专题11 不等式、复数-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（新高考通用）

专题11 不等式、复数 题型概览 题型01复数加减乘除运算 题型02复数相等 题型03复数的几何意义 题型04不等式的综合应用 题型05利用基本不等式求最值 ( 题型0 1 )复数加减乘除运算 1．（2025·天津武清·一模）i是虚数单位，则 . 【答案】/ 【分析】根据复数的除法乘法运算结合模长公式计算 即可. 【详解】 . 故答案为：. 2．（2025·广东深圳·一模）若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据求出，再根据公式求其模长. 【详解】; ; . 故选：C. 3．（2025·宁夏银川·一模）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用复数运算，即可求解. 【详解】因为， 故选：B. 4．（2025·广东湛江·一模）复数，满足，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意根据韦达定理建立一元二次方程，求得复数，根据模长公式以及复数四则运算，可得答案. 【详解】依题意得，复数，是方程的两个根， 可得， 解得，则，， 所以，故选项A正确； ，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D正确． 故选：ABD． 5．（2025·黑龙江·一模）若，则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由复数的除法得到代数形式，即可求解； 【详解】由，可得：， 所以复数的虚部为1. 故选：B 6．（2025·山东泰安·一模）已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案； 【详解】因为， 所以，解得. 故选：B. 7．（2025·福建泉州·一模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的模得到方程求出的值，即可求出，再根据复数代数形式的运算法则判断即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得或（舍去）， 所以，则，所以，. 故选：D 8．（2025·云南昭通·一模）已知复数，则（    ） A． B．2 C．10 D． 【答案】A 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】， 所以. 故选：A. 9．（2025·黑龙江·一模）已知复数满足：，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘除法求出复数z，可得复数，由模长公式即可求得答案. 【详解】由，得， 所以. 故选：D. 10．（2025·山东济宁·一模）已知复数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可得到答案. 【详解】， 则. 故选：B. ( 题型0 2 )复数相等 1．（2025·山西吕梁·一模）已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数乘法法则计算出，根据复数相等得到答案. 【详解】， 故. 故选：C 2．（2025·江西南昌·一模）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数及共轭复数的定义结合复数的加法，应用复数相等得出参数. 【详解】设复数， 满足， 所以，则. 故选：B. 3．（2025·江西赣州·一模）已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，代入，利用模长公式整理得z在复平面内对应点的轨迹方程． 【详解】z在复平面内对应的点为，则， 由，得， 化简得. 故选：A. 4．（2025·北京延庆·一模）已知，为虚数单位，若为实数，则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算及复数的相关概念得解. 【详解】因为为实数， 所以，解得， 故选：C 5．（2025·陕西咸阳·一模）已知复数，，则（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】应用特殊值判断A、D；由判断B；若，且，得，分类讨论判断C. 【详解】对于A、D：当时，，但，故A错误； 又，故D错误； 对于B：由，可得，故B正确； 对于C：设，且， 由，可得，则， 若，则或；若，则， 当，则， 当，则， 当，，则， 综上，，故D正确. 故选：BC. ( 题型0 3 )复数的几何意义 1．（2025·河南安阳·一模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义判断在复平面内，复数所对应的点是半径为2的圆，进而求出其周长. 【详解】设， 由，则， 则在复平面内，复数所对应的点组成的图形为以为圆心，为半径的圆， 故复数所对应的点组成的图形的周长为. 故选：D. 2．（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解. 【详解】由可得， 故复数z对应的点为，位于第二象限. 故选：B 3．（2025·甘肃兰州·一模）若复数，则（    ） A．1 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由复数的乘法整理其为标准式，再利用模长公式，可得答案. 【详解】由，则. 故选：B. 4．（2025·江西萍乡·一模）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为3 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可判断A；设，则，再根据的范围可判断B；根据可得，再举反例可判断C；两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小可判断D. 【详解】对于A，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知，选项A正确； 对于B，若，则点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆， 设， 则， 因为，可得，故B正确； 对于C， ，取，显然，但，故C错误； 对于D，两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小，故D错误. 故选：AB. 5．（2025·四川巴中·一模）已知复数z在复平面内满足，则复数z对应的点的集合所形成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】由，可知在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形为以为圆心，1为半径的圆环及内部， 故在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为 故选：B 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先根据复数的除法运算计算出，然后根据共轭复数的定义求出，由的实虚部可知对应的点的坐标，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以对应的点的坐标是，位于第一象限. 故选：A. 7．（2025·江西上饶·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据虚数单位的运算性质化简分母，再对进行化简，最后根据共轭复数的定义求出. 【详解】，其共轭复数. 故选：A. 8．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）复数，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，则， 所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 9．（2025·江西·一模）设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】由复数的运算性质化简得，则，即答案可求. 【详解】由题意得， 所以，则z在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 10．（2025·江西·一模）若，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算化简复数，再结合复数模的性质求解即可. 【详解】因为， ， 所以结合复数模的性质得，故A正确. 故选：A. 11．（2025·山东烟台·一模）已知复数，其中，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】应用复数模的求法及得或，再由充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 12．（2025·广西·一模）已知复数满足，则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法先计算出，得虚部为. 【详解】由，则复数的虚部为1. 故选：B. 13．（2025·山东菏泽·一模）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义及复数的减法运算即可求解. 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以 所以向量对应的复数为. 故选：D. 14．（2025·辽宁·一模）若复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹的离心率为 . 【答案】 【分析】由椭圆的定义和离心率的定义可得. 【详解】由可得复数在复平面内对应点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆， 所以， 所以离心率为. 故答案为： 15．（2025·广东江门·一模）已知i是虚数单位，复数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘法与除法化简复数成代数形式，利用共轭复数定义即得. 【详解】由，则. 故选：D. ( 题型0 4 )不等式的综合应用 1．（2025·北京延庆·一模）设x，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】特殊值法分别判断A，B，C，再结合基本不等式计算判D. 【详解】因为， 对于A：取，所以，A选项错误； 对于B：取，所以，B选项错误； 对于C：取，所以，C选项错误； 对于D，，当且仅当取等号，所以， 因为，所以，当且仅当取等号，所以， 所以，D选项正确. 故选：D. 2．（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】举出反例即可判断A，由不等式的性质代入计算即可判断BD，由作差法即可判断C. 【详解】对于A，取，满足，但是，故A错误； 对于B，因为，不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为，， 又因为，所以，而，即，， 所以，故C正确； 对于D，设，即， 则，解得，所以， 又，则，且， 所以，所以，故D正确； 故选：BCD 3．（2025·广东湛江·一模）已知定义在上的函数为奇函数，且当时，，若，不等式恒成立，则的值不可能是（   ）． A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用奇函数的性质求出的解析式，再按的不同取值分类讨论在上的单调性即可求解. 【详解】因为定义在上的函数为奇函数，且当时，， 所以当时，，，当时，， 令，即， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 若，则函数在上单调递增， 又，所以， 即恒成立，故满足题意，排除选项A； 若，则，函数在上不单调，图象如图所示， 又，即， 可理解为函数的图象在函数的图象下方， 所以由图象可得，即， 令， 则，， . 故选：D 4．（2025·广东湛江·一模）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】法一：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆的定义、双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案；法二：由题意可得焦点三角形为直角三角形，根据椭圆与双曲线焦点三角形面积的二级结论，建立方程，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案. 【详解】 法一：因为，所以． 设，（不妨设），， 依题意有，，， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为． 法二：因为，所以． 对于焦点三角形，根据椭圆的性质可得其面积， 根据双曲线的性质可得，所以， 所以，整理可得． 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为． 故答案为：. 5．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 【答案】B 【分析】用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取到等号，而，所以. 故选：B 6．（2025·江西萍乡·一模）已知直线的斜率为，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【分析】先求出直线的斜率，化简可得，再利用基本不等式即可求得的最大值. 【详解】， 当且仅当时取等号，所以k的最大值为. 故答案为：. 7．（2025·山东烟台·一模）已知正数满足，则的最小值为 ：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 5 【分析】由已知有，应用基本不等式求最小值，注意取值条件，进而有恒成立，问题化为在上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围. 【详解】由题设，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为5，此时不等式化为恒成立， 所以，即 令且，则， 时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 则 因此可得在上，恒成立， 令且， 所以， 令，， 在单调递增，且， 则时，，函数在单调递减， 时，，函数在单调递增， 因此可得，即， 则当，，则在单调递增， 当，，则在单调递减， 所以，故只需. 故答案为：5， 8．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）下列命题中正确的为（    ） A．若随机变量服从二项分布，且，则 B．若，且，则的最大值为 C．若随机变量服从正态分布，且，则 D．若命题“”是假命题，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】利用二项分布的期望、方差公式和期望的性质判断A，利用基本不等式判断B，根据正太密度曲线的性质判断C，根据一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求参数范围判断D. 【详解】选项A，由期望的性质可知，解得， 因为随机变量服从二项分布，所以，解得， 所以，A说法错误； 选项B：因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，B说法正确； 选项C：因为随机变量服从正态分布，且， 所以，所以，C说法正确； 选项D：若命题“”是假命题， 则， 当时，解得， 当时，恒成立，满足题意；当时，不恒成立，不满足题意； 当则，解得， 综上的取值范围为，D说法错误； 故选：BC 10．（2025·云南昆明·一模）已知函数的图象与有两个交点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由函数解析式可知为偶函数，再结合对勾函数性质以及基本不等式可求出函数单调性，利用偶函数对称性画出函数图象，采用数形结合求得的取值范围可求得结果. 【详解】根据函数解析式可知函数的定义域为， 且满足，故得为偶函数， 当时，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在单调递增， 且在时，取得最小值：； 由对称性可得，又； 再由偶函数性质可知其图象如下图所示： 因函数的图象与有两个交点，由图象可知或； 因此的最小值为3. 故答案为：3. ( 题型0 5 )利用基本不等式求最值 1．（2025·云南昆明·一模）悬链线是一根目睹均匀的绳子或铁链两端固定在水平杆上，受重力的作用自然下垂后形成的曲线，建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，其中，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．， D． 【答案】ACD 【分析】对A，根据偶函数的定义判断；对B，通过导数可判断；对C，由基本不等式判断；对D，直接计算可判断. 【详解】对A，由题知定义域为， 所以，是偶函数，故选项A正确. 对B，函数的导数， 所以当时，当时， 所以单调递减区间为，单调递增区间为. 又，所以函数在单调递增， 由复合函数的单调性，可知 在上单调递减，故选项B错误. 对C，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，故选项C正确. 对D，， ， 则，故选项D正确. 故选：ACD. 2．（2025·安徽·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简得出，再应用基本不等式计算的最小值即可求解. 【详解】已知，所以， 则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 3．（2025·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由幂函数的定义与单调性可得出关于实数的等式或不等式，解出，可得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 则，解得， 正数、满足，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 4．（2025·山西吕梁·一模）正数满足，则的最小值是 . 【答案】16 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由正数满足，得， 则， 当且仅当，即取等号， 所以的最小值是16. 故答案为：16 5．（2025·江西·一模）已知函数，若存在，，使得在区间上的值域为，则（   ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C． D． 【答案】AC 【分析】由题意可得，是方程的两个根，可得方程有2个不相等的正根，，利用一元二次方程根的分布得所满足的条件，求解可判断AB，利用基本不等式计算可判断CD. 【详解】由题意知在上单调递增，又在上的值域为， 所以，所以，是方程的两个根， 设，则，是方程的两个根， 因为，所以，所以方程有2个不相等的正根，， 所以，解得，故A正确，B错误. 由基本不等式，可得， 所以，故C正确； ， 因为，所以，故D错误. 故选：AC. 6．（2025·贵州六盘水·一模）函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用奇函数定义及单调性判断，再转化恒成立问题为最值问题，最后应用基本不等式求最小值，计算一元二次不等式即可. 【详解】因为函数，为减函数； 又因为所以为奇函数， 若，不等式恒成立， 则不等式，因为为奇函数，所以， 因为为减函数，所以恒成立， 所以恒成立，所以， ， 当且仅当时取最小值3，所以， 所以，所以实数m的取值范围是. 故选：B. 7．（2025·广东汕头·一模）已知，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．不存在 【答案】C 【分析】应用基本不等式计算求解即可. 【详解】由基本不等式得：，当且仅当时取等号，C正确． 故选：C. 8．（2025·江苏南通·一模）在公差不为的等差数列中，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】，，，显然， ， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D． 9．（2025·重庆·一模）已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】由点到线的距离公式可得右焦点到渐近线的距离为，根据的面积等于，可得，再利用不等式即可求解. 【详解】    设，是渐近线上的两点，右焦点到渐近线的距离为， 所以的面积为， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：. 10．（2025·陕西西安·一模）设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，令，求出函数，利用导数探讨零点求出的最小整数值，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】令，函数定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，值趋近于正无穷大；当趋近于正无穷大时，值趋近于正无穷大， 由有两个零点，得，即， 函数在上都递增，则函数在上递增， ，因此存在，使得， 则不等式成立时，的最小整数值为3，即， 由，得，， 当且仅当，即时取等号，B正确. 故选：B 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 不等式、复数 题型概览 题型01复数加减乘除运算 题型02复数相等 题型03复数的几何意义 题型04不等式的综合应用 题型05利用基本不等式求最值 ( 题型0 1 )复数加减乘除运算 1．（2025·天津武清·一模）i是虚数单位，则 . 2．（2025·广东深圳·一模）若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 3．（2025·宁夏银川·一模）（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东湛江·一模）复数，满足，，则（   ）． A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江·一模）若，则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 6．（2025·山东泰安·一模）已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 7．（2025·福建泉州·一模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·云南昭通·一模）已知复数，则（    ） A． B．2 C．10 D． 9．（2025·黑龙江·一模）已知复数满足：，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山东济宁·一模）已知复数，则（   ） A． B． C．1 D．2 ( 题型0 2 )复数相等 1．（2025·山西吕梁·一模）已知（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西南昌·一模）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江西赣州·一模）已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京延庆·一模）已知，为虚数单位，若为实数，则（    ） A． B．1 C． D．4 5．（2025·陕西咸阳·一模）已知复数，，则（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ( 题型0 3 )复数的几何意义 1．（2025·河南安阳·一模）若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·甘肃兰州·一模）若复数，则（    ） A．1 B． C．3 D．5 4．（2025·江西萍乡·一模）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为3 C．若，则 D．若，则 5．（2025·四川巴中·一模）已知复数z在复平面内满足，则复数z对应的点的集合所形成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2025·江西上饶·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）复数，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（2025·江西·一模）设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 10．（2025·江西·一模）若，则（    ） A．5 B． C． D． 11．（2025·山东烟台·一模）已知复数，其中，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2025·广西·一模）已知复数满足，则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 13．（2025·山东菏泽·一模）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·辽宁·一模）若复数满足，则复数在复平面内对应点的轨迹的离心率为 . 15．（2025·广东江门·一模）已知i是虚数单位，复数，则（ ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )不等式的综合应用 1．（2025·北京延庆·一模）设x，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2025·广东湛江·一模）已知定义在上的函数为奇函数，且当时，，若，不等式恒成立，则的值不可能是（   ）． A． B． C． D．3 4．（2025·广东湛江·一模）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且（O为坐标原点）．设椭圆A与双曲线B的离心率分别为，，则的最小值为 ． 5．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 6．（2025·江西萍乡·一模）已知直线的斜率为，则的最大值为 . 7．（2025·山东烟台·一模）已知正数满足，则的最小值为 ：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 8．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）下列命题中正确的为（    ） A．若随机变量服从二项分布，且，则 B．若，且，则的最大值为 C．若随机变量服从正态分布，且，则 D．若命题“”是假命题，则的取值范围为 10．（2025·云南昆明·一模）已知函数的图象与有两个交点，则的最小值为 . ( 题型0 5 )利用基本不等式求最值 1．（2025·云南昆明·一模）悬链线是一根目睹均匀的绳子或铁链两端固定在水平杆上，受重力的作用自然下垂后形成的曲线，建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，其中，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．， D． 2．（2025·安徽·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为 ． 4．（2025·山西吕梁·一模）正数满足，则的最小值是 . 5．（2025·江西·一模）已知函数，若存在，，使得在区间上的值域为，则（   ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C． D． 6．（2025·贵州六盘水·一模）函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东汕头·一模）已知，，，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．不存在 8．（2025·江苏南通·一模）在公差不为的等差数列中，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·重庆·一模）已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 10．（2025·陕西西安·一模）设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$