解三角形最值与取值范围 题型归纳讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【解三角形最值与取值范围】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：三角形面积最值与取值范围】 （类型一：对边对角型） （类型二：邻边邻角型） （类型三：夹边夹角型） （类型四：锐角三角形型） 知识讲解 解题思路： 1. 确定已知条件：明确题目中给出的三角形的边和角的信息，例如已知两边及其夹角、两角及其夹边、三边等情况。这是后续选择合适公式和方法的基础。 2. 选择合适的面积公式 若已知两边，及其夹角，则使用。 若已知两角，及其夹边，先由求出，再根据正弦定理求出或，然后代入。 若已知三边，，，可先通过余弦定理求出一个角的余弦值，再求出其正弦值，最后代入面积公式。也可使用海伦公式（其中）。 3. 利用正余弦定理进行转化 正弦定理：（为三角形外接圆半径），可以将边转化为角的正弦值，或者将角的正弦值转化为边。常用于已知两角和一边或已知两边和其中一边的对角的情况。 余弦定理：，，。可以根据已知条件求出边或角，也可以通过对式子的变形和整理，结合基本不等式等方法来求解面积的最值或取值范围。 4. 结合三角函数的性质 若面积公式中含有角的三角函数，需要根据角的范围来确定三角函数的值域。例如，已知，则；若，则且。 对于形如的函数，要根据的取值范围求出的范围，进而确定的取值范围。 5. 运用基本不等式 若面积公式中出现边的乘积或和的形式，可考虑使用基本不等式。例如，对于正实数，，有（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）。通过基本不等式可以将边的关系转化为面积的最值或取值范围。 6. 确定取值范围的边界条件 要考虑三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）以及角的取值范围（内角和为，且每个角都大于小于），这些条件会对面积的取值范围产生限制。在求解过程中，要确保所得到的结果满足这些条件。 例题精选 1．（2022·全国·模拟预测）已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，． (1)求角A的值； (2)若，求面积的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算，并结合辅助角公式即可求出函数的解析式，又由，即可求角A的值；（2）根据正弦定理和三角恒等变换以及三角形面积公式，再结合三角形内角的范围即可得出面积的范围． 【详解】（1）∵，，， ∴ ． 又，∴．又为锐角三角形， ∴或 ∴或（舍去），∴． （2）由正弦定理知， 又∵，，∴， ∴． 故得到：，∴， ∴面积的范围为 2．（21-22高二上·河南开封·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，．且满足：． (1)求角的大小； (2)若时，求面积的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据余弦定理得到角度. （2）根据正弦定理得到，，带入面积公式化简得到，根据角度范围得到面积范围. 【详解】（1），即， 整理得到：，故，，故. （2）根据正弦定理：，故，， ，，故，， 故面积范围为：. 3．（20-21高一下·重庆巴南·阶段练习）在中，． （1）D为线段上一点，且，求长度； （2）若为锐角三角形，求面积的范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)由三角形面积及所给数量积过求出角B，再求出并借助余弦定理即可得解； (2)设，由锐角三角形求出范围，借助正弦定理用表示出AB，列出用表示的面积关系，经化简变形即可作答. 【详解】（1）在中，依题意得：， 则有，于是得，而，则， 又，则， 在中，从而得等边，即，， 在中由余弦定理得，解得； （2）在中，，设，由正弦定理得： ， 于是得， 因是锐角三角形，则，且， 于是有，则，即，， 从而得， 所以面积的取值范围是． 4．（2024·四川德阳·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且，. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的面积范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，利用正弦定理得到，再利用三角恒等变换求解； （2）设的外接圆半径为，得到，再由求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为， 所以，则， 因为， 所以，又，则， 所以. （2）设的外接圆半径为，则， 所以， ， ， ， ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 则， 则， 所以， 所以的面积范围. 相似练习 5．（2025·江西萍乡·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求C； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】先利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，求出角；再根据余弦定理和基本不等式求出ab的最大值，进而求出三角形面积的最大值. 【详解】（1）由及正弦定理，得， 因为，所以.又（若， 则，所以， 这与矛盾，所以假设不成立， 从而），所以，即. （2）由余弦定理，得， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 则，即的面积的最大值为. 6．（2025高三·全国·专题练习）从条件①；②；③中任选一个作为已知，补充在下面的问题中，在中，已知，______，求面积的最大值． 【答案】选择见解析， 【分析】若选①，得到，，由余弦定理和基本不等式求出，得到面积最大值； 若选②，由诱导公式和正弦二倍角公式得到，解得，由余弦定理和基本不等式求出，求出面积最大值； 若选③，由正弦定理得到，由余弦定理求出，结合基本不等式求出，求出面积最大值； 【详解】若选择条件①； 由条件可得，即，， 又，，故，即， 由余弦定理得，所以， 由，即，可得， 当且仅当时等号成立， 所以， 则面积的最大值为； 若选择条件②； 由条件可得， 因为，所以，又， 所以， 又，故，， 故，解得， 由余弦定理得， 所以，由，得， 当且仅当时等号成立， 所以， 则面积的最大值为． 若选择条件③； 由条件可得， 由正弦定理得， 由余弦定理得，又，故， 故，由，得， 当且仅当时等号成立， 所以， 则面积的最大值为． 7．（2025·四川·一模）在中，已知内角的对边分别为，为线段上一点，． (1)若为的中点，且，求面积的最大值； (2)若，且，求． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由题意可得，利用向量的模的计算结合基本不等式可求出，再利用三角形面积公式，即可求得答案； （2）记，利用余弦定理可得．在中，可得，解方程组即可求得答案. 另解：可利用角平分线性质定理推出，从而再利用等面积法求解. 【详解】（1）因为，， 则有，解得， 所以．（当且仅当时取等） 所以的面积的最大值为． （2）因为，所以 记，则有，由余弦定理得， 解得． 在中，，则，解得， 联立方程组则有，解得． 另解：由条件得，所以平分． 因为，所以． 由面积关系得．解得． 8．（24-25高三下·广东清远·开学考试）中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且. (1)求角A； (2)点D在BC边上，且，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由余弦定理结合条件求解即可； （2）在和中，分别用余弦定理，整理可得，再结合余弦定理消元可得，，利用基本不等式求解即可; 【详解】（1）中， 由余弦定理，，又， 故又 （2）如图，由题， 记，则， 中，…..① 中，……② 由①得：……③， 由（1）知，代入③中整理得： ，当且仅当时取“=”， 解得， ， 故面积的最大值为. 【题型二：三角形周长最值与取值范围】 （类型一：对边对角型） （类型二：邻边邻角型） （类型三：夹边夹角型） （类型四：锐角三角形型） 知识讲解 解题思路： 1.利用正余弦定理进行边角转化 正弦定理：若已知三角形的两角及一边，或者已知两边及其中一边的对角，可根据正弦定理（为三角形外接圆半径），将边转化为角的正弦值来表示，进而将周长表示为关于角的函数，再根据角的范围求解周长的最值与范围。例如，，，，则三角形周长。 余弦定理：若已知三角形的三边关系或两边及夹角，可利用余弦定理，，，结合已知条件通过变形、代换等方法，将周长表示为关于边或角的函数，然后求解其最值与范围。 2.结合三角函数的性质 确定角的范围：根据三角形内角和为以及题目中的其他条件，确定三角形各个角的取值范围。例如，在锐角三角形中，三个角都在范围内；若已知一个角的范围，可根据得出，进而确定，的范围。 利用三角函数值域：将周长表示为三角函数形式后，根据角的范围确定三角函数的值域，从而得到周长的取值范围。如，根据的范围求出的范围，再得出的范围。 3.运用基本不等式 边的关系转化：若已知三角形三边，，的一些关系，可利用基本不等式（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）等，对周长进行变形和放缩，求出周长的最值。例如，已知，则，根据基本不等式得到$ab$的范围，再结合余弦定理得到的范围，进而求出周长的范围。 等号成立条件：在使用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，确保所求出的最值是可以取到的。 4.考虑三角形的三边关系 三边限制条件：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。即，，以及，，。在求周长的最值与范围时，要将这些条件作为约束条件，与其他方法结合使用，对所求结果进行进一步的筛选和确定。 极端情况分析：考虑三角形的一些极端情况，如等腰三角形、直角三角形等特殊形状，或者当某个角趋近于或时，三角形的边长和周长的变化趋势，以此来确定周长的取值范围边界。 例题精选 1．（23-24高一下·安徽黄山·期中）在锐角中，，，为角，，所对边，且． (1)求角； (2)求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解； （2）化边为角，利用三角恒等变换化简后，根据正切函数求值域即可得解. 【详解】（1）由正弦边角关系， 即， 所以， 即， 可得，由可得， 由知． （2）由（1）知，，． 由正弦定理知，， 可得，， 故周长为 ． 由是锐角三角形知，，，即，． 又，故，， ， 故，， 所以， 故周长的取值范围是． 2．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得； （3）利用正弦定理将转化为关于的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出的范围，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， ∴， ∵，则，∴，又，∴； （2）因为，， 由余弦定理，即， ∴，解得， ∴； （3）在中，由正弦定理， ∴， ∴ ， 又为锐角三角形，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴， 故周长的取值范围为 3．（2025·河北保定·模拟预测）记的内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求周长的最大值. 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式即可求解， （2）利用正弦定理即可求解， （3）由余弦定理，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，所以， 又，所以， 因为，所以. （2）若，则， 故. （3）因为，由余弦定理得， 化简得，即， 当且仅当时等号成立， 故周长的最大值为3. 4．（2025·福建·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简以及两角和与差的正弦即可求得结果. （2）利用正弦定理求出，因为三角形为锐角三角形求出，再用余弦定理进一步求出，即可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理，，所以． 又，所以， 所以，所以， 因，所以，即. （2）因为，所以， 因为，所以． 因为，所以， ∵为锐角三角形，∴，∴，∴ 因为，由余弦定理，两式联立得， 又因为，代入上式，得到，则，且， 所以，即． 所以周长的取值范围为． 相似练习 5．（24-25高三下·全国·开学考试）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长l的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由降幂公式结合特殊角的三角函数值可得； （2）由正弦定理边化角得到周长的表达式，再两角差的正弦展开式和辅助角公式结合正弦函数的取值范围求解即可； 【详解】（1）因为，所以， 解得或（舍去）， 又，所以. （2）由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以的周长， 即 ， 又，所以，解得，所以， 所以， 所以，即的周长l的取值范围为. 6．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用给定条件结合余弦定理求解角度即可. （2）利用正弦定理边化角，再结合三角形周长公式将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质求解取值范围即可. 【详解】（1）在锐角中，因为， 所以由正弦定理得，故， 得到，化为， 故得，化简得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 所以，且设周长为， 所以， ， ， 因为在锐角中，所以， 所以，解得， 综上可得，所以， 故，则， 得到，即， 故周长的取值范围为. 7．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值． (3)在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 【答案】(1),对称中心为 (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【详解】（1）. 令，则，， 函数的对称中心为，. （2）由可知，， 化简得， ，，， . （3）由可得， 即， 又，则，则，所以. 由正弦定理有 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得. 所以，则， 所以，则， 所以的周长的取值范围为. 8．（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解， （2）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. （2）由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得    ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 【题型三：三角函数的值域问题求边长或角的最值或范围】 知识讲解 解题思路： 建立边角关系 利用正弦定理：若已知三角形的一些角和边的关系，可根据正弦定理（为三角形外接圆半径）进行边角转化。如已知角、、和边，可得到，，将边用角的三角函数表示。 利用余弦定理：对于已知两边及夹角或三边关系的情况，使用余弦定理等，通过变形将边长表示为其他边和角的函数形式。例如已知、和，可得，若、为定值，则可看作关于的函数。 确定角的范围 根据三角形内角和：由，结合已知条件确定所求边所对应的角的范围。比如已知、的范围，可根据求出的范围。 根据三角形的类型：若为锐角三角形，则三个角都在内；若为钝角三角形，有一个角在内，其余两个角在内。 根据已知条件：题目中给出的关于角的额外条件，如角的大小关系、角的取值区间等，可进一步精确角的范围。 运用辅助角公式 公式内容：辅助角公式为，其中。它可以将形如的式子转化为一个单一的三角函数形式，便于分析和求解。 应用场景：在将边长表示为三角函数的表达式后，若出现类似的形式，就可以使用辅助角公式进行化简。例如，若边长的表达式为，可将其化为的形式，其中。 确定三角函数的值域 根据角的范围求三角函数值域：根据已确定的角的范围，结合三角函数的图象和性质，求出相应三角函数的值域。例如，若，则，。 考虑复合三角函数的值域：若边长表达式中出现复合三角函数，如，则需要先根据的范围求出的范围，再确定的值域，进而得到的取值范围。对于使用辅助角公式化简后的式子，根据的范围确定的范围，从而得出的值域，再结合确定的值域。 求解边长的最值或范围 根据三角函数值域确定边长范围：将三角函数的值域代入边长关于三角函数的表达式中，得到边长的取值范围。例如，若，，，则。对于，若，则。 求最值：分析函数的单调性或利用三角函数的特殊值等，确定边长的最值。若边长表达式为，，因为在上单调递减，所以当时，取得最大值；当时，取得最小值。对于，当时，取得最大值；当时，取得最小值，再结合角的实际范围判断最值是否能取到。 例题精选 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的内角A、、的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦以及同角的三角函数关系可得； （2）由正弦定理边化角结合两角和的正弦表示出，再结合正弦和正切的单调性求解即可； 【详解】（1）由正弦定理可得， 因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以. （2）由正弦定理可得，， 所以， 因为在均为单调递增， 所以在为单调递减， 所以当时，最大值为；所以当时，最小值为； 所以的取值范围为. 2．（24-25高三下·河南·阶段练习）在锐角三角形中，角、、对应的边分别为、、，已知. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简得出的值，结合为锐角三角形可得出角的值； （2）求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 因为为锐角三角形，则，， 所以，，即，所以，. （2）因为为锐角三角形，可得，解得， 则， 因为，则,所以，可得， 即，所以的取值范围为. 3．（24-25高三上·河南周口·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，，其中为的面积． (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用面积公式，得到，即可求解； （2）利用正弦定理，根据条件，边转角得到，再由条件有，即可求解. 【详解】（1）因为，又，得到， 整理得到，又，所以. （2）由（1）知，所以， 则， 又因为为锐角三角形，所以，得到， 所以，得到， 所以的取值范围为. 4．（24-25高三上·山西太原·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）运用二倍角公式得到，，再由正弦定理可得，最后由余弦定理得，分类讨论得解. （2）由（1）得，变形为，由正弦定理可得化为，再结合三角函数值域即可求解. 【详解】（1），， 由正弦定理可得， 由余弦定理得，， 或， 当时，则，，，，成立， 综上所述，成立. （2）由（1）得，，， 由正弦定理可得， ，是锐角三角形，， ，的取值范围为 相似练习 5．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知的面积，点D在边上. (1)若，，，求线段的长； (2)若是锐角三角形，平分，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的数量积及三角形面积公式可得，进而结合平面向量的线性运算及数量积的运算律求解即可； （2）根据正弦定理及两角差的正弦公式可得，结合是锐角三角形可得，进而结合正切函数的性质求解即可. 【详解】（1）由，得， 所以，即， 又，所以. 由，则， 两边平方得， 即， 所以. （2）由（1）知，， 因为平分，所以， 在中，由正弦定理， 可得， 因为是锐角三角形， 所以，则， 所以，则，所以， 故，则， 所以， 6．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由余弦定理可得出，求出角的取值范围，利用正弦定理结合两角和的正弦公式求出的取值范围，再利用双勾函数的基本性质以及反比例函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即，即， 由余弦定理可得， 因为，故. （2）由（1）得， 所以，， 因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，，则， 则， 因为双勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 当或时，， 所以，函数在上的值域为， 因为，则， 故. 因此，的取值范围为. 7．（2024·安徽淮南·一模）记的内角的对边分别为，已知，． (1)求； (2)若为边上任意一点，作于，设，试用表示，并求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理可求角大小，再由，可得角； （2）在中，由正弦定理求，在直角中求，再利用三角恒等变换求的最值. 【详解】（1）由得， ， 又，且； （2）由（1）知，，则为直角三角形， 在中，由正弦定理知，即， 在中，， 所以 由，当，即时，取得最大值为. 8．（24-25高三上·吉林松原·阶段练习）在锐角中，的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合得到，由辅助角公式得到，求出； （2）在（1）的基础上，得到，，并得到，求出，得到的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 由得， ， 即， 又，所以， 所以，即， 又，所以，即； （2）由（1）知，故， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，即， 所以， 所以， 所以， 即的取值范围为. 【题型四：基本不等式求边长或角度的最值】 知识讲解 解题思路： 1.分析已知条件 明确已知量：仔细梳理题目中给出的关于三角形的信息，如已知的边长、角度、面积，或者边与角之间的关系式等。 挖掘隐含条件：根据三角形的内角和为，以及三角形的一些基本性质，如大边对大角、两边之和大于第三边、两边之差小于第三边等，找出潜在的可用条件。 2.建立边与角的关系 利用正弦定理：（为三角形外接圆半径），通过正弦定理可以将边与角的正弦值相互转化，从而将角度问题转化为边长问题，或者反之。 利用余弦定理：，，。余弦定理建立了边与角的直接关系，特别是在已知两边及夹角求第三边，或者已知三边求角的问题中经常使用。 其他关系：根据三角形的面积公式，也可以建立边与角之间的联系，有时可结合面积条件来求解边长或角度的最值。 选择合适的基本不等式 常见基本不等式 对于正实数、，有，当且仅当时等号成立。 对于正实数、，有，当且仅当时等号成立。 依据条件选择：若题目中出现了两边之和（如）与两边之积（如$ab$）的形式，可考虑使用；若出现了边的平方和（如）与边和的平方（如）的形式，则可考虑。 3.求解边长或角度的最值 求解边长最值 直接应用：若通过已知条件和定理得到形如的式子，可根据已知条件确定$ab$的取值范围，进而求出的最小值；或者已知，若能确定的取值范围，也可求出$ab$的最大值。 结合余弦定理：例如由，结合基本不等式，可得。若已知的值或范围，以及$ab$的相关条件，就可以求出的取值范围或最值。 求解角度最值 通过余弦定理转化：利用余弦定理将角度的余弦值用边长表示出来，如，再结合基本不等式对分子或分母进行处理。若能得到的取值范围，根据余弦函数在上的单调性，就可以求出角的最值。 结合三角函数性质：根据三角形内角和为，将所求角度用其他角度表示，再结合三角函数的性质和基本不等式求解。例如，则，，通过对利用两角和公式展开，结合基本不等式和三角函数的取值范围来求解角度的最值。 检验等号成立的条件 在利用基本不等式求出最值后，一定要检验等号成立的条件是否满足三角形的实际情况。如在中，当且仅当时等号成立，需要检查当时，所得到的三角形是否存在，是否满足题目中的所有条件。若不满足，则该最值取不到，需要重新分析或调整解题方法。 例题精选 1．（23-24高一下·河北·期中）在中，在线段上，为的平分线且，，则的最小值为 ． 【答案】24 【分析】首先根据面积公式，得到，并化简为，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】则的面积为， 则，所以，显然， 故， 当且仅当，即时取等号． 故答案为：24 二、解答题 2．（2025·吉林·二模）在中，角所对的边分别为. (1)若，求的面积S； (2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同角三角函数的平方关系，把化成，根据正弦定理可得，在根据余弦定理，可得角，再结合余弦定理，表示出，可得的值，进而利用可求面积. （2）根据，结合可得：，再结合基本不等式，可求的最小值. 【详解】（1）由， 得. 由正弦定理得. 所以， 因为，所以. 在中，， 由余弦定理， 得，解得. 所以. 即的面积S为. （2）因为为角C平分线，，所以. 在中，， 所以， 由，得，所以. 因为，所以由基本不等式，得， 所以，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 3．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． (1)若，求a； (2)求A的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，再用余弦定理计算即可； （2）根据正弦定理边角互化，再用余弦定理，结合基本不等式和三角函数解题即可. 【详解】（1）因为，所以． 不妨设， 则，即． ，解得，此时． （2）因为，所以． ，当且仅当时，等号成立．根据在上单调递减，故的最大值为． 4．（24-25高三下·湖北·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点． (1)若，求角A的平分线AD的长； (2)求BC边上中线AD长的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用余弦定理可得，再由及已知列方程求； （2）根据线段的关系及向量加减、数乘的几何意义有，整理并应用基本不等式求最小值. 【详解】（1）因为，，， 所以，所以， 由，且是角A的平分线， 所以，所以. （2）因为D是BC的中点，所以， 两式平方，并代换得 ，当且仅当时取等号， 所以AD长的最小值为. 相似练习 5．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）在锐角三角形ABC中，角的对边分别为若，且. (1)求； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件得到，从而得到，即可得到，再利用同角三角函数关系求解即可. （2）根据已知条件得到，再结合基本不等式得到，从而得到，即可得到答案. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，即. 所以. 因为为锐角三角形，所以. （2）因为， 所以， 当且仅当时取等号. 所以，解得， 即. 所以，当且仅当时取等号. 即的最大值为. 6．（24-25高三上·河北承德·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，交AC于点，且． (1)若，求的面积； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用余弦定理得到，然后利用三角形面积公式计算； （2）利用面积相等的思路得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1） 由，，可得． 在中，由余弦定理得，即，可得． 故． （2）， ，， ， ． ， 当且仅当，即，时，等号成立． 故的最小值为． 7．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)当时，求外接圆的面积； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理的推论求得，进而求得，再利用正弦定理求得外接圆的半径，从而得解； （2）利用余弦定理，结合基本不等式并检验即可得解. 【详解】（1）因为，，则， 所以， 又，所以， 设外接圆的半径为，则，故， 所以外接圆的面积为. （2）因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，满足，即为直角三角形， 所以的最小值为. 8．（2024·吉林·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)若，，求的面积； (2)求证：； (3)当取最小值时，求． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先由得到的值，再结合得到，根据正弦定理得到，最后由三角形面积公式可得结果； （2）由同角三角函数的关系和正余弦定理，化简即可证明； （3）利用和，将表示为，代入，化简可得均值不等式，计算求解即可. 【详解】（1）由题意，，则，，则， 所以，， 所以的面积. （2）由，可得，即， 由余弦定理得：， 化简得：，即. （3）由，可得 ，又， 所以， 当且仅当，即时取等号， 此时. 【题型五：多个几何图形类的边长或面值最值或范围】 知识讲解 解题思路： 1. 分析图形与已知条件 仔细观察多个三角形组合或四边形的图形结构，确定已知的边、角信息，标记出相等的边、角以及特殊的角度（如直角、角等）。 对于四边形，可通过连接对角线等方式将其转化为两个三角形，以便利用三角形的相关知识进行求解。 2. 引入三角函数 选择合适的角作为自变量，一般选择与已知条件或所求面积关系密切的角。例如，在四边形中，如果有一个角的三角函数值容易表示出其他边或角的关系，就选择这个角。 对于多个三角形结合的情况，可根据图形特点，在某个三角形中选择一个内角，利用三角函数来表示该三角形的边与角的关系，再通过边与边之间的关联，将其他三角形的边或角也用该三角函数表示出来。 3. 建立面积函数 根据三角形面积公式，分别表示出各个三角形的面积。对于四边形，将其拆分成两个三角形后，分别求出两个三角形的面积表达式，再相加得到四边形的面积表达式。 在表示面积时，利用已引入的三角函数以及边与角的关系，将面积表示为关于该三角函数的函数。例如，若中，，，则，若能通过已知条件将、用的三角函数表示出来，就可得到关于的函数。 4. 化简函数并确定值域 对建立的面积函数进行化简，可利用三角函数的基本公式，如二倍角公式、辅助角公式（其中）等，将函数化为一个标准的三角函数形式。 根据自变量（即所选择的角）的取值范围，确定三角函数的值域。例如，若角，则的值域是，进而确定面积函数的值域，得到面积的最值。 例题精选 1．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. (1)若，求的长； (2)用表示的长度； (3)求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理直接计算即可； （2）在中，直接利用正弦定理可得出关于的表达式； （3）利用三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围. 【详解】（1）由，且是边长为的正三角形， 则，且， 所以在中，由余弦定理得， 所以. （2）由，则，则， 在中，由正弦定理有， 得， （3）由三角形的面积公式得 ， 又，且，则，所以， 所以，则， 故的取值范围为. 2．（2024·山东威海·一模）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值. 【答案】(1) (2)，最小值为 【分析】（1）根据正弦定理将分式化简，结合两角和的正弦公式可求得结果； （2）在中，根据正弦定理表示出，在中，根据正弦定理表示出，根据三角形面积公式得到的面积，即可求出结果. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 所以， 所以，即得， 因为，所以，所以， 因为，所以； （2）因为，由（1）知，所以， 在中，由正弦定理可得，所以， 在中，由正弦定理可得，所以， 所以， 因为，所以， 当时，取得最小值，此时，即， 所以当时，的面积取到最小值，最小值为. 3．（23-24高一下·江苏·阶段练习）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，并修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），其中千米，千米，是以D为直角顶点的等腰直角三角形．设，． (1)当时，求：①小路AC的长度；②草坪ABCD的面积； (2)当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助余弦定理与正弦定理，结合面积公式计算即可得； （2）借助表示出及后，结合辅助角公式与余弦定理计算即可得. 【详解】（1）由，，故， 由余弦定理可得， 即，由正弦定理可得， 即， 则， 故有， 故， ； （2）， ， 故， 则， 其中，，则当， 即时，草坪ABCD的面积最大， 此时， 即此时小路BD的长度为. 相似练习 4．（22-23高一下·福建泉州·期末）在平面四边形中，点在直线的两侧，，，四个内角分别用表示，. (1)求； (2)求与的面积之和的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可求得，结合勾股定理可得结果； （2）设，利用可表示出，结合三角恒等变换知识化简得到，由正弦函数最值求法可求得结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理得：，解得：， ，即，. （2）设，则， ，，四点共圆，且为该圆的直径， ，， ，， 在中，，， .    ，，， ，当，即时，， 故与的面积和的最大值为.    5．（22-23高三上·福建宁德·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)如图，若，存在点D满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简求值； (2) 中，由正弦定理得，， 结合可表示出，进而可讨论求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 所以, 所以, 所以或， 得（舍）或， 所以. （2）设 在直角中，， 在中，由正弦定理， 且， 所以， ， 因为，所以， 即,所以， 因为，所以， 当即时，有最大值为1， 此时最大，则最小为. 6．（21-22高二下·福建泉州·期末）现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形． (1)求出所有可能的三角形的面积； (2)如图，已知平面凸四边形ABCD，AB＝1，BC＝3，CD＝2，DA＝4， ①求cosA，cosC间的数量关系； ②求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1)或； (2)①；②. 【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边可知所有可能的情况有两种，再利用余弦定理及利用三角形面积公式求解面积即可； （2）①连接，再分别列出和中的余弦定理即可；②利用三角形面积公式可得四边形ABCD面积的表达式结合，利用三角恒等变换及三角函数的性质即得. 【详解】（1）根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，所有符合情况的可能三角形为、， 当三角形三边为时，由余弦定理知等腰三角形顶角， 【期末真题精选】课后针对训练 一、填空题 1．（22-23高一下·湖北·期末）已知直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边，，上，且，，则的最小值为 . 2．（2023高三·全国·专题练习）在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为 3．（20-21高一下·福建泉州·期末）锐角的内切圆的圆心为，内角，，所对的边分别为，，.若，且的外接圆半径为1，则周长的取值范围为 . 二、解答题 4．（21-22高一下·福建漳州·期末）如图1鱼牙齿呈三角形，牙根处有凹陷.为测鲨鱼牙齿面积，把鲨鱼牙齿视为如图2模型，测得，，. (1)若，，求平面凹四边形ABCD面积； (2)若，求平面凹四边形ABCD面积的最小值. 5．（21-22高二下·福建南平·期末）的角，，所对的边分别为，，，点在上， (1)若，，求； (2)若是的角平分线，，求周长的最小值. 6．（22-23高三上·福建龙岩·期末）中，设角，，所对的边分别为，，，. (1)求的大小； (2)若的周长等于3，求的面积的最大值. 7．（22-23高三上·浙江·阶段练习）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，． (1)若，求B的大小； (2)若△ABC不是钝角三角形，且，求△ABC的面积取值范围． 8．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 9．（2023·福建泉州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知 (1)求A； (2)若，求的周长的取值范围． 10．（22-23高一下·福建漳州·期末）的内角所对的边分别为.若，且. (1)求； (2)求的最大值. 11．（22-23高一下·福建厦门·期末）已知的内解所对的边分别为，满足． (1)求证：； (2)若为上一点，且，求的面积的最大值． 12．（22-23高一下·江苏南京·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 13．（22-23高一下·福建福州·期末）为的三内角，其对边分别为，若． (1)求A； (2)若三角形ABC是锐角三角形，，求的取值范围 14．（22-23高一下·福建三明·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．点D在BC上，且 (1)若，求c (2)若AD是∠BAC的角平分线，且，求周长的最小值． 2024-2025高一下学期重难点题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 【分析】设，，由正弦定理求解，再结合三角形面积公式及三角函数辅助角公式求三角函数最值得出结果. 【详解】设，，则中，， 由正弦定理得：，∴， 在中，，，同理可得， 因此可得， ， 因为，其中，， 由于，，所以当时，， 所以，则的最小值为. 故答案为：. 2． 【分析】利用，可将结合正弦定理可得，后由余弦定理可得.后由结合AB边上的中线长为2，可得，后由基本不等式可得，即可得答案. 【详解】因，则 ， 即. 所以，又，所以.设AB边上的中线为CD， 则，则， 所以，当且仅当a＝b时等号成立，所以 故答案为： 3． 【分析】由余弦定理变形可求得角，再由正弦定理求得，在中利用正弦定理表示出，并由三角恒等变换转化为三角函数值域问题，从而可得结论． 【详解】因为由余弦定理，得，即，因为，所以. 由正弦定理，得. 因为，由内切圆的性质可得，所以， 设，则，又因为三角形为锐角三角形，所以，所以. 在中，由正弦定理，，所以， 所以的周长为， 因为，所以，所以，所以周长的取值范围 故答案为：. 4．(1) (2) 【分析】（1）连接AC，在ABC中，利用余弦定理求得AC，在ACD中，求得，再利用面积公式，由求解. （2）在ACD中，利用余弦定理结合基本不等式，得到，再由求解. 【详解】（1）解：如图，连接AC， ABC中，，，， 由余弦定理可得， . ACD中，，，， 由余弦定理可得， ， ∴， ∴， 又， ∴. （2）由（1）知. ACD中，， ， 即， ∴， ， 平面凹四边形ABCD面积的最小值为. 当且仅当时等号成立. 5．(1)； (2) 【分析】（1）利用三角形之间的角度关系，结合正弦定理，即可求解边的值； （2）由已知可得，利用三角形面积公式及，得，再结合函数或基本不等式求周长的最小值即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ 在中，由正弦定理得 即 ∴. （2）解:解法一：∵，是的角平分线， ∴ 由得 又，∴， 在中，由余弦定理得 ，则 设的周长为， 由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 得 当且仅当时等号成立， 所以的周长最小值为 解法二：∵，是的角平分线 ∴ 由得 又，∴ 在中，由余弦定理得 设的周长为， 设，则 由基本不等式得，，当且仅当时等号成立 得，即 根据一次函数和二次函数的性质可得， 当时，单调递增. ∴ 所以的周长最小值为. 6．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角函数恒等变换公式对原式变形化简可得，再结合角的范围，可求出角的值， （2）由余弦定理结合基本不等式可得，然后利用三角形的面积公式可求出面积的最大值. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得， 又，所以， 所以，即. 因为，， 所以，即. （2）解：在中，由余弦定理得，即①， 又，所以，代入①得， 整理得， 又因为，当且仅当时取等号， 因为，所以， 所以，解得或（舍去）， 故，故的面积，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 7．(1)； (2). 【分析】（1）利用三角公式得到或.由求出； （2）先判断出△ABC是直角三角形，利用基本不等式求出△ABC的面积取值范围. 【详解】（1）因为，所以，即. 因为A，B，C为△ABC的内角，所以或. 因为，所以（不合题意，舍去）. 所以，而，所以. （2）由（1）可知：或. 当时，有，这与△ABC不是钝角三角形相矛盾，不合题意，舍去； 当时，，所以△ABC是直角三角形，所以，即. 而. 因为，所以（当且仅当时等号成立）. 又，所以，所以，即△ABC的面积取值范围为. 8．(1) (2) 【分析】（1）结合，以及诱导公式、二倍角公式、正弦定理化简原式，即得解； （2）利用正弦定理，辅助角公式可化简，结合的范围即得解 【详解】（1）， ，又为锐角 （2）由正弦定理，， 由锐角，故 故. 9．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理即可求得角； （2）利用三角函数求值域求周长的取值范围. 【详解】（1）， ， 由正弦定理得： ， 又，所以， 所以. （2）由正弦定理得：， 所以 ， ，， 所以，所以， 所以周长. 10．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用和差角公式化简即可； （2）由正弦定理边化角，再利用和差角公式化简后，由三角函数性质求解. 【详解】（1）由已知，得， 由正弦定理，得. 因为， 所以， 因为，所以， 所以，即. 由于，所以. （2）由（1）及正弦定理，得， 所以，且. 所以 . 其中. 所以当时，取最大值. 11．(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再逆用差角正弦公式可得，结合角的取值范围即可证明； （2）在中，由，，可得，利用正弦定理可求得，，再利用三角形的面积公式，结合倍角正弦公式可化简为，结合角的范围即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 因为，，所以， 所以，所以或． 若，则； 若，则，舍去； 所以成立． （2）在中，因为，，所以， 由正弦定理得，即，所以．    在中，由正弦定理得， 因为，所以．因为， 又，所以， 所以的面积． 又，所以，所以， 所以当，即时，的面积最大值为2． 12．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合得到，利用辅助角公式得到，结合角的范围得到； （2）法一：由（1）中，结合三角形面积公式得到，由正弦定理求出，得到面积的取值范围； 法二：由余弦定理得到，结合三角形为锐角三角形得到，从而求出，求出面积的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 因为， 所以，即； （2）法一：由及（1）知的面积. 由正弦定理得. 由于为锐角三角形，故，. 由（1）知， 所以， 因为在上单调递增， 故，故， 故， 从而. 因此面积的取值范围是； 法二：因为，， 由余弦定理得，即，故， 为锐角三角形，则，即， 由①得，解得， 由②得，解得或（舍去）， 综上， 所以. 13．(1)或 (2) 【分析】（1）根据正弦的和角公式以及同角三角函数的平方关系，结合三角形内角和以及诱导公式，化简等式，可得答案； （2）根据正弦定理，整理函数解析式，利用三角形内角和、正弦差角公式、辅助角公式化简函数，结合整体思想以及正弦函数的性质，可得答案. 【详解】（1），，， 由，则，， 由，则或. （2）由为锐角三角形，则，由正弦定理且，则，即，， ， 由，则，即. 14．(1) (2) 【分析】（1）在中由正弦定理可得答案； （2）由得，在中由余弦定理得，可得周长，再利用基本不等式可得答案． 【详解】（1）因为， 在中由正弦定理得，即， 所以，；    （2）由得 ，即， 在中，由余弦定理得，所以， 所以周长， 由得，当且仅当时等号成立， 所以周长， 所以周长的最小值为．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【解三角形最值与取值范围】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：三角形面积最值与取值范围】 （类型一：对边对角型） （类型二：邻边邻角型） （类型三：夹边夹角型） （类型四：锐角三角形型） 知识讲解 解题思路： 1. 确定已知条件：明确题目中给出的三角形的边和角的信息，例如已知两边及其夹角、两角及其夹边、三边等情况。这是后续选择合适公式和方法的基础。 2. 选择合适的面积公式 若已知两边，及其夹角，则使用。 若已知两角，及其夹边，先由求出，再根据正弦定理求出或，然后代入。 若已知三边，，，可先通过余弦定理求出一个角的余弦值，再求出其正弦值，最后代入面积公式。也可使用海伦公式（其中）。 3. 利用正余弦定理进行转化 正弦定理：（为三角形外接圆半径），可以将边转化为角的正弦值，或者将角的正弦值转化为边。常用于已知两角和一边或已知两边和其中一边的对角的情况。 余弦定理：，，。可以根据已知条件求出边或角，也可以通过对式子的变形和整理，结合基本不等式等方法来求解面积的最值或取值范围。 4. 结合三角函数的性质 若面积公式中含有角的三角函数，需要根据角的范围来确定三角函数的值域。例如，已知，则；若，则且。 对于形如的函数，要根据的取值范围求出的范围，进而确定的取值范围。 5. 运用基本不等式 若面积公式中出现边的乘积或和的形式，可考虑使用基本不等式。例如，对于正实数，，有（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）。通过基本不等式可以将边的关系转化为面积的最值或取值范围。 6. 确定取值范围的边界条件 要考虑三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）以及角的取值范围（内角和为，且每个角都大于小于），这些条件会对面积的取值范围产生限制。在求解过程中，要确保所得到的结果满足这些条件。 例题精选 1．（2022·全国·模拟预测）已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，． (1)求角A的值； (2)若，求面积的范围． 2．（21-22高二上·河南开封·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，．且满足：． (1)求角的大小； (2)若时，求面积的范围． 3．（20-21高一下·重庆巴南·阶段练习）在中，． （1）D为线段上一点，且，求长度； （2）若为锐角三角形，求面积的范围． 4．（2024·四川德阳·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且，. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的面积范围. 相似练习 5．（2025·江西萍乡·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求C； (2)若，求的面积的最大值. 6．（2025高三·全国·专题练习）从条件①；②；③中任选一个作为已知，补充在下面的问题中，在中，已知，______，求面积的最大值． 7．（2025·四川·一模）在中，已知内角的对边分别为，为线段上一点，． (1)若为的中点，且，求面积的最大值； (2)若，且，求． 8．（24-25高三下·广东清远·开学考试）中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且. (1)求角A； (2)点D在BC边上，且，，求面积的最大值. 【题型二：三角形周长最值与取值范围】 （类型一：对边对角型） （类型二：邻边邻角型） （类型三：夹边夹角型） （类型四：锐角三角形型） 知识讲解 解题思路： 1.利用正余弦定理进行边角转化 正弦定理：若已知三角形的两角及一边，或者已知两边及其中一边的对角，可根据正弦定理（为三角形外接圆半径），将边转化为角的正弦值来表示，进而将周长表示为关于角的函数，再根据角的范围求解周长的最值与范围。例如，，，，则三角形周长。 余弦定理：若已知三角形的三边关系或两边及夹角，可利用余弦定理，，，结合已知条件通过变形、代换等方法，将周长表示为关于边或角的函数，然后求解其最值与范围。 2.结合三角函数的性质 确定角的范围：根据三角形内角和为以及题目中的其他条件，确定三角形各个角的取值范围。例如，在锐角三角形中，三个角都在范围内；若已知一个角的范围，可根据得出，进而确定，的范围。 利用三角函数值域：将周长表示为三角函数形式后，根据角的范围确定三角函数的值域，从而得到周长的取值范围。如，根据的范围求出的范围，再得出的范围。 3.运用基本不等式 边的关系转化：若已知三角形三边，，的一些关系，可利用基本不等式（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）等，对周长进行变形和放缩，求出周长的最值。例如，已知，则，根据基本不等式得到$ab$的范围，再结合余弦定理得到的范围，进而求出周长的范围。 等号成立条件：在使用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，确保所求出的最值是可以取到的。 4.考虑三角形的三边关系 三边限制条件：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。即，，以及，，。在求周长的最值与范围时，要将这些条件作为约束条件，与其他方法结合使用，对所求结果进行进一步的筛选和确定。 极端情况分析：考虑三角形的一些极端情况，如等腰三角形、直角三角形等特殊形状，或者当某个角趋近于或时，三角形的边长和周长的变化趋势，以此来确定周长的取值范围边界。 例题精选 1．（23-24高一下·安徽黄山·期中）在锐角中，，，为角，，所对边，且． (1)求角； (2)求周长的取值范围． 2．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 3．（2025·河北保定·模拟预测）记的内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求周长的最大值. 4．（2025·福建·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 相似练习 5．（24-25高三下·全国·开学考试）在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长l的取值范围． 6．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 7．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值． (3)在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 8．（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【题型三：三角函数的值域问题求边长或角的最值或范围】 知识讲解 解题思路： 建立边角关系 利用正弦定理：若已知三角形的一些角和边的关系，可根据正弦定理（为三角形外接圆半径）进行边角转化。如已知角、、和边，可得到，，将边用角的三角函数表示。 利用余弦定理：对于已知两边及夹角或三边关系的情况，使用余弦定理等，通过变形将边长表示为其他边和角的函数形式。例如已知、和，可得，若、为定值，则可看作关于的函数。 确定角的范围 根据三角形内角和：由，结合已知条件确定所求边所对应的角的范围。比如已知、的范围，可根据求出的范围。 根据三角形的类型：若为锐角三角形，则三个角都在内；若为钝角三角形，有一个角在内，其余两个角在内。 根据已知条件：题目中给出的关于角的额外条件，如角的大小关系、角的取值区间等，可进一步精确角的范围。 运用辅助角公式 公式内容：辅助角公式为，其中。它可以将形如的式子转化为一个单一的三角函数形式，便于分析和求解。 应用场景：在将边长表示为三角函数的表达式后，若出现类似的形式，就可以使用辅助角公式进行化简。例如，若边长的表达式为，可将其化为的形式，其中。 确定三角函数的值域 根据角的范围求三角函数值域：根据已确定的角的范围，结合三角函数的图象和性质，求出相应三角函数的值域。例如，若，则，。 考虑复合三角函数的值域：若边长表达式中出现复合三角函数，如，则需要先根据的范围求出的范围，再确定的值域，进而得到的取值范围。对于使用辅助角公式化简后的式子，根据的范围确定的范围，从而得出的值域，再结合确定的值域。 求解边长的最值或范围 根据三角函数值域确定边长范围：将三角函数的值域代入边长关于三角函数的表达式中，得到边长的取值范围。例如，若，，，则。对于，若，则。 求最值：分析函数的单调性或利用三角函数的特殊值等，确定边长的最值。若边长表达式为，，因为在上单调递减，所以当时，取得最大值；当时，取得最小值。对于，当时，取得最大值；当时，取得最小值，再结合角的实际范围判断最值是否能取到。 例题精选 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的内角A、、的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 2．（24-25高三下·河南·阶段练习）在锐角三角形中，角、、对应的边分别为、、，已知. (1)求； (2)求的取值范围. 3．（24-25高三上·河南周口·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，，其中为的面积． (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 4．（24-25高三上·山西太原·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 相似练习 5．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知的面积，点D在边上. (1)若，，，求线段的长； (2)若是锐角三角形，平分，求的取值范围. 6．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 7．（2024·安徽淮南·一模）记的内角的对边分别为，已知，． (1)求； (2)若为边上任意一点，作于，设，试用表示，并求的最大值． 8．（24-25高三上·吉林松原·阶段练习）在锐角中，的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【题型四：基本不等式求边长或角度的最值】 知识讲解 解题思路： 1.分析已知条件 明确已知量：仔细梳理题目中给出的关于三角形的信息，如已知的边长、角度、面积，或者边与角之间的关系式等。 挖掘隐含条件：根据三角形的内角和为，以及三角形的一些基本性质，如大边对大角、两边之和大于第三边、两边之差小于第三边等，找出潜在的可用条件。 2.建立边与角的关系 利用正弦定理：（为三角形外接圆半径），通过正弦定理可以将边与角的正弦值相互转化，从而将角度问题转化为边长问题，或者反之。 利用余弦定理：，，。余弦定理建立了边与角的直接关系，特别是在已知两边及夹角求第三边，或者已知三边求角的问题中经常使用。 其他关系：根据三角形的面积公式，也可以建立边与角之间的联系，有时可结合面积条件来求解边长或角度的最值。 选择合适的基本不等式 常见基本不等式 对于正实数、，有，当且仅当时等号成立。 对于正实数、，有，当且仅当时等号成立。 依据条件选择：若题目中出现了两边之和（如）与两边之积（如$ab$）的形式，可考虑使用；若出现了边的平方和（如）与边和的平方（如）的形式，则可考虑。 3.求解边长或角度的最值 求解边长最值 直接应用：若通过已知条件和定理得到形如的式子，可根据已知条件确定$ab$的取值范围，进而求出的最小值；或者已知，若能确定的取值范围，也可求出$ab$的最大值。 结合余弦定理：例如由，结合基本不等式，可得。若已知的值或范围，以及$ab$的相关条件，就可以求出的取值范围或最值。 求解角度最值 通过余弦定理转化：利用余弦定理将角度的余弦值用边长表示出来，如，再结合基本不等式对分子或分母进行处理。若能得到的取值范围，根据余弦函数在上的单调性，就可以求出角的最值。 结合三角函数性质：根据三角形内角和为，将所求角度用其他角度表示，再结合三角函数的性质和基本不等式求解。例如，则，，通过对利用两角和公式展开，结合基本不等式和三角函数的取值范围来求解角度的最值。 检验等号成立的条件 在利用基本不等式求出最值后，一定要检验等号成立的条件是否满足三角形的实际情况。如在中，当且仅当时等号成立，需要检查当时，所得到的三角形是否存在，是否满足题目中的所有条件。若不满足，则该最值取不到，需要重新分析或调整解题方法。 例题精选 1．（23-24高一下·河北·期中）在中，在线段上，为的平分线且，，则的最小值为 ． 二、解答题 2．（2025·吉林·二模）在中，角所对的边分别为. (1)若，求的面积S； (2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 3．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． (1)若，求a； (2)求A的最大值． 4．（24-25高三下·湖北·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点． (1)若，求角A的平分线AD的长； (2)求BC边上中线AD长的最小值． 相似练习 5．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）在锐角三角形ABC中，角的对边分别为若，且. (1)求； (2)求的最大值. 6．（24-25高三上·河北承德·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，交AC于点，且． (1)若，求的面积； (2)求的最小值． 7．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)当时，求外接圆的面积； (2)求的最小值. 8．（2024·吉林·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)若，，求的面积； (2)求证：； (3)当取最小值时，求． 【题型五：多个几何图形类的边长或面值最值或范围】 知识讲解 解题思路： 1. 分析图形与已知条件 仔细观察多个三角形组合或四边形的图形结构，确定已知的边、角信息，标记出相等的边、角以及特殊的角度（如直角、角等）。 对于四边形，可通过连接对角线等方式将其转化为两个三角形，以便利用三角形的相关知识进行求解。 2. 引入三角函数 选择合适的角作为自变量，一般选择与已知条件或所求面积关系密切的角。例如，在四边形中，如果有一个角的三角函数值容易表示出其他边或角的关系，就选择这个角。 对于多个三角形结合的情况，可根据图形特点，在某个三角形中选择一个内角，利用三角函数来表示该三角形的边与角的关系，再通过边与边之间的关联，将其他三角形的边或角也用该三角函数表示出来。 3. 建立面积函数 根据三角形面积公式，分别表示出各个三角形的面积。对于四边形，将其拆分成两个三角形后，分别求出两个三角形的面积表达式，再相加得到四边形的面积表达式。 在表示面积时，利用已引入的三角函数以及边与角的关系，将面积表示为关于该三角函数的函数。例如，若中，，，则，若能通过已知条件将、用的三角函数表示出来，就可得到关于的函数。 4. 化简函数并确定值域 对建立的面积函数进行化简，可利用三角函数的基本公式，如二倍角公式、辅助角公式（其中）等，将函数化为一个标准的三角函数形式。 根据自变量（即所选择的角）的取值范围，确定三角函数的值域。例如，若角，则的值域是，进而确定面积函数的值域，得到面积的最值。 例题精选 1．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记. (1)若，求的长； (2)用表示的长度； (3)求的面积的取值范围. 2．（2024·山东威海·一模）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值. 3．（23-24高一下·江苏·阶段练习）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，并修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），其中千米，千米，是以D为直角顶点的等腰直角三角形．设，． (1)当时，求：①小路AC的长度；②草坪ABCD的面积； (2)当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度． 相似练习 4．（22-23高一下·福建泉州·期末）在平面四边形中，点在直线的两侧，，，四个内角分别用表示，. (1)求； (2)求与的面积之和的最大值. 5．（22-23高三上·福建宁德·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)如图，若，存在点D满足，求的最小值． 6．（21-22高二下·福建泉州·期末）现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形． (1)求出所有可能的三角形的面积； (2)如图，已知平面凸四边形ABCD，AB＝1，BC＝3，CD＝2，DA＝4， ①求cosA，cosC间的数量关系； ②求四边形ABCD面积的最大值． 【期末真题精选】课后针对训练 一、填空题 1．（22-23高一下·湖北·期末）已知直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边，，上，且，，则的最小值为 . 2．（2023高三·全国·专题练习）在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为 3．（20-21高一下·福建泉州·期末）锐角的内切圆的圆心为，内角，，所对的边分别为，，.若，且的外接圆半径为1，则周长的取值范围为 . 二、解答题 4．（21-22高一下·福建漳州·期末）如图1鱼牙齿呈三角形，牙根处有凹陷.为测鲨鱼牙齿面积，把鲨鱼牙齿视为如图2模型，测得，，. (1)若，，求平面凹四边形ABCD面积； (2)若，求平面凹四边形ABCD面积的最小值. 5．（21-22高二下·福建南平·期末）的角，，所对的边分别为，，，点在上， (1)若，，求； (2)若是的角平分线，，求周长的最小值. 6．（22-23高三上·福建龙岩·期末）中，设角，，所对的边分别为，，，. (1)求的大小； (2)若的周长等于3，求的面积的最大值. 7．（22-23高三上·浙江·阶段练习）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，． (1)若，求B的大小； (2)若△ABC不是钝角三角形，且，求△ABC的面积取值范围． 8．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）在锐角中，内角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 9．（2023·福建泉州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知 (1)求A； (2)若，求的周长的取值范围． 10．（22-23高一下·福建漳州·期末）的内角所对的边分别为.若，且. (1)求； (2)求的最大值. 11．（22-23高一下·福建厦门·期末）已知的内解所对的边分别为，满足． (1)求证：； (2)若为上一点，且，求的面积的最大值． 12．（22-23高一下·江苏南京·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 13．（22-23高一下·福建福州·期末）为的三内角，其对边分别为，若． (1)求A； (2)若三角形ABC是锐角三角形，，求的取值范围 14．（22-23高一下·福建三明·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．点D在BC上，且 (1)若，求c (2)若AD是∠BAC的角平分线，且，求周长的最小值． 2024-2025高一下学期重难点题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$