第31期 17.2 一元二次方程的解法(公式法,因式分解法)-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（沪科版 安徽专版）

初中数学沪科八年级(AH)第27~31期 数理极 答案详解 2024~2025学年初中数学沪科八年级(AH)第27~31期 27期2版 三，13.(：(235；(3)子8a 16.1二次根式 14.婷婷的解答过程正确.另一种解答过程如下： 16.1.1二次根式的有关概念 原式=√8×18=√144=12. 基础训练1.D:2.A；3.D. 15.(1)因为这个长方体的长、宽高的比为4：3：1，且高 4.()x≤7；(2>-1：(3)子≤x≤5. 为2cm,所以长方体的长，宽分别为4,2cm,32cm.所以这 5.因为a为正数，所以23-a<23.因为√23-a为正整 个长方体的体积为：42×32×2=242(cm). 数，所以√23-a<√23.因为4<√23<5，所以23-a的 (2)根据题意，得E0=H0=√24=26(em),G0=F0 最大值为4.此时23-a=16,即a=7 =√15cm.所以留下部分的总面积为：26×√15×2= 16.1.2二次根式的性质 12√10(em2). 基础训练1.C;2.A:3.D 4.(1)24:(2)2-3:(3)3x-10. 5 16.(1)√524 能力提高5.(56)2=150，(65)2=180.因为150< 180,所以56<65.所以-56>-65. 16.2二次根式的运算（乘除） (2)规，+=V n(m为正整教，n≥2) 16.2.1二次根式的乘法 证明：√n+ n /n(n2-1)+n n 基础训练1.B;2.A:3.16 n2-1 n-1 n2-1 4.(1)42:(2)206;(3)-5√10. 16.2.2二次根式的除法 √2-1 基础训练1.C:2.A:3.-2 17.(1)-20. 4.(1)25:(2)10:(3)6. (2)由题意，得2m-4=0,2n+6=0.解得m=2,n= 5.(1)②： -3.所以m-n=2-(-3)=5. y-5≥0 (3)根据二次根式有意义的条件，得 解得y= 5-y≥0. 27期3版 5.所以x2=64.解得x=±8.当x=8时，x+y=13:当x=-8 题号12345678 时，x+y=-3.综上所述，x+y的值是13或-3. 答案CBABC B DB 附加题(1)隐含条件2-x≥0.解得x≤2.所以x-3 二、9.2：10.>；11.-8：12.2025. <0.所以原式=3-x-(2-x)=1. 初中数学沪科八年级(AH) 第27~31期 (2)根据数轴，得a<0,a+b<0,b-a>0.所以原式=是5. -a-(a+b)-(b-a)=-a-2b. 所以阴影部分的宽是2-5 (3)由三角形的三边关系，得a+b+c>0,a-b-c<0, 所以阴影部分的长是：3-(2-3)=25-2 b-a-c<0,c-b-a<0.所以原式=a+b+c-(a-b- 所以阴影部分的面积为：(23-2)(2-√3)=63-10. c)-(b-a-c)-(c-b-a)=a+6+c-a+b+c-b 28期3版 a c-c +b a 2a 26 +2c. 题号12345678 28期2版 答案BBCDCADD 16.2二次根式的运算（加减） 二、9.56：10.x=22;11.363:12.5. 16.2.3二次根式的加减运算 三，13.(1)22： 基础训练1.C:2.A:3.D:4.1-25. (2)102: 5.(1)-313: (3)-1+26. 2.7, 14.(2,-2)★(5,3-5)=-25-2×(3-5)= (3)72+35. -25-6+25=-6. 6.他们共走了：83+25+33+65+3=203（千 15.(1)这个长方体盒子的容积为：(50-22)2×2= 米). 182(cm3). 7.(1)答案不惟一，如3+2,3-2 (2)这个长方体盒子的侧面积为：(50-22)×2×4 (2)设这两个共轭实数为x+yi与x-y =24(cm). 因为这两个共轭实数的和是10，差的绝对值是4、6， 16.因为3x-12>2x-4, 所以(x+yf)+(x-yf)=10,I(x+yF)-(x-yf)1= 所以(3-2)x>23-4. 46. 解得x<2. 因为x是正数， 所以2x=10.12yf1=46. 所以0<x<2. 解得x=5,y=2或y=-2,t=6. 所以x+1>0.x-2<0. 所以这两个共轭实数是5+26与5-26. 所以原式=2√(x+1)+√(x-2)=21x+11+ 能力提高8.A:9.A. 1x-21=2x+2+2-x=x+4. 16.2.4二次根式的混合运算 基础训练1.A:2.C:3.B:4.D: 17.(1)因为x=√10-3， 5.x≤-5+3 所以x+3=√10. 4 两边平方，得(x+3)2=10. 6.(1)-6:(2)-2:(3)-122 所以x2+6x+9=10. 7,原式=2-2当x=5=与时，原式=85 所以x2+6x=L. 所以x2+6x-8=1-8=-7. 能力提高8.D:9.6. 10.根据题意，得正方形①的边长是2，正方形②的边长 (2)因为x=5-1 2 2 初中数学沪科八年级(AH)第27~31期 所以2x=5-1. 号=(a-b)2+a=3-22,a6都是正整数， 所以2x+1=5. 两边平方，得(2x+1)2=5. b=-2,a=3. 所以a-2 所以4x2+4x+1=5. 解得b=10. 所以4x2+4x=4. 20.(1)长方形绿地的周长为：（√128+√50）×2= 所以x2+x=1. 262(米). 所以x3+2x2=x2+x2+x2=x(x2+x）+x2=x+x2= (2)通道的面积为：28×√50-2×（√3+1）× (√13-1)=56（平方米）.购买地砖需要花费：6×56= 附加题 2 336(元). (1) n+2+√m 21.(1)m2+7n2,2mn. 2(n+2-n) =n+2-m. (2)因为a+63=(m+n5)2=m2+3n2+2mn3,a, (m+2+√n)(√n+2-n) m,n都是正整数，所以a=m2+3n2,2mn=6.所以mn=3.所 (2)4-15>17-4.理由如下： 以m=1,n=3或m=3,n=1.当m=1,n=3时，a=12+ 因为 4+1⑤ 的4-压=4-5)4+15) =4+15, 3×32=28:当m=3,n=1时，a=32+3×12=12.综上所 述.a的值为28或12 17+4 7-4(7-4)(7+4) =17+4,4+15< (3)原式=25. 30期2版 4-厉7-因为4-5>0，m- 7+4,所以1 17.1一元二次方程 4>0,所以4-√15>17-4. 基础训练1.B:2.B:3.C:4.C:5.C: 29期检测卷 6.200(1+x)2=288:7.2025.8.x=-3. 9.原方程可化为2(x2-2x+1)+bx-b+c=0.整理，得 题号12345678910 答案DBBCCAACAB 2x2+(b-4)x+2-b+e=0.所以b-4=-3,2-b+e= -1.解得b=1,c=-2. 二11.x≥19；12.3：13.3+2：14.5： 能力提高10.(1)一元二次方程3x2-5x+2=0是“方 15.6. 正方程”.理由如下： 三、16.(1)5： 将x=1代入3x2-5x+2=0,得3-5+2=0. (2)-55: 所以一元二次方程3x2-5x+2=0是“方正方程”. (3)-6-27. (2)由题意，得5-b+c=0. 7原式=(3a-)瓜当0=号时，原式=是 所以b=5+c. 因为b+c=19, 18.根据数轴，得b<-2<0<a<2.所以a-V2<0. 所以5+c+e=19. b+2<0,a-b>0.所以原式=-a+2-b-2-a+b 解得c=7. b=-2a-h. 17.2一元二次方程的解法 17.2.1开平方法 以国为。合a8D学.a 基础训练1.D:2.B;3.1: 初中数学沪科八年级(AH)第27~31期 4.x1=1,x3=-4 有最小值，为2 5.(1)x1=10,x2=-10: 30期3版 (2)x1=-1,=-9: 题号12345678 (3)=子=- 答案CDBABABC 二9.2x2-3x+5=0:10.-1: (4)x1=4,x2=-6. 11.x1=4,x2=-1;12.-1. 能力提高6.由题意，得4-2≥0,4-2a≥0. 三、13.(1)x1=1,2=-2: 解得a=2. 所以=-3. (2)x=-3+23,x2=-3-25: 因为关于x的一元二次方程ax2+b+c=0(a≠0)的一 3%26-2,6 2 个根是x=1, 14.(1)等式的基本性质. 所以a+b+c=0. (2)③，等号右边没有加4. 解得c=1. (3)x,=2+3,=2-√3. 所以方程为寸2-1=0 15.解不等式k+3≥2k-1,得k≤4. 解得y1=2,2=-2. 解不等式(k-1)+1≥子(-D,得k≥-5 17.2.2配方法 所以不等式组的解集为-5≤k≤4. 基础训练1.C;2.D: 把x=0代入x2+(屠-1)x+2+6k=7,得2+6k= 3.x1=5+26,x1=5-26: 4.第二象限： 解得k=1或k=-7(舍去) 5.x1=4+7,=4-7. 所以一元二次方程存在实数根x=0,且k的值为1. 6.(1)x1=1+2,x2=1-2; 16.(1)一元二次方程3x2+7x+4=0是“星辰方程”.理 (2)x1=-9,x3=-3: 由如下： (3)x1=3+T,2=3-√Π； 当x=-1时，3-7+4=0. 565画 所以一元二次方程3x2+7x+4=0是“星辰方程” 4 (2)因为4x2-mx+n=0是关于x的“星辰方程”， 能力提高7.(1)代数式x2-4x的最小值为-4. 所以4+m+n=0,即n=-(m+4). (2)d2+8+b-60+14=(d2+ab+}8)+(8 因为m是此“星辰方程”的一个根， 所以4m2-m2+n=0,即n=-3m2. 86)+14=(a+2b)2+子(8-86+16)+14-12=(a+ 所以-3m2=-(m+4). 22+子-4+2 整理，得3m2-m-4=0. 因为(a+b≥0，子(6-4)2≥0. 解得叫=手网=上 所以a+之by+子(6-42+2≥2 所以m的值为子或-1. 17.(1)-3,6. 所以当6=4，a=-b=-2时，。+8+ab-60+14 (2)当x<2时， 初中数学沪科八年级(AH)第27~31期 根据x※2=3※x,得4-2x=3x-x2. 2m+2=m+1 所以=2m-=m=1 解得x1=1,x2=4(舍去)： 当2≤x<3时. 日号=1+己因为方程的两个积 (2)由(1)知，x=m+! 根据x※2=3※x,得2x-4=3x-x2. 都为正整数，所以己是正整数所以m-1=1攻m-1:2 第得名亚1合 2 解得m=2或m=3.所以m为2或3时，此方程的两个根都为 当x≥3时， 正整数. 根据x※2=3※x,得2x-4=x2-3x 17.2.4因式分解法 解得x1=1(舍去)，出=4. 基础训练1.B:2.A；3.C；4.-7或1： 5.4或-1：6.2. 综上所述的值为1或或4 7.(1)x1=3,为=2 5 附加题①当x-2≥0时，即x≥2. 原方程可变为2-2(x-2)-4=0. (2)y1=-3.为=2 解得，1=0，x2=2. (3)x==-2 因为x≥2， 能力提高8.4x2-5x+1=0,即(4x-1)(x-1)=0.所 所以x=0舍去 ②当x-2<0时，即x<2. 以4-1=0或-1=0解得无=子4=1 原方程可变为x2-2(2-x)-4=0. 综合集训营 解得黑1=2,2=-4. 1.(1)x1=6,3=-10: 因为x<2, (2)x1=8,x2=2: 所以x=2舍去 (3)x=1+0. 3 6=1-0 3 所以原方程的解为1=2，x1=一4. 31期2版 (④=子4=1 17.2一元二次方程的解法 2.(1)根据题意，得x(x+2)+1=4. 17.2.3公式法 整理，得x2+2x-3=0. 基础训练1.D:2.D:3.B:4.3±√13； 解得1=1,3=-3. 5.3-17 (2)由题意，得1<2(2-a)+1<5. 41 解得0<a<2 6.(1)x,=-5+页 因为a是正整数， 4 两=5- 4 所以a=1. (2)x1=1,=-39 所以方程为2x2+3x+1=0. 3=是6-22 1 解得=-1,3=-2 能力提高7.(1)根据题意，得m≠1. 31期3版 因为a=m-1,b=-2m,e=m+1, 题号1 2345678 所以b-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4. 答案B 5 初中数学沪科八年级(AH)第27~31期 二、9.(x+1)(x-3)；10.0:11.-3: 将x=2代入方程x2+3x+m-1=0,得4+6+m-1=0. 12.1- 解得m=-9. 2 此时原方程为x2+3x-10=0. 2=2-2 三，13.(1)x=2+2 2 解得1=2,2=-5，符合题意。 综上所述，m的值为1或-9 (2)x1=-2,=2 5 17.(1)方程a2+bx+c=0(a≠0)的根是x= (3)x=2+3 2 26=2-g 2 -b±y公-4c,方程y+y+ac=0的根是y= 2a 14.(1)降次. -b±-4a (2)移项，得2(x-3)-(x-3)2=0. 2 提取公因式，得(x-3)[2-(x-3)]=0. 所以x=上b±匹。 a 2 a 所以x-3=0或5-x=0. 1 解得x,=3,x2=5. (2)根据题意，得方程30-3：+占=0的根与方程>- 15.设x2+2x=n,则原方程可化为n2+4n-5=0. 3)+2:0的根之间的关系是x=0 整理，得(n-1)(n+5)=0. 解方程y2-3y+2=0,得y1=L,为1=2 解得n=1或n=-5. 1 当n=-5时，x2+2x=-5无解，舍去 所以=30出=5 所以x2+2x=1. 附加题 代数式-2x2+x+3存在最大值 所以x’+3x2+x=x(x2+2x+1)+x2=2x+x2=1. -22++3=-2x-2+ 16.解方程x2-2x=0,得x1=0,2=2 ①若x=0是两个方程相同的实数根. 因为(x-名》产≥0. 将x=0代入方程x2+3x+m-1=0,得m-1=0. 所以-2x-子尸≤0 解得m=1. 此时原方程为x2+3x=0. 所以-2-+≤ 解得x1=0,x2=-3,符合题意 所以代数式-22+x+3有最大值曾 ②若x=2是两个方程相同的实数根。 ■本报四开四版■每期定价：1,5元■每周三出版■编辑部电话：0351-5271256■本报通联：山西省太原市小店区晋 阳街202号英语周报大厦数理报社编辑部■邮政编码：030006■市场部订报热线：0351-527126915536636887（微信同 号)■订阅：请与本报市场部联系或全国各地邮局（所）■邮政订阅热线：山185■可随时预订补订和增订■本报向全 国各省（市）级教研员赠报■广告经营许可证号：1400004000110■广告部电话：0351-5271255■山西三联印业有限公司 (太原市杏花岭区后沟村)承印，如有印刷质量问题，请与本报市场部联系调换 -6书 二、９．２ｘ２－３ｘ＋５ ＝０； １０．－１； １１．ｘ１ ＝ ４，ｘ２ ＝ －１； １２．－１． 三、１３．（１）ｘ１ ＝１， ｘ２ ＝－２； （２）ｘ１ ＝－ ３ ＋ 槡２３，ｘ２ ＝－３－ 槡２３； （３）ｘ１＝ ２＋槡６ ２ ，ｘ２ ＝２－槡６２ ． １４．（１）等式的基 本性质． （２）③，等号右边 没有加４． （３）ｘ１ ＝２＋槡１３， ｘ２ ＝２－槡１３． １５．解不等式ｋ＋３ ≥２ｋ－１，得ｋ≤４． 解不等式 １ ２（ｋ－ １）＋１≥ １３（ｋ－１），得 ｋ≥－５． 所以不等式组的解 集为 －５≤ｋ≤４． 把ｘ＝０代入ｋｘ２＋ （ｋ－１）ｘ＋ｋ２＋６ｋ＝７， 得ｋ２＋６ｋ＝７． 解得ｋ＝１或 ｋ＝ －７（舍去）． 所以一元二次方程 存在实数根 ｘ＝０，且 ｋ 的值为１． １６．（１）一元二次 方程３ｘ２＋７ｘ＋４＝０是 “星辰方程”．理由如 下： 当ｘ＝－１时，３－７ ＋４＝０． 所以一元二次方程 ３ｘ２＋７ｘ＋４＝０是“星 辰方程”． （２）因为４ｘ２－ｍｘ ＋ｎ＝０是关于ｘ的“星 辰方程”， 书 上期２版 １７．１一元二次方程 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．Ｃ；　４．Ｃ；　５．Ｃ； ６．２００（１＋ｘ）２ ＝２８８；　７．２０２５．　８．ｘ＝－３． ９．原方程可化为２（ｘ２－２ｘ＋１）＋ｂｘ－ｂ＋ｃ＝０．整 理，得２ｘ２＋（ｂ－４）ｘ＋２－ｂ＋ｃ＝０．所以ｂ－４＝－３， ２－ｂ＋ｃ＝－１．解得ｂ＝１，ｃ＝－２． 能力提高　１０．（１）一元二次方程３ｘ２－５ｘ＋２＝０ 是“方正方程”．理由如下： 将ｘ＝１代入３ｘ２－５ｘ＋２＝０，得３－５＋２＝０． 所以一元二次方程３ｘ２－５ｘ＋２＝０是“方正方程”． （２）由题意，得５－ｂ＋ｃ＝０． 所以ｂ＝５＋ｃ． 因为ｂ＋ｃ＝１９， 所以５＋ｃ＋ｃ＝１９． 解得ｃ＝７． １７．２一元二次方程的解法 １７．２．１开平方法 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．１； ４．ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－４． ５．（１）ｘ１ ＝１０，ｘ２ ＝－１０； （２）ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝－９； （３）ｘ１ ＝ ７ ２，ｘ２ ＝－ ３ ２； （４）ｘ１ ＝４，ｘ２ ＝－６． 能力提高　６．由题意，得ａ－２≥０，４－２ａ≥０． 解得ａ＝２． 所以ｂ＝－３． 因为关于ｘ的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０） 的一个根是ｘ＝１， 所以ａ＋ｂ＋ｃ＝０． 解得ｃ＝１． 所以方程为 １ ４ｙ ２－１＝０． 解得ｙ１ ＝２，ｙ２ ＝－２． １７．２．２配方法 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ； ３．ｘ１ ＝５＋槡２６，ｘ２ ＝５－槡２６； ４．第二象限； ５．ｘ１ ＝４＋槡７，ｘ２ ＝４－槡７． ６．（１）ｘ１ ＝１＋槡２，ｘ２ ＝１－槡２； （２）ｘ１ ＝－９，ｘ２ ＝－３； （３）ｘ１ ＝３＋槡１１，ｘ２ ＝３－槡１１； （４）ｘ１ ＝ ５＋槡５７ ４ ，ｘ２ ＝ ５－槡５７ ４ ． 能力提高　７．（１）代数式ｘ２－４ｘ的最小值为 －４． （２）ａ２＋ｂ２＋ａｂ－６ｂ＋１４＝（ａ２＋ａｂ＋１４ｂ ２）＋ ３ ４（ｂ ２－８ｂ）＋１４＝（ａ＋１２ｂ） ２＋３４（ｂ ２－８ｂ＋１６）＋ １４－１２＝（ａ＋１２ｂ） ２＋３４（ｂ－４） ２＋２． 因为（ａ＋１２ｂ） ２≥０，３４（ｂ－４） ２≥０， 所以（ａ＋１２ｂ） ２＋３４（ｂ－４） ２＋２≥２． 所以当ｂ＝４，ａ＝－１２ｂ＝－２时，ａ ２＋ｂ２＋ａｂ－６ｂ ＋１４有最小值，为２． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｃ 书 阅读理解型问题，一般 篇幅较长，涉及内容丰富，构 思新颖别致，这类题型一般 由两部分组成：一是阅读材 料，二是考查内容． 一、解题思路型阅读 例１　有ｎ个方程：ｘ２＋ ２ｘ－８＝０；ｘ２＋２×２ｘ－８× ２２ ＝０；…；ｘ２＋２ｎｘ－８ｎ２ ＝ ０． 小静同学解第一个方程 ｘ２＋２ｘ－８＝０的步骤为： ①ｘ２＋２ｘ＝８；②ｘ２＋２ｘ＋１ ＝８＋１；③（ｘ＋１）２＝９；④ｘ ＋１＝±３；⑤ｘ＝１±３；⑥ｘ１ ＝４，ｘ２ ＝－２． （１）小静的解法是从步 骤 开始出现错误 的； （２）用配方法解第 ｎ个 方程ｘ２＋２ｎｘ－８ｎ２＝０（用含 ｎ的式子表示方程的根）． 分析：（１）步骤⑤移项时没有变号；（２）移项后配 方，开方，即可得到两个一元一次方程，求出方程的解 即可． 解：（１）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的． 故填⑤． （２）解方程：ｘ２＋２ｎｘ－８ｎ２ ＝０． 移项，得ｘ２＋２ｎｘ＝８ｎ２． 两边都加上ｎ２，得ｘ２＋２ｎｘ＋ｎ２ ＝８ｎ２＋ｎ２． 即（ｘ＋ｎ）２ ＝９ｎ２． 开方，得ｘ＋ｎ＝±３ｎ． 所以原方程的根是ｘ１ ＝２ｎ，ｘ２ ＝－４ｎ． 评注：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题 的关键是能正确配方． 二、解题方法型阅读 例２　阅读下列材料，并用相关的思想方法解答问 题． 计算：（１－１２－ １ ３－ １ ４）×（ １ ２＋ １ ３＋ １ ４＋ １ ５） －（１－１２－ １ ３－ １ ４－ １ ５）×（ １ ２＋ １ ３＋ １ ４）． 令 １ ２＋ １ ３＋ １ ４ ＝ｔ， 则原式 ＝（１－ｔ）（ｔ＋１５）－（１－ｔ－ １ ５）ｔ ＝ｔ＋１５－ｔ ２－１５ｔ－ｔ＋ｔ ２＋１５ｔ＝ １ ５． 根据上述内容解方程：（ｘ２＋５ｘ＋１）（ｘ２＋５ｘ＋７） ＝７． 分析：设ｘ２＋５ｘ＋１＝ｔ，则原方程可化为ｔ（ｔ＋６） ＝７，求出ｔ的值，再解关于ｘ的一元二次方程即可． 解：设ｘ２＋５ｘ＋１＝ｔ，则原方程可化为ｔ（ｔ＋６）＝ ７，即ｔ２＋６ｔ－７＝０． 解得ｔ１ ＝－７，ｔ２ ＝１． 当ｔ＝１时，ｘ２＋５ｘ＋１＝１，即ｘ２＋５ｘ＝０． 解得ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝－５． 当ｔ＝－７时，ｘ２＋５ｘ＋１＝－７，即ｘ２＋５ｘ＋８＝０． 因为ｂ２－４ａｃ＝５２－４×１×８＝－７＜０， 所以方程无实数根． 综上所述，原方程的根为ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝－５． 评注：本题考查了高次方程的解法，正确换元是解 答此题的关键． 书 运用因式分解法解一元二次方程的运算量较小，运 算速度较快，所以它是解一元二次方程的首选方法．运 用因式分解法解一元二次方程主要有三种方法：提公因 式法、完全平方公式法和平方差公式法，下面举例分析 说明如何运用这三种方法轻松解一元二次方程． 方法一：提公因式法 说明：当遇到方程两边有公因式时，需要先移项，使 方程右边化为零（切勿两边同除以公因式），然后通过提 公因式将方程左边分解因式． 例１　一元二次方程ｘ２ ＝ｘ的根是 （　　） Ａ．ｘ＝１ Ｂ．ｘ＝０ Ｃ．ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝０ Ｄ．ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝０ 分析：先将ｘ移到等号的左边，同时提取公因式ｘ即 可用因式分解法解方程． 解：原方程变形为ｘ２－ｘ＝０． 分解因式，得ｘ（ｘ－１）＝０． 所以ｘ＝０或ｘ－１＝０． 解得ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝１． 故选Ｃ． 方法二：完全平方公式法 说明：一元二次方程化为一般形式后，方程左边能 应用完全平方公式进行因式分解时，要注意一元二次方 程有两个相等的实数根，不要丢掉方程的根． 例２　解方程：ｘ（ｘ＋６）＝２ｘ－４． 分析：将方程右边的多项式移到左边，然后化简和 整理，化为一元二次方程的一般形式：ｘ２＋４ｘ＋４＝０，此 时方程左边的多项式就可以利用完全平方公式进行因 式分解了． 解：原方程可化为ｘ２＋４ｘ＋４＝０． 分解因式，得（ｘ＋２）２ ＝０． 解得ｘ１ ＝ｘ２ ＝－２． 方法三：平方差公式法 说明：将方程的右边通过移项化为０后，若方程的 左边符合平方差公式的条件，则可以利用平方差公式将 方程的左边分解为两个一次因式的积的形式． 例３　解方程：（３ｘ＋１）２－２５＝０． 分析：观察方程可知，等号左边的 ２５可以看作是 ５２，所以可以直接利用平方差公式分解因式． 解：原方程可变形为（３ｘ＋１）２－５２ ＝０． 分解因式，得（３ｘ＋１＋５）（３ｘ＋１－５）＝０，即（３ｘ＋ ６）（３ｘ－４）＝０． 所以３ｘ＋６＝０或３ｘ－４＝０． 解得ｘ１ ＝－２，ｘ２ ＝ ４ ３． ! !" # $ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! % & ' ( ) 书 在近几年的数学考试中，常有构造一元二次方程求 解的问题．若能根据题目特征，巧妙运用所学知识构造 一元二次方程求解，往往可得到事半功倍的效果．下面 举例说明构造一元二次方程的方法，供同学们参考． 一、利用相反数的性质构造 例１　若代数式ｍ２＋４与６ｍ＋５互为相反数，则 ｍ－２的值为 ． 分析：根据互为相反数的两个数的和为０构造出关 于ｍ的一元二次方程，解方程即可得解． 解：由相反数的性质，得ｍ２＋４＋６ｍ＋５＝０，即ｍ２ ＋６ｍ＋９＝０．所以（ｍ＋３）２ ＝０．解得ｍ１ ＝ｍ２ ＝－３． 所以ｍ－２ ＝ １ （－３）２ ＝ １９．故填 １ ９． 二、利用同类项的定义构造 例２　已知两个单项式 －２ｘ４ｙ２ａ与３ｘ４ｙａ２＋１的和仍 是单项式，试求这两个单项式的和． 分析：根据两个单项式可以合并可知它们为同类 项，然后根据同类项的定义列出关于 ａ的一元二次方 程，求出ａ的值后根据单项式的加法法则计算即可． 解：根据题意，得两个单项式为同类项．所以２ａ＝ ａ２＋１．解得 ａ１ ＝ａ２ ＝１．所以这两个单项式的和为 －２ｘ４ｙ２＋３ｘ４ｙ２ ＝ｘ４ｙ２． 三、利用同类二次根式的定义构造 例３　若最简二次根式 ５ａ－槡 ２与 ａ ２＋槡 ４是同类 二次根式，则ａ＝ ． 分析：根据最简二次根式和同类二次根式的定义得 出５ａ－２＝ａ２＋４，再求出方程的解即可． 解：因为最简二次根式 ５ａ－槡 ２与 ａ ２＋槡 ４是同类 二次根式，所以５ａ－２＝ａ２＋４．解得ａ１ ＝２，ａ２ ＝３．当 ａ＝２时，二次根式为槡８，不是最简二次根式，不合题意； 当ａ＝３时，二次根式为槡１３，是最简二次根式，符合题 意．故填３． 四、利用方程的定义构造 例４　已知方程（ａ－槡３）ｘ ａ２－１＋３＝０是关于ｘ的 一元二次方程，则ａ＝ ． 分析：根据一元二次方程未知数的最高次数是２和 二次项的系数不等于０求解即可． 解：因为（ａ－槡３）ｘ ａ２－１＋３＝０是关于ｘ的一元二次 方程，所以ａ－槡３≠０且ａ ２－１＝２．解得ａ＝－槡３．故填 －槡３． 书 解一元二次方程时究竟采用哪种解法呢？这就要求 同学们仔细观察，捕捉方程的系数特点和结构特征，灵 活选择适当的方法，力求解题过程简捷明快，也能提高 准确率． 一、方程中无一次项或满足（ｘ－ｍ）２ ＝ｎ结构时优 先考虑直接开平方法 例１　解方程：３ｘ２－２７＝０． 分析：整理方程后，利用直接开平方法求解即可． 解：方程整理，得ｘ２ ＝９． 解得ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝－３． 二、方程缺少常数项或方程的两边有公因式时，优 先考虑因式分解法 例２　解方程：３（ｘ－３）＝（ｘ－３）２． 分析：注意到方程两边都有公因式ｘ－３，用因式分 解法求解即可． 解：方程移项，得３（ｘ－３）－（ｘ－３）２ ＝０． 整理，得（ｘ－３）（６－ｘ）＝０． 所以ｘ－３＝０或６－ｘ＝０． 解得ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝６． 三、当方程的二次项系数为１，一次项的系数是偶数 时，优先考虑配方法 例３　解方程：ｘ２－４ｘ＋２＝０． 分析：注意到原方程中二次项系数和一次项系数的 特征，考虑用配方法求解． 解：因为ｘ２－４ｘ＋２＝０，所以ｘ２－４ｘ＝－２． 所以ｘ２－４ｘ＋４＝－２＋４，即（ｘ－２）２ ＝２． 所以ｘ－２＝－槡２或ｘ－２＝槡２． 解得ｘ１ ＝２－槡２，ｘ２ ＝２＋槡２． 四、以上三种方法都不易求解时，考虑用公式法求解 例４　解方程２ｘ２－３ｘ＝１－２ｘ． 分析：原方程既不能运用因式分解法，又不能运用 配方法，所以考虑用公式法． 解：原方程化为２ｘ２－ｘ－１＝０． 因为ａ＝２，ｂ＝－１，ｃ＝－１， 所以Δ＝ｂ２－４ａｃ＝（－１）２－４×２×（－１）＝９＞０． 所以ｘ＝１±槡９２×２ ＝ １±３ ４ ． 所以ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－ １ ２． 书 一、注意分清 ａ，ｂ，ｃ 的符号 例１　 解方程：ｘ２ － ３ｘ－１＝０． 分析：该方程已经是 一般形式，故只需对号入 座地找出 ａ，ｂ，ｃ，此时一 定要注意不要丢掉ａ，ｂ，ｃ 本身的符号，再求出ｂ２－ ４ａｃ的值，最后代入求根 公式即可． 解：因为 ａ＝１，ｂ＝ －３，ｃ＝－１， 所以 ｂ２ －４ａｃ＝ （－３）２－４×１×（－１） ＝１３． 所 以 ｘ ＝ －ｂ± ｂ２－４槡 ａｃ ２ａ ＝ －（－３）±槡１３ ２×１ ＝ ３±槡１３ ２ ． 解得ｘ１ ＝ ３＋槡１３ ２ ，ｘ２ ＝ ３－槡１３ ２ ． 点评：将原方程化为一般形式，确定ａ，ｂ，ｃ的值时， 对方程中的减号一定要特别关注，它们和ａ，ｂ，ｃ是密不 可分的． 二、注意将方程化为一般形式 例２　解方程：３ｘ（ｘ－１）＝２ｘ－２． 分析：运用公式法解一元二次方程时，只有将原方 程化为一般形式，方可确定 ａ，ｂ，ｃ的值，再代入求根公 式即可． 解：原方程可化为３ｘ２－５ｘ＋２＝０． 所以ａ＝３，ｂ＝－５，ｃ＝２． 所以ｂ２－４ａｃ＝（－５）２－４×３×２＝１． 所以 ｘ＝ －ｂ± ｂ ２－４槡 ａｃ ２ａ ＝ －（－５）±１ ２×３ ＝ ５±１ ６ ． 解得ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝ ２ ３． 点评：对于结构不是一般形式ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ ≠０）的一元二次方程，一定要依据有关知识将其化为 一般形式，然后才能运用求根公式． 三、注意ｂ２－４ａｃ≥０的方程才有实数根 例３　解方程：３ｘ２ ＝５ｘ－４． 分析：先移项，化原方程为一般形式，确定ａ，ｂ，ｃ的 值，再计算ｂ２－４ａｃ的值，若ｂ２－４ａｃ＜０，则方程无实数 根． 解：移项，得３ｘ２－５ｘ＋４＝０． 所以ａ＝３，ｂ＝－５，ｃ＝４． 所以ｂ２－４ａｃ＝（－５）２－４×３×４＝－２３＜０． 所以原方程无实数根． 点评：在解一元二次方程时，化一元二次方程为一 般形式并确定ａ，ｂ，ｃ的值后，计算ｂ２－４ａｃ的值并比较 它与０的大小非常重要（根的判别式参见下期）． !*+ ,-. !"#$/0123456789:7; <:=6 7> ?@ABC!"#$%&'()*'+","- ./012# DEFGC 34567 81,"-.901:# """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! HI JKL ! M " N O ! ! !"#$ ! " #! !!"# " $"% !" $%$&&!'$'( PQR?STUVWX8!">Y #$ Z !"#$%&'" ()*+,-'. 8[\ !](^Q_> 8̀ a (^bcde> 8[\ $])^Q_> "#$% %&'()*!"+ M"fgh?ij M"fhklmnopqr M"fhstuvwx9yiz R{|}~€^ }C‚ƒ„ …†‡/ˆ‰€^Š‹C*+ !(,%"%"-8.> )*+,-./0 1 23-.456789/ %)&!,&$"!$/0 23:;456789/ %)&!,&$"!!"# 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．用公式法解一元二次方程６ｘ－８＝５ｘ２时，ｂ的值 是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．６ Ｂ．－６ Ｃ．－５ Ｄ．５ ２．方程（ｘ＋１）（ｘ－３）＝０的解是 （　　） Ａ．ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝３ Ｂ．ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝３ Ｃ．ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－３ Ｄ．ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝－３ ３． 下 列 一 元 二 次 方 程 中， 以 ｘ ＝ １± （－１）２－４×２×（－３槡 ） ２×２ 为根的是 （　　） Ａ．２ｘ２＋ｘ－３＝０ Ｂ．ｘ２－２ｘ－３＝０ Ｃ．２ｘ２－ｘ－３＝０ Ｄ．ｘ２＋２ｘ－３＝０ ４．已知代数式３－ｘ与－ｘ２＋３ｘ的值互为相反数，则 （ｘ－３）（ｘ＋１）的值是 （　　） Ａ．－１ Ｂ．３ Ｃ．１ Ｄ．０ ５．若一元二次方程ｘ２＋ｂｘ＋４＝０的两个实数根中 较小的一个根是ｍ（ｍ≠０），则ｂ＋ ｂ２－槡 １６＝ （　　） Ａ．－ｍ Ｂ．－２ｍ Ｃ．ｍ Ｄ．２ｍ ６．解方程①ｘ２－７＝０；②９ｘ２－７ｘ－１＝０；③（２－ ３ｘ）＋３（３ｘ－２）２ ＝０，较简便的方法是 （　　） Ａ．依次为：直接开平方法、公式法、因式分解法 Ｂ．依次为：因式分解法、公式法、配方法 Ｃ．依次为：直接开平方法、因式分解法、因式分解法 Ｄ．依次为：公式法、公式法、因式分解法 ７．一个三角形的两边长为３和８，第三边的边长是 ｘ（ｘ－９）－１３（ｘ－９）＝０的根，则这个三角形的周长是 （　　） Ａ．２４ Ｂ．２０或２４ Ｃ．２０ Ｄ．９和１３ ８．定义［ｘ］表示不超过实数ｘ的最大整数，如［１．４］ ＝１，［－１．２］＝－２，［－３］＝－３，则方程２［ｘ］＝ｘ２的 解为 （　　） Ａ．０或槡２ Ｂ．０或２ Ｃ．２或槡２ Ｄ．０或槡２或２ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．若关于ｘ的一元二次方程ｘ２－ｍｘ＋ｎ＝０的两根 为 －１和３，则将 ｘ２－ｍｘ＋ｎ进行因式分解的结果是 ． １０．已知ｘ＝－ｂ＋ ｂ ２－４槡 ｃ ２ （ｂ ２－４ｃ≥０），则式子 ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的值是 ． １１．若代数式 ｘ ２＋ｘ－６ ｜ｘ｜－２的值为０，则ｘ＝ ． １２．如图，点Ａ在数轴的负半轴，点Ｂ在数轴的正半 轴，且点Ａ对应的数是２ｘ－１，点Ｂ对应的数是ｘ２＋ｘ．已 知ＡＢ＝５，则ｘ的值为 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１２分）用适当的方法解下列方程： （１）２ｘ２－４ｘ＋１＝０； （２）ｘ（２ｘ＋４）＝１０＋５ｘ； （３）ｘ２－槡２ｘ－ １ ４ ＝０． １４．（８分）解方程２（ｘ－３）＝（ｘ－３）２．下面是甲、 乙两位同学的部分运算过程． 甲同学：两边同除以（ｘ－３），得２＝ｘ－３．解得ｘ＝ ５． 乙同学：移项，得２（ｘ－３）－（ｘ－３）２＝０．提取公因 式，得（ｘ－３）（２－ｘ－３）＝０．所以ｘ－３＝０或２－ｘ－ ３＝０．解得ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝－１． （１）解一元二次方程的基本思想是 （填 “降次”或“消元”）； （２）甲、乙两位同学的解答过程均有失误，请你写 出正确的解答过程． １５．（１０分）如果实数ｘ满足（ｘ２＋２ｘ）２＋４（ｘ２＋２ｘ） －５＝０，求代数式ｘ３＋３ｘ２＋ｘ的值． １６．（１０分）定义：如果两个一元二次方程有且只有 一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”． 如果关于ｘ的一元二次方程ｘ２－２ｘ＝０与ｘ２＋３ｘ＋ｍ－ １＝０为“友好方程”，求ｍ的值． １７．（１２分）阅读材料，并回答下列问题． 观察方程及其根的特征： ①方程３９ｘ２＋２ｘ－１１３＝０的根是ｘ１＝－ １ １３，ｘ２＝ １ ３９； 方程ｙ２＋２ｙ－３＝０的根是ｙ２ ＝－３，ｙ２ ＝１． ②方程５６ｘ２＋２ｘ－１７ ＝０的根是ｘ１＝－ １ １４，ｘ２＝ １ ２８； 方程ｙ２＋２ｙ－８＝０的根是ｙ１ ＝－４，ｙ２ ＝２． …… 猜想：方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的根与方程ｙ２ ＋ｂｙ＋ａｃ＝０的根之间的关系是ｘ＝ ｙａ． （１）请你证明材料中的猜想； （２）依照材料中的解题方法，解方程：３０ｘ２－３ｘ＋１１５ ＝０． （以下试题供各地根据实际情况选用） 推理能力有助于形成实事求是的科学态度与理性 精神．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即 （ａ＋ｂ）２≥０．据此，我们可以得到以下推理： ｘ２＋４ｘ－５＝ｘ２＋４ｘ＋４－４－５＝（ｘ＋２）２－９． 因为（ｘ＋２）２≥０，所以（ｘ＋２）２－９≥－９．所以代数式 ｘ２＋４ｘ－５有最小值 －９． 试根据以上方法判断代数式 －２ｘ２＋ｘ＋３是否存在 最大值或最小值？若存在，请求出它的最大值或最小值； 若不存在，请说明理由                                                                                                                                                                 ． !" #$ %& 书 所以４＋ｍ＋ｎ＝ ０，即ｎ＝－（ｍ＋４）． 因为 ｍ是此“星辰 方程”的一个根， 所以４ｍ２－ｍ２＋ｎ ＝０，即ｎ＝－３ｍ２． 所以 －３ｍ２＝－（ｍ ＋４）． 整理，得３ｍ２－ｍ－ ４＝０． 解得 ｍ１ ＝ ４ ３，ｍ２ ＝－１． 所以 ｍ的值为 ４３ 或 －１． １７．（１）－３，６． （２）当ｘ＜２时， 根据ｘ※２＝３※ｘ， 得４－２ｘ＝３ｘ－ｘ２． 解得 ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝ ４（舍去）； 当２≤ｘ＜３时， 根据ｘ※２＝３※ｘ， 得２ｘ－４＝３ｘ－ｘ２． 解 得 ｘ１ ＝ １＋槡１７ ２ ，ｘ２ ＝ １－槡１７ ２ （舍去）； 当ｘ≥３时， 根据ｘ※２＝３※ｘ， 得２ｘ－４＝ｘ２－３ｘ． 解得 ｘ１ ＝ １（舍 去），ｘ２ ＝４． 综上所述，ｘ的值 为１或１＋槡１７２ 或４． 附加题　①当ｘ－ ２≥０时，即ｘ≥２． 原方程可变为ｘ２－ ２（ｘ－２）－４＝０． 解得 ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝ ２． 因为ｘ≥２， 所以ｘ＝０舍去． ②当ｘ－２＜０时， 即ｘ＜２． 原方程可变为ｘ２－ ２（２－ｘ）－４＝０． 解得 ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝ －４． 因为ｘ＜２， 所以ｘ＝２舍去． 所以原方程的解为 ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝－４． 书 １７．２一元二次方程的解法 １７．２．３公式法 １．用公式法解方程ｘ２－２ｘ＝３时，求根公式中的ａ， ｂ，ｃ的值分别是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１，－２，３ Ｂ．１，２，－３ Ｃ．１，２，３ Ｄ．１，－２，－３ ２．一元二次方程ｘ２＋４ｘ－８＝０的解是 （　　） Ａ．ｘ１ ＝２＋ 槡２３，ｘ２ ＝２－ 槡２３ Ｂ．ｘ１ ＝２＋ 槡２２，ｘ２ ＝２－ 槡２２ Ｃ．ｘ１ ＝－２＋ 槡２２，ｘ２ ＝－２－ 槡２２ Ｄ．ｘ１ ＝－２＋ 槡２３，ｘ２ ＝－２－ 槡２３ ３．下列方程中，以ｘ＝－５± ２５＋４槡 ｃ２ 为根的是 （　　） Ａ．ｘ２－５ｘ－ｃ＝０ Ｂ．ｘ２＋５ｘ－ｃ＝０ Ｃ．ｘ２－５ｘ＋４ｃ＝０ Ｄ．ｘ２＋５ｘ＋ｃ＝０ ４．代数式ｘ２－２ｘ与４ｘ＋４的值相等，则 ｘ的值为 ． ５．方程ｘ２－３｜ｘ｜－２＝０的最小一根的倒数是 ． ６．用公式法解下列方程： （１）２ｘ２＋５ｘ＋１＝０； （２）３ｘ２－２ｘ＝１； （３）槡２ｘ ２＋３ｘ＝ 槡２２． 能力提高 ７．已知关于ｘ的一元二次方程（ｍ－１）ｘ２－２ｍｘ＋ｍ ＋１＝０． （１）求出方程的根； （２）ｍ为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ １７．２．４因式分解法 １．一元二次方程ｘ２－２ｘ＝０的根是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ｘ１ ＝ｘ２ ＝２ Ｂ．ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝２ Ｃ．ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝－２ Ｄ．ｘ１ ＝２，ｘ２ ＝－２ ２．在解一元二次方程ｘ（ｘ＋１）＝ｘ＋１的过程中， 变形正确的是 （　　） Ａ．（ｘ＋１）（ｘ－１）＝０ Ｂ．ｘ＝１ Ｃ．（ｘ－１）２ ＝０ Ｄ．（ｘ＋１）２ ＝０ ３．一个等腰三角形的两条边长分别是方程ｘ２－６ｘ ＋８＝０的两根，则该等腰三角形的周长是 （　　） Ａ．２ Ｂ．８ Ｃ．１０ Ｄ．１０或８ ４．当ｘ＝ 时，多项式３ｘ２＋６ｘ－８的值与１ －２ｘ２的值互为相反数． ５．现定义运算“□”，对于任意实数ａ，ｂ，都有ａ□ｂ ＝ａ２－３ａ＋ｂ．如：３□５＝３２－３×３＋５．若ｘ□２＝６， 则实数ｘ的值是 ． ６．已知方程 ｘ２ ＋ｘ＋ １ ｘ２＋ｘ ＝２，则 ２ｘ２ ＋２ｘ＝ ． ７．用因式分解法解下列方程： （１）２ｘ（ｘ－３）＝５（ｘ－３）； （２）２ｙ２＋６ｙ＝ｙ＋３； （３）４ｘ２＋４ｘ＋１０＝１－８ｘ． 能力提高 ８．阅读下面的材料并解答问题： 分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘 法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”．例如，分解 因式４ｘ２－３ｘｙ－ｙ２，方法如下：拆两头，４ｘ２拆为４ｘ，ｘ， －ｙ２拆为ｙ，－ｙ，然后排列如下： ４ｘ ｙ ｘ －ｙ 交叉相乘积相加得－３ｘｙ，凑得中间项，所以分解为 ４ｘ２－３ｘｙ－ｙ２ ＝（４ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）． 参考以上方法解方程４ｘ２－５ｘ＋１＝０． 综合集训营 １．用适当的方法解下列方程： （１）（ｘ＋２）２－６４＝０； （２）ｘ２－１０＋１６＝０； （３）３ｘ２＋２ｘ＝３； （４）（３ｘ－２）２ ＝４ｘ２－４ｘ＋１． ２．定义新运算：对于任意实数 ａ，ｂ，都有 ａ ! ｂ＝ ａ（ａ－ｂ）＋１，等式右边是通常的加法、减法及乘法运 算，比如：２ ! ５＝２×（２－５）＋１＝２×（－３）＋１＝ －６＋１＝－５． （１）若ｘ ! （－２）＝４，求ｘ的值； （２）若１＜２ ! ａ＜５，且ａ是正整数，求关于ｘ的 一元二次方程２ａｘ２＋３ｘ＋１＝０的根 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． !" ! #$%"& '()*+,-./ ! ! ! 0123456789'!":; #$ . !"#$ ! 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