专题01 集合与常用逻辑用语-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（新高考通用）

专题01 集合与常用逻辑用语 题型概览 题型01集合的运算 题型02集合中元素的性质 题型03集合新定义 题型04命题的否定、充分必要条件 ( 题型0 1 ) 集合的运算 1．（2025·天津河东·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东泰安·一模）若全集，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建泉州·一模）（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东湛江·一模）已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 5．（2025·全国·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江西萍乡·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东烟台·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·云南昆明·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·湖北·一模）集合函数的最小正周期不小于，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·广西·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． ( 题型0 2 ) 集合中元素的性质 1．（2025·江西上饶·一模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西·一模）满足的集合的个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 3．（2025·陕西咸阳·一模）已知集合，，则子集的个数为（   ）． A．6 B．7 C．8 D．16 4．（2025·福建厦门·一模）从集合的所有非空子集中任选两个，则选中的两个子集的交集为空集的概率为 ． ( 题型0 3 ) 集合新定义 1.（2025·湖南长沙·雅礼中学校考一模）对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则 ． 2．（2025·河北·校联考一模）定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为 . 3．（2025·浙江·校联考一模）对于集合中的任意两个元素，若实数同时满足以下三个条件： ①“”的充要条件为“”； ②； ③，都有． 则称为集合上的距离，记为．则下列说法正确的是（    ） A．为 B．为 C．若，则为 D．若为，则也为（为自然对数的底数） ( 题型0 4 ) 命题的否定、充分必要条件 1．（2025·甘肃兰州·一模）已知集合，以下判断正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 2．（2025·山东泰安·一模）已知为空间中两条直线，为平面，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 3．（2025·江西上饶·一模）“”是“椭圆的焦点在轴上”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·辽宁·一模）若命题“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东菏泽·一模）已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·山东临沂·一模）已知，若对任意实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025·北京延庆·一模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2025·广东汕头·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9．（2025·贵州六盘水·一模）已知为直线，为平面，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2025·山东烟台·一模）已知复数，其中，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语 题型概览 题型01集合的运算 题型02集合中元素的性质 题型03集合新定义 题型04命题的否定、充分必要条件 ( 题型0 1 ) 集合的运算 1．（2025·天津河东·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合，再由交集运算即可求解； 【详解】且 所以， 故选：C 2．（2025·山东泰安·一模）若全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，根据交集定义即可得 【详解】由题意得，，所以， 故选：A 3．（2025·福建泉州·一模）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义，即可求解. 【详解】满足的正整数只有，所以. 故选：A 4．（2025·广东湛江·一模）已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义计算． 【详解】因为，， 所以． 故选：A． 5．（2025·全国·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合，再由并集运算即可求解； 【详解】由题可得，， ， 所以． 故选：C． 6．（2025·江西萍乡·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解集合，再根据交集的定义求出集合与集合的交集. 【详解】因为，，所以. 故选：B. 7．（2025·山东烟台·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解法及交集的运算得解. 【详解】由，， 则， 故选：A 8．（2025·云南昆明·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用绝对值不等式和一元二次不等式的解法，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 由，即，解得或，所以， 所以， 故选：D. 9．（2025·湖北·一模）集合函数的最小正周期不小于，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数的周期公式求出集合，求出函数的定义域化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，，解之得，则集合； ，解之得，则集合， 所以. 故选：A 10．（2025·广西·一模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合A，再利用交集的定义即可求出. 【详解】由得：，所以集合，故 故选：A ( 题型0 2 ) 集合中元素的性质 1．（2025·江西上饶·一模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式求得集合，由，可得，求解即可. 【详解】由，得，解得，所以， ， 由，所以，解得，所以实数的取值范围为. 故选：D. 2．（2025·江西·一模）满足的集合的个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】先分析得到集合应该包含的子集，再利用子集的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 则必须包含和，也必须包含的子集才不影响结果， 又的子集共有8个，把每个子集与集合取并集都符合条件， 则符合条件的集合共有8个，故B正确. 故选：B. 3．（2025·陕西咸阳·一模）已知集合，，则子集的个数为（   ）． A．6 B．7 C．8 D．16 【答案】C 【分析】解一元二次不等式及求二次函数的值域确定集合，再由集合的交运算求集合，进而得到子集个数. 【详解】由， ， 所以，故子集的个数为个. 故选：C 4．（2025·福建厦门·一模）从集合的所有非空子集中任选两个，则选中的两个子集的交集为空集的概率为 ． 【答案】 【分析】（1）先求集合的非空子集的个数，确定样本空间中样本点的个数， 方法一：分，，三种情况确定满足条件的样本点的个数，结合古典概型概率公式求结论； 方法二：分，，三种情况确定满足条件的样本点的个数，结合古典概型概率公式求结论； 方法三：由条件对于集合中的任意元素均有，且；，且；这三种选法，且集合，都不为空集，由此确定满足条件的样本点的个数，结合古典概型概率公式求结论； 【详解】设，，且， 易知集合的非空子集个数为，任取两个集合，共有种选法． （方法一）①若，则共有种选法； ②若，从个元素里选个，再分成两组（不平均），有种选法； ③若，个元素平均分为两组共有种；不平均分组共有种，小计共有种选法； 所以选中的两个子集的交集为空集的概率为． （方法二）①当时，个元素里任选一个放入集合中，集合共有种情况， 故有种情况； ②当时，个元素里任选两个放入集合中，集合共有种情况， 故有种情况； ③当时，个元素里任选三个放入集合中，集合共有种情况， 故有种情况； 总共有种情况，所以选中的两个子集的交集为空集的概率为． （方法三）对于集合中的任意元素均有，且；，且；这三种选法，再减去集合，其中一个为空集的情况，故共有种， 所以选中的两个子集的交集为空集的概率为． 故答案为：． ( 题型0 3 ) 集合新定义 1.（2025·湖南长沙·雅礼中学校考一模）对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则 ． 【答案】/ 【分析】由已知结合新定义及元素与集合的关系，利用不等式的性质可求． 【详解】由与都是集合的元素， 不妨设， 因为，所以， 由已知，所以，则， 又，所以，即， 所以， 所以，， 则，即， 因为，所以，则，即. 故答案为：． 2．（2025·河北·校联考一模）定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为 . 【答案】 【分析】集合表示双曲线上支的点，集合表示直线上的点，，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为，计算得到答案. 【详解】，即，，故集合表示双曲线上支的点， 集合表示直线上的点， ，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为. 双曲线的渐近线为，不妨取，则，即， 平行线的距离，故或（舍去）. 故答案为：. 3．（2025·浙江·校联考一模）对于集合中的任意两个元素，若实数同时满足以下三个条件： ①“”的充要条件为“”； ②； ③，都有． 则称为集合上的距离，记为．则下列说法正确的是（    ） A．为 B．为 C．若，则为 D．若为，则也为（为自然对数的底数） 【答案】AC 【分析】由的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，即， ①，，即，即， 若，则， 所以“”的充要条件为“”. ②，，成立， ③，，，故A正确； 对于B，， ①，，即，即， 此时若，则，故B错误； 对于C，， ①，即，即，得， 若，则， 所以“”的充要条件为“”. ②，，成立； ③， ，故成立，故C正确； 对于D，设，，则， ①,若，则，即，，故D错误. 故选：AC. ( 题型0 4 ) 命题的否定、充分必要条件 1．（2025·甘肃兰州·一模）已知集合，以下判断正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，以及集合的交集与并集的意义可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，当时，成立，不成立，所以不是的充分条件，故A错误； 对于B，因为，所以， 因为，所以，所以，所以是的充分条件，故B错误； 对于C，因为，所以，当时， 成立，但不成立，所以不是的必要条件，故C错误； 对于D，因为，，所以，所以，所以是的充分条件， 由，可得，所以，所以是的必要条件， 所以是的充要条件，故D正确. 故选：D. 2．（2025·山东泰安·一模）已知为空间中两条直线，为平面，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由线面垂直的判定定理，及充分必要性的定义判断. 【详解】由线面垂直的判定定理可得，直线要垂直于平面内相交的两条直线才能得到， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3．（2025·江西上饶·一模）“”是“椭圆的焦点在轴上”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据椭圆的几何性质可求解焦点在轴时，即可根据必要充分条件的定义求解. 【详解】椭圆的焦点在轴上,则，解得， 故“”是“椭圆的焦点在轴上”的必要不充分条件， 故选：B 4．（2025·辽宁·一模）若命题“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出全称命题为真命题，即可求得结果. 【详解】因为“”是假命题，所以“”是真命题； 即a要小于等于的最小值，又当时，，故. 故选：C 5．（2025·山东菏泽·一模）已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的判断方法,分充分性和必要性,分别判断. 【详解】充分性：若对，，都有， 则令,得,即，因为为常数,所以数列为等差数列; 必要性:等差数列不一定满足,,, 例如:当等差数列通项公式为时,,, 此时,所以,,”是“数列为等差数列的充分不必要条件. 故选：A 6．（2025·山东临沂·一模）已知，若对任意实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】综合利用正切函数的单调性和奇偶性分析判定. 【详解】因为是内的单调递增函数，并且是奇函数， 所以, 所以“”是“”充分必要条件， 故选：C. 7．（2025·北京延庆·一模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出直线与抛物线有一个交点的等价条件结合充分条件和必要条件的定义，即可得出结论. 【详解】由，得， 因为直线与抛物线只有一个公共点， 所以当时，交点为只有一个公共点，符合题意； 当时，， 所以直线与抛物线只有一个公共点的充要条件是或， 所以”能推出“直线与抛物线只有一个公共点， 直线与抛物线只有一个公共点不能推出， “”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分而不必要条件， 故选：A 8．（2025·广东汕头·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据指、对数函数性质解不等式，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，等价于， 且，等价于， 又因为可以推出，不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 9．（2025·贵州六盘水·一模）已知为直线，为平面，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用线面垂直的性质以及直线间的位置关系判断即可. 【详解】根据题意易知当时，可判断“”推不出“”，如下图： 当时，可知垂直于平面内的所有直线，因此可以推出， 因此“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 10．（2025·山东烟台·一模）已知复数，其中，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】应用复数模的求法及得或，再由充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$