解； （3）方法一：首先将不等式整理为，再参变分离为，转化为求函数的最小值；方法二：根据（2）的结果，由的值，讨论的取值，判断不等式是否成立，即可求解；方法三：从命题成立的必要条件入手，再证明命题成立的充分条件，即可求解的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为， 又， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）， 由题意得，恒成立． 令，则，且在单调递增， 令，解得， 所以当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 所以， 又，当且仅当，故． （3）解法一：因为，所以题意等价于当时，． 即， 整理，得， 因为，所以，故题意等价于． 设， 的导函数， 化简得， 考察函数，其导函数为， 当单调递减；当单调递增； 故在时，取到最小值，即， 即， 所以， 所以当单调递减； 当单调递增； 所以的最小值为， 故． 解法二：先考察，由（2）分析可得， 情况1：当，即， 此时在区间单调递增， 故，即，符合题意； 情况2：若，则， 注意到，且，故对进一步讨论． ①当时，即 且由（2）分析知：当单调递减， 故当，即单调递减， 故恒有，不符合题意，舍去； ②当时， 注意到在区间单调递减，且，又， 故在区间存在唯一的满足； 同理在区间单调递增，且， 故在区间存在唯一的满足；故可得 + 0 - 0 + 极大值 极小值 所以当，符合题意； 故题意等价于，即． 又因为，即，化简，得 所以，整理得． 注意到，所以， 故解得， 由之前分析得即 考察函数，其导函数为， 当单调递减； 当单调递增； 故在时，取到最小值，即， 即，所以恒成立， 故，又注意到情况（2）讨论范围为， 所以也符合题意． 综上①②本题所求的取值范围为． 方法三：先探究必要性，由题意知当时，是的最小值， 则必要地，即得到必要条件为； 下证的充分性，即证：当时，． 证明：由（2）可知当时，在单调递增， 故的最小值为，符合题意； 故只需要证明时，． 由（2）分析知时， + 0 - 0 + 极大值 极小值 其中． 注意到，据此可得更精确的范围是； 所以等价于证明， 又因为，即，可得， 只需证明， 等价于证明， 注意到，即， 故若①当，此时显然成立； 若②当，只要证明， 此时，且 所以，故得证． 综上必要性，充分性的分析，本题所求的取值范围为． 3．（2025·山东泰安·一模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)或 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可； （2）对函数求导，需要对参数进行分类讨论，确定导函数正负，进一步确定原函数的增减； （3）由题意得有两个不同实根,令，对进行分类讨论，确定函数的零点个数，从而求得的取值范围. 【详解】（1）由题意的定义域为 当时，， ，，又， 在处的切线方程为，即 （2）， ， 当，即时，， 在上单调递减， 当，即时，在上，，在上， 在上单调递减，在上单调递增， 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. （3）方程有两个不同实根， 等价于方程有两个不同实根, 设， 则且， 当时，时，时，， 此时函数只有一个零点，方程只有一个根，不符合题意； 当时，在上单调递增， 当时，， 存在使， 在上，在上， 在上单调递减，在上单调递增， ， 又， 设，则， 当时，单调递减， 又，，又， 在上和上各有一个零点，符合题意； 当时，， 在上，在上， 在上单调递增，在上单调递增， ， 只有一个零点，不符合题意； 当时，， ， 存在使得， 在上单调递减，在上单调递增， ， ， 又当时，单调递增， 又，，在上存在一个零点 又，时有两个零点，符合题意； 综上，方程有两个不同实根时，或. 【点睛】关键点点睛：对于含参数的函数零点问题，1是对参数分类讨论，利用函数的单调性与零点存在性定理判断函数零点个数；2是参变分离，利用两个函数交点个数问题，数形结合求解. 4．（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点，利用在切点处的斜率等于0即可求得结果. 【详解】设切点坐标为，函数，所以， 因为切线与x轴平行，所以，解得，，故切点坐标为 故选：B 5．（2025·黑龙江·一模）设函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若为增函数，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）法一：参变分离得到在上恒成立，构造函数求最值即可；法二：构造函数，通过分类讨论求最值即可求解； 【详解】（1）当时，， 所以，，， ∴曲线在处的切线方程为， 整理得，， ∴曲线在处的切线方程为. （2），， 是增函数，即在上恒成立， 方法一：即在上恒成立，所以， 设，，则，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ∴当时，取得极大值，也是最大值， ∵，∴的取值范围是. 方法二：即在上恒成立，所以， 设，，则，， ①若，则，在上单调递增， 当趋近于0时，趋近于，即不恒成立， 所以在上不单调递增，与题意不符，舍去. ②若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则当时，取得极小值，也是最小值， ∴，解得， ∴的取值范围是. 6．（2025·山东聊城·一模）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，可得出切线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为， 所以，曲线在处的切线方程为， 该切线交轴于点，交轴于点， 因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：D. 7．（2025·山东济宁·一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合对称性可设，，结合导数的几何意义求得，即可得结果. 【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称， 且反比例函数的图象也关于直线对称， 可知点关于直线对称，设，则， 设，则， 由题意可得：，解得或（舍去）， 可得，则，所以. 故选：A. 8．（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中. (1)若的图象在处的切线经过点，求a的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导求出切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程求出切线方程，再代入经过点的坐标可得答案； （2）求导，分、、、讨论，可得答案. 【详解】（1）， 因为，， 所以的图象在处的切线方程为， 将代入得，解得； （2）， 当时，，令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，令，得或；令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 当时，令，得或；令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 9．（2025·黑龙江·一模）若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的可能取值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先把不等式化简转化，再构造函数令，再求导函数得出切线计算化简转化求解. 【详解】不等式可化为， 令， 当时，，此时，直线恒过点， 故只需直线为在点处的切线即可，，此时． 当时，亦恒过点，为使，对一切恒成立， 需开口向下，且在点处与有公切线即可， 故，此时． 综上，的取值范围是，所以的可能取值为. 故选：A. 10．（2025·湖北·一模）已知为自然对数的底数，函数满足：，，函数， (1)求函数的极值点和极值； (2)求解析式； (3)若在上单调递增，求实数的最大值； (4)求证：，. 【答案】(1)极小值点0，极小值1，无极大值点和极大值； (2) (3)； (4)证明见解析 【分析】（1）利用导数来求得函数的极值点和极值. （2）根据求得的解析式. （3）由的单调性列不等式，由此求得的最大值. （4）先证得，利用赋值法来求得正确答案. 【详解】（1）因为，所以， 故当时，，当时，， 故函数在递减，在递增， 所以函数有一个极小值点0，极小值，无极大值点和极大值； （2）由得，又，故 所以 （3）由得， 因为在上单调递增，所以， 即对恒成立 故，所以实数的最大值为； （4）由（3）知：当，时， 故在上单调递增，所以，即 所以，即，① 在①式中分别令， 相加得 ( 题型0 2 )恒成立存在问题 1．（2025·广东江门·一模）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线．在17世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是，其中c为参数．当时，该方程就是双曲余弦函数．相应地就有双曲正弦函数．已知三角函数的三个关系式：①平方关系：；②二倍角关系：；③导数关系： (1)类比关系式①②③，写出和之间的三种关系式（不需要证明）； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围； (3)设无穷数列满足，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)① 平方关系：；② 二倍角关系：；③ 导数关系：，. (2) (3) 【分析】（1）求出和即可求解，求出和即可求解，求出和即可求解； （2）证明存在足够小的使得，令，讨论的情况，并结合导数检验即可求解； （3）根据与递推式形式一致求出，求出即可求解. 【详解】（1）（1）双曲函数关系式 ① 平方关系：； ② 二倍角关系：； ③ 导数关系：，. 证明如下（不需要写出）： 因为， ， 所以； 因为， ， 所以； ， （2）因为，所以， 所以，， 当时，设， 若，则存在足够小的使得矛盾， 所以，因为， 观察， 令，， 当且仅当时等号成立， 所以在时单调递增， 因为，所以对成立， 即，所以满足题意， 所以； （3）因为与递推式形式一致， 所以假设，其中为待定参数， 因为符合递推关系， 所以，因为， 所以，因为， 得，令， 方程变为，解得或， 所以或，所以或， 因为是偶函数，所以不妨设， 所以，， 所以 2．（2025·江西·一模）已知函数（），将的图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是某个函数的图象，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】法一：设为的图象上任意一点，通过点的旋转得到旋转后的坐标，构造函数，由其单调性求解即可； 法二：求导，由讨论的单调性，结合旋转讨论； 【详解】法1：设为的图象上任意一点， 绕原点逆时针旋转后点的对应点为， 设，与正半轴夹角为， 可得：， 化简可得：令，则， 所以，令， 要使函数图像绕原点逆时针旋转后仍为某函数的图象， 则为单调函数，即恒成立，或恒成立. 因为，又，故不恒成立，所以恒成立， 当时，；当时，由，得， 令，则， 易得当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以； 当时，由，得，令，则， 所以在上单调递增，所以当时，的取值范围为， 所以.综上所述，的取值范围为. 法2：，当时，由，得， 由，得，所以在上单调递增，在上单调递减， 其图象大致如图1所示，绕原点逆时针旋转后，得到的曲线不是任何函数的图象；      当时，，其图象为轴，绕原点逆时针旋转后，为函数的图象，符合题意； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 其图象大致如图2所示，要使绕原点逆时针旋转后， 得到的曲线为某函数的图象，必有在上恒成立， 所以在上恒成立，令，则， 因为，所以当时，， 当时，，所以在上单调递减， 在上单调递增，所以，所以， 所以.综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)设是的两个极值点， ①求证：； ②求证：. 【答案】(1)减区间为，增区间为； (2)①②证明见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）①分析得的两根为，且，再构造函数，利用导数得其单调性即可证明原不等式； ②将左边不等式等价转化证明，再构造函数，利用导数即可证明，右边不等式利用切线放缩即可证明. 【详解】（1）时，，， 因为，均在上单调递增， 则在上单调递增，又， 所以，，，， 所以在单调递减，在单调递增． （2）①依题意的两根为， 即的两根为． 令， 得，且，， 则在单调递减，在单调递增，则． 令， 则，所以在单调递增，所以， 所以，又，在单调递增． 所以，即． ②由，要证明，只需证， 即证明， 即证明 即证明 即证明，设，， 则，则当时，，则在单调递减， 则，则在上恒成立，从而左边得证． 因为，，且，， 则在和处的切线分别为和， 令，得， 再证明恒成立， 设，则，令，解得， 且时，，此时函数单调递减； 时，，此时函数单调递增； 则，则恒成立， 再证明恒成立， 设，，则在上单调递增， 又因为且大于0时，，则恒成立， 所以，从而右边得证． 4．（2025·山东济宁·一模），若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对不等式进行变形可得，构造函数，利用导数研究的单调性，进而可求的取值范围. 【详解】在上恒成立 当时，即解得，此时. 令则， ①当时，．在上单调递增， 恒成立，恒成立， ； ②时．在上单调递减，在上单调递增 ， 解得与矛盾，舍去； 综上所述，的取值范围为 故答案为：. 5．（2025·山东淄博·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)证明：时，； (3)若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值． 【答案】(1)的增区间为，减区间为. (2)见解析 (3)整数的最大值为． 【分析】（1）直接利用导数判断的单调区间； （2）要证，即证，令，对求导，得到即可证明. （3）分离常数，得，为此求出函数在上的最小值．这可利用导数知识求解． 【详解】（1）函数的定义域是，， 当时，；当时，． 所以，的增区间为，减区间为. （2）要证时，，即证在恒成立， 令，， ， 令，， 当时，，， 所以在上单调递减，所以， 则，所以在上单调递减， 所，所以， 综上，时，； （3）不等式等价于不等式， 由可得：， 设，， 则， 设，函数的定义域是， ， 设，则， 令，则， 时，，在上为增函数， 时，，在上为减函数， ∴在处取得极大值，而， ∴，函数在上为减函数． 于是当时，，当时，， ∴当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 故函数的增区间为，减区间为， 所以，所以，即 ∴，，于是在上为减函数， 故函数在上的最小值为， 所以，所以整数的最大值为． 6．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题转化为，求出，然后参变分离，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题意，，当时，，，所以； 当时，，，所以， 等号仅当时成立，所以. 所以对，即，即. 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，因此. 故答案为： 7．（2025·江西萍乡·一模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若有2个零点，则 B．当时，是增函数 C．当时，恒成立 D．当时，若是的零点，则 【答案】ABD 【分析】方程的根的问题，通过变形转化为直线与函数图象交点问题；对于函数的单调性问题，通过求一阶导数，再对求导研究单调性，进而确定的单调性. 【详解】显然，由，得， 所以直线与函数的图象有2个交点，又， 所以当或时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 从而在处取得极小值. 又时，；当时，；当时，， 在同一直角坐标系中作出的图象以及直线， 由图可见，当且仅当时，直线与的图象有两个公共点，故A正确； 当时，，对求导得. 再对求导得. 令，即，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得最小值，， 即恒成立，所以是增函数，选项B正确. 当时，，， 所以不恒成立，选项C错误. 当时，，，. 因为是增函数，且， 所以由零点存在定理可知，的零点满足，选项D正确. 故选：ABD. 8．（2025·山东烟台·一模）已知正数满足，则的最小值为 ：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 5 【分析】由已知有，应用基本不等式求最小值，注意取值条件，进而有恒成立，问题化为在上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围. 【详解】由题设，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为5，此时不等式化为恒成立， 所以，即 令且，则， 时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 则 因此可得在上，恒成立， 令且， 所以， 令，， 在单调递增，且， 则时，，函数在单调递减， 时，，函数在单调递增， 因此可得，即， 则当，，则在单调递增， 当，，则在单调递减， 所以，故只需. 故答案为：5， 9．（2025·江西上饶·一模）已知函数． (1)若曲线在处的切线的斜率为，求的值； (2)若是的极小值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对函数进行求导，根据导数值可求得结果； （2）求导函数，根据极小值点得到原函数为先增后减，导函数值为零，则导函数再次求导函数大于零，据此可求得取值. 【详解】（1）已知， 根据求导公式，，， 可得， 因为曲线在处的切线的斜率为， 所以，解得； （2）由（1）可得，令 则， 若是的极小值点，则， 则在左侧附近小于0，在右侧附近大于0， 这意味着在处的导数， 把代入得，解得； 当时， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以恒成立，则在上单调递增， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以是的极小值点； 当时，此时，令， 则，此时， 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以恒成立， 则在上单调递增， 当时，，单调递减；当时，； 所以是的极小值点； 当时， 令，即，设， 则，整理得， 由一元二次方程求根公式， 因为，所以，， 存在，使得在附近，当在到0之间或0到之间时，，单调递减， 此时在两侧不满足左负右正，则不是的极小值点； 综上的取值范围是. 10．（2025·浙江·一模）已知函数，其中. (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数； (3)若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)两个零点 (3) 【分析】（1）由偶函数的定理建立等式，求出； （2）代入，得到，写出，令后在求导.由解析式可知当时，恒成立.当时，，得到单调递增，由二分法知道在存在唯一零点.由此知道函数的单调区间，再由二分法得到函数零点. （3）当时，恒成立，所以当时，由，求出的范围.再将的范围分为，，三个范围，由三角函数的性质以及导函数判断函数单调性建立不等式，最后求出的范围. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以. 即， 解得：. （2）当时，. ，， 令，则. 当时，， 当时，，单调递增， 又，， 所以存在，使得. ，，单调递减，，，单调递增， 而，，，所以在上存在一个零点. 综上，函数在有两个零点. （3）当时，；当时，， 则. （ⅰ）当时，，，成立； （ⅱ）当时， 若，则，单调递增， 所以； 若，则，，成立； （ⅲ）当时，若，则成立； 只要考虑，此时令， 则，递增，，， 所以存在，使得， 若，则，递减；若，则，递增. 所以，解得. 此时，所以，从而. 综上，. ( 题型0 3 )证明不等式 1．（2025·山东淄博·一模）过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．数列的前项和为 D． 【答案】ABD 【分析】设直线，方程联立由判断A；可得，，从而结合累加法求和可判断B；由，结合等差数列的求和公式可判断C；令，结合导数可得在上单调递增，进而可判断D. 【详解】设直线，联立， 得， 则由，即， 解得（负值舍去），故A正确； 可得，， 所以，故B正确； 因为，则，故C错误； 因为，， 所以， 设，则， 可得在上单调递增， 则时，， 又，则，故D正确. 故选：ABD 2．（2025·四川巴中·一模）已知函数 (1)求函数的极值； (2)求证：当时，； (3)若，其中，讨论函数的零点个数． 【答案】(1)，无极大值 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】对求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得函数的极值； 不等式等价于，，令，，利用导数证明即可； 讨论的零点个数问题，先对x分类讨论去绝对值，易得在上总有唯一的零点；当时，对求导，再对t分类讨论，结合导数知识及零点存在性定理判断即可． 【详解】（1），令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，无极大值． （2）证明：原不等式等价于：，， 即，， 令，，下证：， 则，设，则，等号当且仅当时成立， 所以在上单调递增，，等号当且仅当时成立， 所以在上单调递减，，即原不等式成立． （3）等价于的零点个数问题： ①当时，，显然在上单调递增， 又，，所以在上总有唯一的零点； ②当时，， 则， Ⅰ若，则在上恒成立，在上单调递增， ，在上无零点； Ⅱ若，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，令，得 若，则在上无零点； 若，则在上有唯一零点； 若，则，又， 又由知，得，得， 由零点存在性定理可知，在，上各有一个零点． 综上所述：当时，有一个零点：当时，有两个零点；当时，有三个零点． 3．（2025·安徽滁州·一模）已知函数的极值点从小到大依次为，，，，是的导函数，则（ ） A． B． C．是的极小值点 D． 【答案】ACD 【分析】对函数求导，为研究导函数的正负，构造函数，通过对其求导，分段讨论研究函数的单调性，进而研究函数的极值点，判断各个选项即可. 【详解】，定义域为， 则，. 因为，所以，而， 所以，故选项A正确； 令，则. ①考虑的情况： 当时，；当时，； 则函数在上单调递增，在上单调递减. 又，，当且时，， 则存在，使得， 当时，， 此时，则，故； 当时，， 此时，则，故. ②考虑的情况： 当时，，，且等号不能同时取得， 则，此时. 结合①可知，在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，可知，故选项B错误； ③考虑的情况： 当时，；当时，； 则函数在上单调递增，在上单调递减， ，，当且时，， 则存在，使得， 当时，， 此时，则，此时； 当时，， 此时，则，此时； ④考虑的情况： 当时，，，且等号不能同时取得， 则，此时； 结合③可知，在上单调递减，在上单调递增， 综上，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 可知，即是的极小值点，故选项C正确； ⑤考虑的情况： 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 同①可知，存在，使得， 当时，，此时； 当时，，此时； 综合可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 可知. 由题可知，，. 令，， 则，可得， ，可得， 由可得，则， 则，即， . 又，则，，， 可得，即， 则， 即，即， 可得. 又，，函数在上单调递减， 所以，即， 可得，故选项D正确. 故选：ACD. 4．（2025·江西南昌·一模）已知． (1)若在定义域上单调递增，求a的取值范围； (2)若有极大值m，求证： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求，令，通过求导判断函数的单调性求解最小值，结合题意列不等式即可求解； （2）由（1）可知，当有两个不同的零点时，，由，则，，判断的单调性，可得，通过求导即可证明. 【详解】（1）函数的定义域为， 可得， 令， 所以， 因为时，，所以单调递减， 时，，所以单调递增， 所以， 因为在定义域上单调递增，所以恒成立， 所以，即； （2）由（1）可知，当有两个不同的零点时，， 此时， 且时，时， 所以，则，，其中， 因为时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以为的极大值点，则， 且， 设，则， 所以在单调递增， 所以，即. 5．（2025·北京延庆·一模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)若，且，证明：. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为， (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）求出导数，再根据得出方程的根，列表即可求出函数单调区间； （3）求出，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性求出函数最小值即可得证. 【详解】（1）由，所以 所以， 又， 所以曲线在处的切线方程为， 即 （2）由，定义域为， 令得或 因为，所以. 所以， 列表： 0 0 递减 递增 递减 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， （3）因为， 又，， 所以是方程的两个根. 依题意，有， 所以，即， 所以 ， 令，则， 令，则 因为，所以， 所以在上是增函数， 所以，所以在为减函数， 所以，即. 6．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知. (1)求证：当时，； (2)设. （ⅰ）求证：数列为递减数列； （ⅱ）求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）对函数求导，并构造，利用导数判断出函数的单调性和最值，即可证明出不等式； （2）（ⅰ），令，，构造函数并求导，即可求解函数的单调性，从而得到数列的单调性，即可得证. （ⅱ）由题意结合，得，利用（1）可得，从而有，结合放缩法可得，又由（ⅰ）知，，即可证得结果. 【详解】（1）由得， 令，则 当时，，所以函数在上单调递增， 又∵，∴， ∴在上单调递增， ∵，∴. （2）（i）由题意可得：， 令，，即. 令，， ∵， ∴在上单调递减， ∵，∴， ∴，， ∴为递减数列； （ⅱ）由（i）可知，， ∵， ∴， 由（1）可知，当时，，即， 当时，， ∴, ∴. 又， ∴. 7．（2025·福建厦门·一模）设函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是增函数，求a的取值范围； (3)当时，设为的极小值点，证明：． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）在时，根据导函数的符号即可求得原函数的单调区间； （2）求出，设，求导推得，根据参数分，和三种情形，讨论函数的单调性和零点情况，即得其取值范围； （3）设为的零点，推得，，分段讨论函数的单调性，推出，即得，即，则，设，求导得出在上的单调性，即可求出其范围，即得证. 【详解】（1）当时，，， 因当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）因， 设，， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故时，取得极小值， （ⅰ）所以当时，，，所以，单调递增，符合题意； （ⅱ）当时，， 因为趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于， 所以存在两个零点， 即存在区间使得，所以不恒成立，不合题意； （ⅲ）当时，若，因为的零点为，且， 则与有唯一相同零点且零点两侧函数值符号相同， 所以，解得， 此时，当时； 当时，则 所以综上a的取值范围为. （3）当时，，，设为的零点，则， 因为，所以， 当时，，，故，在单调递增， 当时，，，所以，在单调递减， 当时，，，所以，在单调递增， 所以，且，即， 所以， 设，则，在上单调递增， 所以，且，故得． 8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分类讨论函数的单调性. （2）由函数有两个极值点，确定a的范围，代入函数值，构造函数，利用函数单调性求解. 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为，且，， 令， 当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减； 当，即时，函数有两个零点：，， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x - 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 综上，当时，在内单调递增， 在和上单调递减； 当时，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，有两个极值点，， 则，是方程的两个根，由韦达定理，得，， 所以， ， 令，，则， 当时，，则在区间上单调递减， 从而， 故 9．（2025·广东·一模）数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列的性质，对通项公式取对数得，，则可通过研究函数的性质，得到数列的性质，进而得到的性质.请根据以上材料，解决如下问题： (1)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围，并证明：； (2)是否存在常数，使得：有，？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （注：e为自然对数的底数） 【答案】(1)；证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）当时，恒成立，；当时，可化为，令，，利用导数方法判断其单调性，结合洛必达法则即可求出的范围；得出以，将代入整理，即可证明不等式成立； （2）先由题意得到；由推出，结合（1）的结果，可求出；对于，当或时，于显然恒成立；当时，推出以，同（1）构造函数，求出；从而可求出结果. 【详解】（1）当时，显然恒成立，； 当时，可化为， 令，，则， 令，，则在上恒成立， 因此在上单调递减，所以， 即在上恒成立， 所以在上单调递减， 又由洛必达法则可得：， 所以恒成立，因此，为使对任意恒成立，只需； 综上，； 所以，因为，所以， 则，所以得证； （2）存在，使得：有，,证明如下： 由题意，为使恒成立，必有； (i)由得，所以，则，因为， 由（1）知对任意恒成立， 为使都成立，只需，解得； (ii)对于，当或时，于显然恒成立； 当时，，由得，所以， 令，则，， 所以，同（1）令，， 则， 令，， 则在上恒成立， 因此在上单调递增，所以， 因此在上恒成立， 所以在上单调递减， 又， 所以当，； 因此，为使恒成立，只需，解得； 由(i)(ii)可得，；即存在，使得：有，. 10．（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由等差数列的通项公式及等比数列的性质即可求解，进而可得通项公式； （2）设，求导，可得的单调性，进而可得结论； （3）由题意需证，由（2）可得，利用放缩法与裂项相消法可证结论. 【详解】（1）设等差数列公差为成等比数列，则， 所以，解得或（舍去），所以； （2）设，当时，单调递减， ，所以，由（1）可知， 则有，所以不等式恒立． （3）因为，所以要证， 只需证：， 根据（2）可知，那么， ， 所以. ( 题型0 4 )双变量问题 1．（2025·山东聊城·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求出函数的导数，构造二次函数，分类讨论，根据导数的正负来判断函数的单调性. （2）利用极值点与导数的关系，结合二次函数和韦达定理，构造函数，求导研究单调性，解不等式求解. 【详解】（1）的定义域为. 求导可得：. 令，其判别式. 当，即时，因为，所以，则，所以在上单调递增. 当，即或时，方程的两根为，.(根同号)，. 因为，当时，，则，，此时，，在上单调递增. 当时，，则，，且， 此时在和上，，，单调递增； 在上，，，单调递减. 综上所得， 当时， 在上单调递增. 当时，在和上单调递增；在上，单调递减. （2）因为有两个不同的极值点，所以且，解得. 由韦达定理可知，，代入上式可得： . 已知，即， 可得，即. 令，对求导得. 因为，所以，在上单调递增. 又，所以的解集为， 即实数的取值范围是. 2．（2025·陕西西安·一模）已知函数，. (1)记的导数为，求的值，其中； (2)若，恒有，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，再代入并结合对数运算求值. （2）由（1）求出函数的最小值，再求出最大值，利用恒成立列式求解. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 所以 . （2）由（1）知，，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 由，得，函数的图象是开口向下的抛物线， 当时，，由，恒有，得， 因此，解得， 所以a的取值范围是. 3．（2025·河南郑州·一模）已知函数且，关于对称的函数记为 (1)若，方程有且只有一个实数解，求a的值; (2)讨论方程在上实数解的个数; (3)若，设函数，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出，设与有公共点，解由及组成的方程组求出可得答案； （2）由，两边同取对数得令，利用导数判断出其单调性，分、、讨论方程在上实数解的个数可得的答案； （3）由得，设，则，利用导数判断出在上的单调性可得答案. 【详解】（1）关于对称的函数为，， 设与有公共点， 由对称性可知，在上， ，， ，解得，得； （2）由（1）知，，由， 两边同取对数，，即 令，， 函数在上单调递增，在上单调递减. 当，方程在上实数解的个数为1个. 当，，方程在上实数解的个数为2个. 当，方程在上实数解的个数为1个； （3），定义域为，求导得， 又， ， 整理得，由基本不等式得，， ， 设，则， 易知， 在单调递增， ， 的取值范围为 ( 题型0 5 )函数零点问题 1．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】根据分段函数自变量不同取值范围上的函数解析式，分别构造函数，由函数与方程的关系，等价转化为函数求零点与一元二次方程求解问题，可得答案. 【详解】当时，则，令， 求导可得，令，解得，可得下表： 单调递增 极大值 单调递减 由函数的极大值为，则存在唯一零点， 所以函数与函数在上有且仅有一个交点； 当时，，令， 求导可得，显然上， 则函数在上单调递减， 当时，，当时，， 由，则函数在上存在唯一零点， 所以函数与函数在上有且仅有一个交点； 由题意可得函数与函数在上有且仅有一个交点， 当时，，令， 令，整理可得， 当方程有两个相等的实数解时，，解得， 此时，符合题意， 当方程在有一个实数根时，可得，解得， 综上可得. 故答案为：. 2．（2025·山东烟台·一模）已知函数在处有极大值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案； （2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案. 【详解】（1）由函数，求导可得， 由函数在处取极大值，则，解得或， 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极大值，符合题意. 综上所述，. （2）由（1）可得函数，求导可得， 令，解得或，可得下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为， 函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点， 如下图： 由图可得，则. 3．（2025·四川内江·一模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，在上是增函数 B．当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 C．若在上为减函数，则 D．当时，若函数有且只有一个零点，则 【答案】BD 【分析】利用导数研究函数的单调性判断A；导数的几何意义求切线方程，进而求交点坐标，即可求三角形面积判断B；问题化为在上恒成立，应用导数研究右侧的最小值，即可得参数范围判断C；问题化为有唯一解，应用导数研究右侧的单调性和值域判断D. 【详解】对于A，为增函数，时趋向负无穷，时趋向正无穷， 所以存在使，故上在上为减函数，错； 对于B，由题设，则，且， 所以在处的切线方程为， 切线与轴的交点坐标为，与轴交点坐标为， 所以在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，对； 对于C，因为函数在上为减函数， 则在上恒成立，即， 令，则，易知时，时， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，错； 对于D，函数有且只有一个零点， 即有唯一解，则， 令且，则， 令，显然在上为增函数，， 则，使得，易知时，时， 则在为减函数，在为增函数，则， 当时，， 所以有且只有一个解时，，即，对. 故选：BD 4．（2025·北京延庆·一模）已知函数，给出下列四个结论： ①，使得关于直线对称； ②，使得存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有三个零点； 其中所有正确的结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】赋值法判断①；数形结合判断②④；利用导函数判断③， 【详解】取，得， 因为， 所以，使得关于直线对称；故①对； 由， 所以， 若， 当时，令，则， 令，则， 所以在单调递减，所以， 所以 在单调递减， 当时，令，则， 所以 在单调递减， 所以，在上单调递减，故，不存在最小值，故②错，③对， 如图    若，则当函数与直线的图象相切时， 设切点横坐标为，此时，则， 得到方程组，化简得，易得， 则此时有两个零点，图象见下图， AI   当时，只需将上图相切时的直线向左偏一点，图象如下图所示， 则两函数会出现三个交点，此时有三个零点，如下图所示， AI   故④对， 故答案为：①③④ 5．（2025·陕西西安·一模）设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，令，求出函数，利用导数探讨零点求出的最小整数值，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】令，函数定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，值趋近于正无穷大；当趋近于正无穷大时，值趋近于正无穷大， 由有两个零点，得，即， 函数在上都递增，则函数在上递增， ，因此存在，使得， 则不等式成立时，的最小整数值为3，即， 由，得，， 当且仅当，即时取等号，B正确. 故选：B 6．（2025·云南曲靖·一模）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率和切点坐标，即得切线方程； （2）函数求导分解因式后，对参数分类讨论导函数的符号即得原函数的单调性； （3）根据（2）的结论，对参数分类，分析函数的单调性，极值以及图象变化趋势，结合特殊值，即可得解. 【详解】（1）当时，， ，． 又，故在处的切线方程为：． （2）． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）当时，在上单调递增，不符合题意，故． 由（2）知，当时，． 有两个零点，． 又，． 令，则， 在上单调递减，且， 当时，，即． 又， 在上有一个零点； ，． 当时，， 在上有一个零点． 综上所述，有两个零点时，的取值范围是． 7．（2025·安徽滁州·一模）已知函数 (1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围; (2)若，求证：有且只有1个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可得，令，利用导数可得，进而可得，令，利用导数求得即可； （2）求导得，分，，三种情况讨论中可证得结论. 【详解】（1）由可得， 设，，， 当时，当时，， 所以在上单调调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以等价于， 设，，， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 故实数a的取值范围为； （2）， 当时，，， 所以在上单调递增，又，， 由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点， 故此时有1个零点. 当时，当时，；当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因，当时， ， 取，则，且， 由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点， 故此时有1个零点. 当时，当时，；当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ， 由于，所以，所以， 所以，所以 又，， 由零点存在性定理可知，在区间上存在1个零点， 故此时有1个零点. 综上可知，当时，有且只有1个零点，得证. ( 题型0 6 )利用导数比较大小及构造解不等式 1．（2025·黑龙江·一模）已知实数，，满足，，，其中为自然对数的底数.则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构建函数，利用导数分析的单调性，根据题意可得，，，且，，，结合单调性分析判断. 【详解】设，可知函数的定义域为，且， 因为在定义域上单调递增，且， 若，则；若，则； 可得在上单调递增，在上单调递减， 又因为，，， 可得，，， 即，，，且，，， 可知，且，，，所以. 故选：D. 2．（2025·黑龙江·一模）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质求解参数，结合导数判断单调性，再利用对数的运算性质将所有数转化到同一单调区间内，比较大小即可. 【详解】因为函数是偶函数， 且，， 所以，即， 解得，得到，其定义域关于原点对称， 此时， ， 故是偶函数，符合题意， 而， 令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 而，且，得到， 而由偶函数性质得， 而，则， 得到成立，故A正确. 故选：A 3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数，若时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，将恒成立转化为恒成立，解的范围即可. 【详解】由题意可得，令解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又因为， 所以为偶函数，大致图象如下， 若时，关于的不等式恒成立， 则对恒成立， 所以，则或， 所以或对恒成立， 所以或， 所以实数的取值范围为， 故选：C 4．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，其导函数为，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，先转化问题为在上恒成立，进而结合导数分析函数的单调性得到对恒成立，进而得到对恒成立，即，，再构造函数，，进而结合导数求解即可. 【详解】因为，所以， 因为当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 所以当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 设，，则， 所以函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 可以转化为在上恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立，即，. 设，，则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，又，，显然， 所以，所以， 所以，即实数a的取值范围为. 故选：B. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 导数及其应用 题型概览 题型01切线、单调性及最值问题 题型02恒成立存在问题 题型03证明不等式 题型04双变量问题 题型05函数零点问题 题型06利用导数比较大小及构造解不等式 ( 题型0 1 ) 切线、单调性及最值问题 1．（2025·天津武清·一模）已知 曲线在点处的切线为. (1)当 时，求直线 的方程； (2)证明: 与曲线有一个异于点P的交点且； (3)在（2）的条件下， 令 求k的取值范围. 2．（2025·福建泉州·一模）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)当时，，求的取值范围． + 0 - 0 + 极大值 极小值 + 0 - 0 + 极大值 极小值 3．（2025·山东泰安·一模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 4．（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江·一模）设函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若为增函数，求的取值范围. 6．（2025·山东聊城·一模）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东济宁·一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中. (1)若的图象在处的切线经过点，求a的值； (2)讨论的单调性. 9．（2025·黑龙江·一模）若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的可能取值为（   ） A． B． C．1 D．2 10．（2025·湖北·一模）已知为自然对数的底数，函数满足：，，函数， (1)求函数的极值点和极值； (2)求解析式； (3)若在上单调递增，求实数的最大值； (4)求证：，. ( 题型0 2 )恒成立存在问题 1．（2025·广东江门·一模）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是悬链线．在17世纪，惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利等得到悬链线方程是，其中c为参数．当时，该方程就是双曲余弦函数．相应地就有双曲正弦函数．已知三角函数的三个关系式：①平方关系：；②二倍角关系：；③导数关系： (1)类比关系式①②③，写出和之间的三种关系式（不需要证明）； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围； (3)设无穷数列满足，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 2．（2025·江西·一模）已知函数（），将的图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是某个函数的图象，则的取值范围为 .      3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)设是的两个极值点， ①求证：； ②求证：. 4．（2025·山东济宁·一模），若恒成立，则实数的取值范围是 ． 5．（2025·山东淄博·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)证明：时，； (3)若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值． 6．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 7．（2025·江西萍乡·一模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若有2个零点，则 B．当时，是增函数 C．当时，恒成立 D．当时，若是的零点，则 8．（2025·山东烟台·一模）已知正数满足，则的最小值为 ：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 9．（2025·江西上饶·一模）已知函数． (1)若曲线在处的切线的斜率为，求的值； (2)若是的极小值点，求的取值范围． 10．（2025·浙江·一模）已知函数，其中. (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数； (3)若，，求的取值范围. ( 题型0 3 )证明不等式 1．（2025·山东淄博·一模）过点向曲线引斜率为的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．数列的前项和为 D． 2．（2025·四川巴中·一模）已知函数 (1)求函数的极值； (2)求证：当时，； (3)若，其中，讨论函数的零点个数． 3．（2025·安徽滁州·一模）已知函数的极值点从小到大依次为，，，，是的导函数，则（ ） A． B． C．是的极小值点 D． 4．（2025·江西南昌·一模）已知． (1)若在定义域上单调递增，求a的取值范围； (2)若有极大值m，求证： 5．（2025·北京延庆·一模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)若，且，证明：. 6．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知. (1)求证：当时，； (2)设. （ⅰ）求证：数列为递减数列； （ⅱ）求证：. 7．（2025·福建厦门·一模）设函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若是增函数，求a的取值范围； (3)当时，设为的极小值点，证明：． 8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 9．（2025·广东·一模）数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列的性质，对通项公式取对数得，，则可通过研究函数的性质，得到数列的性质，进而得到的性质.请根据以上材料，解决如下问题： (1)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围，并证明：； (2)是否存在常数，使得：有，？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （注：e为自然对数的底数） 10．（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）． ( 题型0 4 )双变量问题 1．（2025·山东聊城·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围. 2．（2025·陕西西安·一模）已知函数，. (1)记的导数为，求的值，其中； (2)若，恒有，求a的取值范围. 3．（2025·河南郑州·一模）已知函数且，关于对称的函数记为 (1)若，方程有且只有一个实数解，求a的值; (2)讨论方程在上实数解的个数; (3)若，设函数，若，求的取值范围. ( 题型0 5 )函数零点问题 1．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是 . 2．（2025·山东烟台·一模）已知函数在处有极大值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 3．（2025·四川内江·一模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，在上是增函数 B．当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 C．若在上为减函数，则 D．当时，若函数有且只有一个零点，则 4．（2025·北京延庆·一模）已知函数，给出下列四个结论： ①，使得关于直线对称； ②，使得存在最小值； ③，在上单调递减； ④，使得有三个零点； 其中所有正确的结论的序号是 . 5．（2025·陕西西安·一模）设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·云南曲靖·一模）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 7．（2025·安徽滁州·一模）已知函数 (1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围; (2)若，求证：有且只有1个零点. ( 题型0 6 )利用导数比较大小及构造解不等式 1．（2025·黑龙江·一模）已知实数，，满足，，，其中为自然对数的底数.则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江·一模）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数，若时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，其导函数为，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$