第30期 18.2 特殊的平行四边形 (矩形)-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（人教版 广东专版）

书 答案详解 　　 　　２０２４～２０２５学年　初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期（２０２５年２月）　　 　　 ２９期２版 １８．１平行四边形 １８．１．１平行四边形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１．５． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ ＡＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ．因为△ＢＣＥ和△ＣＤＦ都是等边三角形， 所以ＣＤ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＢＥ，∠ＥＢＣ＝∠ＣＤＦ＝６０°．所以ＡＢ＝ ＤＦ，ＢＥ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＣ＝∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＦ，即∠ＡＢＥ＝ ∠ＦＤＡ．所以△ＡＢＥ≌△ＦＤＡ（ＳＡＳ）．所以ＡＥ＝ＡＦ． ５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∠Ｂ＝６０°，所以 ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｄ＝∠Ｂ＝６０°．所以∠ＢＡＤ＝１８０°－∠Ｂ＝１２０°． 因为ＡＥ⊥ ＢＣ，ＡＦ⊥ ＣＤ，所以 ∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ＝９０°．所以 ∠ＢＡＥ＝９０°－∠Ｂ＝３０°，∠ＤＡＦ＝９０°－∠Ｄ＝３０°．所以 ∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＤ－∠ＢＡＥ－∠ＤＡＦ＝６０°． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＢＣ＝６，所以ＡＤ＝ ＢＣ＝６．由（１）知∠ＤＡＦ＝３０°．所以ＤＦ＝１２ＡＤ＝３．由勾股 定理，得ＡＦ＝ ＡＤ２－ＤＦ槡 ２ ＝ 槡３３． 能力提高　６．Ｂ． １８．１．２．１平行四边形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．是． ５．因为ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２＝２ａｃ＋２ｂｄ，所以（ａ－ｃ）２＋（ｂ－ ｄ）２ ＝０．所以ａ＝ｃ，ｂ＝ｄ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． ６．由对顶角相等，得∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ．在△ＡＯＥ和△ＣＯＤ 中， ∠ＥＡＯ＝∠ＤＣＯ， ＡＯ＝ＣＯ， ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ { ， 所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＤ（ＡＳＡ）．所以ＯＥ ＝ＯＤ．所以四边形ＡＥＣＤ是平行四边形． １８．１．２．２三角形的中位线 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．４． ５．因为Ｐ是ＢＤ的中点，Ｅ是ＡＢ的中点，Ｆ是ＣＤ的中点，所 以ＰＥ＝１２ＡＤ，ＰＦ＝ １ ２ＢＣ．因为ＡＤ＝ＢＣ，所以ＰＥ＝ＰＦ．所 以∠ＰＦＥ＝∠ＰＥＦ＝１８°． ６．因为 ＣＤ是 △ＡＢＣ的中线，所以 ＡＤ＝ＤＢ．因为 ＥＦ＝ ＡＥ，所以ＤＥ∥ＢＦ．又 ＣＦ∥ ＡＢ，所以四边形 ＤＢＦＣ是平行四 边形． ２９期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 二、９．１４；　１０．１１８°；　１１．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ； １２．３０°；　１３．６；　１４．１０３或１０． 三、１５．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＯＡ＝ＯＣ， ＯＢ＝ＯＤ．因为ＡＥ＝ＣＦ，所以ＯＡ＋ＡＥ＝ＯＣ＋ＣＦ，即ＯＥ＝ ＯＦ．因为ＢＧ＝ＤＨ，所以ＯＢ－ＢＧ＝ＯＤ－ＤＨ，即ＯＧ＝ＯＨ．所 以四边形ＥＧＦＨ是平行四边形． １６．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ ＢＣ．所以∠ＡＥＢ＝∠ＤＡＥ．因为ＡＢ＝ＡＥ，所以∠Ｂ＝∠ＡＥＢ． 所以∠Ｂ＝∠ＤＡＥ．在△ＡＢＣ和△ＥＡＤ中， ＡＢ＝ＥＡ， ∠Ｂ＝∠ＤＡＥ， ＢＣ＝ＡＤ { ， 所 以△ＡＢＣ≌△ＥＡＤ（ＳＡＳ）． １７．（１）因为 ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＣＢＤ＝ ∠ＥＢＤ．因为ＥＤ∥ＢＣ，所以∠ＣＢＤ＝∠ＥＤＢ．所以∠ＥＢＤ＝ ∠ＥＤＢ．所以ＢＥ＝ＥＤ．因为ＢＥ＝ＣＦ，所以ＥＤ＝ＣＦ．又ＥＤ∥ ＦＣ，所以四边形ＥＦＣＤ是平行四边形． （２）因为 ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，∠ＡＢＣ＝６０°，所以 ∠ＡＢＤ＝ １２∠ＡＢＣ＝３０°．因为 ∠ＡＤＢ＝１００°，所以 ∠Ａ＝ １８０°－∠ＡＢＤ－∠ＡＤＢ＝５０°．因为四边形ＥＦＣＤ是平行四边 形，所以ＥＦ∥ＡＣ．所以∠ＡＥＦ＝１８０°－∠Ａ＝１３０°． １８．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ， ＡＢ∥ＣＤ．因为ＣＥ＝ＡＢ，所以ＣＥ＝ＣＤ．所以∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ ＝ １２（１８０°－∠ＤＣＥ）＝９０°－ １ ２∠ＤＣＥ．所以 ∠ＡＥＤ ＝ ∠ＣＤＥ＝９０°－１２∠                                                         ＤＣＥ． —１— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期 （２）延长ＤＡ，ＦＥ交于点Ｍ，图略．因为点Ｅ是ＡＢ的中点， 所以ＡＥ＝ＢＥ．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠Ｍ ＝∠ＥＦＢ＝４５°．由对顶角相等，得 ∠ＡＥＭ ＝ ∠ＦＥＢ．所以△ＡＥＭ≌△ＢＥＦ（ＡＡＳ）．所以ＭＥ＝ＦＥ．因为ＤＦ ⊥ＢＣ，所以∠ＤＦＢ＝９０°．所以∠ＤＦＥ＝∠ＤＦＢ－∠ＥＦＢ＝ ４５°．所以ＤＭ ＝ＤＦ．所以ＤＥ⊥ＥＦ． 附加题　１．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＢ＝４，所 以ＣＤ＝ＡＢ＝４，ＡＤ∥ＢＣ．因为∠ＡＣＢ＝３０°，所以∠ＤＡＣ＝ ∠ＡＣＢ＝３０°．根据折叠的性质，得ＡＥ＝ＡＤ，ＣＤ＝ＣＥ，∠ＡＣＤ ＝９０°．所以∠Ｄ＝９０°－∠ＤＡＣ＝６０°．所以△ＡＤＥ是等边三 角形．所以ＡＤ＝ＡＥ＝ＤＥ＝２ＣＤ＝８．所以△ＡＤＥ的周长为： ８×３＝２４． ２．（１）因为ＡＣ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＢＥ，所以ＡＢ⊥ＣＥ，∠ＡＥＣ＝ ∠ＡＣＥ，∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ． 所以 ∠ＡＥＣ＋∠ＢＥＣ＝∠ＡＣＥ＋∠ＢＣＥ，即 ∠ＡＥＢ＝ ∠ＡＣＢ． 因为∠ＡＥＢ＝∠ＣＡＤ，所以∠ＡＣＢ＝∠ＣＡＤ． 所以ＢＣ∥ＡＤ． 因为ＣＤ⊥ＣＥ，所以ＡＢ∥ＣＤ． 所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． （２）过点Ａ作ＡＧ⊥ＣＤ于点Ｇ，图略． 所以ＡＧ∥ＣＦ． 又ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ⊥ＣＥ，所以ＣＦ＝ＡＧ． 根据勾股定理，得ＡＣ２－ＣＧ２ ＝ＡＤ２－ＤＧ２，即４２－（３－ ＤＧ）２ ＝３２－ＤＧ２． 解得ＤＧ＝ １３． 所以ＣＦ＝ＡＧ＝ ＡＤ２－ＤＧ槡 ２ ＝ 槡４５３． 因为ＡＣ＝ＡＥ，ＡＢ⊥ＣＥ，所以ＣＥ＝２ＣＦ＝ 槡８５３． ３０期２版 １８．２特殊的平行四边形（矩形） １８．２．１．１矩形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．１１０． ４．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ，∠Ｂ＝ ９０°．所以∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＢ．因为ＤＦ⊥ＡＥ，所以∠ＡＦＤ＝９０° ＝∠Ｂ．又ＤＡ＝ＡＥ，所以△ＤＦＡ≌△ＡＢＥ．所以ＤＦ＝ＡＢ． （２）因为ＡＢ＝４，所以ＤＦ＝４．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以∠ＡＤＣ＝９０°．因为∠ＦＤＣ＝３０°，所以∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ－ ∠ＦＤＣ＝６０°．所以∠ＤＡＦ＝９０°－∠ＡＤＦ＝３０°．所以ＡＤ＝ ２ＤＦ＝８． 能力提高　５．槡４３． ６．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＢ∥ ＣＤ．所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＦＣＯ．由对顶角相等，得∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ．又ＡＥ＝ ＣＦ，所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ．所以ＯＥ＝ＯＦ． （２）连接ＯＢ，图略．因为△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ，所以ＯＡ＝ＯＣ， 即Ｏ为矩形ＡＢＣＤ对角线的交点．所以ＯＡ＝ＯＢ．所以∠ＢＡＣ ＝∠ＡＢＯ．因为ＢＥ＝ＢＦ，ＯＥ＝ＯＦ，所以ＢＯ⊥ＥＦ．在Ｒｔ△ＢＥＯ 中，∠ＢＥＦ＋∠ＡＢＯ ＝９０°．因为 ∠ＢＥＦ ＝２∠ＢＡＣ，所以 ２∠ＢＡＣ＋∠ＢＡＣ＝９０°．所以∠ＢＡＣ＝３０°．因为四边形ＡＢＣＤ 是矩形，所以∠ＡＢＣ＝９０°．因为ＢＣ＝２，所以ＡＣ＝２ＢＣ＝４． 根据勾股定理，得ＡＢ＝ ＡＣ２－ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２３． １８．２．１．２直角三角形斜边上的中线 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．１３２． ５．连接ＣＥ，图略． （１）因为ＣＤ＝ＣＢ，Ｅ为ＢＤ的中点，所以ＣＥ⊥ＢＤ． 所以∠ＡＥＣ＝９０°． 因为Ｆ为ＡＣ的中点，所以ＥＦ＝ １２ＡＣ＝１． （２）因为∠ＢＡＣ＝４５°，所以∠ＡＣＥ＝９０°－∠ＢＡＣ＝４５°． 所以ＡＥ＝ＣＥ．因为Ｆ为ＡＣ的中点，所以ＥＦ垂直平分ＡＣ．所以 ＡＭ ＝ＣＭ．所以ＢＣ＝ＣＤ＝ＣＭ＋ＤＭ ＝ＡＭ＋ＤＭ． １８．２．１．３矩形的判定 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ； ３．答案不惟一，如ＤＥ＝ＦＧ；　４．１３． ５．因为ＢＥ∥ＤＦ，所以∠ＤＦＣ＝∠ＡＥＢ． 所以１８０°－∠ＤＦＣ＝１８０°－∠ＡＥＢ，即∠ＤＦＡ＝∠ＢＥＣ． 又ＤＦ＝ＢＥ，ＡＦ＝ＣＥ，所以△ＡＦＤ≌△ＣＥＢ． 所以∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ，ＡＤ＝ＣＢ． 所以ＡＤ∥ＢＣ． 所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． 又∠ＢＡＤ＝９０°，所以四边形ＡＢＣＤ是矩形． 能力提高　６．４． ７．（１）因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠Ｄ＋∠Ｃ＝１８０°．因为∠Ａ＝ ∠Ｄ＝９０°，所以∠Ｃ＝∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°．所以四边形ＡＢＣＤ为 矩形． （２）根据折叠的性质，得∠ＢＧＥ＝∠Ａ＝９０°，ＢＧ＝ＡＢ＝ ６，ＡＥ＝ＧＥ．所以∠ＥＧＦ＝１８０°－∠ＢＧＥ＝９０°．因为Ｅ是ＡＤ 的中点，所以 ＡＥ＝ＤＥ．所以 ＤＥ＝ＧＥ．又 ＥＦ＝ＥＦ，所以 Ｒｔ△ＤＥＦ≌Ｒｔ△ＧＥＦ（ＨＬ）．所以ＤＦ＝ＧＦ．所以ＢＦ＝ＢＧ＋ＧＦ ＝６＋ＤＦ．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＣＤ＝ＡＢ＝６．在 Ｒｔ△ＢＣＥ中，根据勾股定理，得ＢＣ２＋ＣＦ２ ＝ＢＦ２，即８２＋（６－ ＤＦ）２ ＝（６＋ＤＦ）２．解得ＤＦ＝ ８３                                                                      ． —２— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期 ３０期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ 二、９．３５°；　１０．４５；　１１．６；　１２．４８；　１３．７２； １４．槡５２或 槡４５． 三、１５．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＢＣ＝ＡＤ＝ ８．因为ＡＢ＝６，ＡＣ＝１０，所以ＡＣ２ ＝ＡＢ２＋ＢＣ２．所以∠Ｂ＝ ９０°．所以平行四边形ＡＢＣＤ是矩形． １６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＡＤ∥ＢＣ．所以∠Ｆ ＝∠ＢＣＥ．因为 Ｅ是 ＡＢ的中点，所以 ＡＥ＝ＥＢ．又 ∠ＡＥＦ＝ ∠ＢＥＣ，所以△ＡＥＦ≌△ＢＥＣ（ＡＡＳ）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ｄ＝９０°．又∠Ｆ＝ ３０°，所以ＣＦ＝２ＣＤ＝８． １７．因为矩形 ＡＢＣＤ≌ 矩形 ＡＥＦＧ，所以 ＡＢ＝ＡＥ＝１， ∠ＤＡＢ＝∠ＦＥＡ＝９０°，ＡＤ＝ＢＣ＝２．所以∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ， ∠ＡＢＥ＋∠ＡＤＢ＝９０°，∠ＡＥＢ＋∠ＤＥＦ＝１８０°－∠ＦＥＡ＝ ９０°．所以∠ＤＥＦ＝∠ＡＤＢ．所以ＥＨ＝ＤＨ．在Ｒｔ△ＡＥＨ中，根 据勾股定理，得ＥＨ２＋ＡＥ２＝ＡＨ２，即（２－ＡＨ）２＋１２＝ＡＨ２．解 得ＡＨ＝ ５４． １８．（１）因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，所以ＡＤ ⊥ ＢＣ，∠ＣＡＤ ＝ １２∠ＢＡＣ．所以 ∠ＡＤＣ＝９０°．因为 ＡＮ为 △ＡＢＣ外角∠ＣＡＭ的平分线，所以 ∠ＣＡＮ＝ １２∠ＣＡＭ．所以 ∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ＋∠ＣＡＮ＝９０°．因为ＣＥ⊥ＡＮ，所以∠ＡＥＣ＝ ９０°．所以四边形ＡＤＣＥ为矩形． （２）四边形ＡＢＤＥ是平行四边形．证明如下： 由（１）知，四边形ＡＤＣＥ为矩形．所以ＡＥ＝ＣＤ，ＡＣ＝ＤＥ． 又ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＣＤ，所以ＡＢ＝ＤＥ，ＡＥ＝ＢＤ．所以四边形 ＡＢＤＥ是平行四边形． （３）ＤＦ∥ＡＢ，ＤＦ＝ １２ＡＢ． 附加题 １．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＥ∥ＢＣ．又 ＣＥ∥ＢＤ，所以四边形ＢＣＥＤ是平行四边形．所以ＣＥ＝ＢＤ．又 ＣＥ＝ＡＣ，所以ＡＣ＝ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是矩形． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠ＢＡＤ＝９０°，ＢＣ＝ ＡＤ＝３． 根据勾股定理，得ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ ＝５． 所以四边形ＢＣＥＤ的周长为：２（ＢＣ＋ＢＤ）＝１６． ２．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ａ＝∠ＡＤＣ＝ ∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ． 由折叠的性质，得 ＡＢ＝ＰＤ，∠Ａ＝∠Ｐ＝９０°，∠Ｂ＝ ∠ＰＤＦ＝９０°． 所以ＰＤ＝ＣＤ，∠ＰＤＦ＝∠ＡＤＣ，∠Ｐ＝∠Ｃ． 所以∠ＰＤＦ－∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ－∠ＡＤＦ，即 ∠ＰＤＥ＝ ∠ＣＤＦ． 所以△ＰＤＥ≌△ＣＤＦ（ＡＳＡ）． （２）过点Ｅ作ＥＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，图略． 所以∠ＥＧＦ＝∠ＥＧＢ＝９０°． 所以四边形ＡＢＧＥ和四边形ＥＧＣＤ都是矩形． 所以ＡＥ＝ＢＧ，ＤＥ＝ＣＧ，ＥＧ＝ＣＤ＝４． 在Ｒｔ△ＥＧＦ中，由勾股定理，得ＦＧ＝ ＥＦ２－ＥＧ槡 ２ ＝３． 由（１）得，△ＰＤＥ≌△ＣＤＦ． 所以ＰＥ＝ＣＦ，ＤＥ＝ＤＦ＝ＣＧ＝ＣＦ＋３． 由折叠的性质，得ＡＥ＝ＰＥ． 在Ｒｔ△ＣＤＦ中，由勾股定理，得ＣＤ２＋ＣＦ２ ＝ＤＦ２，即ＣＦ２ ＋４２ ＝（ＣＦ＋３）２． 解得ＣＦ＝ ７６． 所以ＢＣ＝２ＣＦ＋３＝１６３． ３１期２版 １８．２特殊的平行四边形（菱形） １８．２．２．１菱形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．２０；　４．８０°． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因 为ＤＥ⊥ＢＤ，所以ＤＥ∥ＡＣ．所以四边形ＡＣＤＥ是平行四边形． ６．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＰ＝ ∠ＣＢＰ．又ＢＰ＝ＢＰ，所以△ＡＢＰ≌△ＣＢＰ（ＳＡＳ）．所以ＰＡ＝ＰＣ． ７．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＡＤ．所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ．因为 ＡＥ＝ＡＢ，所以 ＡＥ＝ＡＤ．所以 ∠Ｅ＝ ∠ＡＤＥ．所以２∠ＡＤＢ＋２∠ＡＤＥ＝１８０°．所以∠ＡＤＢ＋∠ＡＤＥ ＝９０°．所以△ＢＤＥ为直角三角形． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＡＥ＝ＡＢ，所以ＯＣ＝ＯＡ＝ １２ＤＥ＝ １ ２×６＝３（ｃｍ）． ８．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＡ＝ １ ２ＡＣ＝４ｃｍ，ＯＢ＝ １ ２ＢＤ＝３ｃｍ．根据勾股定理，得 ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２ ＝５ｃｍ．因为Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＤ＝ＡＢ·ＤＨ， 所以ＤＨ＝ＡＣ·ＢＤ２ＡＢ ＝ ２４ ５ｃｍ                                                                      ． —３— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期 （２）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＯＢ＝ＯＤ，∠ＤＡＨ＝ ２∠ＯＡＢ．所以ＯＨ＝ＯＢ．所以∠ＯＨＢ＝∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝ １８０°－２∠ＯＢＨ．因为∠ＯＡＢ＝９０°－∠ＯＢＨ，所以 ∠ＤＡＨ＝ １８０°－２∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝∠ＤＡＨ． １８．２．２．２菱形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ； ３．答案不惟一，如ＡＢ＝ＡＣ； ４．（２，槡２２）或（２，－ 槡２２）． ５．在 △ＡＢＣ和 △ＡＤＣ中， ＡＢ＝ＡＤ， ＡＣ＝ＡＣ， ＢＣ＝ＤＣ { ， 所以 △ＡＢＣ≌ △ＡＤＣ（ＳＳＳ）．所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ．所以∠ＤＣＡ＝∠ＤＡＣ．所以 ＡＤ＝ＣＤ．所以 ＡＢ＝ＣＢ＝ＣＤ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． ６．（１）因为 ＡＥ∥ ＣＦ，所以 ∠ＥＡＤ＝∠ＦＣＤ，∠ＡＥＤ＝ ∠ＣＦＤ．因为ＢＡ＝ＢＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，所以ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＤ＝ ＣＤ．所以△ＡＥＤ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）．所以ＡＥ＝ＣＦ．所以四边形 ＡＥＣＦ是平行四边形．又ＢＤ⊥ＡＣ，所以四边形ＡＥＣＦ是菱形． （２）因为四边形 ＡＥＣＦ是菱形，所以 ＤＥ＝ＤＦ＝２．在 Ｒｔ△ＡＤＢ中，由勾股定理，得 ＡＤ２＋ＢＤ２ ＝ＡＢ２，即４２＋（２＋ ＢＥ）２ ＝（４＋ＢＥ）２．解得ＢＥ＝１．所以ＢＦ＝５． 能力提高　７．（１）能．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ａ ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠ＰＢＥ＝∠ＡＤＢ＝３０°，ＢＣ⊥ ＣＤ．根据题意，得ＢＰ＝２ｔ，ＤＱ＝ｔ．因为ＰＥ⊥ＢＣ，所以ＰＥ∥ ＣＤ，∠ＢＥＰ＝９０°．所以 ＰＥ＝ １２ＢＰ＝ｔ＝ＤＱ．所以四边形 ＰＥＱＤ是平行四边形．因为ＡＢ＝４，所以ＢＤ＝８．所以ＤＰ＝８ －２ｔ．当ＤＰ＝ＰＥ时，四边形ＰＥＱＤ为菱形．所以８－２ｔ＝ｔ．解 得ｔ＝ ８３． （２）①当∠ＥＰＱ＝９０°时，四边形ＥＰＱＣ为矩形，所以ＰＥ ＝ＱＣ，所以ｔ＝４－ｔ，解得ｔ＝２；②当∠ＰＱＥ＝９０°时，由（１） 得，ＰＤ∥ＥＱ，所以 ∠ＤＰＱ＝∠ＰＱＥ＝９０°，在 Ｒｔ△ＤＰＱ中， ∠ＰＱＤ＝３０°，所以ＤＱ＝２ＤＰ，所以ｔ＝２（８－２ｔ），解得ｔ＝１６５； ③不存在∠ＰＥＱ＝９０°的情况． 综上所述，当ｔ＝２或１６５时，△ＰＱＥ为直角三角形． ３１期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ 二、９．６０°；　１０．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ；　１１．２４； １２． 槡２０３；　１３．１６；　１４．９０°或５６．２５°． 三、１５．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，∠ＡＢＤ＝ ∠ＣＢＤ．因为 ＥＦ∥ ＢＣ，所以四边形 ＢＣＦＥ是平行四边形， ∠ＥＭＢ＝∠ＣＢＤ．所以ＢＥ＝ＣＦ，∠ＡＢＤ＝∠ＥＭＢ．所以ＢＥ＝ ＥＭ．所以ＣＦ＝ＥＭ． １６．因为∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＥ，所以∠ＢＡＦ－∠ＥＡＦ＝∠ＤＡＥ －∠ＥＡＦ，即∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＦ．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边 形，所以∠Ｂ＝∠Ｄ．又ＢＥ＝ＤＦ，所以△ＡＢＥ≌△ＡＤＦ（ＡＡＳ）．所 以ＡＢ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． １７．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ ＯＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因为ＤＦ＝ＢＥ，所以ＯＢ－ＢＥ＝ＯＤ－ＤＦ，即ＯＥ ＝ＯＦ．所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．又ＡＣ⊥ＥＦ，所以四边 形ＡＥＣＦ是菱形． （２）△ＡＤＥ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ＝４，ＢＤ＝８，所以ＯＡ＝２，ＯＢ＝ＯＤ＝４．因为ＢＥ ＝３，所以ＯＥ＝ＯＢ－ＢＥ＝１，ＤＥ＝ＢＤ－ＢＥ＝５．因为ＡＣ⊥ ＢＤ，所以∠ＡＯＥ＝∠ＡＯＤ＝９０°．根据勾股定理，得ＡＥ２＝ＯＡ２ ＋ＯＥ２＝５，ＡＤ２＝ＯＡ２＋ＯＤ２＝２０．所以ＡＥ２＋ＡＤ２＝ＤＥ２．所 以△ＡＤＥ是直角三角形． １８．（１）连接ＡＣ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ．因为∠Ｂ＝６０°，所以∠ＢＣＤ＝１８０°－ ∠Ｂ＝１２０°，△ＡＢＣ是等边三角形．因为Ｅ是ＢＣ的中点，所以 ＡＥ⊥ＢＣ．所以∠ＡＥＣ＝９０°．因为∠ＡＥＦ＝６０°，所以∠ＦＥＣ＝ ∠ＡＥＣ－∠ＡＥＦ＝３０°．所以∠ＣＦＥ＝１８０°－∠ＦＥＣ－∠ＥＣＦ ＝３０°．所以∠ＦＥＣ＝∠ＣＦＥ．所以ＥＣ＝ＣＦ．因为ＣＥ＝１２ＢＣ， 所以ＣＦ＝ １２ＣＤ，即Ｆ是ＣＤ的中点． （２）连接ＡＣ，图略．因为△ＡＢＣ是等边三角形，所以ＡＢ＝ ＡＣ，∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°．所以∠ＡＣＦ＝∠ＢＣＤ－∠ＡＣＢ＝ ６０°＝∠Ｂ．因为∠ＥＡＦ＝６０°，所以∠ＢＡＣ－∠ＥＡＣ＝∠ＥＡＦ －∠ＥＡＣ，即∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ．所以△ＡＢＥ≌△ＡＣＦ（ＡＳＡ）．所 以ＡＥ＝ＡＦ．所以△ＡＥＦ是等边三角形．所以∠ＡＥＦ＝６０°．因 为∠ＡＥＦ＋∠ＦＥＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＥ，所以∠ＦＥＣ＝２０°． 附加题　１．（１）因为点Ｅ为ＡＢ的中点，所以ＡＢ＝２ＡＥ＝ ２ＢＥ． 因为ＡＢ＝２ＣＤ，所以ＣＤ＝ＡＥ． 又ＡＥ∥ＣＤ，所以四边形ＡＥＣＤ是平行四边形． 因为ＡＣ平分∠ＤＡＢ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＥＡＣ． 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＤＣＡ＝∠ＣＡＢ． 所以∠ＤＣＡ＝∠ＤＡＣ． 所以                                                                      ＡＤ＝ＣＤ． —４— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期 所以四边形ＡＥＣＤ是菱形． （２）因为四边形ＡＥＣＤ是菱形，∠Ｄ＝１２０°，ＣＤ＝２，所以 ＡＢ＝４，ＣＥ＝ＡＥ＝２，∠ＡＥＣ＝∠Ｄ＝１２０°． 所以ＣＥ＝ＢＥ，∠ＣＥＢ＝１８０°－∠ＡＥＣ＝６０°． 所以∠ＡＣＥ＝∠ＣＡＥ＝３０°，△ＣＥＢ是等边三角形． 所以ＢＣ＝２，∠ＥＣＢ＝６０°． 所以∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＥ＋∠ＥＣＢ＝９０°． 根据勾股定理，得ＡＣ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２３． 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ＝ 槡２３． ２．（１）因为点Ｅ与点Ｆ关于直线 ＣＤ对称，所以ＦＤ＝ＥＤ， ＦＧ＝ＥＧ，∠ＥＤＧ＝∠ＦＤＧ． 因为ＥＧ∥ＡＦ，所以∠ＥＧＤ＝∠ＦＤＧ． 所以∠ＥＧＤ＝∠ＥＤＧ． 所以ＥＤ＝ＥＧ．所以ＦＤ＝ＥＤ＝ＦＧ＝ＥＧ． 所以四边形ＤＥＧＦ是菱形． （２）连接ＦＣ，ＥＣ，图略． 因为∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，所以∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０°． 所以ＡＦ∥ＣＢ． 因为ＡＦ＝ＢＣ＝８，所以四边形ＡＢＣＦ是平行四边形． 所以ＣＦ＝ＡＢ＝１０． 根据轴对称的性质，得ＣＥ＝ＣＦ＝１０． 根据勾股定理，得ＢＥ＝ ＣＥ２－ＢＣ槡 ２ ＝６． 所以ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝４． 在Ｒｔ△ＡＤＥ中，根据勾股定理，得ＡＥ２＋ＡＤ２ ＝ＤＥ２，即４２ ＋（８－ＤＦ）２ ＝ＤＦ２． 解得ＤＦ＝５． 所以Ｓ四边形ＤＥＧＦ ＝ＤＦ·ＡＥ＝２０． ３２期２版 １８．２特殊的平行四边形（正方形） １８．２．３．１正方形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１１５． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ， ∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°．因为ＡＥ＝ＡＦ，所以ＡＢ－ＡＥ＝ＡＤ－ＡＦ，即 ＢＥ＝ＤＦ．所以△ＢＣＥ≌△ＤＣＦ（ＳＡＳ）．所以ＣＥ＝ＣＦ．因为点 Ｍ是ＥＦ的中点，所以ＣＭ⊥ＥＦ． ５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是边长为１的正方形，所以ＡＤ＝ ＣＤ＝１，∠Ｄ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ．所以∠ＤＡＥ＝∠Ｆ．因为ＡＥ平 分∠ＣＡＤ，所以∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ．所以∠ＣＡＥ＝∠Ｆ．根据勾股 定理，得ＣＦ＝ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝槡２． （２）过点Ｅ作ＥＧ⊥ＡＣ于点Ｇ，图略．所以∠ＥＧＡ＝∠ＥＧＣ ＝９０°．因为 ＡＥ平分 ∠ＣＡＤ，所以 ＥＤ＝ＥＧ．在 Ｒｔ△ＡＤＥ和 Ｒｔ△ＡＧＥ中， ＡＥ＝ＡＥ， ＥＤ＝ＥＧ{ ，所以Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＡＧＥ（ＨＬ）．所以 ＡＤ＝ＡＧ＝１．所以ＣＧ＝ＡＣ－ＡＧ＝槡２－１．因为四边形ＡＢＣＤ 是正方形，所以∠ＡＣＤ＝４５°．所以∠ＣＥＧ＝９０°－∠ＧＣＥ＝ ４５°．所以ＥＧ＝ＣＧ．根据勾股定理，得ＣＥ＝ ＥＧ２＋ＣＧ槡 ２ ＝２ －槡２． 能力提高　６．槡４２． ７．连接 ＢＦ，图略．根据题意，得 ∠ＥＡＦ＝９０°，∠ＡＦＥ＝ ∠ＡＥＦ＝４５°，ＡＦ＝ＡＥ＝４．根据勾股定理，得ＥＦ２＝ＡＦ２＋ＡＥ２ ＝３２．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＢ＝ＡＤ，∠ＤＡＢ＝ ９０°．所以 ∠ＥＡＦ－∠ＤＡＦ＝∠ＤＡＢ－∠ＤＡＦ，即 ∠ＥＡＤ＝ ∠ＦＡＢ．在△ＡＤＥ和△ＡＢＦ中， ＡＤ＝ＡＢ， ∠ＥＡＤ＝∠ＦＡＢ， ＡＥ＝ＡＦ { ， 所以△ＡＤＥ ≌△ＡＢＦ（ＳＡＳ）．所以ＤＥ＝ＢＦ＝２，∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＢ＝４５°． 所以∠ＢＦＥ＝∠ＡＦＢ＋∠ＡＦＥ＝９０°．根据勾股定理，得ＢＥ＝ ＥＦ２＋ＢＦ槡 ２ ＝６． １８．２．３．２正方形的判定 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．不一定． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＯＡ＝１，所以 ＯＢ＝１．因为 ＡＢ＝槡２，所以ＯＡ ２＋ＯＢ２＝ＡＢ２．所以∠ＡＯＢ＝９０°．所以ＡＣ⊥ ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＡＢＣ＝９０°．因为 ＢＥ ⊥ＥＦ，所以 ∠ＢＥＦ＝９０°．因为 ∠ＡＢＥ＋∠ＣＥＦ＝４５°，所以 ∠ＣＥＢ＋∠ＣＢＥ＝∠ＢＥＦ－∠ＣＥＦ＋∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝１８０° －（∠ＣＥＦ＋∠ＡＢＥ）＝１３５°．所以∠ＢＣＥ＝１８０°－（∠ＣＥＢ＋ ∠ＣＢＥ）＝４５°．所以∠ＢＡＣ＝９０°－∠ＢＣＥ＝４５°．所以ＡＢ＝ ＢＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ６．（１）因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ，所以∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ．又ＡＢ ＝ＣＢ，ＢＤ＝ＢＤ，所以△ＡＢＤ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ）．所以∠ＡＤＢ＝ ∠ＣＤＢ． （２）因为ＰＭ∥ＣＤ，ＰＮ∥ＡＤ，所以四边形ＭＰＮＤ是平行 四边形，∠ＭＰＤ＝∠ＮＤＰ．所以∠ＭＰＤ＝∠ＭＤＰ．所以ＰＭ＝ ＤＭ．所以四边形 ＭＰＮＤ是菱形．所以当 ＭＮ＝ＰＤ时，四边形 ＭＰＮＤ是正方形． 能力提高　７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ．因为ＡＣ∥ＤＥ，所以四边形ＡＣＥＤ是平行四 边形．所以ＡＤ＝ＣＥ．所以ＢＣ＝ＣＥ． （２）因为四边形ＡＣＥＤ是平行四边形，所以ＣＤ＝２ＣＦ．因 为ＡＤ＝２ＣＦ，所以ＡＤ＝ＣＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形．因为 ＡＤ∥ＥＣ，所以∠ＤＡＦ＝∠ＦＥＢ．因为 ∠ＤＡＦ＝∠ＦＢＥ，                                                                      所以 —５— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期 ∠ＦＢＥ＝∠ＦＥＢ．所以ＦＢ＝ＦＥ．因为ＢＣ＝ＣＥ，所以ＦＣ⊥ＢＥ． 所以∠ＢＣＦ＝９０°．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ３２期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ 二、９．１３５°；　１０．槡６；　１１．答案不惟一，如ＡＣ＝ＢＤ； １２． 槡１５２；　１３．８；　１４．槡６２或 槡４５＋ 槡２２． 三、１５．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ ＝４５°．因为 ＢＥ＝ＢＤ，所以 ∠ＢＤＥ＝∠Ｅ＝ １２（１８０°－ ∠ＥＢＤ）＝６７．５°．所以∠ＥＤＡ＝∠ＢＤＥ－∠ＡＤＢ＝２２．５°． １６．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ｂ＝∠ＤＡＢ＝ ∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＦ＝９０°．因为ＡＦ⊥ＤＥ，所以∠ＡＧＤ＝９０°．所以 ∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＦ＝９０°．所以 ∠ＢＡＦ＝∠ＡＤＥ．在 △ＡＢＦ和 △ＤＡＥ中， ∠Ｂ＝∠ＥＡＤ， ∠ＢＡＦ＝∠ＡＤＥ， ＡＦ＝ＤＥ { ， 所以△ＡＢＦ≌△ＤＡＥ（ＡＡＳ）．所 以ＡＢ＝ＤＡ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． １７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＦ ＝４５°，ＡＤ＝ＢＣ．在△ＡＤＥ和△ＣＢＦ中， ＡＤ＝ＣＢ， ∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＦ， ＡＥ＝ＣＦ { ， 所 以△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ（ＳＡＳ）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＢＡＤ＝９０°，ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ．因为 ＡＢ＝ＡＤ＝４，所以 ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ ＝ 槡４２＝ＡＣ．所以ＯＡ＝ＯＢ＝ 槡２２．因为ＡＥ＝ ＣＦ＝槡２，所以ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝ＯＣ－ＣＦ＝ＯＦ＝槡２．所以四 边形ＢＥＤＦ为菱形，ＤＥ＝ ＯＤ２＋ＯＥ槡 ２ ＝槡１０．所以四边形 ＢＥＤＦ的周长为：４ＤＥ＝ 槡４ １０． １８．（１）因为四边形ＡＢＣＤ和 ＣＥＦＧ都是正方形，所以 ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝∠ＡＤＣ＝９０°，ＧＣ＝ＣＥ＝ ＥＦ＝ＦＧ，∠Ｅ＝∠ＣＧＦ＝９０°．所以∠ＡＤＨ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝ ９０°，∠ＨＧＦ＝１８０°－∠ＣＧＦ＝９０°．因为ＤＨ＝ＣＥ＝ＢＫ，所以 ＨＧ ＝ ＫＥ ＝ ＡＢ．所 以 △ＡＤＨ≌ △ＡＢＫ≌ △ＫＥＦ≌ △ＨＧＦ（ＳＡＳ）．所以ＡＨ＝ＡＫ＝ＫＦ＝ＨＦ，∠ＤＡＨ＝∠ＢＡＫ．所 以四边形ＡＫＦＨ是菱形，∠ＫＡＨ＝∠ＤＡＨ＋∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＫ＋ ∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＤ＝９０°．所以四边形ＡＫＦＨ是正方形． （２）连接ＡＥ，图略．因为四边形 ＡＫＦＨ的面积为１０，所以 ＫＦ＝槡１０．因为ＣＥ＝１，所以ＢＫ＝ＥＦ＝１．根据勾股定理，得 ＫＥ＝ ＫＦ２－ＥＦ槡 ２ ＝３．所以ＡＢ＝ＫＥ＝３，ＢＥ＝ＢＫ＋ＫＥ＝ ４．所以点Ａ，Ｅ之间的距离为：ＡＥ＝ ＡＢ２＋ＢＥ槡 ２ ＝５． 附加题　１．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＢＣ ＝９０°． 所以∠ＥＢＧ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝９０°． 所以平行四边形ＢＥＦＧ是矩形． （２）９０．理由如下： 延长ＧＰ交ＤＣ于点Ｈ，图略． 因为正方形ＡＢＣＤ和平行四边形ＢＥＦＧ，所以ＡＢ∥ＤＣ，ＢＥ ∥ＧＦ，ＤＣ＝ＢＣ． 所以ＤＣ∥ＧＦ． 所以∠ＨＤＰ＝∠ＧＦＰ，∠ＤＨＰ＝∠ＦＧＰ． 因为Ｐ是线段ＤＦ的中点，所以ＤＰ＝ＦＰ． 在△ＤＨＰ和△ＦＧＰ中， ∠ＤＨＰ＝∠ＦＧＰ， ∠ＨＤＰ＝∠ＧＦＰ， ＤＰ＝ＦＰ { ， 所以△ＤＨＰ≌ △ＦＧＰ（ＡＡＳ）． 所以ＨＰ＝ＧＰ，ＤＨ＝ＦＧ． 当∠ＣＰＧ＝９０°时，ＰＧ⊥ＰＣ． 所以ＣＨ＝ＣＧ． 所以ＤＣ－ＣＨ＝ＢＣ－ＣＧ，即ＤＨ＝ＢＧ． 所以ＢＧ＝ＦＧ． 所以平行四边形ＢＥＦＧ是菱形． 由（１）知四边形ＢＥＦＧ是矩形． 所以四边形ＢＥＦＧ是正方形． ２．（１）因为四边形ＡＢＣＤ为矩形，四边形ＥＦＧＨ为菱形，所 以∠Ｄ＝∠Ａ＝９０°，ＨＧ＝ＨＥ． 在Ｒｔ△ＡＨＥ和Ｒｔ△ＤＧＨ中， ＥＨ＝ＨＧ， ＡＨ＝ＤＧ{ ，所以Ｒｔ△ＡＨＥ≌ Ｒｔ△ＤＧＨ（ＨＬ）． 所以∠ＡＥＨ＝∠ＤＨＧ． 因为∠ＡＨＥ＋∠ＡＥＨ＝９０°，所以∠ＡＨＥ＋∠ＤＨＧ＝９０°． 所以∠ＥＨＧ＝９０°． 所以四边形ＥＦＧＨ为正方形． （２）因为ＡＤ＝６，ＤＣ＝７，ＤＧ＝ＡＨ＝２，所以ＤＨ＝ＡＤ－ ＡＨ＝４，ＣＧ＝ＤＣ－ＤＧ＝５． 由勾股定理，得ＨＧ＝ ＤＧ２＋ＤＨ槡 ２ ＝ 槡２５． 因为四边形 ＥＦＧＨ是正方形，所以 ＦＧ＝ 槡２５，∠ＥＦＧ＝ ９０°． 所以∠ＣＦＧ＝１８０°－∠ＥＦＧ＝９０°． 由勾股定理，得ＣＦ＝ ＣＧ２－ＦＧ槡 ２ ＝槡５                                                                      ． —６— 初中数学人教八年级（ＧＤＹ）　第２９～３２期 书 １１．答案不惟 一，如ＡＢ＝ＣＤ； １２．３０°；　１３．６； １４．１０３或１０． 三、１５．因为四 边形 ＡＢＣＤ是平行 四边形，所以 ＯＡ＝ ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ．因为 ＡＥ＝ＣＦ，所以ＯＡ＋ ＡＥ＝ＯＣ＋ＣＦ，即 ＯＥ＝ＯＦ．因为 ＢＧ ＝ＤＨ，所以 ＯＢ－ ＢＧ＝ＯＤ－ＤＨ，即 ＯＧ＝ＯＨ．所以四边 形 ＥＧＦＨ是平行四 边形． １６．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边 形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ， ＡＤ ＝ ＢＣ． 所 以 ∠ＡＥＢ＝∠ＤＡＥ．因 为 ＡＢ ＝ＡＥ，所以 ∠Ｂ＝∠ＡＥＢ．所以 ∠Ｂ ＝ ∠ＤＡＥ．在 △ＡＢＣ和△ＥＡＤ中， ＡＢ＝ＥＡ， ∠Ｂ＝∠ＤＡＥ， ＢＣ＝ＡＤ { ， 所 以 △ＡＢＣ ≌ △ＥＡＤ（ＳＡＳ）． １７．（１）因为 ＢＤ是△ＡＢＣ的角平 分线，所以 ∠ＣＢＤ ＝∠ＥＢＤ．因为 ＥＤ ∥ ＢＣ，所以 ∠ＣＢＤ ＝ ∠ＥＤＢ． 所 以 ∠ＥＢＤ＝∠ＥＤＢ．所 以 ＢＥ ＝ＥＤ．因为 ＢＥ＝ＣＦ，所以 ＥＤ ＝ＣＦ．又ＥＤ∥ＦＣ， 所以四边形 ＥＦＣＤ 是平行四边形． （２）∠ＡＥＦ ＝ １３０°． １８．略． 附加题 １．△ＡＤＥ的周 长为２４． ２．（１）略． （２）ＣＥ＝ 槡８５． 书 ２９期２版 １８．１平行四边形 １８．１．１平行四边形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１．５． ４．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＢ ＝ＣＤ，ＢＣ ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ ＝∠ＡＤＣ．因为 △ＢＣＥ和△ＣＤＦ都是等边三角形，所以 ＣＤ＝ ＤＦ，ＢＣ＝ＢＥ，∠ＥＢＣ＝∠ＣＤＦ＝６０°．所以ＡＢ ＝ＤＦ，ＢＥ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＣ＝∠ＡＤＣ＋ ∠ＣＤＦ，即 ∠ＡＢＥ ＝∠ＦＤＡ．所以 △ＡＢＥ≌ △ＦＤＡ（ＳＡＳ）．所以ＡＥ＝ＡＦ． ５．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形， ∠Ｂ＝６０°，所以ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｄ＝∠Ｂ＝６０°．所 以∠ＢＡＤ＝１８０°－∠Ｂ＝１２０°．因为ＡＥ⊥ＢＣ， ＡＦ⊥ ＣＤ，所以 ∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ＝９０°．所以 ∠ＢＡＥ＝９０°－∠Ｂ＝３０°，∠ＤＡＦ＝９０°－∠Ｄ ＝３０°．所以∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＤ－∠ＢＡＥ－∠ＤＡＦ ＝６０°． （２）因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，ＢＣ ＝６，所以ＡＤ＝ＢＣ＝６．由（１）知∠ＤＡＦ＝３０°． 所以 ＤＦ＝ １２ＡＤ＝３．由勾股定理，得 ＡＦ＝ ＡＤ２－ＤＦ槡 ２ ＝ 槡３３． 能力提高　６．Ｂ． １８．１．２．１平行四边形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．是． ５．因为ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２ ＝２ａｃ＋２ｂｄ，所以 （ａ－ｃ）２＋（ｂ－ｄ）２ ＝０．所以ａ＝ｃ，ｂ＝ｄ．所 以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． ６．由对顶角相等，得 ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ．在 △ＡＯＥ和 △ＣＯＤ中， ∠ＥＡＯ＝∠ＤＣＯ， ＡＯ＝ＣＯ， ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ { ， 所以 △ＡＯＥ≌△ＣＯＤ（ＡＳＡ）．所以ＯＥ＝ＯＤ．所以四 边形ＡＥＣＤ是平行四边形． １８．１．２．２三角形的中位线 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．４． ５．因为Ｐ是ＢＤ的中点，Ｅ是 ＡＢ的中点，Ｆ 是ＣＤ的中点，所以ＰＥ＝１２ＡＤ，ＰＦ＝ １ ２ＢＣ．因 为ＡＤ＝ＢＣ，所以 ＰＥ＝ＰＦ．所以 ∠ＰＦＥ＝ ∠ＰＥＦ＝１８°． ６．因为 ＣＤ是 △ＡＢＣ的中线，所以 ＡＤ＝ ＤＢ．因为ＥＦ＝ＡＥ，所以ＤＥ∥ＢＦ．又ＣＦ∥ＡＢ， 所以四边形ＤＢＦＣ是平行四边形． ２９期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 二、９．１４；　１０．１１８°； 书 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半”这一定理揭示了直角三角形斜边上的中线 与斜边的数量关系，它是研究线段倍分问题的 基础．对于与直角三角形有关或条件中隐含着 直角三角形的证明问题，若能联想到直角三角 形斜边上的中线，通过添加斜边上的中线这条 辅助线，可以理清角与角或线段与线段之间的 关系，从而把题设与结论结合起来，使问题得以 圆满地解决． 例１　如图１，ＡＢ，ＣＤ交于 点Ｅ，ＡＤ＝ＡＥ，ＣＢ＝ＣＥ，Ｆ，Ｇ， Ｈ分别是 ＤＥ，ＢＥ，ＡＣ的中点． 求证：ＦＨ＝ＧＨ． 思路分析：连接 ＡＦ，ＧＣ，如 图１．因为ＡＤ＝ＡＥ，Ｆ是ＤＥ的中点，所以ＡＦ⊥ ＤＦ．由于 Ｈ是 ＡＣ的中点，于是得到 ＦＨ是 Ｒｔ△ＡＦＣ斜边ＡＣ上的中线，所以ＦＨ＝１２ＡＣ．同 理得到ＧＨ＝１２ＡＣ．所以ＦＨ＝ＧＨ． 例２　如图２，已知ＡＣ⊥ ＢＣ于点 Ｃ，ＡＤ∥ ＢＣ，ＢＤ和 ＡＣ交于点 Ｅ，ＡＢ＝１２ＤＥ．求 证：∠ＤＢＣ＝１３∠ＡＢＣ． 思路分析：由于 ＡＢ＝１２ＤＥ，而 １ ２ＤＥ等于 Ｒｔ△ＡＤＥ斜边ＤＥ上的中线长，故添加Ｒｔ△ＡＤＥ 中ＤＥ边上的中线ＡＭ，如图２．于是ＡＭ＝ＡＢ，从 而∠ＡＭＢ＝∠ＡＢＭ．又∠ＡＭＢ＝２∠Ｄ，而∠Ｄ ＝∠ＤＢＣ，所以∠ＡＢＭ＝２∠ＤＢＣ．所以∠ＡＢＣ ＝３∠ＤＢＣ．所以∠ＤＢＣ＝１３∠ＡＢＣ． 例３　如图３，ＡＤ是△ＡＢＣ 的高线，且ＢＤ＝１２ＡＣ，Ｅ是ＡＣ 的中点，连接 ＢＥ，取 ＢＥ的中点 Ｆ，连接ＤＦ．求证：ＤＦ⊥ＢＥ． 思路分析：连接 ＤＥ，如图 ３．因为 ＡＤ是 △ＡＢＣ的高线，Ｅ是 ＡＣ的中点，得到 ＤＥ是 Ｒｔ△ＡＤＣ斜边 ＡＣ上的中线．根据“直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半”，得 ＤＥ ＝ １ ２ＡＣ．由于ＢＤ＝ １ ２ＡＣ，得ＤＥ＝ＢＤ．又Ｆ是ＢＥ 的中点，根据等腰三角形的“三线合一”，得 ＤＦ ⊥ＢＥ． 书 面对矩形求值问 题，根据具体情况的不 同特点，结合数学思想， 可化难为易，捷足先登． 一、方程思想 例１　如图１，矩形 ＡＢＣＤ中，ＤＥ⊥ ＡＣ于 点Ｆ，交 ＢＣ边于点 Ｅ， 已知 ＡＢ＝６，ＡＤ＝８， 则 线 段 ＣＥ 的 长 为 ． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＣＤ ＝ＡＢ＝６，∠ＡＤＣ＝ ∠ＤＣＥ＝９０°．所以ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２＝１０．因为 ＤＥ⊥ＡＣ，所以∠ＣＦＤ＝∠ＣＦＥ＝９０°，１２ＡＤ·ＣＤ ＝１２ＡＣ·ＤＦ．所以ＤＦ＝ ＡＤ·ＣＤ ＡＣ ＝４．８．所以ＣＦ ＝ ＣＤ２－ＤＦ槡 ２ ＝３．６．在Ｒｔ△ＣＤＥ中，ＣＤ２＋ＣＥ２ ＝ＤＥ２，即６２＋ＥＦ２＋３．６２＝（４．８＋ＥＦ）２．解得ＥＦ ＝２．７．所以ＣＥ＝ ＥＦ２＋ＣＦ槡 ２ ＝４．５． 故填４．５． 二、分类讨论思想 例２　在矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ和ＢＤ相 交于点Ｏ，过点Ｂ作ＡＣ的垂线，垂足为Ｅ，若ＡＣ ＝１０，ＯＥ＝３，则线段ＢＣ的长为 ． 解：①如图２，当点Ｅ在线段ＯＡ上时，因为 四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＡＣ＝１０，所以 ＯＢ＝ＯＣ ＝１２ＡＣ＝５．因为ＢＥ⊥ＡＣ，ＯＥ＝３，所以ＢＥ＝ ＯＢ２－ＯＥ槡 ２ ＝４，ＣＥ＝ＯＣ＋ＯＥ＝８．所以ＢＣ ＝ ＢＥ２＋ＣＥ槡 ２ ＝４槡５． ②如图３，当点Ｅ在线段ＯＣ上时，因为四边 形ＡＢＣＤ是矩形，ＡＣ＝１０，所以 ＯＢ＝ＯＣ＝ １ ２ＡＣ＝５．因为ＢＥ⊥ ＡＣ，ＯＥ＝３，所以 ＢＥ＝ ＯＢ２－ＯＥ槡 ２ ＝４，ＣＥ＝ＯＣ－ＯＥ＝２．所以ＢＣ ＝ ＢＥ２＋ＣＥ槡 ２ ＝２槡５． 故填２槡５或４槡５． 三、整体思想 例３　如图４，在平行四边 形ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｆ，Ｇ分别在 边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ上，且ＢＥ＝ＢＦ， ＣＦ＝ＣＨ．求证：ＥＦ⊥ＦＧ． 证明：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所 以ＡＢ∥ＣＤ．所以∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°．因为ＢＥ＝ ＢＦ，ＣＦ＝ＣＧ，所以∠ＢＥＦ＝∠ＢＦＥ＝１２（１８０° －∠Ｂ），∠ＣＦＧ＝∠ＣＧＦ＝１２（１８０°－∠Ｃ）．所 以∠ＥＦＧ＝１８０°－（∠ＢＦＥ＋∠ＣＦＧ）＝１８０° －［１２（１８０°－∠Ｂ）＋ １ ２（１８０°－∠Ｃ）］＝９０°． 所以ＥＦ⊥ＦＧ． 书 主线一、有一个角是直角的平行四边形是 矩形 例１　如图１，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°， ＡＢ ＝ＣＤ，求证：四边形 ＡＢＣＤ是矩形． 证明：连接 ＢＤ，如图１． 在Ｒｔ△ＡＢＤ和 Ｒｔ△ＣＤＢ中， ＢＤ＝ＤＢ， ＡＢ＝ＣＤ{ ，所以 Ｒｔ△ＡＢＤ≌Ｒｔ△ＣＤＢ（ＨＬ）．所以 ＡＤ＝ＣＢ．所 以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．因为∠Ａ＝９０°， 所以四边形ＡＢＣＤ是矩形． 主线二、对角线相等的平行四边形是矩形 例 ２　 如 图 ２， 在 ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＢＣ的中点， 连接 ＡＥ并延长交 ＤＣ的延 长线于点Ｆ，连接ＢＦ，ＡＣ，若 ＡＤ＝ＡＦ，求证：四边形ＡＢＦＣ是矩形． 证明：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所 以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ．所以 ∠ＢＡＥ＝∠ＣＦＥ， ∠ＡＢＥ＝∠ＦＣＥ．因为Ｅ为ＢＣ的中点，所以ＥＢ ＝ ＥＣ． 在 △ＡＢＥ 和 △ＦＣＥ 中， ∠ＢＡＥ＝∠ＣＦＥ， ∠ＡＢＥ＝∠ＦＣＥ， ＥＢ＝ＥＣ { ， 所 以 △ＡＢＥ ≌ △ＦＣＥ（ＡＡＳ）．所以 ＡＢ ＝ＣＦ．所以四边形 ＡＢＦＣ是平行四边形．因为ＡＤ＝ＡＦ，所以ＢＣ＝ ＡＦ．所以四边形ＡＢＦＣ是矩形． 主线三、有三个角是直角的四边形是矩形 例３　如图３，在直角三角形ＡＢＣ中，ＡＣ＝２， ＢＣ＝４，Ｐ为斜边ＡＢ上一动点，ＰＥ ⊥ＢＣ于点Ｅ，ＰＦ⊥ＣＡ于点Ｆ，则 线段ＥＦ长的最小值为 （　　） Ａ．槡５　　　　　Ｂ．２ Ｃ．４槡５５ Ｄ． ３ ２ 解：连接 ＰＣ，如图４．因为 ＰＥ ⊥ ＢＣ，ＰＦ⊥ ＣＡ，所以 ∠ＰＥＣ＝ ∠ＰＦＣ＝９０°．又∠ＡＣＢ＝９０°，所 以四边形 ＥＣＦＰ是矩形．所以 ＥＦ ＝ＰＣ．所以当 ＣＰ⊥ ＡＢ时，ＰＣ的 长最小，ＥＦ的长也最小．因为 ＡＣ ＝２，ＢＣ＝４，所以ＡＢ＝ ２２＋４槡 ２ ＝２槡５．因为 １ ２ＡＣ·ＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＰＣ，所以ＰＣ＝ ＡＣ·ＢＣ ＡＢ ＝ ４槡５ ５．所以线段ＥＦ长的最小值为 ４槡５ ５． 故选Ｃ． 书 矩形是特殊的平行四边形，在有关矩形的 求值问题中，涉及到众多知识点，下面选取几例 加以说明，供同学们参考． 一、矩形和坐标 例 １　 如图 １，在矩形 ＯＡＢＣ中，点Ｂ的坐标是（１，３）， 则Ａ，Ｃ两点之间的距离是 （　　） Ａ．４　　　　　Ｂ．槡１３ Ｃ．槡１０ Ｄ．２槡２ 解：连接ＡＣ，ＯＢ，图略． 因为 Ｂ（１，３），所以 ＯＢ ＝ １２＋３槡 ２ ＝ 槡１０． 因为四边形ＯＡＢＣ是矩形，所以ＡＣ＝ＯＢ＝ 槡１０． 故选Ｃ． 二、矩形和勾股定理 例 ２　 如图 ２，在矩形 ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交 于点Ｏ，点Ｅ，Ｆ分别是ＡＯ，ＡＤ 的中点，连接ＥＦ，ＡＢ＝６ｃｍ， ＢＣ＝８ｃｍ，则ＥＦ的长是 （　　） Ａ．２．２ｃｍ 　　　Ｂ．２．３ｃｍ Ｃ．２．４ｃｍ 　　　Ｄ．２．５ｃｍ 解：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＤ＝ＡＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＡＢ＝６ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍ， 由勾股定理，得 ＡＣ ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ １０ｃｍ． 所以ＢＤ＝１０ｃｍ． 所以ＯＤ＝１２ＢＤ＝５ｃｍ． 因为点Ｅ，Ｆ分别是ＡＯ，ＡＤ的中点， 所以ＥＦ＝１２ＯＤ＝２．５ｃｍ． 故选Ｄ． 三、矩形和折叠 例３　如图３，将矩形纸 片ＡＢＣＤ沿ＢＥ折叠，使点Ａ 落在对角线ＢＤ上的Ａ′处．若 ∠ＤＢＣ＝２４°，则 ∠Ａ′ＥＢ等 于 （　　） Ａ．６６° 　　　Ｂ．６０° Ｃ．５７° 　　　Ｄ．４８° 解：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以∠Ａ＝∠ＡＢＣ＝９０°． 由折叠的性质，得 ∠ＢＡ′Ｅ＝∠Ａ＝９０°， ∠Ａ′ＢＥ＝∠ＡＢＥ． 因为∠ＤＢＣ＝２４°，所以∠Ａ′ＢＥ＝∠ＡＢＥ ＝１２（∠ＡＢＣ－∠ＤＢＣ）＝３３°． 所以∠Ａ′ＥＢ＝９０°－∠Ａ′ＢＥ＝５７°． 故选Ｃ． 四、矩形和全等三角形 例４　 如图 ４，ＥＦ过矩 形ＡＢＣＤ对角线的交点Ｏ，且 分别交ＡＢ，ＣＤ于点 Ｅ，Ｆ，若 矩形ＡＢＣＤ的面积是１２，那 么 阴 影 部 分 的 面 积 是 ． 解：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以ＡＢ∥ＣＤ，ＯＡ＝ＯＣ． 所以∠ＥＡＯ＝∠ＦＣＯ． 由对顶角相等，得∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ． 在△ＡＯＥ和△ＣＯＦ中， ∠ＥＡＯ＝∠ＦＣＯ， ＯＡ＝ＯＣ， ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ { ， 所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ（ＡＳＡ）． 所以Ｓ△ＡＯＥ ＝Ｓ△ＣＯＦ． 所以Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＢＥＯ ＋Ｓ△ＣＯＦ ＝Ｓ△ＢＥＯ ＋Ｓ△ＡＯＥ ＝Ｓ△ＡＯＢ ＝ １ ４Ｓ矩形ＡＢＣＤ ＝３． 故填３． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " # $ % & ! ! & !" ' $ % ! " ( & % ) * + ! # * # + ! $ & % ! ! * # &! $ & % ! $ * ! # + % $ & ! " * # % & ! # & !* ' $ % ! $ " !" # $ " %& #'( !"#$ % & !"#$!"#% &' !!""( "#"$ " ") !"*+,(- ' ( !" $ )*+,- ./01234567 892:;<=>?@4 %$&#'&!(#!)* 89AB;<=>?@4 %$&#'&!(#!"# D"˜™RYš› D"˜R}œžŸ ¡¢š£ TUAV<=;2 V¤]¥¦§ m¨©ª«¬;2­O]!"#$%&'()(*b+® Z¯°O],-.-/0 #*+! ±²³´µ0¶·b̧ ·® Y¹º»]#+!"#$%&'()*+ ,-./ 0123456789:;<= >*?@+ !+!"ABCB$DEFGH<()+ ¼½¾¿]IJ#$*K9L E$<MN*OP! * % , $ - ! & . ! # / # * $ & % ! ! * # % $ ! & ! $ "!D& À Á *$ ! # & % ! # * # + $ % & ! ! ! $ % * + $ & # " ! Â Ã Ä Å Â !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! # , * ! % $ & ! " bÍÎ % 2ÏÐËÌ® bÑÒ -Ó% 2XÔ® 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１，两条公路ＡＣ，ＢＣ互相垂直，公路ＡＢ 的中点 Ｍ与点 Ｃ被湖隔开，若测得 ＡＢ的长为 １０ｋｍ，则Ｍ，Ｃ两点间的距离为 （　　） Ａ．５ｋｍ Ｂ．１０ｋｍ 槡 槡Ｃ．５２ｋｍ Ｄ．５３ｋｍ ２．两个矩形的位置如图 ２所示，若 ∠１＝ １２０°，则∠２＝ （　　） Ａ．３０° Ｂ．７５° Ｃ．６０° Ｄ．１５０° ３．如图３，四边形ＡＢＣＤ的对角线互相平分，要 使它成为矩形，那么需要添加的条件是 （　　） Ａ．ＡＢ＝ＢＣ Ｂ．ＡＣ⊥ＢＤ Ｃ．∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ Ｄ．ＡＣ＝ＢＤ ４．如图４，将四根木条用钉子钉成一个矩形框 架ＡＢＣＤ，然后向左扭动框架，观察所得四边形的 变化，下面判断错误的是 （　　） Ａ．四边形ＡＢＣＤ由矩形变为平行四边形 Ｂ．对角线ＢＤ的长度减小 Ｃ．四边形ＡＢＣＤ的面积不变 Ｄ．四边形ＡＢＣＤ的周长不变 ５．如图５，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＥ⊥ＡＣ，Ｄ 是ＡＢ的中点，ＤＥ＝ＢＥ，则∠Ｃ的度数是 （　　） Ａ．６５° Ｂ．７０° Ｃ．７５° Ｄ．８０° ６．如图６，Ａ，Ｂ为５×５的正方形网格中的格 点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此 图中以Ａ，Ｂ为顶点的格点矩形共可以画出（　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ７．如图７，∠ＡＯＢ＝９０°，ＯＣ平分 ∠ＡＯＢ，ＰＥ ⊥ＯＡ于点Ｅ，ＰＦ⊥ＯＣ于点Ｆ，ＰＧ⊥ＯＢ于点Ｇ， 则 ＯＥ＋ＯＧ ＯＦ 的值是 （　　） 槡 槡Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．２ Ｄ．３ ８．如图８，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ为ＣＤ边的中 点，连接ＡＥ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＥ交ＢＣ于点Ｆ，连接 ＡＦ．若∠ＢＡＦ＝α，则∠ＥＦＣ的度数是 （　　） Ａ．α Ｂ．４５°＋α２ Ｃ．４５°－α２ Ｄ．９０°－α 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．如图９，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于 点Ｏ，∠ＡＯＢ＝７０°，则∠ＡＣＢ的大小为 ． １０．如图１０，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ在ＢＣ 边上，ＤＦ∥ＡＢ，ＤＥ∥ＡＣ，则当∠Ｂ＝ ° 时，四边形ＡＥＤＦ是矩形． １１．如图１１，矩形ＡＢＣＤ的对角线相交于点Ｏ， 过点Ｏ的直线分别交ＡＤ，ＢＣ于点Ｅ，Ｆ，若ＡＢ＝３， ＢＣ＝４，则图中阴影部分的面积为 ． １２．如图１２，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ是边ＡＤ上一 点，Ｆ，Ｇ分别是 ＢＥ，ＣＥ的中点，连接 ＡＦ，ＤＧ，ＦＧ． 若ＡＦ＝３，ＤＧ＝４，ＦＧ＝５，则矩形ＡＢＣＤ的面积 为 ． １３．如图１３，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ，ＡＤ为ＢＣ上的高线，Ｅ为ＡＢ边 上一点，ＥＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，交ＣＡ的 延长线于点Ｇ．已知ＥＦ＝２，ＥＧ＝ ３，则ＡＤ的长为 ． １４．矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝８， ＡＤ＝７，点Ｅ在 ＡＢ边上，ＡＥ＝５．若点 Ｐ是矩形 ＡＢＣＤ边上一点，且与点 Ａ，Ｅ构成以 ＡＥ为腰的等 腰三角形，则等腰△ＡＥＰ的底边长是 ． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（８分）如图１４，在ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＡＣ ＝１０，ＡＤ＝８．求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形． １６．（１０分）如图１５，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＡＢ 的中点，连接ＣＥ并延长，交ＤＡ的延长线于点Ｆ． （１）求证：△ＡＥＦ≌△ＢＥＣ； （２）若ＣＤ＝４，∠Ｆ＝３０°，求ＣＦ的长． １７．（１２分）如图 １６，矩形 ＡＢＣＤ≌ 矩形 ＡＥＦＧ，点Ｅ在ＢＤ上，ＥＦ与ＡＤ相交于点 Ｈ，连接 ＡＦ．若ＡＢ＝１，ＢＣ＝２，求ＡＨ的长． １８．（１４分）如图１７，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， ＡＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，ＡＮ是 △ＡＢＣ外角 ∠ＣＡＭ的平分线，ＣＥ⊥ＡＮ，垂足为点Ｅ． （１）求证：四边形ＡＤＣＥ为矩形； （２）连接 ＤＥ，交 ＡＣ于点 Ｆ，请判断四边形 ＡＢＤＥ的形状，并证明； （３）线段ＤＦ与ＡＢ有怎样的关系？请直接写出 你的结论． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（８分）如图１，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ＣＥ∥ＢＤ交ＡＤ的延长线于点Ｅ，ＣＥ＝ＡＣ． （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形； （２）若ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，求四边形ＢＣＥＤ的周 长． ２．（１２分）如图２，将矩形纸片ＡＢＣＤ折叠，使 点Ｂ与点Ｄ重合，点Ａ落在点Ｐ处，折痕为ＥＦ． （１）求证：△ＰＤＥ≌△ＣＤＦ； （２）若ＣＤ＝４，ＥＦ＝５，求ＢＣ的长                                                                                                                                                                       ． 书 １８．２特殊的平行四边形（矩形） １８．２．１．１矩形的性质 　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１，点Ｏ为矩形ＡＢＣＤ对角线ＡＣ与ＢＤ 的交点，若ＡＣ＝６，则ＢＤ的长为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．６ ２．如图２，矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ交于 点Ｏ，Ｅ为ＡＢ的中点，连接ＯＥ，若∠ＡＣＤ＝３０°， 则∠ＡＯＥ＝ （　　） Ａ．３０° Ｂ．４０° Ｃ．５０° Ｄ．６０° ３．“美丽乡村”建设使我市 农村住宅旧貌变新颜，如图３所 示为一农村民居侧面截图，屋坡 ＡＦ，ＡＧ分别架在墙体的点 Ｂ，Ｃ 处，且 ＡＢ ＝ＡＣ，侧面四边形 ＢＤＥＣ为矩形．若测得 ∠ＦＢＤ ＝５５°，则 ∠Ａ＝ °． ４．如图４，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ在ＢＣ边上， ＡＥ＝ＡＤ，ＤＦ⊥ＡＥ，垂足为Ｆ． （１）求证：ＤＦ＝ＡＢ； （２）若∠ＦＤＣ＝３０°，且ＡＢ＝４，求ＡＤ的长． ５．如图 ５，在矩形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝８，点 Ｅ在边 ＢＣ上，若 ＥＡ平分 ∠ＢＥＤ，则 ＥＣ＝ ． ６．如图６，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是边ＡＢ， ＣＤ上的点，ＡＥ＝ＣＦ，连接 ＥＦ，ＢＦ，ＥＦ与对角线 ＡＣ交于点Ｏ，且ＢＥ＝ＢＦ，∠ＢＥＦ＝２∠ＢＡＣ． （１）求证：ＯＥ＝ＯＦ； （２）若ＢＣ＝２，求ＡＢ的长． １８．２．１．２直角三角形斜边上的中线 １．如图１，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ 是斜边ＡＢ上的中线．若ＣＤ＝４，则ＡＢ的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ ２．如图２，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ为ＢＡ延长线 上一点，Ｆ为ＣＥ的中点，以Ｂ为圆心，ＢＦ长为半径 的圆弧过ＡＤ与ＣＥ的交点Ｇ，连接ＢＧ．若ＡＢ＝４， ＣＥ＝１０，则ＡＧ＝ （　　） Ａ．２ Ｂ．２．５ Ｃ．３ Ｄ．３．５ ３．如图３，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１２，ＢＣ＝８， ＡＤ平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｄ，点Ｅ为ＡＣ的中点， 连接ＤＥ，则△ＣＤＥ的周长是 （　　） Ａ．２０ Ｂ．１２ Ｃ．１６ Ｄ．１３ ４．如图４，Ｏ是矩形ＡＢＣＤ的对角线ＢＤ的中 点，Ｅ是ＡＢ边的中点．若ＡＢ＝１２，ＯＥ＝５２，则线 段ＯＣ的长为 ． ５．如图５，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝４５°，点Ｄ在 ＡＢ上，ＣＤ＝ＣＢ，点Ｅ为ＢＤ的中点，Ｆ为ＡＣ的中 点，连接ＥＦ交ＣＤ于点Ｍ，连接ＡＭ． （１）若ＡＣ＝２，求ＥＦ的长； （２）求线段ＡＭ，ＤＭ，ＢＣ之间的数量关系． １８．２．１．３矩形的判定 １．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要 测量两组对边的长度是否分别相等，还要测量它 们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这 样做的依据是 （　　） Ａ．两组对边分别相等的四边形是矩形 Ｂ．有一个角是直角的平行四边形是矩形 Ｃ．对角线相等的四边形是矩形 Ｄ．对角线相等的平行四边形是矩形 ２．如图１，直角三角形 ＡＢＣ 的面积为４，点Ｄ是斜边ＡＢ的中 点，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＣ于点Ｅ， ＤＦ⊥ ＢＣ于点 Ｆ，则四边形 ＤＥＣＦ的面积为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．２．５ Ｄ．３ ３．如图２，在△ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ，ＡＣ的 中点，点Ｆ，Ｇ在边ＢＣ上，且ＤＧ＝ＥＦ．只需添加一 个条件即可证明四边形 ＤＦＧＥ是矩形，这个条件 可以是 （写出一个即可）． ４．如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｏ是ＢＣ 的中点，ＣＥ∥ＯＡ，ＡＥ∥ＢＣ，连接ＯＥ，若ＯＡ＝５， ＢＣ＝２４，则ＯＥ的长为 ． ５．如图４，Ｅ，Ｆ是四边形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ 上的两点，且 ＡＦ＝ＣＥ，ＢＥ＝ＤＦ，ＢＥ∥ ＤＦ．若 ∠ＢＡＤ＝９０°，求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形． ６．如图 ５，在矩形 ＡＢＣＤ 中，Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，ＡＤ上的动 点，Ｐ是线段ＥＦ的中点，ＰＧ⊥ ＢＣ，ＰＨ⊥ ＣＤ，Ｇ，Ｈ为垂足，连 接ＧＨ．若 ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，ＥＦ ＝２，则ＧＨ的最小值是 ． ７．如图６，四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ａ＝ ∠Ｄ＝９０°，点Ｅ是ＡＤ的中点，连接ＢＥ，将△ＡＢＥ 沿ＢＥ折叠后得到△ＧＢＥ，且点Ｇ在四边形ＡＢＣＤ 内部，延长ＢＧ交ＤＣ于点Ｆ，连接ＥＦ． （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形； （２）若ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，求ＤＦ的长 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! !"#$% " !"#&' () !"*+,)- ./0123456 () !"78,)- 9/012345: ;<&=>?#$%&@@ABC ! 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