专题09 平面向量-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（新高考通用）

专题09 平面向量 题型概览 题型01平面向量线性运算 题型02数量积及求模问题 题型03求夹角问题 题型04平行垂直问题 题型05投影向量及平面向量的几何应用 ( 题型0 1 )平面向量线性运算 1．（2025·河南安阳·一模）已知平行四边形的对角线的交点为，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京平谷·一模）已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（2025·山东烟台·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东江门·一模）在矩形中，成等差数列，，则矩形的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 6．（2025·山东临沂·一模）在中，点是的中点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·贵州毕节·一模）已知正方形ABCD的边长为2，且，，则 ． 8．（2025·山西·一模）在中，，，． (1)若，求； (2)若，，求的值． 9．（2025·重庆·一模）在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·山东青岛·一模）已知向量 ，，，若点不能构成三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 2 )数量积及求模问题 1．（2025·河北邢台·一模）若向量，满足，，则 ． 2．（2025·天津武清·一模）已知正方形的边长为，，若， 其中，为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则 的最小值为 . 3．（2025·广东深圳·一模）已知向量满足，则（   ） A． B． C．0 D．1 4．（2025·江苏宿迁·一模）若，，则等于（    ） A． B． C．5 D．7 5．（2025·甘肃兰州·一模）与向量反向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江西萍乡·一模）已知向量，，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．2 7．（2025·云南昭通·一模）已知向量，是单位向量，且，则为（    ） A． B． C．3 D．5 8．（2025·江西上饶·一模）在平行四边形中，，，，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 9．（2025·湖北·一模）若非零向量，满足，且向量与向量的夹角，则的值为（   ） A．-24 B．24 C． D．0 10．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（   ） A． B． C． D． ( 题型0 3 )求夹角问题 1．（2025·山东泰安·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江·一模）已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为 . 3．（2025·福建泉州·一模）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江·一模）已知平面向量满足，则 ． 5．（2025·山东日照·一模）下列说法正确的是（    ） A．已知为非零向量，若，则的夹角为锐角 B．展开式中的常数项为 C．若方程表示椭圆，则 D．点在直线上运动，的最大值是 6．（2025·江苏南通·一模）若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ． 8．（2025·广东茂名·一模）向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（    ） A．8 B．5 C． D． 9．（2025·安徽合肥·一模）已知向量，满足，且，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·湖南邵阳·一模）已知向量，，与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )平行垂直问题 1．（2025·江西赣州·一模）已知向量，，且，则= ． 2．（2025·广东湛江·一模）已知向量，，若，则（   ）． A． B．2 C． D．5 3．（2025·广西·一模）已知直线与椭圆交于、两点，为坐标原点． (1)证明：； (2)已知，证明：点到直线的距离为定值． 4．（2025·山西吕梁·一模）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江西·一模）若向量，，且，则（   ） A． B．45 C． D． 6．（2025·陕西·一模）若向量，，，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量是 7．（2025·广东·一模）已知向量，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 8．（2025·贵州六盘水·一模）设，则（   ） A．1 B． C． D．2 9．（2025·浙江·一模）已知向量，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 10．（2025·广东·一模）已知向量满足，则（    ） A．2 B． C． D．3 ( 题型0 5 )投影向量及平面向量的几何应用 1．（2025·云南昆明·一模）已知，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东菏泽·一模）已知平面向量，，则下列说法正确的有（   ） A．向量，不可能垂直 B．向量，不可能共线 C．不可能为3 D．若，则在上的投影向量为 3．（2025·安徽滁州·一模）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·广东佛山·一模）在中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．若，则 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（   ） A．3 B．1 C．2 D．4 6．（2025·云南曲靖·一模）在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系、若，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 平面向量 题型概览 题型01平面向量线性运算 题型02数量积及求模问题 题型03求夹角问题 题型04平行垂直问题 题型05投影向量及平面向量的几何应用 ( 题型0 1 )平面向量线性运算 1．（2025·河南安阳·一模）已知平行四边形的对角线的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用平面向量线性运算计算得解. 【详解】在中，. 故选：C 2．（2025·北京平谷·一模）已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断. 【详解】若，， 所以，， 当时，，当时，，此时 故“”是“”的不充分条件， 因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，所以是必要条件， 综上可知，，那么“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设的中点为，由向量的线性运算可得，由数量积的计算公式即可求解. 【详解】设的中点为，则， 因为，所以， 所以， 因为等边的边长为2，则，所以， 所以. 故选：. 4．（2025·山东烟台·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出向量线性关系，结合向量数量积公式计算求解模长即可. 【详解】在中，， 所以， 则 . 故选：C. 5．（2025·广东江门·一模）在矩形中，成等差数列，，则矩形的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】根据向量加法三角形法则，得到，再由等差数列的性质和矩形的性质即可求得结果. 【详解】因为，所以, 故，又成等差数列，所以, 即①,在矩形中，由②, 将①式代入②式解得：或(舍去)， 把结果代入①式得，故矩形的周长为, 故选：C 6．（2025·山东临沂·一模）在中，点是的中点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，，根据点在上，即可列方程求解. 【详解】由题意点是的中点，所以， 又，所以， 解得， 又因为点在上， 所以，解得或（舍去）. 故选：B. 7．（2025·贵州毕节·一模）已知正方形ABCD的边长为2，且，，则 ． 【答案】/0.5 【分析】由平面向量的线性运算及数量积运算即可求解． 【详解】由题意，，则， 所以，， 所以 ， 解得． 故答案为：． 8．（2025·山西·一模）在中，，，． (1)若，求； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算，利用向量的模长公式即可求解， （2）根据正弦定理可得①式和②式，即可作商求解.. 【详解】（1）∵，∴， ∴， 即，∴． 又，∴，∴． （2）在中，①， 在中， ②， ①÷②得 又，，∴， 所以 9．（2025·重庆·一模）在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三点共线，则可设，由三点共线，则可设，然后根据题意都用表示，从而可求出的值，进而可求得答案 【详解】 因为三点共线，所以可设， 所以， 因为三点共线，所以可设， 因为 ，，所以， 所以， 所以， 即，解得，， 所以， 故选：A. 10．（2025·山东青岛·一模）已知向量 ，，，若点不能构成三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得的坐标，再根据三点共线求出的值，即可得到结果. 【详解】由题意可得,， 若点三点共线，则点不能构成三角形, 即，解得：， 所以的值为. 故选：B. ( 题型0 2 )数量积及求模问题 1．（2025·河北邢台·一模）若向量，满足，，则 ． 【答案】 【分析】由两边平方结合数量积运算律可求，再结合关系求结论. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 2．（2025·天津武清·一模）已知正方形的边长为，，若， 其中，为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则 的最小值为 . 【答案】 / 【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则可得，再根据平面向量基本定理求，，由此可得；根据向量线性运算法则结合数量积运算律可得，结合图形确定的最小值，由此可求的最小值. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以，， 所以， 因为为线段的中点，所以，又， 所以， 又， 所以， 因为设是线段上的动点，又为钝角， 所以， 因为正方形的边长为，， 所以， 所以， 所以当点与点重合时，取最小值，最小值为. 故答案为：；. 3．（2025·广东深圳·一模）已知向量满足，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 4．（2025·江苏宿迁·一模）若，，则等于（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】先求出，，再利用空间向量的数量积运算求解即可． 【详解】，，则， ，， ， 故选：A 5．（2025·甘肃兰州·一模）与向量反向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反向单位向量即为，代入计算即可. 【详解】与反向的单位向量为. 故答案为：A. 6．（2025·江西萍乡·一模）已知向量，，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由与垂直求出，再求出的坐标，利用坐标的模长公式可得答案. 【详解】由已知，得；由与垂直，得， 即，可得. 因为， 所以. 故选：A. 7．（2025·云南昭通·一模）已知向量，是单位向量，且，则为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由，两边平方可得，再将平方即可得答案. 【详解】因为向量，是单位向量，所以 由则， 所以， 故选：B. 8．（2025·江西上饶·一模）在平行四边形中，，，，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】以为基底，表示，，结合向量数量积的概念和运算律可求的值. 【详解】如图： 以为基底，则，，. 且，， 所以. 故选：D 9．（2025·湖北·一模）若非零向量，满足，且向量与向量的夹角，则的值为（   ） A．-24 B．24 C． D．0 【答案】D 【分析】根据已知条件可判断为直角三角形，从而求得的值. 【详解】令，，则， 则由及, 在中，，，， 由正弦定理：,解得,故得为直角三角形， 且，所以. 故选：D 10．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将向量、用基底表示，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示：                因为等边三角形的边长是，、分别是、的中点， 则， 由得，可得， 由平面向量数量积的定义可得， 因此， . 故选：B. ( 题型0 3 )求夹角问题 1．（2025·山东泰安·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两边平方可得，再结合向量夹角的计算可得. 【详解】，所以，两边平方可得， 又，所以， 所以. 故选：D 2．（2025·黑龙江·一模）已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用投影向量的定义得到，再利用向量夹角公式，即可求解. 【详解】因在上的投影向量为，即， 则，又，则得， 所以， 又，故向量与向量的夹角为， 故答案为：. 3．（2025·福建泉州·一模）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数量积的运算律求出，进而求出夹角. 【详解】由，得，而，则， ，而， 所以与的夹角. 故选：C 4．（2025·黑龙江·一模）已知平面向量满足，则 ． 【答案】/ 【分析】利用平面向量数量积的定义结合给定条件得到方程，求解夹角即可. 【详解】因为，所以，得到， 即，而， 故，解得. 故答案为： 5．（2025·山东日照·一模）下列说法正确的是（    ） A．已知为非零向量，若，则的夹角为锐角 B．展开式中的常数项为 C．若方程表示椭圆，则 D．点在直线上运动，的最大值是 【答案】BD 【分析】对于A，将已知条件两边同时平方，整理得到，结合平面向量的数量积的定义得到，由平面向量的夹角范围，进而可以判断选项；对于B，由二项式在的展开式的通项公式为，令，即可判断；对于C，根据椭圆的定义列出不等式组进行求解；对于D，利用对称性，结合三点共线，即可求解． 【详解】对于A选项，已知，将两边同时平方可得. 展开化简可得，即.可知. 当与同向时，，此时夹角为，不是锐角，所以A选项错误. 对于B选项，对于展开式的通项为. 令，解得. 将代入通项公式可得常数项为，所以B选项正确. 对于C选项，若方程表示椭圆，则需满足. 解得的取值范围是且，C选项错误. 对于D选项，设点关于直线的对称点为. 根据对称点的性质可得，解得，则，即. 根据三角形两边之差小于第三边可知. 根据两点间距离公式，所以的最大值是，D选项正确. 故选：BD. 6．（2025·江苏南通·一模）若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用投影向量的公式，结合数量积运算即可. 【详解】在上投影向量， ，， 则， 由于，， 故选：B． 7．（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】对、的符号进行分类讨论，确定点的轨迹，作出其图形，计算出该图形的面积，即为所求；计算得出，要求其最大值，令，由已知得出，利用二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 如下图所示： 记点、、、， 则点的轨迹为四边形， 因为，，同理可得， 故四边形为矩形，且， 所以，点的轨迹围成的图形面积为； 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 因为，要求其最大值，令， 不妨设，，于是，则， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：；. 8．（2025·广东茂名·一模）向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（    ） A．8 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示出、，利用余弦定理确定，利用面积得到，由此推断最大时，最大，取最小值，利用坐标运算得到：，由二次函数性质求最值即可. 【详解】 设为轴正半轴上的单位向量， 令，，， 如图所示，设与的夹角为，若， 在中，由余弦定理有：则， 而， 所以，所以， 因为，所以， 有根据正弦定理有：，即， 整理有：，所以， 当与的夹角最大时，最大，取最小值， 因为， 当且仅当时，取等号，所以当与的夹角最大时，. 故选：D 9．（2025·安徽合肥·一模）已知向量，满足，且，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的数量积公式计算得到，从而得到与的夹角. 【详解】 ， ，且，，， ， ， ， ，且 ， ，即与的夹角为 故选: 10．（2025·湖南邵阳·一模）已知向量，，与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据向量数量积公式求出，再利用三角函数诱导公式求出结果. 【详解】根据向量数量积公式. 先求，. 再求.. 所以. 根据三角函数诱导公式，所以. 故选：C. ( 题型0 4 )平行垂直问题 1．（2025·江西赣州·一模）已知向量，，且，则= ． 【答案】 【分析】先根据坐标线性运算得出坐标，再应用垂直的坐标运算计算求参，最后应用坐标求模长即可. 【详解】因为向量，， 则， 因为，则，所以， 所以． 故答案为： 2．（2025·广东湛江·一模）已知向量，，若，则（   ）． A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据垂直向量的数量积以及其坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案. 【详解】因为，所以，所以，所以． 故选：C． 3．（2025·广西·一模）已知直线与椭圆交于、两点，为坐标原点． (1)证明：； (2)已知，证明：点到直线的距离为定值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，利用判别式列出不等式推理即得. （2）利用韦达定理，结合数量积的坐标表示及点到直线距离公式推理即得. 【详解】（1）由消去，得，由直线与椭圆交于两点， 得， 所以. （2）设，由（1）知，， ，由，得， 整理得，因此点到直线的距离为定值， 所以点到直线的距离为定值． 4．（2025·山西吕梁·一模）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂直关系的向量表示，数量积的坐标表示列式计算得解. 【详解】向量，则，， 由，得， 所以. 故选：B 5．（2025·江西·一模）若向量，，且，则（   ） A． B．45 C． D． 【答案】C 【分析】直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出，从而进一步求出. 【详解】因为，所以，解得， 故， 故. 故选：C. 6．（2025·陕西·一模）若向量，，，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量是 【答案】CD 【分析】利用向量模长公式判断A；根据向量平行的性质判断B；根据向量垂直数量积为零判断C；利用投影向量的定义判断D. 【详解】因为向量，，， 对于A，，故 A 错误； 对于B，，与不平行，故B错误； 对于C，因为，则，，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，故D正确． 故选：CD. 7．（2025·广东·一模）已知向量，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解； 【详解】由于， 则， 则； 故选：B 8．（2025·贵州六盘水·一模）设，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用向量模长的坐标表示以及垂直关系的向量表示，结合勾股定理计算即可. 【详解】由可得， 又可得， 在中，由勾股定理可得， 解得. 故选：C 9．（2025·浙江·一模）已知向量，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】由，，，， 由得，解得. 故选：C. 10．（2025·广东·一模）已知向量满足，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及向量数量积运算律计算得解. 【详解】由，得，则， 所以. 故选：C ( 题型0 5 )投影向量及平面向量的几何应用 1．（2025·云南昆明·一模）已知，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量公式求解即可. 【详解】由题意，在上的投影向量为. 故选：A 2．（2025·山东菏泽·一模）已知平面向量，，则下列说法正确的有（   ） A．向量，不可能垂直 B．向量，不可能共线 C．不可能为3 D．若，则在上的投影向量为 【答案】BD 【分析】根据向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行的坐标表示可判断B；根据向量模长坐标公式可判断C；根据在上的投影向量为可判断D. 【详解】由题意知，. 对于选项A，若向量，则，即， 显然此式能成立，故A错； 对于选项B，若向量，则有，即， 即，显然此式不成立，故 B正确； 对于选项C，， 则当时，，故C错； 对于选项D，若，则，， 则在上的投影向量为，故D 正确. 故选：BD 3．（2025·安徽滁州·一模）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量公式计算即可. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为 故选：C. 4．（2025·广东佛山·一模）在中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量为 D．若，则 【答案】AC 【分析】A选项对题干条件直接根据数量积的定义，化简成，然后根据边角转化求解；B选项利用两角和的正切公式求解；C选项结合正弦定理，投影向量公式求解；D选项根据正弦定理算出三边长度之后根据数量积定义求解. 【详解】A选项，对于，根据数量积的定义展开可得，， 即，即，由正弦定理，， 即，则为锐角，由， 解得，，A选项正确， B选项：由A选项和题干可知，， ，故，B选项错误. C选项：在方向上的投影向量为， 由B知，，，且，解得， 由正弦定理，，则，C选项正确. D选项：由正弦定理，，即，解得， 于是，，D选项错误. 故选：AC 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（   ） A．3 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先通过已知求出点的坐标，利用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】在平面四边形中，，可以建立如图平面直角坐标系， ，，设， 因为，所以，解得，所以， 又，所以，所以，， 所以． 故选：C． 6．（2025·云南曲靖·一模）在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系、若，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出与的模，进而得到的三角函数值，再根据为的中点，得到的三角函数值，最后利用三角函数求出的坐标. 【详解】根据向量模的计算公式，若，则. 已知，则； ，则. 可得. 所以. 则. 则. 根据半角公式，； . 因为，设. ； . 所以. 故选：B. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$