19.3　正方形 同步练习2024-2025学年 华东师大版数学八年级下册

　正方形 【A层 基础夯实】 知识点1　正方形的性质 1.下列说法中,正方形具有而矩形不具有的性质是( ) A.两组对边分别平行 B.对角线互相垂直 C.四个角都为直角 D.对角线互相平分 2.(2024·泸州模拟)如图,在正方形ABCD中,点E为边BA延长线上一点,点F在边BC上,且AE=CF,连结DF,EF.若∠FDC=α.则∠AEF=( ) A.90°-2α B.45°-α C.45°+α D.α 3.(2024·呼伦贝尔、兴安盟中考)如图,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点,F是BD上一点,连结DE,EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称,则△BEF的周长是( ) A.2 B.2+ C.4-2 D. 4.如图,正方形ABCD的边长为4,AF=CE. (1)求证:△ABF≌△CBE; (2)若AF=1,求四边形BEDF的面积. 知识点2　正方形的判定 5.(2024·龙东中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件 ,使得菱形ABCD为正方形.  6.如图,E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点,AE=BF=CM=DN,则四边形EFMN的形状是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形. 【B层 能力进阶】 8.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连结AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为( ) A.80° B.90° C.105° D.115° 9.如图,正方形ABCD的边长为20,点M在DC上,且DM=5,N是AC上的一个动点,则DN+MN的最小值是( ) A.20 B.25 C.30 D.35 10.(2024·河南中考)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为 .  11.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别以点B,C为圆心,AC,BD长为半径画弧,两弧交于点P,连结BP,CP. (1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由; (2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形? 【C层 创新挑战(选做)】 12.(2024·乐山模拟)如图,已知四边形ABCD为正方形,点E为线段AC上一点,连结DE,过点E作EF⊥DE,交线段BC的延长线于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连结CG. (1)求证:矩形DEFG是正方形; (2)当点E从A点运动到C点时,∠DCG的大小是否会改变?请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　正方形 【A层 基础夯实】 知识点1　正方形的性质 1.下列说法中,正方形具有而矩形不具有的性质是(B) A.两组对边分别平行 B.对角线互相垂直 C.四个角都为直角 D.对角线互相平分 2.(2024·泸州模拟)如图,在正方形ABCD中,点E为边BA延长线上一点,点F在边BC上,且AE=CF,连结DF,EF.若∠FDC=α.则∠AEF=(B) A.90°-2α B.45°-α C.45°+α D.α 3.(2024·呼伦贝尔、兴安盟中考)如图,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点,F是BD上一点,连结DE,EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称,则△BEF的周长是(A) A.2 B.2+ C.4-2 D. 4.如图,正方形ABCD的边长为4,AF=CE. (1)求证:△ABF≌△CBE; (2)若AF=1,求四边形BEDF的面积. 【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠A=∠C=90°, ∵AF=CE,∴△ABF≌△CBE(S.A.S.); (2)∵正方形ABCD的边长为4,AF=1,∴AB=BC=4,CE=AF=1, ∴S四边形BEDF=S正方形ABCD-S△ABF-S△BCE=42-×4×1-×4×1=16-2-2=12. 知识点2　正方形的判定 5.(2024·龙东中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件　AC=BD(答案不唯一)　,使得菱形ABCD为正方形.  6.如图,E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点,AE=BF=CM=DN,则四边形EFMN的形状是(D) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形. 【证明】∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD, ∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形. ∵OE=OA=OF,∴OE=OF=OA=OC, ∴EF=AC,∴菱形AECF是正方形. 【B层 能力进阶】 8.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连结AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为(C) A.80° B.90° C.105° D.115° 9.如图,正方形ABCD的边长为20,点M在DC上,且DM=5,N是AC上的一个动点,则DN+MN的最小值是(B) A.20 B.25 C.30 D.35 10.(2024·河南中考)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为　(3,10)　.  11.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别以点B,C为圆心,AC,BD长为半径画弧,两弧交于点P,连结BP,CP. (1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由; (2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形? 【解析】(1)四边形BPCO为平行四边形. 理由:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴OC=OA=AC,OB=OD=BD, ∵以点B,C为圆心,AC,BD长为半径画弧,两弧交于点P, ∴OB=CP,BP=OC, ∴四边形BPCO为平行四边形; (2)当AC⊥BD,AC=BD时,四边形BPCO为正方形.∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°, ∵AC=BD,OB=BD,OC=AC,∴OB=OC,∵四边形BPCO为平行四边形, ∴四边形BPCO为正方形. 【C层 创新挑战(选做)】 12.(2024·乐山模拟)如图,已知四边形ABCD为正方形,点E为线段AC上一点,连结DE,过点E作EF⊥DE,交线段BC的延长线于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连结CG. (1)求证:矩形DEFG是正方形; (2)当点E从A点运动到C点时,∠DCG的大小是否会改变?请说明理由. 【解析】(1)过点E作EP⊥CD于点P,EQ⊥BC于点Q,如图, 则∠EPC=∠EQC=90°,∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BCD=90°,∠DCA=∠BCA,∴EQ=EP,四边形CPEQ是正方形, ∴∠PEQ=90°,∵DE⊥EF,∴∠DEF=∠PEQ=90°, ∴∠PEQ-∠PEF=∠DEF-∠PEF,即∠QEF=∠PED, ∴△EQF≌△EPD(A.S.A.),∴EF=ED,∴矩形DEFG是正方形. (2)∵四边形ABCD,四边形DEFG都是正方形,∴DA=DC,DE=DG,∠ADC= ∠EDG=90°,∠DAC=45°,∴∠ADC-∠CDE=∠EDG-∠CDE,即∠ADE=∠CDG, ∴△ADE≌△CDG(S.A.S.),∴∠DCG=∠DAE=45°,∴∠DCG的大小始终不变. 学科网（北京）股份有限公司 $$