第29期 16.3 可化为一元一次方程的分式方程 16.4 零指数幂与负整数指数幂-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（华东师大版）

书 答案详解 　　　　　 　　２０２４～２０２５学年　初中数学华东师大八年级　第２７～３１期　　　　　 　　 ２７期２版 １６．１分式及其基本性质 １６．１．１分式 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ． ３．（１）ｍ≠０；　（２）ｘ为全体实数；　（３）２ａ≠ｂ； （４）ｘ≠３且ｘ≠２． ４．（１）两次平均每人捐款： ａ＋ｂｘ＋ｘ＋２＝ ａ＋ｂ ２ｘ＋２（元）． （２）第二天她打字用了１２０００－１２０ｗｗ＋１０ ｍｉｎ． １６．１．２分式的基本性质（基本性质、约分） 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．Ｄ． ４．（１）６ｂ；　（２）ａ－２ｂａ＋２ｂ；　（３） １ ｘ２＋２ｘ＋１ ． ５．ｘ ２＋４ｘ ｘ２ ＝ｘ（ｘ＋４） ｘ２ ＝ｘ＋４ｘ 或 ｘ２ ｘ２＋４ｘ ＝ ｘ ２ ｘ（ｘ＋４）＝ ｘ ｘ＋４． １６．１．２分式的基本性质（通分） 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ． ３．（１）最简公分母是３ａ２ｂ２，６ｃ ａ２ｂ ＝１８ｂｃ ３ａ２ｂ２ ， ｃ ３ａｂ２ ＝ ａｃ ３ａ２ｂ２ ． （２）最简公分母是１２ａｂ（ｘ＋２）， ｘ４ａｘ＋８ａ＝ ３ｂｘ １２ａｂ（ｘ＋２） ＝ ３ｂｘ１２ａｂｘ＋２４ａｂ， ｙ ６ｂｘ＋１２ｂ＝ ２ａｙ １２ａｂ（ｘ＋２）＝ ２ａｙ １２ａｂｘ＋２４ａｂ． （３）最简公分母是（ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ）， ｘ ｘ－ｙ＝ ｘ（ｘ＋ｙ）２ （ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ） ＝ ｘ ３＋２ｘ２ｙ＋ｘｙ２ ｘ３＋ｘ２ｙ－ｘｙ２－ｙ３ ， ｙ ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２ ＝ ｙ（ｘ－ｙ） （ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ） ＝ ｘｙ－ｙ ２ ｘ３＋ｘ２ｙ－ｘｙ２－ｙ３ ， ２ ｘ２－ｙ２ ＝ ２（ｘ＋ｙ） （ｘ＋ｙ）２（ｘ－ｙ） ＝ ２ｘ＋２ｙ ｘ３＋ｘ２ｙ－ｘｙ２－ｙ３ ． １６．２．１分式的乘除 １６．２．１．１分式的乘除 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．ｘ ２＋２ｘｙ＋ｙ２ ｘ－ｙ ． ４．（１）２ｍｎ２；　（２） １５ｂ ａ２＋ａｂ ；　（３）－２． ５．原式 ＝ｘ－１ｘ＋１． 根据分式有意义的条件，得ｘ≠１，ｘ≠－１．所以在 －１≤ｘ ≤１的范围内，ｘ可以取的整数为０． 当ｘ＝０时，原式 ＝－１． １６．２．１．２分式的乘方 基础训练　１．Ｂ；　２．－３．　３．（１） ｙｘ－ｙ；　（２） ａ ２ｂ２ ． ２７期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ａ 二、９．１３ａ；　１０．１０；　１１．－ ｘ－ｙ ｘ２＋ｘｙ ；　１２．１或２． 三、１３．（１）ｘ ２＋ｘｙ ｘ２－ｙ２ ＝ ｘ（ｘ＋ｙ） （ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＝ ｘ ｘ－ｙ； （２）最简公分母为 ａｂ（ｂ＋１）， ｂａｂ＋ａ＝ ｂ２ ａｂ（ｂ＋１）＝ ｂ２ ａｂ２＋ａｂ ， ａ ｂ２＋ｂ ＝ ａ ２ ａｂ（ｂ＋１）＝ ａ２ ａｂ２＋ａｂ ． １４．（１）－３ｘ ３ ４ｙ；　（２）６ａｂ；　（３）ａ＋５；　（４） ２ ３ｘ ２． １５．甲工程队修９００ｍ所用的时间为 ９００ ａ２－４ 天，乙工程队修 ６００ｍ所用的时间为 ６００ （ａ－２）２ 天． ９００ ａ２－４ ÷ ６００ （ａ－２）２ ＝ ９００ （ａ＋２）（ａ－２）· （ａ－２）２ ６００ ＝ ３（ａ－２） ２（ａ＋２）＝ ３ａ－６ ２ａ＋４． 答：甲工程队修９００ｍ所用的时间是乙工程队修６００ｍ所 用时间的 ３ａ－６ ２ａ＋４倍． １６． ａ＋ｂａ＋（ａ－ｂ）．证明如下： ａ３＋ｂ３ ａ３＋（ａ－ｂ）３ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ ２－ａｂ＋ｂ２） ［ａ＋（ａ－ｂ）］［ａ２－ａ（ａ－ｂ）＋（ａ－ｂ）２］ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ２－ａｂ＋ｂ２） ［ａ＋（ａ－ｂ）］（ａ２－ａｂ＋ｂ２） ＝ ａ＋ｂａ＋（ａ－ｂ）． 附加题　１．因为ａｂｃ＝１，所以 １ａｂ＋ｂ＋１＝ ａｂｃ ａｂ＋ｂ＋ａｂｃ ＝ ａｃａ＋１＋ａｃ， １ ｂｃ＋ｃ＋１＝ ａ ａ（ｂｃ＋ｃ＋１）＝ ａ ａｂｃ＋ａｃ＋ａ＝ ａ １＋ａｃ＋ａ． ２．因为 ２ｘ＋ｙ≠ １，所以 ２ｘ＋ｙ－１≠ ０．所以 ２ｘ２＋３ｘｙ＋ｙ２－ｘ－ｙ ２ｘ２－ｘｙ－ｙ２－ｘ＋ｙ ＝ （２ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｙ）－（ｘ＋ｙ） （２ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）－（ｘ－ｙ）                                                         ＝ —１— 初中数学华东师大八年级　第２７～３１期 （ｘ＋ｙ）（２ｘ＋ｙ－１） （ｘ－ｙ）（２ｘ＋ｙ－１）＝ ｘ＋ｙ ｘ－ｙ．因为ｘ ２＋ｘｙ－２ｙ２＝０，所以（ｘ＋ ２ｙ）（ｘ－ｙ）＝０．根据分式有意义的条件，得ｘ－ｙ≠０．所以ｘ＋ ２ｙ＝０．所以ｘ＝－２ｙ．所以原式 ＝ －ｙ－３ｙ＝ １ ３． ２８期２版 １６．２．２分式的加减 １６．２．２．１同分母分式相加减 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ｂ； ４．（１）ｘ－１，（２）±槡３． ５．（１）１；　（２）１ｘ． ６．原式 ＝ａ＋ｃａ－ｂ．当ａ＝３，ｂ＝－２，ｃ＝－１时，原式 ＝ ２ ５． １６．２．２．２异分母分式相加减 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．１６． ５．（１）２ａ＋５ ａ２ ；　（２）１ａ；　（３） ａ＋ｂ ａ－ｂ． 能力提高　６．Ｂ． １６．２．２．３分式的混合运算 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ． ３．（１）ａ＋１；　（２）ｘ＋２ｘ＋３． ４．原式 ＝ｘ．根据分式有意义的条件，得ｘ≠０，ｘ≠２，ｘ≠ －２．所以在 －２≤ｘ＜槡７的范围内，ｘ可以取的整数为 －１或 １．当ｘ＝１时，原式 ＝１；当ｘ＝－１时，原式 ＝－１． 能力提高　５．Ｂ． ２８期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ Ａ Ａ 二、９．１；　１０．ｂ－ａａ ；　１１．１；　１２．－５． 三、１３．（１）ａ＋ｂ；　（２）１３ｂ；　（３）－３ｘ． １４．原式 ＝ａ－２ａ ．当ａ＝３时，原式 ＝ １ ３． １５．（１）大船完成任务用 １００ｘ＋１０天，小船完成任务用 ８０ ｘ天． （２） １００ｘ＋１０－ ８０ ｘ ＝ １００ｘ－８０（ｘ＋１０） ｘ（ｘ＋１０） ＝ ２０ｘ－８００ ｘ（ｘ＋１０）．当０ ＜ｘ＜４０时，１００ｘ＋１０＜ ８０ ｘ，大船用的时间少；当 ｘ＝４０时， １００ ｘ＋１０＝ ８０ ｘ，两船用的时间相等；当ｘ＞４０时， １００ ｘ＋１０＞ ８０ ｘ，小 船用的时间少． １６．（１）分式 ３ｘ＋２与分式 ３ ｘ＋５是“互联分式”．理由如下： 因 为 ３ ｘ＋２ － ３ ｘ＋５ ＝ ３（ｘ＋５）－３（ｘ＋２） （ｘ＋２）（ｘ＋５） ＝ ９ （ｘ＋２）（ｘ＋５）， ３ ｘ＋２· ３ ｘ＋５＝ ９ （ｘ＋２）（ｘ＋５），所以分式 ３ ｘ＋２与分式 ３ ｘ＋５是“互联分式”． （２）设ｘ＋２ｘ＋５的“互联分式”是Ｎ，则 ｘ＋２ ｘ＋５－Ｎ＝ ｘ＋２ ｘ＋５·Ｎ． 所以（ ｘ＋２ ｘ＋５＋１）Ｎ＝ ｘ＋２ ｘ＋５．所以 Ｎ＝ ｘ＋２ ２ｘ＋７，即分式 ｘ＋２ ｘ＋５的 “互联分式”是 ｘ＋２ ２ｘ＋７． 附加题　１．（１）小明组成的值最大的分式是ｘ＋３ｘ＋１；小强 组成的值最大的分式是 ｘ－１ ｘ－３． （２）小强说的有道理．理由如下： ｘ＋３ ｘ＋１－ ｘ－１ ｘ－３＝－ ８ （ｘ＋１）（ｘ－３）．因为ｘ是大于３的正整 数，所以－ ８ （ｘ＋１）（ｘ－３）＜０．所以 ｘ＋３ ｘ＋１＜ ｘ－１ ｘ－３．所以小强说 的有道理． ２．（１）５－ ２ｘ＋２； （２）选择方法一，原式 ＝ｘ ２－２ｘ＋１＋８ｘ－８＋８ ｘ－１ ＝ （ｘ－１）２＋８（ｘ－１）＋８ ｘ－１ ＝ｘ－１＋８＋ ８ ｘ－１＝ｘ＋７＋ ８ ｘ－１． （３） 原 式 ＝ ｘ ２－８ｘ＋１６＋３ｘ－１２＋７ ｘ－４ ＝ （ｘ－４）２＋３（ｘ－４）＋７ ｘ－４ ＝ｘ－４＋３＋ ７ ｘ－４＝ｘ－１＋ ７ ｘ－４． 因为原分式与ｘ的值都是整数，所以ｘ－４＝±１或ｘ－４＝±７． 解得ｘ＝５或３或１１或 －３． ２９期２版 １６．３可化为一元一次方程的分式方程 １６．３．１分式方程的概念及解法 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．２５． ５．（１）ｘ＝９；　（２）无解；　（３）ｘ＝－２３． ６． ２ｘ－２＋ ｘ＋ｍ ２－ｘ＝２两边乘（ｘ－２），得２－ｘ－ｍ＝２ｘ－ ４．解得ｘ＝６－ｍ３ ． （１）因为该分式方程有增根，所以ｘ－２＝０．解得ｘ＝２．所 以 ６－ｍ ３ ＝２．解得ｍ＝０． （２）因为该分式方程的解是正数，所以６－ｍ３ ＞０，且 ６－ｍ ３ ≠２．解得ｍ＜６且ｍ≠０． 能力提高　７．Ｂ． １６．３．２分式方程的应用 基础训练　１．Ａ；　２．Ａ；　３．１２０． ４．设电动车的速度是 ｘ千米 ／时，则汽车的速度是（ｘ＋ ３５）千米 ／时． 根据题意，得 １３－７ ｘ ＝ １３ ｘ＋３５．解得ｘ＝３０                                                                      ． —２— 初中数学华东师大八年级　第２７～３１期 经检验，ｘ＝３０是原分式方程的解，且符合题意． 所以ｘ＋３５＝６５． 答：电动车的速度是３０千米／时，汽车的速度是６５千米／时． ５．设该市去年居民用水的价格是ｘ元 ／ｍ３，则该市今年居 民用水的价格是（１＋１３）ｘ元 ／ｍ ３． 根据题意，得 ３０ （１＋１３）ｘ －１５ｘ ＝５．解得ｘ＝１．５． 经检验，ｘ＝１．５是原分式方程的解，且符合题意． 所以（１＋１３）ｘ＝２． 答：该市今年居民用水的价格是２元 ／ｍ３． ６．（１）设小明在地面上每分钟行走ｘ米，则小刚在地面上 每分钟行走 ６ ５ｘ米． 根据题意，得１．５×６５ｘ－１．５ｘ＝１５．解得ｘ＝５０． 所以 ６ ５ｘ＝６０． 答：小明在地面上每分钟行走５０米，小刚在地面上每分钟 行走６０米． （２）设平地电梯每分钟行驶ｙ米． 根据题意，得 １２０ ６０＋ｙ＝ １２０－４０３ ５０＋ｙ．解得ｙ＝３０． 经检验，ｙ＝３０是原分式方程的解，且符合题意． 答：平地电梯每分钟行驶３０米． １６．４零指数幂与负整数指数幂 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ．　 ３．（１）９；　（２） １ ａ９ｂ６ ；　（３）ｘ １２ ４ｙ７ ． ２９期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ Ｃ 二、９．９８；　１０．３；　１１． ６２１０ ｘ ＝３（ｘ－１）；　１２． １ ３． 三、１３．（１）ｘ＝１；　（２）ｘ＝４；　（３）无解． １４．设一个工人每小时包装 ｘ盒药品，则一台智能机器人 每小时包装５ｘ盒药品． 根据题意，得 １６００ ４ｘ － １６００ ５ｘ ＝４．解得ｘ＝２０． 经检验，ｘ＝２０是原分式方程的解，且符合题意． 所以５ｘ＝１００． 答：一台智能机器人每小时包装１００盒药品． １５．（１） ６ｘ－３＋ ｘ＋１ ３－ｘ＝１两边乘（ｘ－３），得６－（ｘ－１）＝ ｘ－３．解得ｘ＝５．检验：当ｘ＝５时，ｘ－３≠０．所以ｘ＝５是原 分式方程的解． （２）设▲ ＝ｍ．ｍｘ－３＋ ｘ－１ ３－ｘ＝１两边乘（ｘ－３），得ｍ－（ｘ －１）＝ｘ－３．解得ｘ＝ｍ＋４２ ．因为原分式方程无解，所以 ｍ＋４ ２ ＝３．解得ｍ＝２，即原分式方程中“▲”代表的数为２． １６．（１）设该商家购进运动鞋ｘ双，则购进运动服１．２５ｘ套． 根据题意，得 ６４００ ｘ － ６０００ １．２５ｘ＝４０．解得ｘ＝４０． 经检验，ｘ＝４０是原分式方程的解，且符合题意． 所以１．２５ｘ＝５０． 答：该商家购进运动鞋４０双，购进运动服５０套． （２）每双运动鞋的进价为：６４００÷４０＝１６０（元），每套运 动服的进价为：１６０－４０＝１２０（元）． 根据题意，得４０×３４×（２００－１６０）＋５０× １ ２×（１６０－ １２０）＋４０×１４×（２００×０．１ａ－１６０）＋５０× １ ２×（１６０－１２０ －３ａ）＝２６００．解得ａ＝８． 附加题　１． ｘｘ－１－１＝ ｍ （ｘ－１）（ｘ＋２）两边乘（ｘ－１）（ｘ ＋２），得ｘ（ｘ＋２）－（ｘ－１）（ｘ＋２）＝ｍ．解得ｘ＝ｍ－２．因为 分式方程 ｘ ｘ－１－１＝ ｍ （ｘ－１）（ｘ＋２）有增根，所以ｘ－１＝０或 ｘ＋２＝０．解得ｘ＝１或ｘ＝－２．所以ｍ－２＝１或ｍ－２＝－２． 解得ｍ＝３或ｍ＝０． ２．（１）ｘ＝６． （２） １ｘ＋７－ １ ｘ＋６＝ １ ｘ＋４－ １ ｘ＋３． （３）答案不惟一，如 １ｘ－ｎ＋２－ １ ｘ－ｎ＋１＝ １ ｘ－ｎ－１－ １ ｘ－ｎ－２，这个方程的解为ｘ＝ｎ． ３０期检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｂ Ｃ Ａ Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｃ Ｄ 二、１３．３２；　１４．７；　１５．５；　１６．ａ＜－１． 三、１７．（１）－２ｂｄ５ａｃ；　（２） １ ｘ＋３． １８．（１）无解；　（２）ｘ＝－３７． １９．原式 ＝ｘ＋１．解不等式组 １ ２（ｘ＋１）≤２， ｘ＋２ ３ ≥ ｘ＋３ ４ { ，得１≤ｘ≤ ３．所以该不等式组的整数解是１，２，３． 要使分式（ ｘ２－ｘ ｘ２－２ｘ＋１ ＋ ２１－ｘ）÷ ｘ－２ ｘ２－１ 有意义，所以ｘ－ １≠０，ｘ＋１≠０，ｘ－２≠０．解得ｘ≠１，ｘ≠－１，ｘ≠２．所以ｘ ＝３．当ｘ＝３时，原式 ＝４                                                                      ． —３— 初中数学华东师大八年级　第２７～３１期 ２０．方程 ４ｘｘ－２－５＝ ｍｘ ２－ｘ两边乘（ｘ－２），得４ｘ－５（ｘ－２） ＝－ｍｘ．整理，得（１－ｍ）ｘ＝１０．因为关于ｘ的方程 ４ｘｘ－２－５＝ ｍｘ ２－ｘ无解，所以ｘ＝２或１－ｍ＝０．解得ｍ＝－４或ｍ＝１． ２１．（１）设这项工程的规定时间是ｘ天． 根据题意，得（ １ ｘ＋ １ ３ｘ）×１５＋ １０ ｘ ＝１．解得ｘ＝３０． 经检验，ｘ＝３０是原分式方程的解，且符合题意． 答：这项工程的规定时间是３０天． （２）设该工程由甲、乙队合做完成需要ｍ天． 根据题意，得（ １ ３０＋ １ ３×３０）ｍ＝１．解得ｍ＝２２．５． ２２．５×（６５００＋３５００）＝２２５０００（元）． 答：该工程的施工费用为２２５０００元． ２２．（１）－２，－３． （２）根据题意，得ｍｎ＝－５，ｍ＋ｎ＝－２．所以 ｎｍ ＋ ｍ ｎ ＝ ｍ２＋ｎ２ ｍｎ ＝ （ｍ＋ｎ）２－２ｍｎ ｍｎ ＝－ １４ ５． （３）原方程变为ｘ－２＋ｋ（－２ｋ－３）ｘ－２ ＝－ｋ－３．所以ｘ１－ ２＝ｋ，ｘ２－２＝－２ｋ－３．所以 ｘ１－２ ｘ２＋１ ＝ ｋ－２ｋ－１＋１＝－ １ ２． ３１期２版 １７．１变量与函数 ①变量与函数 基础训练　１．Ｃ；　２．单价． ３．（１）常量是６；变量是ｎ，ｔ． （２）常量是４０；变量是ｓ，ｔ． ４．（１）１９０； （２）水池的容积是常量；抽水时间、抽出水的体积、水池中 水的体积是变量． ②变量与函数 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．ｙ＝２４ｘ＋３． ４．（１）ｙ是ｘ的函数．理由如下： 存在两个变量：买地砖需要的钱数ｙ和小路的宽度ｘ，对于 每一个ｘ的值，ｙ都有惟一确定的值与之相对应，符合函数的定 义，所以ｙ是ｘ的函数． （２）当ｘ＝３时，两条小路的面积和为：３２×３＋２０×３－３２ ＝１４７（平方米）．地砖的费用为：６０×１４７＝８８２０（元）． １７．２函数的图象 １７．２．１平面直角坐标系 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．ｙ；　５．（３，３）． ６．（１）点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的坐标依次为：Ａ（３，２），Ｂ（－３，４）， Ｃ（－４，－３），Ｄ（３，－３）； （２）图略，得到的封闭图形是一个直角三角形． １７．２．２函数的图象 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．－１＜ｘ＜１或ｘ＞２； ４．２５． ５．图略．当ｘ＝１时，ｙ＝２ｘ＋１＝３＜槡１０．所以点（１， 槡１０）在该函数图象的上方． ６．（１）由图象可知，Ａ点表示小王开始收割前微信零钱有 ２０００元． （２）由图象可知，收割２０亩后，微信零钱为３６００元．所以 收割机收割一亩小麦：（３６００－２０００）÷２０＝８０（元）． （３）ａ＝２０００＋５０×８０＝６０００． （４）全天收割小麦共收入：２８４０＋４０００＝６８４０（元）． ３１期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ 二、９．（－２，３）；　１０．８；　１１．ｙ＝１．８ｘ＋３２； １２．（２２４，０）． 三、１３．（１）学校、汽车站的坐标分别为（１，３），（２，－１）； （２）他路上经过的地方有：商店、公园、汽车站、水果店、学 校、娱乐城、邮局． １４．（１）将ｘ＝１，ｙ＝４代入ｙ＝２ｘ＋ｂ，得２＋ｂ＝４．解得 ｂ＝２． （２）图略． １５．（１）因为点Ｐ在ＡＢ上运动，所以０≤ｘ≤４．根据题意， 得ｙ＝４×８－１２×８ｘ＝－４ｘ＋３２（０≤ｘ≤４）． （２）当阴影部分的面积等于２０，即ｙ＝－４ｘ＋３２＝２０．解 得ｘ＝３．所以ＰＢ＝３． １６．（１）当ｘ＝－３时，ｙ＝－２×（－３）＋１＝７； 当ｘ＝２时，ｙ＝ １２×２－ ３ ２ ＝－ １ ２． （２）Ａ． （３）①当ｘ＜１时，－２ｘ＋１＝１，解得ｘ＝０，符合题意； ②当ｘ≥１时，１２ｘ－ ３ ２ ＝１，解得ｘ＝５，符合题意． 综上所述，输入的ｘ值为０或５． 附加题　１．（１）根据题意，得２－ｍ＝－１．解得ｍ＝３．所 以Ｍ（－１，１）．所以ＭＮ＝１－（－４）＝５． （２）根据题意，得 －（２ｍ－５）－（２－ｍ）＝４．解得 ｍ＝ －１．所以２－ｍ＝３，２ｍ－５＝－７．所以点Ｍ的坐标为（３，－７）． ２．（１）１；点Ｂ表示乙行驶 ８３ｈ时，甲、乙两人相遇；点Ｃ表 示乙行驶５ｈ时，甲、乙两人相距３５ｋｍ． （２）设甲的速度为ａｋｍ／ｈ，乙的速度为ｂｋｍ／ｈ． 根据题意，得 ８ ３ｂ＝ ５ ３ａ， （５－８３）（ａ－ｂ）＝３５ { ．解得 ａ＝４０，ｂ＝２５{ ． 答：甲的速度为４０ｋｍ／ｈ，乙的速度为２５ｋｍ／ｈ                                                                      ． —４— 初中数学华东师大八年级　第２７～３１期 书 方法一、分子化相等 如果分式方程的分子 都是常数，也可以选择利用 分式的基本性质把各分子 化为它们的最小公倍数，即 完成分子通分．由于各分式 的分子相同，要使分式左、 右两边相等，其分母也必相 等，从而得出一个一元一次 方程，解方程即可． 例 １　 方 程 １ｘ ＝ ２ ３ｘ－３的解是 （　　） Ａ．ｘ＝－２ Ｂ．ｘ＝－１ Ｃ．ｘ＝１ Ｄ．ｘ＝３ 解：由分式的基本性 质，将左边分式的分子变为 ２，原方程变形为 ２２ｘ＝ ２ ３ｘ－３．所以２ｘ＝３ｘ－３．解得ｘ＝３．检验：将ｘ＝３代 入原分式方程，左边 ＝ １３ ＝右边．所以这个分式方程 的解为ｘ＝３．故选Ｄ． 方法二、换元 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它， 从而使问题得到简化，这种方法叫换元法．换元的实质 是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目 的是使复杂问题简单化，变得容易处理．若分式方程中 总是有相同的式子，可把它们用一个字母代替，即应用 换元法求解方程． 例２　解方程： １ｘ－２＋２＝ １－ｘ ２－ｘ． 解：原方程变形为 １ ｘ－２＋２＝ ｘ－１ ｘ－２．设ｙ＝ｘ－２，则 ｘ－１＝ｙ＋１．原方程可化为 １ｙ＋２＝ ｙ＋１ ｙ ．化简，得０ ＝－１，显然不成立．所以原分式方程无解． 方法三、特殊套用法 有的分式方程可逆用法则或公式求解． 例３　 解分式方程： １ｘ＋１０＋ １ （ｘ＋１）（ｘ＋２）＋ １ （ｘ＋２）（ｘ＋３）＋… ＋ １ （ｘ＋９）（ｘ＋１０）＝１０． 解：原分式方程变形为 １ ｘ＋１０＋（ １ ｘ＋１－ １ ｘ＋２）＋ （ １ ｘ＋２－ １ ｘ＋３）＋… ＋（ １ ｘ＋９－ １ ｘ＋１０）＝１０，即 １ ｘ＋１＝ １０．解得ｘ＝－９１０．经检验，ｘ＝－ ９ １０是原分式方程的解． 书 列分式方程解决实际问题是中考的常考题，这种考 题形式活泼多样，背景千变万化，下面举例说明两种常 见问题． 一、工程问题 例１　为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定 对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长 ３６００米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划 提高了２０％，按这样的进度可以比原计划提前１０天完 成任务． （１）求实际施工时，每天改造管网的长度； （２）施工进行２０天后，为了减少对交通的影响，施 工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过 ４０天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？ 解：（１）设原计划每天改造管网ｘ米． 根据题意，得 ３６００ ｘ － ３６００ （１＋２０％）ｘ＝１０． 解得ｘ＝６０． 经检验，ｘ＝６０是原分式方程的解，且符合题意． 所以（１＋２０％）ｘ＝７２． 答：实际施工时，每天改造管网的长度是７２米． （２）设以后每天改造管网还要增加ｍ米． 根据题意，得（４０－２０）（７２＋ｍ）≥３６００－７２×２０． 解得ｍ≥３６． 答：以后每天改造管网至少还要增加３６米． 二、销售问题 例２　为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部 分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的 价格少２３元，且８４元购买绳子的数量与３６０元购买实心 球的数量相同． （１）绳子和实心球的单价各是多少元？ （２）如果本次购买的总费用为５１０元，且购买绳子 的数量是实心球数量的３倍，那么购买绳子和实心球的 数量各是多少？ 解：（１）设绳子的单价是ｘ元． 根据题意，得 ８４ ｘ ＝ ３６０ ｘ＋２３．解得ｘ＝７． 经检验，ｘ＝７是原分式方程的解，且符合题意． 所以ｘ＋２３＝３０． 答：绳子的单价是７元，实心球的单价是３０元． （２）设购买实心球的数量是ｍ个． 根据题意，得７×３ｍ＋３０ｍ＝５１０．解得ｍ＝１０． 所以３ｍ＝３０． 答：购买绳子３０条，实心球１０个． 温馨提示：列分式方程解决实际问题的一般步骤： （１）审：审清题意，弄清已知量和未知量之间的关系； （２）找：找出题目中的等量关系； （３）设：根据题意设出未知数； （４）列：列出分式方程； （５）解：解这个分式方程； （６）验：检验，既要检验所得的解是否是原分式方 程的解，又要检验解是否符合题意； （７）答：写出答案． 书 （上接４版参考答案） 附加题 　１．（１） 小明组成的值最大的 分式是 ｘ＋３ ｘ＋１；小强组成 的值最大的分式是 ｘ－１ ｘ－３． （２）小强说的有 道理．理由如下： ｘ＋３ ｘ＋１－ ｘ－１ ｘ－３ ＝ － ８ （ｘ＋１）（ｘ－３）．因为 ｘ是大于３的正整数，所 以 － ８ （ｘ＋１）（ｘ－３） ＜０．所 以 ｘ＋３ｘ＋１ ＜ ｘ－１ ｘ－３．所以小强说的有 道理． ２．（１）５－ ２ｘ＋２； （２）选择方法一， 原 式 ＝ ｘ２－２ｘ＋１＋８ｘ－８＋８ ｘ－１ ＝ （ｘ－１）２＋８（ｘ－１）＋８ ｘ－１ ＝ｘ －１＋８＋ ８ｘ－１＝ｘ＋７＋ ８ ｘ－１． （３） 原 式 ＝ ｘ２－８ｘ＋１６＋３ｘ－１２＋７ ｘ－４ ＝ （ｘ－４）２＋３（ｘ－４）＋７ ｘ－４ ＝ ｘ－４＋３＋ ７ｘ－４＝ｘ－ １＋ ７ｘ－４．因为原分式 与ｘ的值都是整数，所 以ｘ－４＝±１或ｘ－４ ＝±７．解得ｘ＝５或３ 或１１或 －３． （全文完） !"#$ !"#$%&' !"#$%&'( !")%*+,-./01 !")%23456789': ;<=>?@AB >CDEFG HIJKLMABNOD!" #$%&'&'(P)Q RSTOD*+,*&- !"#$%&'( ) *+%&,-./01' &./+,/*'+*-0 *+23,-./01' &./+,/1'+!"# 书 一、新定义型 例１　定义ａｂ＝２ａ ＋１ｂ，则方程３ｘ＝４２ 的解为 （　　） Ａ．ｘ＝ １５ Ｂ．ｘ＝ ２５ Ｃ．ｘ＝ ３５ Ｄ．ｘ＝ ４５ 分析：利用题中的新定 义得到关于ｘ的分式方程， 按照分式方程的解法求解 即可． 解：根据题中的新定 义，得３ｘ＝２×３＋１ｘ， ４２＝２×４＋１２． 因为３ｘ＝４２，所以２×３＋１ｘ＝２×４＋ １ ２． 解得ｘ＝ ２５． 经检验，ｘ＝ ２５是原方程的解． 故选Ｂ． 二、纠错型 例２　小明解分式方程 １ｘ＋１＝ ２ｘ ３ｘ＋３－１的过程如 下： 解：去分母，得３＝２ｘ－（３ｘ＋３）． ① 去括号，得３＝２ｘ－３ｘ＋３． ② 移项、合并同类项，得 －ｘ＝６． ③ 化系数为１，得ｘ＝－６． ④ 以上步骤中，开始出错的一步是 （　　） Ａ．①　　　Ｂ．②　　　Ｃ．③　　　Ｄ．④ 分析：按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可 得出答案． 解：去分母，得３＝２ｘ－（３ｘ＋３）． 去括号，得３＝２ｘ－３ｘ－３． 移项、合并同类项，得 －ｘ＝６． 化系数为１，得ｘ＝－６． 所以开始出错的一步是②． 故选Ｂ． 三、程序运算型 例３　按照如下图所示的流程，若输出的Ｍ＝－６， 则输入的ｍ为 （　　） Ａ．３　　　　Ｂ．１　　　　Ｃ．０　　　　Ｄ．－１ 分析：根据题中的程序，利用分类讨论的方法可以 分别求得ｍ的值，注意检验ｍ是否满足条件． 解：当ｍ２－２ｍ≥０时， ６ｍ－１＝－６． 解得ｍ＝０． 检验：当ｍ＝０时，ｍ－１≠０，ｍ２－２ｍ＝０． 当ｍ２－２ｍ＜０时，ｍ－３＝－６． 解得ｍ＝－３． 此时ｍ２－２ｍ＝１５＞０． 综上所述，输入的ｍ为０． 故选Ｃ． 书 一、理解概念 １．一般地，一个小于１的正数可以表示为 ａ×１０－ｎ 的形式，其中１≤ａ＜１０，ｎ是正整数，这种记数方法也 是科学记数法． ２．把一个小于１的正数用科学记数法表示分两步： ①确定ａ，１≤ａ＜１０，它是将原数小数点向右移动后的 结果；②确定ｎ，ｎ是正整数，它等于原数化为ａ后小数点 移动的位数． ３．利用科学记数法表示数，不仅简便，而且更便于 比较数的大小，如：２．５７×１０－５显然大于２．５７×１０－８，前 者是后者的１０３倍． 二、应用举例 例１　生物学家发现生物具有遗传多样性，遗传密 码大多储存在ＤＮＡ分子上，一个 ＤＮＡ分子的直径约为 ０．００００００２ｃｍ，这个数用科学记数法可以表示为 （　　） Ａ．０．２×１０－７ Ｂ．０．２×１０－６ Ｃ．２×１０－８ Ｄ．２×１０－７ 分析：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般 形式为ａ×１０－ｎ，其中１≤ａ＜１０，ｎ为正整数．ｎ的值等 于将原数写成科学记数法ａ×１０－ｎ时，小数点移动的位 数． 解：０．００００００２＝２×１０－７． 故选Ｄ． 例２　一个数用科学记数法表示为５．０１×１０－２，则 这个数是 （　　） Ａ．５．０１ Ｂ．０．５０１ Ｃ．０．０５０１ Ｄ．０．００５０１ 分析：本题考查写出用科学记数法表示的原数．将 科学记数法 ａ×１０－ｎ表示的数，“还原”成通常表示的 数，就是把ａ的小数点向左移动ｎ位所得到的数．把一个 数表示成科学记数法的形式和把用科学记数法表示的 数还原，是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学 记数法表示一个数是否正确的方法． 解：５．０１×１０－２ ＝０．０５０１． 故选Ｃ． 书 我们在解分式方程时，经常会遇到含有参数的分式 方程，现针对这类题型归纳总结如下，供同学们参考 学习． 模型一、已知分式方程的解，求参数的值 例１　已知ｘ＝２是分式方程 ２ｘ＋ ａ ｘ－１＝２的解， 则ａ的值为 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 解：把ｘ＝２代入 ２ｘ＋ ａ ｘ－１＝２，得１＋ａ＝２．解得 ａ＝１． 故选Ａ． 模型二、已知分式方程有增根，求参数的值 例２　若关于ｘ的方程ｍ＋１ｘ－２－ ２ｘ ２－ｘ＝０有增根，则 ｍ的值为 （　　） Ａ．－５ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２ 解： ｍ＋１ ｘ－２－ ２ｘ ２－ｘ＝０两边乘（ｘ－２），得ｍ＋１＋２ｘ ＝０．解得ｘ＝－ｍ＋１２ ．因为方程 ｍ＋１ ｘ－２－ ２ｘ ２－ｘ＝０有增 根，所以ｘ＝２．所以 －ｍ＋１２ ＝２．解得ｍ＝－５． 故选Ａ． 模型三、已知分式方程无解，求参数的值 例３　若关于ｘ的方程 ２ｘ＝ ｍ ２ｘ＋１无解，则ｍ的值 为 （　　） Ａ．０ Ｂ．４或６ Ｃ．６ Ｄ．０或４ 解： ２ ｘ ＝ ｍ ２ｘ＋１两边乘ｘ（２ｘ＋１），得４ｘ＋２＝ｍｘ． 整理，得（４－ｍ）ｘ＝－２．因为 ２ｘ＝ ｍ ２ｘ＋１无解，所以４－ ｍ＝０或ｘ＝－１２．解得ｍ＝４或ｍ＝０． 故选Ｄ． 模型四、已知分式方程解的范围，求参数的取值范围 例４　若关于ｘ的分式方程 １ｘ－２＋ ２ ｘ＋２＝ ｘ＋２ｍ ｘ２－４ 的解大于１，则ｍ的取值范围是 ． 解： １ ｘ－２＋ ２ ｘ＋２＝ ｘ＋２ｍ ｘ２－４ 两边乘（ｘ＋２）（ｘ－２）， 得 ｘ＋２＋２ｘ－４＝ｘ＋２ｍ．解得ｘ＝ｍ＋１．因为 １ｘ－２＋ ２ ｘ＋２＝ ｘ＋２ｍ ｘ２－４ 的解大于１，所以ｍ＋１≠２，ｍ＋１≠－２， ｍ＋１＞１．解得ｍ≠１，ｍ≠－３，ｍ＞０．所以ｍ＞０且ｍ ≠１． 故填ｍ＞０且ｍ≠１． """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" # § ¨ © ª ª $ «¬ ­ ® % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % +-4.†¯°K\K±²³´µ¶²³ &·¸¹!+5"#$%&'()*+,-$% .'5 *5,/0123456$%.'78-5 º»«¼D"9$%.:(-;<=/>?@5 #-56½¾;¿~ÀÁ;¾;¿ &·¸¹ABCDEFGHIJFEFG( K*LMN+ ,@OPQF;RSTUVWX + YF5 $ V ÃHG 456 *&*/7+8+/9 : 5 !" ;: !!"!5 % ! ()*+ qr;&ÄÅÆ#%ÇÈÉ !" Y !"#$%&'" ()*+,-'. 书 上期２版 １６．２．２分式的加减 １６．２．２．１同分母分式相加减 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ｂ； ４．（１）ｘ－１，（２）±槡３． ５．（１）１；　（２）１ｘ． ６．原式 ＝ａ＋ｃａ－ｂ．当ａ＝３，ｂ＝－２，ｃ＝－１时，原式 ＝ ２５． １６．２．２．２异分母分式相加减 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．１６． ５．（１）２ａ＋５ ａ２ ；　（２）１ａ；　（３） ａ＋ｂ ａ－ｂ． 能力提高　６．Ｂ． １６．２．２．３分式的混合运算 基础训练　１．Ｃ；　２．Ａ． ３．（１）ａ＋１；　（２）ｘ＋２ｘ＋３． ４．原式 ＝ｘ．根据分式有意义的条件，得ｘ≠０，ｘ≠ ２，ｘ≠ －２．所以在 －２≤ｘ＜槡７的范围内，ｘ可以取的 整数为 －１或１．当ｘ＝１时，原式 ＝１；当ｘ＝－１时，原 式 ＝－１． 能力提高　５．Ｂ． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ Ａ Ａ 二、９．１；　１０．ｂ－ａａ ；　１１．１；　１２．－５． 三、１３．（１）ａ＋ｂ；　（２）１３ｂ；　（３）－３ｘ． １４．原式 ＝ａ－２ａ ．当ａ＝３时，原式 ＝ １ ３． １５．（１）大船完成任务用 １００ｘ＋１０天，小船完成任务用 ８０ ｘ天． （２） １００ｘ＋１０ － ８０ ｘ ＝ １００ｘ－８０（ｘ＋１０） ｘ（ｘ＋１０） ＝ ２０ｘ－８００ ｘ（ｘ＋１０）．当０＜ｘ＜４０时， １００ ｘ＋１０＜ ８０ ｘ，大船用的时间 少；当ｘ＝４０时，１００ｘ＋１０＝ ８０ ｘ，两船用的时间相等；当 ｘ ＞４０时，１００ｘ＋１０＞ ８０ ｘ，小船用的时间少． １６．（１）分式 ３ｘ＋２与分式 ３ ｘ＋５是“互联分式”．理由 如下： 因为 ３ ｘ＋２ － ３ ｘ＋５ ＝ ３（ｘ＋５）－３（ｘ＋２） （ｘ＋２）（ｘ＋５） ＝ ９ （ｘ＋２）（ｘ＋５）， ３ ｘ＋２· ３ ｘ＋５＝ ９ （ｘ＋２）（ｘ＋５），所以 分式 ３ ｘ＋２与分式 ３ ｘ＋５是“互联分式”． （２）设ｘ＋２ｘ＋５的“互联分式”是 Ｎ，则 ｘ＋２ ｘ＋５－Ｎ＝ ｘ＋２ ｘ＋５·Ｎ．所以（ ｘ＋２ ｘ＋５＋１）Ｎ＝ ｘ＋２ ｘ＋５．所以Ｎ＝ ｘ＋２ ２ｘ＋７， 即分式 ｘ＋２ ｘ＋５的“互联分式”是 ｘ＋２ ２ｘ＋７． （下转１，４版中缝） """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " Z[ ! Z\ " "# - !$+ "#!$. ! * 7*!&& ] ^ ! Ê Ë Ì Í Î $ ÏÐ ÑÒÓ 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．在①ｘ２－ｘ＋１４，② １ ａ－３＝ａ＋４，③ ｘ ２＋５ｘ＝ ６，④ ２ｘｘ－３＝１中，关于ｘ的分式方程的个数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ２．古语有云：水滴石穿．若水珠不断滴在一块石头 上，经过４０年，石头上会形成一个深为０．０００００５２ｃｍ 的小洞．数０．０００００５２用科学记数法表示为 （　　） Ａ．５．２×１０５ Ｂ．５．２×１０－６ Ｃ．５．２×１０－７ Ｄ．５２×１０－７ ３．解分式方程 ２ｘｘ－１－ ｘ－２ １－ｘ＝ １ ２时，去分母后得到 的方程正确的是 （　　） Ａ．２ｘ－（ｘ－２）＝ｘ－１ Ｂ．４ｘ－２（ｘ－２）＝ｘ－１ Ｃ．４ｘ＋２（ｘ－２）＝ｘ－１ Ｄ．２ｘ＋（ｘ－２）＝ｘ－１ ４．若代数式 １ｘ－２和 ３ ｘ的值互为相反数，则 ｘ的值 是 （　　） Ａ．１ Ｂ．３２ Ｃ．２ Ｄ． ２ ３ ５．某工程队经过招标，中标２５００米的公园跑道翻 修任务，但在实际开工时，……，求实际每天翻修跑道多 少米．在这个题目中，若设实际每天翻修跑道 ｘ米，可得 方程 ２５００ ｘ－５０－ ２５００ ｘ ＝１０，则题目中用“……”表示的条 件应是 （　　） Ａ．每天比原计划多修５０米，结果延期１０天完成 Ｂ．每天比原计划少修５０米，结果提前１０天完成 Ｃ．每天比原计划少修５０米，结果延期１０天完成 Ｄ．每天比原计划多修５０米，结果提前１０天完成 ６．在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为： ａ※ｂ＝１ａ＋ １ ｂ，如２※４＝ １ ２＋ １ ４ ＝ ３ ４，根据这个规 则，则方程３※（ｘ－１）＝１的解为 （　　） Ａ．ｘ＝ １２ Ｂ．ｘ＝－１ Ｃ．ｘ＝ ５２ Ｄ．ｘ＝－３ ７．如果关于ｘ的方程 ｘｘ－３＝２－ ｍ ３－ｘ的解是负数， 那么ｍ的取值范围是 （　　） Ａ．ｍ＞６ Ｂ．ｍ＞６且ｍ≠９ Ｃ．ｍ＜６ Ｄ．ｍ＞３ ８．某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两 家资质合格的工厂招标，加工一天需付甲厂货款１．５万 元，付乙厂货款１．１万元．指挥中心的负责人根据甲、乙 两厂的投标测算，可有三种施工方案： 方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 方案②：乙厂单独完成这项任务比规定日期多用５天； 方案③：若甲、乙两厂合做４天后，余下的工程由乙 厂单独做也刚好如期完成． 在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是 （　　） Ａ．方案① Ｂ．方案② Ｃ．方案③ Ｄ．方案①和方案③ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．计算：２－３＋（－２）０ ＝ ． １０．如右图，点 Ａ，Ｂ在数轴 上所对应的数分别为－３， ａａ－２，且点Ａ，Ｂ到原点的距离 相等，则ａ＝ ． １１．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问 题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文 足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批 椽的价钱为６２１０文．如果每株椽的运费是３文，那么少 拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， 试问６２１０文能买多少株椽？若设这批椽有ｘ株，则可列 分式方程为 ． １２．若关于ｘ的分式方程 ａｘ＋１＋ ｘ （ｘ＋１）（ｘ－２）＝ １ ｘ－２的解比分式方程 ２ ｘ＋１＝ ３ ｘ＋３的解大２，则ａ的值 为 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１８分）解方程： （１）ｘ－１４－ｘ＝２＋ ６ ｘ－４； （２）１３－ ２ ２ｘ－１＝ １ ６ｘ－３； （３） １ｘ＋１－ ２ｘ ｘ２－１ ＝ ３１－ｘ． １４．（８分）某药品生产车间引进智能机器人替换人 工包装药品，每台机器人每小时包装的速度是人工包装 速度的５倍．经过测试，由１台智能机器人包装１６００盒 药品的时间比４个工人包装同样数量的药品节省４小 时，一台智能机器人每小时包装多少盒药品？ １４．（１２分）已知分式方程 ▲ｘ－３＋ ｘ－１ ３－ｘ＝１，由于印 刷问题，有一个数“▲”看不清楚． （１）若“▲”表示的数为６，求分式方程的解； （２）小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请求 出原分式方程中“▲”代表的数． １６．（１４分）篮球运动是深受年轻人喜爱的运动．今 年，“我市篮球超级联赛”即将举行，某商家抓住商机进 货，花６０００元购进了运动服，花６４００元购进了运动鞋， 已知一双运动鞋的进价比一套运动服多４０元，并且购进 运动服的数量是运动鞋的１．２５倍． （１）求该商家购进运动服和运动鞋的数量； （２）该商家分别以２００元和１６０元的单价销售运动 鞋和运动服，在运动鞋售出 ３ ４，运动服售出 １ ２后，为了 尽快回笼资金，商家决定对剩余的运动鞋每双打ａ折销 售，对剩余的运动服每套降价３ａ元销售，很快全部售完， 若要保证该商家总利润为２６００元，求ａ的值． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（８分）已知分式方程 ｘｘ－１－１＝ ｍ （ｘ－１）（ｘ＋２） 有增根，求ｍ的值． ２．（１２分）阅读下列材料： 方程 １ ｘ＋１－ １ ｘ ＝ １ ｘ－２－ １ ｘ－３的解为ｘ＝１； 方程 １ ｘ－ １ ｘ－１＝ １ ｘ－３－ １ ｘ－４的解为ｘ＝２； 方程 １ ｘ－１－ １ ｘ－２＝ １ ｘ－４－ １ ｘ－５的解为ｘ＝３； …… （１）请直接写出方程 １ｘ－４－ １ ｘ－５＝ １ ｘ－７－ １ ｘ－８ 的解为 ； （２）观察上述方程与解的特征，写出一个解为 ｘ＝ －５的分式方程： ； （３）观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方 程一般规律的方程，并直接写出这个方程的解                                                                                                                                                                 ． 书 １６．３可化为一元一次方程的分式方程 １６．３．１分式方程的概念及解法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列方程中，是分式方程的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１３＋ ｘ ２ ＝１ Ｂ．ｘ＋ １ ｘ ＝２ Ｃ．３ｘ＝ｘ－５ Ｄ．２ｘ－ｙ＝１ ２．分式方程 ４ｘ－１＝ ３ ｘ的解是 （　　） Ａ．ｘ＝１ Ｂ．ｘ＝－１ Ｃ．ｘ＝３ Ｄ．ｘ＝－３ ３．用换元法解方程ｘ＋１－ ２ｘ＋１＝－１，设ｙ＝ｘ＋ １，则原方程可化为 （　　） Ａ．ｙ２＋２ｙ－１＝０ Ｂ．ｙ２－２ｙ＋１＝０ Ｃ．ｙ２＋ｙ－２＝０ Ｄ．ｙ２－ｙ＋２＝０ ４．已知Ａ＝ｍ＋ｎ，Ｂ＝ｍ２－ｎ２，ｃ＝ｍ２－２ｍｎ＋ｎ２． 若 Ａ Ｂ ＝ １ ５，则Ｃ的值为 ． ５．解方程： （１） ２ｘ－３＝ ３ ｘ； （２）ｘ－６ｘ－５＋１＝ ２ １０－２ｘ； （３） ｘｘ＋１＋１＝ ２ｘ＋２ ｘ ． ６．已知关于ｘ的分式方程 ２ｘ－２＋ ｘ＋ｍ ２－ｘ＝２． （１）若该分式方程有增根，求ｍ的值； （２）若该分式方程的解是正数，求ｍ的取值范围． ７． 若 ａ 使 得 关 于 ｘ 的 不 等 式 组 －ｘ３≤－ ａ ３＋１２， －２ｘ＋１≥４ａ－ { ５ 有解，且使得关于 ｙ的分式方程 ａ－４ｙ ３－ｙ－ ２ ｙ－３＝１有非负整数解，则所有满足条件的ａ 的值的和是 （　　） Ａ．２４ Ｂ．２５ Ｃ．３４ Ｄ．３５ １６．３．２分式方程的应用 １．在中考备考阶段，学校准备为九年级各班制作 特色标语来鼓舞士气，已知九年级共有１２个班，每班需 要菱形特色标语２幅，现将此项任务委托给文印店．因 为急需，所以文印店提高工作效率，每小时比原来多制 作０．６幅，结果提前两个小时完成了任务，求文印店实 际每小时制作几幅标语．设文印店实际每小时制作ｘ幅 标语，则可列出方程为 （　　） Ａ．２４ｘ ＝ ２４ ｘ－０．６－２ Ｂ． １２ ｘ ＝ １２ ｘ－０．６－２ Ｃ．２４ｘ－ ２４ ｘ－０．６＝２ Ｄ． １２ ｘ－ １２ ｘ－０．６＝２ ２．新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节 能．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航 里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米 行驶费用比新能源车多０．５４元，已知燃油车的油箱容 积为４０升，燃油价格为９元 ／升，新能源车电池容量为 ６０千瓦时，电价为０．６元 ／千瓦时，则小松爸爸选择的 两台汽车的续航里程是 （　　） Ａ．６００ｋｍ Ｂ．５００ｋｍ Ｃ．４５０ｋｍ Ｄ．４００ｋｍ ３．为了改善生态环境，计划在荒坡上种树９６０棵， 由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划 的２倍，结果提前 ４天完成任务，则原计划每天种树 棵． ４．每年的３月１２日是植树节，某中学八年级师生 在植树节当天到距学校１３千米的森林公园植树，一班 师生骑电动车先走，走了７千米后，二班师生乘汽车出 发，结果同时到达．已知汽车的速度比电动车的速度每 小时快３５千米，求两种车的速度各是多少． ５．水乃生命之源，节约用水，从我做起！某市从今 年１月１日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 １ ３，小丽家去年１２月的水费是１５元，而今年２月的水费 是３０元．已知小丽家今年２月的用水量比去年１２月的 用水量多５ｍ３，求该市今年居民用水的价格． ６．由于重庆独特的地貌，轨道交通成为了重庆人 最信赖、最可靠的出行方式，而有些站台到进出口有不 短的距离，所以电动扶梯大大方便了人们的出行，如图 所示电梯ＡＢ的长度为１２０米，小刚和小明两人不乘电 梯在地面上匀速行走，小刚每分钟的路程是小明的 ６ ５倍，且１．５分钟后，小刚比小明多行走１５米． （１）求两人在地面上每分钟各行走多少米； （２）若两人都乘平地电梯从Ａ处出发，电梯向前行 驶的同时两人仍保持原来在地面上匀速行走的速度在 电梯上向前行走，当小刚到达Ｂ处时，小明还剩４０３米才 到达Ｂ处，求平地电梯每分钟行驶多少米． １６．４零指数幂与负整数指数幂 １．计算（－３）－１的结果是 （　　） Ａ．－３ Ｂ．３ Ｃ．１３ Ｄ．－ １ ３ ２．石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料 学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要 的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中 每两个相邻碳原子间的键长为０．０００００００００１４２米，数字 ０．０００００００００１４２用科学记数法表示为 （　　） Ａ．１．４２×１０－９ Ｂ．１．４２×１０－１０ Ｃ．０．１４２×１０－９ Ｄ．１．４２×１０－１１ ３．计算： （１）｜－７｜－（１－π）０＋（１３） －１； （２）（ａ－３）２（ａｂ２）－３； （３）（２ｘ－３ｙ２）－２÷（ｘ－２ｙ）３ 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 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