10.3 实际问题与二元一次方程组（第2课时）（ 分层作业）-【上好课】七年级数学下册同步高效课堂（人教版2024）

10.3 实际问题与二元一次方程组（第2课时）分层作业 基础训练 1．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 第1题图 第2题图 2．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，设每块小长方形墙砖的长为x cm，宽为y cm，则下列所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 第3题图 第4题图 4．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有500张正方形纸板和800张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将库存的纸板用完，则可列方程是（　　） A． B． C． D． 5．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 6．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．设从甲地到乙地上坡与平路分别为x km，y km，依题意，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2024重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ 8．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，设∠1＝x°，∠2＝y°，先根据题意列出二元一次方程组，再求解． 9．为了保护生态平衡，绿化环境，国家大力鼓励“退耕还林还草”，其补偿政策如表1． 种树、种草每亩每年补粮、补钱情况表（表1） 种植名称 补偿内容 种树 种草 补粮 150千克 100千克 补钱 200元 150元 小浪底库区某农户积极响应国家号召，承包了一片山坡地种树、种草，所得到国家的补偿如表2， 种树、种草亩数及补偿通知单（表2） 种树、种草 补粮 补钱 30亩 4000千克 5500元 问该农户种树、种草各多少亩？（用两种方法解题） 10．小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图②所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为2cm的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？ 思考1：设小长方形的长为x cm，宽为y cm．在图①中大长方形的长有两种表现形式，一种是5个小长方形的 　 　的和，另一种是3个小长方形的 　 　的和，可得方程 　 　． 思考2：在图②中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是 　 　个小长方形的长和 　 　个小长方形的宽的和，另一种从中间看为 　 　个小长方形的长与空白小正方形的 　 　的和，可得方程 　 　． 能力提升 11．如图，由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分（阴影）的面积是4m2，广告牌所占的面积是 30m2（厚度忽略不计），除重叠部分外，矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m2，设矩形面积是xm2，三角形面积是ym2，则根据题意，可列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 第11题图 第12题图 12．一列快车长70米，一列慢车长80米．若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间为20秒．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每秒各行多少米？ 如图，设快车每秒行x米，慢车每秒行y米．根据题意填空． （1）若同向而行，经过20秒快车行驶的路程比慢车行驶的路程多 　 　米，可列方程 　 　． （2）若相向而行，两车4秒共行驶 　 　米，可列方程 　 　． （3）由以上可得方程组 　 　，解得 　 　． 拔高拓展 13．问题：如图，一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．这个长方形的长、宽分别是多少厘米？设长方形的长、宽分别是x cm，y cm． （1）小明绞尽脑汁列出了四个不同的方程组： ①； ②； ③； ④． 以上四个方程组中，能正确反映题意的有 　 　；（请直接填写序号） （2）小明列出的正确方程组，根据目前所学知识不易求解，便请教老师，老师提示这个问题可以列二元一次方程组来解答，并适时点拨，小明终于明白了．请你写出小明列出的二元一次方程组，并写出解题过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3 实际问题与二元一次方程组（第2课时）分层作业 基础训练 1．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，由图示可得等量关系：①2个长＝1个长+3个宽，②一个长+一个宽＝80cm，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【解答】解：设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm， 由题意得：， 故选：C． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 2．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，设每块小长方形墙砖的长为x cm，宽为y cm，则下列所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】每块小长方形墙砖的长为x cm，宽为y cm，根据图形，比较图形中的高度，找到两个等量关系，列出方程组为即可． 【解答】解：每块墙砖的长为x cm，宽为y cm， 根据题意得：． 故选：D． 【点评】本题考查了从实际问题抽象出二元一次方程组，关键是根据题意找到等量关系式． 3．如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据大矩形的长及其内小长方形各边间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵大矩形的长为20， ∴x+2y＝20； 观察图形，可知：x＝3y， ∴根据题意可列方程组， 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键． 4．用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有500张正方形纸板和800张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，恰好将库存的纸板用完，则可列方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据共有500张正方形纸板和800张长方形纸板，列方程组即可求解． 【解答】解：根据题意，得， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找出合适的等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇，可得2x+2y＝18，根据甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，可得5x﹣4y＝18，从而可以列出相应的方程组． 【解答】解：由题意可得． 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 6．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．设从甲地到乙地上坡与平路分别为x km，y km，依题意，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用时间＝路程÷速度，结合“从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵从甲地到乙地需54min， ∴； ∵从乙地到甲地需42min， ∴， ∴根据题意得可列方程组． 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．（2024重庆）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ 【分析】设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元，根据“购买外墙漆总费用为15000元，且A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 【解答】解：设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元； 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 8．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，设∠1＝x°，∠2＝y°，先根据题意列出二元一次方程组，再求解． 【分析】根据图示可得∠1和∠2互余，进而可得x+y＝90，再根据∠1的度数比∠2的度数大50°可得x﹣y＝50，然后利用加减消元法计算即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 9．为了保护生态平衡，绿化环境，国家大力鼓励“退耕还林还草”，其补偿政策如表1． 种树、种草每亩每年补粮、补钱情况表（表1） 种植名称 补偿内容 种树 种草 补粮 150千克 100千克 补钱 200元 150元 小浪底库区某农户积极响应国家号召，承包了一片山坡地种树、种草，所得到国家的补偿如表2， 种树、种草亩数及补偿通知单（表2） 种树、种草 补粮 补钱 30亩 4000千克 5500元 问该农户种树、种草各多少亩？（用两种方法解题，只列出方程（组）） 【分析】可用一元一次方程、二元一次方程组的角度求解，等量关系为：总共30亩，补钱4000千克，补钱5500元． 【解答】解：方法一：设该农户种树x亩，则种草（30﹣x）亩， 则150x+（30﹣x）×100＝4 000． 解得：x=20， 所以30﹣x=10. 答：该农户种树20亩，则种草10亩. 方法二：设该农户种树x亩，种草y亩， 则． 解得：x=20，y=10. 答：该农户种树20亩，则种草10亩. 【点评】本题考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，解答解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系． 10．小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图②所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为2cm的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？ 思考1：设小长方形的长为x cm，宽为y cm．在图①中大长方形的长有两种表现形式，一种是5个小长方形的 　宽　的和，另一种是3个小长方形的 　长　的和，可得方程 　5y＝3x　． 思考2：在图②中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是 　1　个小长方形的长和 　2　个小长方形的宽的和，另一种从中间看为 　2　个小长方形的长与空白小正方形的 　边长　的和，可得方程 　x+2y＝2x+2　． 【分析】思考1：根据小长方形的宽×5＝小长方形的长×3解答即可； 思考2：根据2个小长方形的宽+1个小长方形的长＝2+2个小长方形的长解答即可． 【解答】解：思考1：设小长方形的长为x cm，宽为y cm．在图①中大长方形的长有两种表现形式，一种是5个小长方形的宽的和，另一种是3个小长方形的长的和，可得方程5y＝3x． 故答案为：宽，长，5y＝3x． 思考2：在图②中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是1个小长方形的长和2个小长方形的宽的和，另一种从中间看为2个小长方形的长与空白小正方形的边长的和，可得方程x+2y＝2x+2． 故答案为：1，2，边长，x+2y＝2x+2． 【点评】本题是考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是善于从图形中挖掘出隐含的等量关系． 能力提升 11．如图，由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分（阴影）的面积是4m2，广告牌所占的面积是 30m2（厚度忽略不计），除重叠部分外，矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m2，设矩形面积是xm2，三角形面积是ym2，则根据题意，可列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意找到等量关系：①矩形面积+三角形面积﹣阴影面积＝30；②（矩形面积﹣阴影面积）﹣（三角形面积﹣阴影面积）＝2，据此列出方程组． 【解答】解：依题意得：． 故选：A． 【点评】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 12．一列快车长70米，一列慢车长80米．若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用时间为20秒．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每秒各行多少米？ 如图，设快车每秒行x米，慢车每秒行y米．根据题意填空． （1）若同向而行，经过20秒快车行驶的路程比慢车行驶的路程多 　150　米，可列方程 　20x﹣20y＝150　． （2）若相向而行，两车4秒共行驶 　150　米，可列方程 　4x+4y＝150　． （3）由以上可得方程组 　　，解得 　　． 【分析】（1）根据题意，快车比慢车多行驶的是两车的车长； （2）相向行驶，相遇时，两车行驶的总路程是两车的车长； （3）将（1）（2）的两个方程联立，再用加减消元法求解即可． 【解答】解：（1）∵快车长70米，慢车长80米，两车同向行驶， ∴20秒快车比慢车多行驶70+80＝150米， ∴20x﹣20y＝150， 故答案为：150，20x﹣20y＝150； （2）∵两车相向行驶，两车从相遇到离开时间为4秒， ∴两车4秒共行驶150米， ∴4x+4y＝150， 故答案为：150，4x+4y＝150； （3）将（1）（2）联立方程组为， ②×5，得20x+20y＝750③， ①+③，得40x＝900， 解得x＝22.5， 将x＝22.5代入①得，y＝15， ∴方程组的解为， 故答案为：，． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据所给条件列出正确的二元一次方程组是解题的关键． 拔高拓展 13．问题：如图，一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．这个长方形的长、宽分别是多少厘米？设长方形的长、宽分别是x cm，y cm． （1）小明绞尽脑汁列出了四个不同的方程组： ①； ②； ③； ④． 以上四个方程组中，能正确反映题意的有 　①②④　；（请直接填写序号） （2）小明列出的正确方程组，根据目前所学知识不易求解，便请教老师，老师提示这个问题可以列二元一次方程组来解答，并适时点拨，小明终于明白了．请你写出小明列出的二元一次方程组，并写出解题过程． 【分析】（1）根据长﹣5＝宽+2，就成为一个正方形，及两图形的面积相等，可得出方程组①②④； （2）根据“这发型的边长相等”和“增加的面积＝减少的面积”列方程组求解． 【解答】解：（1）解：由题意得：x﹣5＝y+2且xy＝（x﹣5）2＝（y+2）2＝（x﹣5）（y+2）， 故答案为：①②④； （2）设长方形的长、宽各是x cm，y cm， 则：， 解得：， 答：长方形的长为8cm、宽是1cm． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到相等关系是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$