2024-2025学年八年级数学下册题型技巧培优系列（人教版）《平行四边形》18.1.1平行四边形的性质十大题型

2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《平行四边形》 18.1.1平行四边形的性质十大题型 知识要点归纳 知识点1、平行四边形定义及边角性质 1. 定义；两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。 2. 表示方法；用符号 表示。如 3. 平行四边形的性质； （1） 边的性质：平行四边形的对边平行（定义） 平行四边形的对边相等 （2）角的性质：平行四边形的对角相等，邻角互补 知识点2、平行线间的距离 1. 平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。 2. 方法点拨：三种距离的区别联系 （1） 两点之间的距离：连接两点所得线段的长度。应用：垂直平分线的性质。 （2） 点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段长度。应用：角平分线的性质 （3） 平行线间的距离：两条平行线中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离。 知识点3、平行四边形对角线性质 1. 平行四边形对角线性质：平行四边形对角线互相平分。 2. 方法点拨： （1）通过证明三角形全等，进而得到平行四边形的对角线互相平分，所以三角形全等是解决平行四边形线段或角相等问题的重要方法。 （2）平行四边形两条对角线互相平分就是对角线的交点是两条对角线的中点。 题型归纳 【题型1 平行线间的距离理解】 【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 【题型3 利用平行四边形的性质求线段长度】 【题型4 利用平行四边形的性质求周长】 【题型5 利用平行四边形的性质求面积】 【题型6 利用平行四边形的性质求坐标】 【题型7 利用平行四边形的性质证明】 【题型8 利用平行四边形的性质解决折叠】 【题型9 平行四边形的性质解决实际问题】 【题型10 利用平行四边形的性质对多结论问题作判断】 典例精析专练 【题型1 平行线间的距离理解】 【典例1-1】．小宇利用尺规在内作出点E，又在边上作出点F，作图痕迹如图所示，若，则之间的距离为 ． 跟踪训练1 1．平行四边形的周长为，对边的距离分别为和，则这个平行四边形的面积为 ． 2．如图，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，AD与BC的距离4，阴影部分公共点应为平行四边形的中心，则阴影部分的面积为 ． 【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 【典例2-1】．如图，在平行四边形中，，过点D作的垂线，交于点E，交的延长线于点F，则的度数为 ． 跟踪训练2 1．在平行四边形中，，则的度数是 ． 2．如图，在平行四边形中，点，分别为边，的中点，将平行四边形沿着折叠，点，分别落在，处，若，则的度数为 ． 【题型3 利用平行四边形的性质求线段长度】 【典例3-1】．如图，在中，对角线与相交于点，，，求的长． 跟踪训练3 1．如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ． (1)求证：； (2)若，求BE的长． 2．如图，在中，，，，求的长度． 3．如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型4 利用平行四边形的性质求周长】 【典例4-1】．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，请求出的周长． 跟踪训练4 1．如图，的对角线相交于点，两条对角线的和为的长为，求的周长． 2．如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，且． (1)求证：； (2)连接，若平分，，求平行四边形的周长． 3．如图，在中，的平分线交于E点，且，． (1)求的周长； (2)连结，若，求的面积． 【题型5 利用平行四边形的性质求面积】 【典例5-1】．如图，在中，的平分线交于E点，且，． (1)求的周长； (2)连结，若，求的面积． 跟踪训练5 1．如图，平行四边形的对角线、交于点，，，且． (1)求的长； (2)求的面积． 2．如图的平行四边形中，空白部分的面积是，求阴影部分的面积． 3．如图，在中，点是的中点，连接交延长线于点，，，． (1)求证：； (2)连接，求出的面积和周长． 【题型6 利用平行四边形的性质求坐标】 【典例6-1】．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，．    (1)求的面积； (2)过A做于D，延长交x轴于点E，求的长； (3)在（2）的条件下，设交y轴于点F，G是y轴左侧的点，使得以A、G、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点G的坐标． 跟踪训练6 1．如图，在平面直角坐标系中，，为线段上一点， (1)若平分，求点的坐标； (2)若，将沿翻折，点的对应点为，是上一动点，求的最小值； (3)在（2）的条件下，为轴上一动点，为平面上一点，坐标为，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点坐标． 2．【材料阅读】小明偶然发现线段的端点M的坐标为，端点N的坐标为，则这条线段中点的坐标为，在平面直角坐标系中，以任意点为端点的线段中点坐标为． (1)【知识运用】如图，平行四边形的对角线相交于点H，点E在x轴上，O为坐标原点，点F的坐标为，则点H的坐标为 ； (2)【能力拓展】在直角坐标系中，有三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形，求点D的坐标． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点D在y轴上．已知，，，从C点出发的E点，以每秒2个单位长度的速度向D点移动．M是的中点，的延长线交于F点． (1)求点B，C的坐标． (2)当四边形是平行四边形时，求点E的移动时间t． (3)当为等腰三角形时，直接写出点E的坐标______． 【题型7 利用平行四边形的性质证明】 【典例7-1】．如图，的对角线，相交于点，过点的直线分别交、的延长线于点，．求证：． 跟踪训练7 1．已知：如图，在中，、是对角线上的两点，且．请判断与的关系，并说明理由． 2．已知：如图，，是的对角线上的两点，，求证：． 3．如图，在中，对角线，相交于点O，经过点O的直线分别交和于点E，F，求证：． 【题型8 利用平行四边形的性质解决折叠】 【典例8-1】．如图，在平行四边形中，，点、分别在、上，沿折叠平行四边形，使点、互相重合，点落在点的位置． (1)连接，，求证：； (2)若，求的度数． 跟踪训练8 1．在一次数学探究活动中，小明用两条直线把平行四边形分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等． (1)请在图中的三个平行四边形中画出满足小明分割方法的直线； (2)根据小明的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有______组；由上述实验操作过程，你发现小明所画的两条直线的主要特点是______． (3)拓展延伸：将一张平行四边形的纸片沿过对角线的中点的直线折叠，折痕交边、于点、，点落在点处，点落在点处．设交于点，分别交、于点、．求证：． 2．如图，把平行四边形纸片沿折叠，点C落在点处，与交于点E．求证：． 3．将纸片沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处． (1)求证：； (2)若的面积等于8，，试求的面积． 【题型9 平行四边形的性质解决实际问题】 【典例9-1】．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 跟踪训练9 1．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 2．请用三种不同的方法将平行四边形划分成面积相等的四部分．      3．如图：的对角线交于点O．    (1)基础训练： 经过点O且与、分别相交于E、F．求证： (2)拓展变式 若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． (3)观察归纳 的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______．    (4)实践操作 你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．    【题型10 利用平行四边形的性质对多结论问题作判断】 【典例10-1】．如图，平行四边形的对角线、交于点O，平分交于点E，，，连接OE．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 跟踪训练10 1．如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③．④．其中正确的结论有 ．（填所有正确结论的序号） 2．如图，平行四边形的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的有 （写序号即可）． 3．如图，在平行四边形中，E为上一点，F为上一点，与对角线交于点 O．有以下三个条件：①；②；③．从中选取一 个作为题设，余下的两个作为结论，组成一个正确的命题，并加以证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《平行四边形》 18.1.1平行四边形的性质十大题型（解析版） 知识要点归纳 知识点1、平行四边形定义及边角性质 1. 定义；两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。 2. 表示方法；用符号 表示。如 3. 平行四边形的性质； （1） 边的性质：平行四边形的对边平行（定义） 平行四边形的对边相等 （2）角的性质：平行四边形的对角相等，邻角互补 知识点2、平行线间的距离 1. 平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。 2. 方法点拨：三种距离的区别联系 （1） 两点之间的距离：连接两点所得线段的长度。应用：垂直平分线的性质。 （2） 点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段长度。应用：角平分线的性质 （3） 平行线间的距离：两条平行线中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离。 知识点3、平行四边形对角线性质 1. 平行四边形对角线性质：平行四边形对角线互相平分。 2. 方法点拨： （1）通过证明三角形全等，进而得到平行四边形的对角线互相平分，所以三角形全等是解决平行四边形线段或角相等问题的重要方法。 （2）平行四边形两条对角线互相平分就是对角线的交点是两条对角线的中点。 题型归纳 【题型1 平行线间的距离理解】 【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 【题型3 利用平行四边形的性质求线段长度】 【题型4 利用平行四边形的性质求周长】 【题型5 利用平行四边形的性质求面积】 【题型6 利用平行四边形的性质求坐标】 【题型7 利用平行四边形的性质证明】 【题型8 利用平行四边形的性质解决折叠】 【题型9 平行四边形的性质解决实际问题】 【题型10 利用平行四边形的性质对多结论问题作判断】 典例精析专练 【题型1 平行线间的距离理解】 【典例1-1】．小宇利用尺规在内作出点E，又在边上作出点F，作图痕迹如图所示，若，则之间的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，尺规作图，角平分线的性质定理： 过点E作于点M，交的延长线于点N，则由平行四边形得到，而，故． 【详解】解：过点E作于点M，交的延长线于点N． 由作图可知，平分，平分，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴之间的距离为4． 故答案为：4． 跟踪训练1 1．平行四边形的周长为，对边的距离分别为和，则这个平行四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积，即．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高．设平行四边形的面积为，根据对边的距离分别为和，得出平行四边形的两条邻边长分别为：和，根据平行四边形的周长列出方程，解方程即可． 【详解】解：设平行四边形的面积为， ∵对边的距离分别为和， ∴平行四边形的两条邻边长分别为：和， ∵平行四边形的周长为， ∴， 解得：， 即平行四边形的面积为：． 故答案为：． 2．如图，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，AD与BC的距离4，阴影部分公共点应为平行四边形的中心，则阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】根据题意可知△OEF≌△OHG，△OAM≌△OCN,即可解答 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， 根据对称性可知：△OEF≌△OHG，△OAM≌△OCN， ∴S阴＝S△ABD＝ S平行四边形ABCD＝ ×6×4＝12 故答案为12 【点睛】此题考查了三角形全等和平行四边形的性质，关键在于利用平行四边形的性质得出三角形的全等 【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 【典例2-1】．如图，在平行四边形中，，过点D作的垂线，交于点E，交的延长线于点F，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，由三角形内角和定理可得，由平行四边形的性质可得，再由平行线的性质即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 跟踪训练2 1．在平行四边形中，，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】根据平行四边形的邻角互补，得到，再根据，进行列式计算，即可得解．本题考查平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的对角相等，邻角互补，是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，在平行四边形中，点，分别为边，的中点，将平行四边形沿着折叠，点，分别落在，处，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质，折叠的性质，根据平行四边形的性质，可得，，得到，根据点，分别是，的中点，可得，由折叠可得，，根据等边对等角，则，根据三角形的内角和，即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴， 由折叠可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型3 利用平行四边形的性质求线段长度】 【典例3-1】．如图，在中，对角线与相交于点，，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，根据平行四边形的性质和勾股定理即可得到结论，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 跟踪训练3 1．如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ． (1)求证：； (2)若，求BE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得，再根据角平分线的性质可得，进而可得； （2）过点作，交于点P，交于点，得四边形是平行四边形，构造，证明，，再由勾股定理求出即可解答． 此题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，以及等腰三角形的判定，添加辅助线，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点作，交于点P，交于点，   ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． ∵ ，由（1）知，， ∴， ∴，， 同理可得： ∴ ∴在中，， 即， 故， ∴． 2．如图，在中，，，，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形是性质，勾股定理；由平行四边形的性质得，，，由勾股定理得，，即可求解；掌握平行四边形是性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ∴， 在中， ， ． 3．如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得，再根据角平分线的性质可得，进而可得； （2）过点E作，交的延长线于点P，则四边形是平行四边形，可得出，根据角平分线的定义可得，，进而得出的长，进而得出的长，在中，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点E作，交的延长线于点P，   ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得， ∴， ∴． ∴ 由（1）知，， ∴， ∴在中，， 即， 故． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，以及等腰三角形的判定，添加辅助线，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【题型4 利用平行四边形的性质求周长】 【典例4-1】．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，，请求出的周长． 【答案】(1)详见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得：，，根据平行线性质和角平分线的定义求出，推出，同理求出，即可证明，即可求解； （2）由，可得，从而得出的长，即可得出的周长． 【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的平分线， ， ， ， 同理可得：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 的周长为． 跟踪训练4 1．如图，的对角线相交于点，两条对角线的和为的长为，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，因为四边形为平行四边形，，，即可作答． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ． 的周长为． 2．如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，且． (1)求证：； (2)连接，若平分，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，结合，证明即可； （2）全等的性质得到，角平分线结合平行线的性质，推出，进而求出的长，再根据平行四边形的对边相等，求出周长即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴（） （2）∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长． 3．如图，在中，的平分线交于E点，且，． (1)求的周长； (2)连结，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理．熟练掌握平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线进行求解即可； （2）先证明为直角三角形 ，再求四边形的面积即可． 【详解】（1）解：在平行四边形中，，   ， 平分， ， ， ， ， 平行四边形的周长为：． （2）解：，，，   ， 为直角三角形，即， 平行四边形的面积． 【题型5 利用平行四边形的性质求面积】 【典例5-1】．如图，在中，的平分线交于E点，且，． (1)求的周长； (2)连结，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理．熟练掌握平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线进行求解即可； （2）先证明为直角三角形 ，再求四边形的面积即可． 【详解】（1）解：在平行四边形中，，   ， 平分， ， ， ， ， 平行四边形的周长为：． （2）解：，，，   ， 为直角三角形，即， 平行四边形的面积． 跟踪训练5 1．如图，平行四边形的对角线、交于点，，，且． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)的面积为． 【分析】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及三角形的面积． （1）由平行四边形的对角线、交于点，且，可得，又由，即可求得的长，继而求得答案； （2）由等底等高的三角形的面积相等，即可求得答案． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 设，， ，， ， 解得：， ， ； （2）解：， ． 2．如图的平行四边形中，空白部分的面积是，求阴影部分的面积． 【答案】22（平方米） 【分析】本题考查了不规则图形的面积，利用阴影部分的面积=平行四边形的面积-三角形的面积求解是解题的关键． 设平行四边形的高为h，根据三角形的面积公式求出h，得出平行四边形的面积，从而得出阴影部分的面积． 【详解】解：设平行四边形的高为h， 则空白部分的面积（平方米）， 平行四边形的面积（平方米）， ， ， ∴平行四边形的面积平方米， ∴阴影部分的面积（平方米）． 3．如图，在中，点是的中点，连接交延长线于点，，，． (1)求证：； (2)连接，求出的面积和周长． 【答案】(1)见解析 (2)；36 【分析】（1）由平行四边形的性质证出，根据可证明； （2）证明是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案． 【详解】（1）证明：为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， 平行四边形的周长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，证明是解题的关键． 【题型6 利用平行四边形的性质求坐标】 【典例6-1】．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，．    (1)求的面积； (2)过A做于D，延长交x轴于点E，求的长； (3)在（2）的条件下，设交y轴于点F，G是y轴左侧的点，使得以A、G、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点G的坐标． 【答案】(1)10 (2) (3)或 【分析】（1）由点的坐标得出，由三角形面积公式即可得出答案； （2）由勾股定理得，得出，得出，证明，得出，得出，由勾股定理即可得出答案； （3）分两种情况：①为对角线时，四边形是平行四边形，得出，由勾股定理求出的长，即可得出点的坐标为；②为对角线时，点的坐标为． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的面积； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况：    ①为对角线时， ∵， ∴四边形是平行四边形， 则， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 点的坐标为； ②为对角线时，，点的坐标为； 综上所述，是轴左侧的点，以为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定和勾股定理是解题的关键． 跟踪训练6 1．如图，在平面直角坐标系中，，为线段上一点， (1)若平分，求点的坐标； (2)若，将沿翻折，点的对应点为，是上一动点，求的最小值； (3)在（2）的条件下，为轴上一动点，为平面上一点，坐标为，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点作于点，首先利用勾股定理和等腰三角形的性质解得，，证明为等腰直角三角形，易得，再根据角平分线的性质定理可得，然后证明，由全等三角形的性质可得，进而确定的值，即可获得答案； （2）根据题意，将沿翻折，点的对应点为，连接，交于点，首先解得，结合是上一动点，连接，过点作于点，由含30度角的直角三角形的性质可得，进而可知若取最小值，即取最小值，当点三点共线，且时，取最小值，求得的值，即可获得答案； （3）首先解得的值，分线段为平行四边形的一条边和线段为平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：如下图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）根据题意，将沿翻折，点的对应点为， 连接，交于点，如下图， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得， ∴， 根据题意，是上一动点，连接，过点作于点， ∵， ∴， ∴若取最小值，即取最小值， ∵当点三点共线，且时，取最小值， 此时在中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为； （3）由（2）可知，， ∴， 当线段为平行四边形的一条边时，如下图，过点作轴于点， ∵四边相为平行时四边形， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，，即， ∴， ∴； 当线段为平行四边形的对角线时，如下图，过点作轴于点， ∵四边相为平行时四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、折叠的性质等知识，综合性强，难度较大，正确作出辅助线是解题关键． 2．【材料阅读】小明偶然发现线段的端点M的坐标为，端点N的坐标为，则这条线段中点的坐标为，在平面直角坐标系中，以任意点为端点的线段中点坐标为． (1)【知识运用】如图，平行四边形的对角线相交于点H，点E在x轴上，O为坐标原点，点F的坐标为，则点H的坐标为 ； (2)【能力拓展】在直角坐标系中，有三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或或 【分析】本题主要考查了中点坐标公式和平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）直接根据题目所给的中点坐标公式，代入值求解即可； （2）根据平行线四边形的性质，分情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：设的坐标为， 为中点， ， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 当为对角线时，的中点坐标为． ∵点的坐标为， ， 解得， ∴此时点的坐标为， 当为对角线时， 同理求得点的坐标为， 当为对角线时， 同理求得点的坐标为， ∴点D的坐标为或或． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点D在y轴上．已知，，，从C点出发的E点，以每秒2个单位长度的速度向D点移动．M是的中点，的延长线交于F点． (1)求点B，C的坐标． (2)当四边形是平行四边形时，求点E的移动时间t． (3)当为等腰三角形时，直接写出点E的坐标______． 【答案】(1)， (2)4 (3)或或 【分析】（1）由题意得，，根据直角三角形的性质可得，，从而可得，即可求点B的坐标，根据平行四边形的性质可得，利用勾股定理求得，即可求点D坐标； （2）根据平行四边形的性质可得点E是的中点，进而求解即可； （3）分类讨论：①，②，③，利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴； （2）解：∵M是的中点，四边形是平行四边形， ∴时，点E是的中点， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得，，，，， 当为等腰三角形时，①当时， ∵， 由（1）可得，，，， ∴， ∴， ∴， ②当时，过点M作于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ③当时，过点E作于点N， ∵，， ∴， 设，则， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， 综上所述，点E的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及解一元二次方程，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 【题型7 利用平行四边形的性质证明】 【典例7-1】．如图，的对角线，相交于点，过点的直线分别交、的延长线于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 跟踪训练7 1．已知：如图，在中，、是对角线上的两点，且．请判断与的关系，并说明理由． 【答案】，，证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质． 由四边形是平行四边形，即可得，然后利用平行线的性质，求得，又由，即可证得，继而可得、即，可得，可得四边形是平行四边形，从而可得结论． 【详解】解：猜想，， 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ 即， ∴， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 2．已知：如图，，是的对角线上的两点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据两条直线平行，内错角相等，即可得．先证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 3．如图，在中，对角线，相交于点O，经过点O的直线分别交和于点E，F，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题关键． 由平行四边形可知，，进而证明，即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． 【题型8 利用平行四边形的性质解决折叠】 【典例8-1】．如图，在平行四边形中，，点、分别在、上，沿折叠平行四边形，使点、互相重合，点落在点的位置． (1)连接，，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定等知识， （1）根据平行四边形的性质和折叠的性质证明，，，即可得到结果； （2）根据题意可得，得到，再根据点与点重合，得到，结合三角形内角和定理即可得到结果； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为折痕，点与点重合， ∴， ∴， ∴． 跟踪训练8 1．在一次数学探究活动中，小明用两条直线把平行四边形分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等． (1)请在图中的三个平行四边形中画出满足小明分割方法的直线； (2)根据小明的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有______组；由上述实验操作过程，你发现小明所画的两条直线的主要特点是______． (3)拓展延伸：将一张平行四边形的纸片沿过对角线的中点的直线折叠，折痕交边、于点、，点落在点处，点落在点处．设交于点，分别交、于点、．求证：． 【答案】(1)作图见详解，（答案不唯一）； (2)无数，两条直线都经过平行四边形对角线的交点； (3)见解析 【分析】（1）由平行四边形是中心对称图形，只要过它的对称中心画直线即可； （2）由（1）即可得答案； （3）由平行四边形的性质得，再由证得，得出，然后由折叠性质得，最后证得，即可得出结论． 【详解】（1）解：作图时首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可， 答案不唯一：如图所示； （2）解：把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有无数组，由上述实验操作过程，发现小明所画的两条直线的主要特点是：这两条直线过平行四边形对角线的交点， 故答案为：无数，两条直线都经过平行四边形对角线的交点； （3）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形是中心对称图形，平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中心，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形是解题的关键． 2．如图，把平行四边形纸片沿折叠，点C落在点处，与交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了折叠性质，平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，根据折叠性质可得到，由两直线平行内错角相等可得，即可得到，根据等角对等边即可得出结论． 【详解】证明：由折叠可知：， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ． 3．将纸片沿折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处． (1)求证：； (2)若的面积等于8，，试求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积，解题关键是应用折叠的性质找出所需的条件． （1）由平行四边形的性质可得，，，由折叠可知，，，进而得到，，，于是，以此即可通过证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）由（1）可得，由可得，进而求出，则，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，，， 由折叠可知 ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）如图，连接， 由（1）知，， ， ， ，即， ， ， ． 【题型9 平行四边形的性质解决实际问题】 【典例9-1】．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 跟踪训练9 1．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【答案】C 【分析】如图，作于点M，则平行四边形的面积，可得，即平行四边形的高的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法. 【详解】解：如图，作于点M， 则平行四边形的面积， ∵，， ∴，即平行四边形的高的最大值是8cm， ∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确； 在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确； 所以甲乙的说法都是正确的， 故选：C.    【点睛】本题考查了平行四边形的面积，正确理解题意、得出平行四边形高的变化情况是解题的关键. 2．请用三种不同的方法将平行四边形划分成面积相等的四部分．      【答案】见解析 【分析】方法一：找出平行四边形的左右两条边的四等分点，依次对应连接起来，即可将平行四边形四等分； 方法二：连接平行四边形的两组对边的中点，即可把平行四边形四等分； 方法三：连接平行四边形的两条对角线，即可把平行四边形四等分，据此即可画图． 【详解】解：方法一：找出平行四边形的左右两条边的四等分点，依次对应连接起来，即可将平行四边形四等分； 方法二：连接平行四边形的两组对边的中点，即可把平行四边形四等分； 方法三：连接平行四边形的两条对角线，即可把平行四边形四等分； 据此即可画图， 如图所示：   【点睛】此题主要考查图形的划分，关键是明确有关于平行四边形的特征和它的对角线的性质． 3．如图：的对角线交于点O．    (1)基础训练： 经过点O且与、分别相交于E、F．求证： (2)拓展变式 若将条件改为经过点O且与、的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题意画出图形，标注字母，并给予证明． (3)观察归纳 的对角线交于点O，直线是经过点O的任意一条直线，将的面积分为两部分，设四边形的面积为，四边形的面积为，则______．    (4)实践操作 你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅助线）；若不能，请说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)成立，图和证明见解析 (3) (4)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，可得； （2）画出图形，同（1）的方法证明即可； （3）根据全等三角形的性质得到，，等量代换可得，即可证明； （4）分别找出两个平行四边形对角线的交点，再连接即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立，理由是： 在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；    （3）同（1）可证：，， ∴，， ∴， ， ∴； 故答案为：； （4）能，如图，直线即为所求．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用平行四边形的性质得到线段，面积之间的关系． 【题型10 利用平行四边形的性质对多结论问题作判断】 【典例10-1】．如图，平行四边形的对角线、交于点O，平分交于点E，，，连接OE．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】求得，即，即可得到；根据，可得，进而得出平分；依据中，，即可得到；根据是中点，为中点，可得到，利用三角形全等得到． 【详解】解：在中， ，，平分， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ，即， ，故①正确； ， ， ， 故平分，故②正确； 依据中，，即可得到， 故③错误； 是中点， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， 垂直平分，故④正确． 综上所述，①、②、④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键． 跟踪训练10 1．如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③．④．其中正确的结论有 ．（填所有正确结论的序号） 【答案】②④/④② 【分析】通过判断为等腰直角三角形，得到，根据等角的余角相等得到，再根据平行四边形的性质得到，则，于是可对②进行判断；根据“”可证明，得到，可对①进行判断；因为，，推出，可对③进行判断；依据勾股定理即可得到，可对④进行判断． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ，故①错误； ∵，， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确． ∴其中正确的结论有②④． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键． 2．如图，平行四边形的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的有 （写序号即可）． 【答案】①②④ 【分析】①：根据已知条件易得△ODC为等边三角形，然后求得∠ABD=90°，即AB⊥BD，即可得到S▱ABCD=AB•BD； ②：根据∠ADE=60°，∠BDE=30°，可得∠ADB=30°=∠BDE，即可得出DB平分∠CDE； ③：依据①②容易得到OE=CD，而CD=AB，AD=2AB，即可得到OE=BC； ④：由BE=EC可得S△CDE=S△CDB，由BO=OD可得S△BOC=S△CDB，即可得出S△CDE=S△BOC． 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∠BCD=60°， ∴∠ADC=120°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE=∠CDE=60°=∠BCD， ∴△CDE是等边三角形， ∴CD=CE=DE， ∵AD=2AB，BC=AD，CD=AB， ∴BC=2CD=2CE=2DE， ∴DE=CE=BE， ∴∠BDE=∠DBE=∠CED=30°， ∴∠CDB=90°， ∴∠ABD=90°，即AB⊥BD， ∴S▱ABCD=AB•BD，故①正确； 由①知，∠ADE=60°，∠BDE=30°， ∴∠ADB=30°=∠BDE， ∴DB平分∠ADE，故②正确； ∵BC=2CD=2CE， ∴OE=CD， ∵AD=2AB， ∴BC=2CD， ∴OE=BC，故③不正确； ∵BE=EC， ∴S△CDE=S△CDB， ∵BO=OD， ∴S△BOC=S△CDB， ∴S△CDE=S△BOC，故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线定义，熟练掌握各定理是解题的关键． 3．如图，在平行四边形中，E为上一点，F为上一点，与对角线交于点 O．有以下三个条件：①；②；③．从中选取一 个作为题设，余下的两个作为结论，组成一个正确的命题，并加以证明． 【答案】①为题设，②③为结论或②为题设，①③为结论或③为题设，①②为结论，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，，再任选择一个条件作为题设证明，即可根据全等三角形的性质证明另外两个成立． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ①为题设，②③为结论，证明如下： ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②为题设，①③为结论，证明如下： ∵， ∴， ∴； ∴，即； ③为题设，①②为结论，证明如下： ∵， ∴， ∴； ∴，即． 学科网（北京）股份有限公司 $$