《数理报》高考数学信息优化卷(六)——概率与统计-【数理报】2025年高考数学专项提分

! " # $ % & ' " ( ) & * + , - . / 0 1 2 3 4 5 6 7 8 书 第Ⅰ卷 选择题 （共５８分） 一、单项选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．有下列一组数据：２，１７，３３，１５，１１，４２，３４，１３，２２，则这组数据 的下四分位数是 （　　） （Ａ）３３ （Ｂ）２２ （Ｃ）１３ （Ｄ）１１ ２．根据分类变量ｘ与ｙ的成对样本数据，计算得χ２ ＝２８２６，依 据α＝００５的独立性检验，结论为 （　　） 参考值： α ０．１ ０．０５ ０．０１ ｘα ２．７０６ ３．８４１ ６．６３５ （Ａ）ｘ与ｙ不独立 （Ｂ）ｘ与ｙ不独立，这个结论犯错误的概率不超过０．０５ （Ｃ）ｘ与ｙ独立 （Ｄ）ｘ与ｙ独立，这个结论犯错误的概率不超过０．０５ ３．故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最 美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入 在角楼的设计之中．中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴 数”，９的整数倍称为“吉数”．若从１，３，５，７，９这五个阳数，２，４，６，８ 这四个阴数中各取一个数组成两位数，则这个两位数恰好是“吉数” 的概率为 （　　） （Ａ）１５ （Ｂ） ９ ２０ （Ｃ） ３ １０ （Ｄ） １ ４ ４． (在二项式 ６槡ｘ＋１３ 槡 )ｘ ６ 的展开式中，把所有的项进行排列，则 有理项互不相邻的排列方案有 （　　） （Ａ）Ａ７７种 （Ｂ）Ａ ４ ４Ａ ３ ５种 （Ｃ）Ａ ４ ４Ａ ３ ４种 （Ｄ）Ａ ３ ３Ａ ４ ４种 ５．如图１所示，已知一质点在外力的作用下，从原点 Ｏ出发，每 次向左移动的概率为 ３ ４，向右移动的概率为 １ ４．若该质点每次移动 一个单位长度，设经过５次移动后，该质点位于Ｘ的位置，则Ｐ（Ｘ＞ ０）＝ （　　） （Ａ）５０２４３ （Ｂ） １７ ５１２ （Ｃ） ５３ ５１２ （Ｄ） １７ ８１ ６．２０２４海峡两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华·福 建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德福安隆重开幕．海峡 两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两 岸情．在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午１０点 开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，之后每过一个小时反馈一 次．指挥中心统计了前５次的数据（ｉ，ｙｉ），其中 ｉ＝１，２，３，４，５，ｙｉ为 第ｉ次入口人流量数据（单位：百人），由此得到ｙ关于ｉ的回归方程 ｙ^＝ｂ^ｌｏｇ２（ｉ＋１）＋５．已知ｙ＝９，根据回归方程（参考数据：ｌｏｇ２３≈ １６，ｌｏｇ２５≈２３），可顶测下午４点时入口游客的人流量为 （　　） （Ａ）９．６ （Ｂ）１１．０ （Ｃ）１１．３ （Ｄ）１２．０ ７．２０２４年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天 通过的小汽车数Ｘ（单位：辆）均服从正态分布Ｎ（６００，σ２）．若Ｐ（５００ ＜Ｘ≤７００）＝０６，假设三个收费口均能正常工作，则这三个收费口 每天通过的小汽车数至少有一个超过７００辆的概率为 （　　） （Ａ） １１２５ （Ｂ） １２ １２５ （Ｃ） ６１ １２５ （Ｄ） ６４ １２５ ８．现有编号为１，２，３的三个口袋，其中１号口袋内装有两个１号 球，一个２号球和一个３号球；２号口袋内装有两个１号球，一个３号 球；３号口袋内装有三个１号球，两个２号球．第一次先从１号口袋内 随机抽取１个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该 口袋中任取一个球，下列说法不正确的是 （　　） （Ａ）在第一次抽到３号球的条件下，第二次抽到１号球的概率 是 １ ２ （Ｂ）第二次取到１号球的概率是１９３０ （Ｃ）如果第二次取到１号球，则它来自１号口袋的概率最大 （Ｄ）如果将５个不同的小球放入这３个口袋内，每个口袋至少 放１个，则不同的分配方法有１５０种 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分． ９．下列说法正确的是 （　　） （Ａ）对于独立性检验，随机变量χ２的值越小，判定“两变量有关 系”犯错误的概率越大 （Ｂ）在经验回归方程 ｙ^＝－０６ｘ＋２中，当解释变量ｘ每增加１ 个单位时，响应变量 ｙ^增加０．６个单位 （Ｃ）数据ａ１，ａ２，ａ３，……，ａｎ的方差为Ｍ，则数据３ａ１＋１，３ａ２＋ １，３ａ３＋１，……，３ａｎ＋１的标准差为３槡Ｍ （Ｄ）在回归分析中，决定系数Ｒ２是用来刻画拟合效果的，现算 得某模型中Ｒ２ ＝０８５，则说明该模型的拟合效果较好 １０．某次数学考试后，为分析学生 的学习情况，某校从某年级中随机抽 取了１００名学生的成绩，整理得到如图 ２所示的频率分布直方图．为进一步分 析高分学生的成绩分布情况，计算得 到这１００名学生中，成绩位于［８０，９０） 内的学生成绩方差为１２，成绩位于［９０，１００］内的学生成绩方差为 １０．则 （　　） （Ａ）ａ＝０００４ （Ｂ）估计该年级学生成绩的中位数约为７７．１４ （Ｃ）估计该年级成绩在８０分及以上的学生成绩的平均数为８７．５０ （Ｄ）估计该年级成绩在８０分及以上的学生成绩的方差为３０．２５ １１．甲乙两人进行围棋比赛，共比赛２ｎ（ｎ∈Ｎ＋）局，且每局甲获 胜的概率和乙获胜的概率均为 １ ２．如果某人获胜的局数多于另一人， 则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为Ｐ（ｎ），则 （　　） （Ａ）Ｐ（２）＝５１６ （Ｂ）Ｐ（３）＝ １１ １６ （Ｃ）Ｐ（ｎ）＝ (１２ １－ Ｃｎ２ｎ ２２ )ｎ （Ｄ）Ｐ（ｎ）的最小值为 １ ４ 第Ⅱ卷 非选择题 （共９２分） 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．多项式（２ａ－ｂ）２（ａ＋ｂ）８的展开式中，ａ３ｂ７的系数是 ． １３．设实数ｘ，ｙ（４≤ｘ＜ｙ），满足１，３，４，ｘ，ｙ，ｙ＋２的平均数与 ５０％分位数相等，则数据ｘ，ｙ，ｙ＋２的方差为 ． １４．切比雪夫不等式是１９世纪俄国数学家切比雪夫（１８２１．５～ １８９４．１２）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量 Ｘ，若其数学期望Ｅ（Ｘ）和方差Ｄ（Ｘ）均存在，则对任意正实数ε，有 Ｐ（｜Ｘ－Ｅ（Ｘ）｜＜ε）≥１－Ｄ（Ｘ） ε２ ．根据该不等式可以对事件｜ｘ－ Ｅ（Ｘ）｜＜ε的概率作出估计．在数字通信中，信号是由数字“０”和 “１”组成的序列，现连续发射信号ｎ次，每次发射信号“０”和“１”是 等可能的．记发射信号“１”的次数为随机变量Ｘ，为了至少有９８％的 9 " : $ ; & ' " ( ) & * + , - . / 0 1 2 3 4 5 < 7 8 !"# !"#$%&'()* ! !"#$%&'()* !"#$%&'"( )*+,-./0 !" #" $" %" &" '"" !"(# ) $! #! *! +! $% &' ! + ,- ,* ,+ ,. ) ' + * - ! # ! ' " 书 把握使发射信号“１”的频率在区间（０４，０６）内，估计信号发射次 数ｎ的值至少为 ． 四、解答题：本题共５小题，共７７分． １５．（１３分）２０２４年０３月０４日《人民日报》发表文章《开展全民 健身实现全民健康》，文中提到：体育锻炼要从小抓起．“让孩子们跑 起来”“要长得壮壮的、练得棒棒的”“体育锻炼是增强少年儿童体质 最有效的手段”……．习近平总书记的殷殷嘱托，牢牢印刻在广大教 育工作者和孩子们的心中．某学校为了了解学生体育锻炼的情况， 随机抽取了ｎ名学生，统计了他们每周体育锻炼的时间，作出了频率 分布直方图如图３所示．其中体育锻炼时间在（４，６］内的人数为５０ 人． （１）求ｎ及ａ的值（ａ的取值保留三位小数）； （２）试估计该校学生每周体育锻炼时间的平均值（同一组数据 用该区间的中点值作代表）； （３）以频率估计概率，在该校学生中任取４人，设Ｘ为这４人中 每周体育锻炼时间在（８，１２］内的人数，求Ｘ的分布列及数学期望． １６．（１５分）为促进全面阅读，建设书香校园，鼓励学生参加阅读 活动，某校随机抽查了男、女生各２００名，统计他们在暑假期间每天 阅读时长，并把每天阅读时长超过１小时的记为“阅读达标”，时长不 超过１小时的记为“阅读不达标”，阅读达标与阅读不达标的人数比 为１∶１，阅读达标的女生与男生的人数比为３∶２． （１）完成下面的２×２列联表： 性别 阅读达标情况 阅读达标 阅读不达标 合计 男生 女生 合计 （２）根据上述数据，依据小概率值α＝０．００１的独立性检验，能 否认为“阅读达标情况”与“性别”有关联？ （３）从阅读达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样 的方法抽取５人进行座谈，再从这５人中任选２人，记这２人中男生 人数为Ｘ，求Ｘ的分布列和数学期望． 参考公式：χ２ ＝ ｎ（ａｄ－ｂｃ） ２ （ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ． α ０．１ ０．０５ ０．０１ ０．００５ ０．００１ ｘα ２．７０６ ３．８４１ ６．６３５ ７．８７９ １０．８２８ !"#$ !" %& !"# ! " # $ % & ' " ( ) & * + , - . / 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 " : $ ; & ' " ( ) & * + , - . / 0 1 2 3 4 5 < 7 8 ! " # $ %& %! & !"#$ %&' % () *+ ! &(%!) &(&*) &(&)& ! + 书 （上接第５０版） １７．（１５分）脑机接口，即指在人或动物大脑 与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备 的信息交换．近日埃隆·马斯克宣布，脑机接口 公司Ｎｅｕｒａｌｉｎｋ正在接收第二位植入者申请，该 试验可以实现意念控制手机和电脑．未来１０到 ２０年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经 济价值．为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利 的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人 员，经过调研，得到年收益增量ｙ（单位：亿元）与 研发人员增量ｘ（单位：人）的１０组数据．现用模 型①ｙ＝ｂｘ＋ａ，② 槡ｙ＝ｃ＋ｄｘ分别进行拟合， 由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分 析，得到如图４所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其 中ｔｉ＝ ｘ槡ｉ，ｔ＝ １ １０∑ １０ ｉ＝１ ｔｉ． ｙ ｔ ∑ １０ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）２∑ １０ ｉ＝１ （ｔｉ－ｔ）２∑ １０ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ）（ｘｉ－ｘ）∑ １０ ｉ＝１ （ｙｉ－ｙ）（ｔｉ－ｔ） ７．５ ２．２５ ８２．５０ ４．５０ １２．１４ ２．８８ （１）根据残差图，判断应选择哪个模型；（无 需说明理由） （２）根据（１）中所选模型，求出 ｙ关于 ｘ的 经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增 量超过８亿元，研发人员增量至少多少人？（精确 到１） 附：对于一组具有线性相关关系的数据（ｘ１， ｙ１），（ｘ２，ｙ２），…，（ｘｎ，ｙｎ），其经验回归直线 ｙ^＝ ａ^＋ｂ^ｘ的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ｂ^＝ ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）（ｙｉ－ｙ） ∑ ｎ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ） ２ ，ａ^＝ｙ－ｂ^ｘ． １８．（１７分）甲、乙两人投篮，每次由其中一 人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未 命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何， 甲每次投篮的命中率均为０．６，乙每次投篮的命 中率均为０．８．由抽签确定第１次投篮的人选，第 １次投篮的人是甲、乙的概率各为０．５． （１）求第２次投篮的人是乙的概率； （２）求第ｉ次投篮的人是甲的概率； （３）已知：若随机变量Ｘｉ服从两点分布，且 Ｐ（Ｘｉ＝１）＝１－Ｐ（Ｘｉ＝０）＝ｑｉ，ｉ＝１，２，…， ｎ，则 (Ｅ ∑ ｎ ｉ＝１ Ｘ )ｉ ＝∑ ｎ ｉ＝１ ｑｉ．记前ｎ次（即从第１次 到第ｎ次投篮）中甲投篮的次数为Ｙ，求Ｅ（Ｙ）． １９．（１７分）３名同学去听同时举行的Ａ，Ｂ，Ｃ 课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中１ 个讲座（每个讲座被选择是等可能的）． （１）记选择 Ｂ课外知识讲座的人数为随机 变量Ｘ，求Ｘ的分布列与数学期望； （２）对于两个不相互独立的事件 Ｍ，Ｎ，若 Ｐ（Ｍ） ＞ ０，Ｐ（Ｎ） ＞ ０， 称 ρ（Ｍ，Ｎ） ＝ Ｐ（ＭＮ）－Ｐ（Ｍ）Ｐ（Ｎ） Ｐ（Ｍ）Ｐ（Ｍ）Ｐ（Ｎ）Ｐ（Ｎ槡 ） 为事件 Ｍ，Ｎ的相关 系数． ① 已知 ρ（Ｍ，Ｎ）＞０，证明 Ｐ（Ｍ｜Ｎ）＞ Ｐ（Ｍ）； ②记事件Ｅ＝“Ｂ课外知识讲座有同学选 择”，事件Ｆ＝“至少有两个课外知识讲座有同 学选择”，判断事件Ｅ，Ｆ是否独立，若独立，说明 理由；若不独立，求ρ（Ｅ，Ｆ）． ! " # $ !" !"#$%&'()*+ !" ,- ! " # $ % &' ( ) & ! ! ! ! ! " " " " " " " " " " !! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! "#!" "##" * & ' +& +* $%&'() # *+ ,! ! " * 数理极 参考答案 37 +29)+(-2)×(3+6++30) 所以4。=1+(n-1)×1=n,6.=2×2-4=2 19.解：(1)因为数列6，！是项数为7的“对称数 =0+29x10+(-）x2±2g)x10 (2)解：由(1)可复。 列”，所以65=6，=1 2 2 (2m-1)2-, n为奇数 又因为心，山：，46成批数列 (-2)×3+0)x10。- C。 (3m-2)2-2 (2”+1)(2+i方n为偶数. 则其公比4：会=分 7.解：)因为号+学+学+…+学= ,(2m-1)2,n为奇数， 院以数列6，的7项张次为93.1，了1,3.9 当n≥2时号学+号+…+==(a-1 2女品为数 (2)(1)由，，…，6是单调递增数列， 令Al=G++5+…++ 且数列1c,是“对称数列”并满足16-c1=2, 两式相减得学=-(a-)=2n-1n≥2。 =1×2°+5×22+9×2+…+(4n-3)×2- 可知6，，心是公差为2的等差数列. 即a,=(2m-1)·3,n≥2， +(4n+1)×2 ,…-,是公差为-2的等差数列. 当a=1时，1=3也满足上式， =1×4°+5×4'+9×42+…+(4n-3)×4-+ 所以844=1++…+ 所以数列1a,的通项公式为0。=(2n-)·3 (4n+1)×4°， =2(0+01++02-1）-0 又数列6.|满足6，=0，且6-6.=4-1， 则4=1×4'+5×4+9×4+…+(4n-3) =22025t+×(-2]-202s 2 当n≥2时， ×4°+(4n+1)×4 =-22+4052k-2025, b.=6+(2-6)+(4-)+…+(6,-b) 两式相减得-3A1=1+4+4+…+41-(4m =(4×1-1)+(4×2-1)+…+[4×(m-1)-1] 阴以当=-402=1013时，取得最大值 +1)×4 -4 =4×[1+2+…+(n-1)]-(n-1) 01+6-42 =4×目+n-）xn-山-(m-1) 1-4-(4n+1)×4 (i)因为1c-心，1=2，即e-c.=±2， 丽以c-6.≥-2，即c≥c.-2, 于是61≥6--2≥612-4≥…≥4-2(-1) =(2m-1)(n-1), -号，-4 3 因为数列“，！是对称数列 当n=1时，6，=0也满足上式， 所以=号，2,4 航以84=4+乌+…+ 所以数列1}的通项公式为6。=(2和-1)(n-1) 令B。=61+6+6+…+心 =2(9+0+…+9-)+c 2知·叠-a-(兮） (品() 2(2k-1)0,-2(k-2)(k-1)-2k-1) 所以5=台*6*…+6=0×号+1× =-22+4056k-2028. (）++(品) 因为S4-1=2026,即-2+4056k-2028≤2026 )了2x(传)+4a-x(传八， 解得k≤1或k≥2027，航以k≥2027. 则时=0×（号）广+1x(兮)+2×（兮）】 当4，…，4是公坐为-2的等差数列时， 所+8=号，，4，号 9 满足6=2026.且S6,=2026, +a-×(份） 熟，4号器 此时k=2027,所以k的最小值为2027 41+1 9 两武粗减得子=0×寸+（付）+（付）广+… 高考数学信息优化卷（六） (3)证明：令d.=(3m+1 +(兮)广-a)×(传)” 概率与统计参考答案 因为d>0,且d=6所以3++ 一、单项选择题 -位门1.a-n*(估” 1 -4 CCAD 5 ~8 CCCB 1-3 3x2+)+…+3n+厅≥6成立： 提示： 1 (+))“ 因为an+D<8-2n+D·号× 1.该组数据从小到大排列为2,11,13,15,17,22,33， 34,42,共有9个数据，且9×25%=2,25，则这组数据的 所以s=-(+）)×(宁 (n23a+) 下四分位数是从小到大排列的第三个数，即13 18.(1)解：因为2a4■4，+2(VneN.), 以an*ax+p*+aD 2零假设为。：*与y独立， 所以数列1a。!为等差数列，设公差为山 因为X=2826<3.841=w,依据a=0.05的 因为6：=b.·6(ngN,), 含×[-）+（合）+…+（点 独立性检验，没有充分证据推断H。不成立，因此可以认 所以数列b,为等比数列，设公比为q,且9>0. )门=号×-) 为H。成立，即队为x与y独立 因为2m1=61=2,4=b2,b=4h, 3,由题点知，从5个阳数和4个阴数中各取一个数 阴+=6即+=24 又AeN,所头十>0，则财时×(-十)<分组成的吉数°的组合有：18,36,54,72，所以取到的两位 6g=46,g2,g=4g, 综上.6≤3a+T+3m+厅++ 数哈好是吉数”的餐率为P=总=号 解得/ ld=1, u+厅<分 4二赋(+ 的展开式的通项公式为 38 一参考答案 数理极 T4=G·()-+… ()广片 PB,》 腿)=()广产 令1-7e乙得r=0.24,6 P1)P2:古x宁2= P(B,) “-是)所以(0正确： 所以展开式中的有理项有4项， 航以在第二次取到1号球的条件下，它来自1号口 先把3项无理项全排列，再把4项有理项插入形成袋的概率最大，(C)正确： re宁-孚名航a)E确 的4个空中，所以有理项互不相邻的排列方案有AA 先将5个不同的小球分成1,1.3或2,2,1三份.再放 P)=专号-数航以()错： 种 人3个不同的口袋， 5.由题意可知，当x>0时，X的可能取值为1,35， 则不同的分配方法有 cicic,Gcic 因为Pa+)-P代w)=(1-器)-(1 A A好 以P(X>0)=PX=5)+P(X=3)+PX=1) 150种，(D)正确 )层-器)， ()+G()·()+c() 故选(B). (2n+2)！ 二、多项选择题 程I ÷n+)(a+1万 ()=品 9.ACD:10.BCD:11.ACD. 4(m+1)3 -2(n+1>1,所以P八m+1)> 6.设x=log(i+1),i=1,2,3,4.5,则5=+5. (2m+2)(2m+1)=2n+1 提示： I0g:2 log;3+log+log5+log,6 P(n),即P(n)随着n的增大而增大，所以P(n)的最小 9.对于独立性检验，随机变量X的值越小，判定“两 5 变量有关系”犯错误的概率越大，(A)正确： =4+2o题3+lo3-4+2×16+23=1.9. 维的0：宁-号：0珠 5 5 在经验回归方程氵■-06x+2中，当解释变量x每 故选(A)(C)(D) 且万=9，代人行=c+5中得9=6×1.9+5， 增加1个单位时，响应变量减少06个单位，(B)铅误： 三，填空题 解得8=8所以：智i+)+5 数据a1,42,…,a,的方差为，则数据34+1， 12-24:13号14.1250 3a2+1,341+1,…,3a,+1的方差为9M.则标准差为 下午4点对应的i=7,预测入口游客的人流量 3W,(C)正确： 提示： 于-8xe8+5=l3 在回归分析中，决定系数R越接近于1，模的拟合 12.因为(2a-b)2(a+b)”=4a(a+b)”-4ab(a+ 7.根据正态曲线的对称性， 效果越好，R=085较为接近1，所以该模型的拟合效果)'+(a+b)', 每个收费口每天通过的小汽车数超过70辆的概率较好.(D)正确 其中(a+)*展开式的通项为 故选(A)(C)(D). T,=Ca-b(0≤r≤8且reN). PX>700)=21-P(50<x≤700) 10.根据题意.(2a+3a+7a+6a+2a)×10=200a 以(2m-b)2(a+b)'的展开式中含mb的项为 x1-06)=02= ■1，解得8■0.005.(A)错误： 4a'Cab-4abCia"+bCa =-240'b, 所以这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一 设该年级学生成绩的中位数为m,易得m。(70, 以a的系数是-24. 80),则0.25+(m-70)×0.035=0.5.解得m77.14. 13.根据题意，数据1,3,4，x,,y+2的平数为 个超过0辆的藏事P=1-（1-)=品 所以估计该年级学生成绩的中位数约为77.14，(B)正 1+3+4+x+y+Y+2 8记事件A,B分别表示第一次.第二次取到i号确： 6 球，i=1,2,3 估计该年级学生成绩在80分及以上的学生成绩的 数据1.34+2的50%分位数为产 在第一次描到3号球的条件下，第次指到1号球平跨数冷2。×5+。X95:5.(C)正确： 航以+3+4++r+y+24+王 6 2 的餐率P(B14)=音=方(A)正确： 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差 整理得y=x+1, 限据题意444两两互斥，且P代4)=子， 为子2+(87.5-85)2]+10+(87.5-95)1= 则水+2的平均数为对++}3=+ ))=子则P1A):是-之，05.D正确 故选(B)(C)(D) 所以数超+2的方差为分[(--)广 P风14)=子=，PB1)== 山由燃意知，要使甲前得比赛，则甲至少前#+1 (+1--)+(+3-李)门×(9 根据全概率公式，得P(B)=∑P氏A)P(B,IA)局，所以P(a)= (广(”·专》告 c()()++()广() 14.由感意知X-(,) 由题知第二次的球取自口袋的编号与第一次取的 ()广(c+c++c 以E(X)=0.5n,D(X)=0.25m 球的号码相司， 又C+C+…+C+G5+C6+…+C吃=2产， 因为PA1R).PAPB1A2 若0.4<X<0.6.则0.4n<X<0.6m.即-0.1n P(B) 且=C,C=C.…,C=C, <X-0.5n<0.1n,即1X-0.5n1<0.1m =xx2= 以c+G++G.2产，S 2 由切肚雪夫不等式P(1X-0.5n1<0.1n）≥1 数理极 参考答案 39 沿》知，要徙得至少有%：的泥深使发射信号 =16>10.828=*mt 所以=x06+(1-P)x02=+号 根据小概率值：=0,001的独立性检验，我们推断 的频率在区间(0.4,0.6)内。 山不成立，即认为“阅读达标情祝”与“性别”有关联，此 则18 5≥0.98，解得n≥1250. 推断犯错误的概率不大于0.001。 所以数列{一号}是以站为首项，号为公比的 所以估计信号发射次数n的值至少为1250 (3)由题得抽取的5人中男生人数为十2×5=2， 2 比数列 四、解答题 15,解：(1)由频率分布直方图可知各组领率依次为 女生人数为2×53 即n分：石x(后) 0.1,0.25,2m,0.15,0.1, 根据题意，x的可能取值为0,1,2 因为休有锻时间在(4,6]内的人数为50人， 整得我=宁+右×（侵）户 可得4“0品2m, (3)设第1次投蓝时甲投篮的次数为X:, 则X的可能取值为0或1， 由0.1+0.25+2a+0.15+0.1=1,解得a=0.200 当X=0时，表示第i次投篮的人是乙 以X的分布列为 (2)估计该校学生每周体有银冻时间的平均值为 当X=1时，表示第i次投蓝的人是甲， F=0.1×3+0.25×5+0.4×7+0.15×9+0.1 0 2 以P(X=1)=p:,P(X=0)=1- ×11=6.8(小时) 10 10 E(X,)=P. (3)因为每周体有最炼时间在(8,12】内的频率为 数学期腔E(0=0×高+1×号+2×0： 4 y=X,+X2+X+…+X., Q15+01=025= 则E()■E(X,+X2+X+…+X) 17.解：(1)选择模型② 所以x-B4,寸 =B1++内+”+P (2)根据模型2，令：= 期Px=0)--)广-器 y与：可用线性回归来假合，有氵=：+山， 2)知n=+6x(层) 明2.空-n小 所以E(Y)=+3++…+P 2.88 Px=)=Cx×(-4)=器 三4-0 ==064, =号+石×+号+（号）++（号）] x=2)=C×()广×-4)'=器 ÷=下-dh=7.5-0.64×225=6.06. 1- Px=3)=Cx()'×(-）=高 所以y关于1的经验回归方程为氵=0.64+6.06 因此y关于x的经验回归方程为5=0.64+6.06. Px=4到=（付）广= 根据题意.了=0.64云+606>8. =号+×-（号）门meN 听以X的分布列为 解得>（贸）一92.又：为整致.则≥10 19.(1)解：根据题意，每位同学选择B课外知识讲 0 3 所以要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至 座的复率均为兮则X-(3,号） 81 27 27 3 1 256 64 128 256 少为0人 X的可能取值为0,1,2,3， 18.解：(1)记第i次投蓝的人是甲的概率是户， 数学期()=4×= Pr=0)=(-)广'=8 则第2次投篇的人是乙的概率为1一： 16.解：(1)由题意可知，阅读达标与阅读不达标的 根据投篮规则，要分两种情况讨论： x=1)=G×g×-)°=号= 人数分别为200,200 ①第1次甲投篮的概率为0.5，没有投中的概率为 3 =2)=Gx()x(1-寸)=号=号 阿读达标的女生人数为3十2×200=120， 0.4,则第2次是乙投蓝： ②第1次乙投篮的概率为0.5，投中的概率为0.8， 2 Pr=)(传)）广=动 阅谈达标的男生人数为，十2×200=80.， 则第2次乙继续投篮。 航以X的分布列为： 据此可得2×2列联表如下： 所以1-=0.5×0.4+0.5x0.8=06 0 1 2 3 阅读达标情况 (2)记第1次投篮的人是甲的减率是，则第：次乙 性别 合计 闻读这标。 阅读不达都 投蓝的餐率是1-，中n:之 27 男生 0 120 200 女生 接下来分析第1+1次投篮的人是甲的概率，分两种 120 80 200 数学期跑(X0=3×子=1 台计 200 200 400 情况： (2)①证明：因为(M.N)= ①第1次甲投蓝的概率为房，投中的概率为0.6，则 (2)零假设为H。:“阅读达标情况”与“性别”没有 PMN-PMPD_,且p(M,9>0 第i+1次还是甲投篮： P(M)P(M)P(N)P(N) 关联 ②第次乙投篮的概率为1一户，没有投中的概率为 所以P(MN)-P(M)PN)>0, 由(1)计算得X-00×(80×80-120×120y2 200×200×200×200 0.2.则第1+1次是甲投篮， 又P(M)>0.P(N)>0. 40 参考答案 数理极 %>P.而1)得 =3, 所以不等式的解集是(：，+)， P(N) 所以该切线方程为y-1=3x,即y=3x+1. 8.设f(x)=e-x-1f(x)=e-1. 所以P(MIN)>P(M)成立， 令x=0.则y=1令y=0则=-方 当x∈(-x,0)时(x)<0了(x)为减函数. ②解：因为事件E:B课外知识讲座有同学选择， 当x∈(0，+)时f'(x)>0,f(x)为增函数 民事件F:B课外知识讲座没有同学选择， 所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 所以f(x)≥f(0)=0, )可知P因=G(号)广（号）广=多 则f(0.1)>0,即e-1>0.1. 所以P8)=1-m面：号 设g(x)=nx-x+1(x>0), 4.由慰得∫"()=日+2 因为事件F:至少有两个课外知识讲座有同学选择。 又当x■1时，函数f(x》■aln+x2+3取得最大 w=1 则事件F:只有一个课外知识讲座有同学选择，由题得 r万：号P(月1-P万：吾 1 值2，航拟)=20）=0，即+32 当x∈(0,1)时，g(x)>0,g(x)为增函数。 a+2h=0, 当x(1,+m)时，g(x)<0,g(x)为诫函数， 解得6=-1，a=2.所以f(x)=2lnx-x2+3, 以g(x)≤g(1)=0, 事件F:至少有两个课外知识讲座有同学选择且B 则g(1.1)<0,即n1.1<0.1.以a>c 课外知识讲座有同学选释，分为两种情况： f()▣2-2x=21-1+1x>0. 2x 种是三个课外知识讲座都有同学选择： 设()=n(+》-+2>-), 易得f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+￥)上单调 4 另一种是两个课外知识讲座都有同学选择且B课外避诚，即∫(x)在￥=1处取得最大值，符合题意。 )"x+0+2*0+x+2T>0 知识讲座有同学选择，此时A或者C课外知识讲座是没 以f(3)=2加3-6 所以(x)为增函数.则h(0.1)>h(0)=0, 有同学选择的，按照1,2分组即可 ccG=子 5因为函数/()=in2x-aos在(0，a)上单 期nl.1>品航以ch 故P(EF)= 3+ 33 调递增 缘上，b<r<红 所以P(EF)+P(E)P(F), 那以f"(x)=oe2x+in#≥0在(0，m)上恒成立， 二、多项选择题 即事件E,F不相互独立 即1-2imx+si加x≥0在(0，π）上恒成立 9.BD:10.ABC:11.BC. p(E,F)=八EE)-PEPE 令t=sinx,4e(0,1], 提示： N√P(E)P(E)P(F)P(F) 导9×号 航以a≥24-}在(0.1门上恒成立 男因为国=专，所以国)= e 76 又y=24-十在(0,1)上单调递抛。 令f"(x)<0,解得x<1:令f(x)>0,解得x>1 所以/(x)在(-x,1)上单调详减，在(1，+x)上 期当1=1时，ym=1, 高考数学信息优化卷（七） 单调递增，则f(x)在x=1处取得唯一极小值，也是 所以a≥1. 导数及其应用参考答案 f(x)的最小值，所以f(x)的极值点为1，(A)错误： 6,因为函数∫(x)=Inx与g(x)的图象关于直线 一、单项选择题 y=x对称，所以f(x》=lnx与g(x)互为反函数， 因为)=一。，所以的最小值为-÷，（® e 1 ~4 DAAC 5~8 DBAD 所以g(x)=。,则g(x)=e 正确： 提示： 由h(x)=c叫-1得h'(x)=e, 当x<1时，0)=0：当x>1时/()=-三<0， 1k由fe)=a-新'(e),得f)= 设直线1与函数(x)=:的图象的切点坐标为 以f(x)有且仅有一个零点，(C)结误： (x,心”)，与函数h(x)=。一1的图象的切点坐标为 o).所以(o=是-3f(e),解得"o)=所 (1,e21-1）, 令fe)==吉解得=2.所以点为， 以Wa)=h-是e)=ae-是xe=子 则直线1的斜率青=e=e,故玉三+1， )足直线航以直线之 2.因为f(x)的定义域为R,关于原点对称， 显然故。心山， 是曲线y=∫(x)的一条切线，(D)正确 (-)=la(e'+D+壹=n(e+)-x+壹 所以直线1的頓斜角为平 故选(B)(D). =n(e+0-壹=fm. 7.令1mx=t,则不等式1n对f(nx)>x换元后得 a因为直线D的斜率号二号-2.房所以直线D 所以「(x)是理函数 f()>e,构造深数g(x)。过（国 的方程为y-0=-2(x-4),即y=-2x+8,故(A)正 确： 当>0时)=2>0 6-1 则g)=')-任-fm,0. 因为f(x)的图象过点A(0,0)及D(4.0),所以 e 所以了(x)在区间(0，+x)上单调递抛 f(x)有两个零点0,4，故可设∫(x)=x(x-4)(:+ 函数g(x)单调递增，且g(1)=1, 3.由题得f(x)■ m)(其中k≠0).则f"(x)=x(x-4)+(红+m)(24 (e'+2c0sx)(1+x)-(e+2ainx）·2x 所以不等式)>c四>1=g). (1+x2)2 -4),f(0)=4'(4)=-2.得m=-1,=g,所 则f'(0)=e°+2s01+0)-(e+2sin0)x0 即g(t)>g(1), (1+0) 以：>1，所以nx>1.解得x>e. 以f(=g(-4(x-8),故(B正确：