专题15 立体图形的直观图6题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题15 立体图形的直观图6题型分类 一、直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. 二、水平放置的平面图形的直观图的画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 三、空间几何体直观图的画法 立体图形直观图的画法步骤 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴. (2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 四、平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 五、斜二测画法的常用结论： (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：. （一） 平面图形的直观图的画法 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可. 题型1：斜二测画法的概念辨析 1．（2025高一·全国月考）利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图可能仍是正方形； ④菱形的直观图是一定是菱形． 以上结论，正确的是（    ） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 2．（2025高一·陕西宝鸡·期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中不一定相等 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直 3．（2025高一·全国月考）如图所示，是的直观图，其中，那么是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 4．（2025高一·湖南·期中）下列关于平面图形的直观图的叙述中，正确的是（    ） A．等腰三角形的直观图仍是一个等腰三角形 B．若某一平面图形的直观图面积为，则原图形面积为 C．原图形中相等的线段，其直观图也一定相等 D．若三角形的周长为12，则其直观图的周长为6 5．（2025高一·四川成都·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的选项是（    ） A．三角形的直观图是三角形 B．平行四边形的直观图必为矩形 C．正方形的直观图是正方形 D．菱形的直观图是菱形 题型2：平面图形的直观图的画法 6．（2025高一·全国月考）画水平放置的正五边形的直观图． 7．（2024高一·全国月考）用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； 8．（2025高一·全国月考）用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图． 9．（2025高一·全国月考）用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图. 10．（2025高一·全国·课堂例题）画水平放置的正三角形的直观图． 11．（2025高一·全国月考）一个水平放置的用斜二测画法画出的直观图是如图所示的边长为1的正，则在真实图形中边上的高是 ，的面积是 ，直观图和真实图形的面积的比值是 . 12．（2025高一·全国月考）如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CDAB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积． 13．（2025高一·湖南月考）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图： (1)边长为的正三角形； (2)边长为的正方形； (3)边长为的正八边形． （二） 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图的画法 (1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出. (2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向. (3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致. 题型3：空间几何体直观图的画法 14．（2025高一·全国月考）用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图，其中上、下底面边长分别为2，3，高为2． 15．（2025高一·全国月考）已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，侧棱．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）    16．（2025高一·湖南月考）画出下列图形的直观图： (1)棱长为4cm的正方体； (2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥． 17．（2025高一·湖南月考）画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）． 18．（2025高一·全国·随堂练习）画底面边长为3cm、高为3.5cm的正三棱柱的直观图．       ③连接、、，即得正三棱柱， 19．（2025高一·全国月考）画一个底面边长为，高为的正五棱锥（底面是正五边形，顶点在底面的投影是底面的中心），比例尺是． （三） 直观图的还原与计算 平面多边形与其直观图面积间关系：一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到直观图的面积为S直，则有S直＝S原. 题型4：由直观图还原平面图形 20．（2025高三·浙江·期末）已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，那么是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边互不相等的三角形 21．（2025高二·上海月考）按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么的形状是（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．腰和底边不相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 题型5：求直观图的长度和面积 22．（2025高二·上海普陀月考）如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为 . 题型6：求平面图形的长度和面积 23．（2025高一·福建宁德·期中）水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形，如图所示．其中，则原平面图形的面积为（    ）    A． B． C． D． 24．（2025高三·全国月考）如图，梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为 ． 25．（2025高一·江西景德镇·期末）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（    ） A．12 B．6 C． D． 26．（2025高二·山东济宁·期中）如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 cm． 27．（2025高一·湖南株洲·期中）如图，是水平放置的斜二测直观图，其中，则原图形的面积是 . 28．（安徽省合肥市第七中学紫蓬分校（肥西农兴中学）2024-2025学年高一学期期中考试数学试题）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，    (1)画出它的原图形， (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 29．（2025高二·上海·期末）如图所示直角三角形是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是 .    一、单选题 1．（2025高二·江西赣州·期末）如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A．2 B． C． D．8 2．（2025高一·全国月考）已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m．如果按的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（    ） A．4cm，1cm，2cm，1.6cm B．4cm，0.5cm，2cm，0.8cm C．4cm，0.5cm，2cm，1.6cm D．4cm，0.5cm，1cm，0.8cm 3．（2025·上海普陀·模拟预测）一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（    ）． A． B． C． D． 4．（2025高一·全国月考）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A． B．2 C． D． 5．（江西省宜春市丰城中学2023-2024学年高一创新班上学期期中数学试题）已知正方形的边长为2，它的水平放置的一个平面图形的直观图为（在轴上），则图形的面积是（     ） A．4 B．2 C． D．1 6．（2025高一·新疆喀什·期末）已知水平放置的正方形ABCD的斜二测画法直观图的面积为，则正方形ABCD的面积是（    ） A． B． C．8 D．16 7．（2025·安徽·模拟预测）已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则该四棱锥的体积是 A．4 B． C． D． 8．（2025高一·全国月考）如图是水平放置的四边形的斜二测直观图，且轴，轴，则原四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 9．（第一章全章训练）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知点是斜边的中点，且，则的边边上的高为（    ） A．1 B．2 C． D． 10．（2025高一·河南驻马店·期末）用斜二测画法画的直观图如图所示，其中，，则中边上的中线长为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 11．（2025高一·陕西安康·期中）关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直 12．（2025高一·全国月考）下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系对应的时，必须是 D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 13．（2025高一·全国月考）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是（    ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 14．（2025高一·浙江·期末）如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 15．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 16．（湖南省长沙市师大思沁高级中学2024-2025学年高一学期期末数学试题）如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则（    ）    A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为6 17．（2025高二·福建泉州月考）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中以下说法正确的是（    ）    A．是直角三角形 B．长为 C．长为 D．边上的中线长为 18．（2025高一·全国月考）（多选）如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 19．（2025高二·上海·期末）已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，，那么的面积为 ． 20．（2025高二·上海浦东新月考）已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是 . 21．（2025高二·上海·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 22．（2025高二·上海金山月考）如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是．则三角形的面积是 ． 23．（2025高一·陕西咸阳·期中）已知某水平放置的四边形的斜二测画法直观图是边长为1的正方形，如图所示，则四边形的面积是 .    24．（2025高二·四川成都月考）水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的面积为 . 25．（2025高三·贵州黔西月考）如图，矩形是水平放置的平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为 ． 四、解答题 26．（2025高二·上海·课堂例题）如图是某个水平放置的平面图形的直观图，请画出原来的平面图形． 27．（2025高一·全国月考）如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 28．（2025高一·全国月考）用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图. 29．（2025高一·全国月考）如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形．用斜二测画法画出的这个梯形的直观图为．求梯形的高． 30．（2025高二·上海闵行·期末）设一正方形纸片边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中，为正四棱锥底面中心．， （1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图； （2）设等腰三角形的底角为，试把正四棱锥的侧面积表示为的函数，并求范围． 31．（2025高一·全国月考）如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.    学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题15 立体图形的直观图6题型分类 一、直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. 二、水平放置的平面图形的直观图的画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 三、空间几何体直观图的画法 立体图形直观图的画法步骤 (1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴. (2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图. (3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变. (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 四、平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 五、斜二测画法的常用结论： (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：. （一） 平面图形的直观图的画法 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可. 题型1：斜二测画法的概念辨析 1．（2025高一·全国月考）利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图可能仍是正方形； ④菱形的直观图是一定是菱形． 以上结论，正确的是（    ） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据斜二测画法画直观图的画法规则，对各结论逐一判断，即可得到结果. 【解析】由斜二测画直观图的画法知：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变；已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半. 对于①：三角形的直观图是三角形，①正确； 对于②：平行四边形的直观图是平行四边形，②正确； 对于③：正方形的直观图是平行四边形，③错误； 对于④：菱形的直观图是平行四边形，④错误； 故选：A. 2．（2025高一·陕西宝鸡·期中）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是（    ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．相等的角在直观图中不一定相等 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的作图规则结合反例，判断各选项. 【解析】如图：四边形为正方形， 由斜二测画法可得其直观图如下： 对于A，因为，而， 故相等的线段在直观图中仍然相等这种说法错误，A错误； 对于B，因为，而 故相等的角在直观图中不一定相等这种说法正确，B正确； 对于C，由斜二测画法性质可得平行的线段在直观图中仍然平行，C正确； 对于D，因为，而不垂直， 所以互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直这种说法正确，D正确. 故选：A. 3．（2025高一·全国月考）如图所示，是的直观图，其中，那么是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据斜二测画法的作图原则即可得到答案. 【解析】根据斜二测画法可得 ，所以是直角三角形. 故选：B. 4．（2025高一·湖南·期中）下列关于平面图形的直观图的叙述中，正确的是（    ） A．等腰三角形的直观图仍是一个等腰三角形 B．若某一平面图形的直观图面积为，则原图形面积为 C．原图形中相等的线段，其直观图也一定相等 D．若三角形的周长为12，则其直观图的周长为6 【答案】B 【分析】 根据斜二测画法相关知识可解. 【解析】 等腰三角形的直观图仍是一个三角形，但不一定有两边相等，故A，C说法错误；原图形中，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半，故D说法错误；直观图的面积是原面积的倍，故B正确． 故选：B 5．（2025高一·四川成都·期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的选项是（    ） A．三角形的直观图是三角形 B．平行四边形的直观图必为矩形 C．正方形的直观图是正方形 D．菱形的直观图是菱形 【答案】A 【分析】根据三角形特征可知A正确；通过反例可说明BCD错误. 【解析】对于A，三角形的三个顶点不共线，直观图中，三个顶点对应的点也必然不共线， 三角形的直观图依然是三角形，A正确； 对于B，如下图所示的平行四边形，其中， 其直观图为平行四边形，而非矩形，B错误；    对于C，正方形的直观图为平行四边形，如下图所示，C错误；    对于D，如下图所示的菱形，其中， 其直观图为平行四边形， 若，则，，即， 四边形不是菱形，D错误.    故选：A. 题型2：平面图形的直观图的画法 6．（2025高一·全国月考）画水平放置的正五边形的直观图． 【答案】画图见解析 【分析】按照斜二测画法步骤逐步作图即可. 【解析】解：①在五边形（如图①）中，取中心O为原点，对称轴为y轴，过点O与y轴垂直的直线为x轴，分别过点B，E作轴，轴，与x轴分别交于点G，H． 画对应的轴，使（如图②）． ②以点为中点，在轴上取，分别过点在轴的上方，作轴，轴，使； 在点的上方取，在点的下方取，并且以为中点，画轴，且使． ③连接，所得五边形（如图③）就是正五边形的直观图． 7．（2024高一·全国月考）用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】根据题意，结合斜二测画法的规则，即可画出平面图形的直观图. 【解析】（1）解：在已知正方形中，，取所在直线为轴， 如图所示， 画出对应的轴，使，，，如图所示， 即四边形即为正方形的直观图.    （2）解：取等腰梯形底边的中点，连接，以为原点，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示， 可得等腰梯形的直观图为，    以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示， 可得平行四边形的直观图为.    8．（2025高一·全国月考）用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的规则和步骤，将直角画成，沿轴方向长度不变，轴方向是原图形长度的一半，即可做出直观图． 【解析】分以下三步进行作图： （1）过点C作轴，垂足为E，如图①所示． （2）画出对应的轴、轴，使， 在轴上取点，，使得，； 在轴上取一点，使得； 过作轴，使，连接，，如图②所示． （3）擦去轴与轴及其他辅助线， 如图③所示，四边形就是所求的直观图． 9．（2025高一·全国月考）用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图. 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的规则作图． 【解析】（1）用斜二测画法画出水平放置的等腰梯形，如下图所示： 画出相应的轴、轴，使， 过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为， 在轴上取，， 过点作轴，使，过点作轴，使， 连结，则四边形就是等腰梯形的直观图. （2）用斜二测画法画出正五边形的直观图，如下图所示： 连接交于，画出相应的轴、轴，使， 在轴上取，，在轴上取，， 过点作轴，且，过点作轴，且， 连结，则五边形就是所求的直观图. 10．（2025高一·全国·课堂例题）画水平放置的正三角形的直观图． 【答案】画图见解析 【分析】根据斜二测画法，画图即可得出. 【解析】画法如图，按如下步骤完成：        第一步在已知的正三角形ABC中，取AB所在的直线为x轴，取对称轴CO为y轴．画对应的轴、轴，使． 第二步在轴上取，，在轴上取． 第三步连接，，，所得就是水平放置的正三角形ABC的直观图． 11．（2025高一·全国月考）一个水平放置的用斜二测画法画出的直观图是如图所示的边长为1的正，则在真实图形中边上的高是 ，的面积是 ，直观图和真实图形的面积的比值是 . 【答案】 【分析】将将正放入锐角为的斜角坐标系内，进而复原出真实图形，根据斜二测画法的规则确定相关线段长，即可求得答案. 【解析】将正放入锐角为的斜角坐标系内，如图①所示， 过作，垂足为，， 将其还原为真实图形，得到图②的，其中， 在中，， 所以真实图形中，，即的高等于， 由此可得的面积, 因为直观图中正的面积为， 所以直观图和真实图形的面积的比值等于， 故答案为： ；； 12．（2025高一·全国月考）如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CDAB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积． 【答案】图见解析， 【分析】由斜二测画法规则作直观图，在直观图中求得梯形的高可得面积． 【解析】解：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变．如图所示， 在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝×(1＋2)×＝. 13．（2025高一·湖南月考）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图： (1)边长为的正三角形； (2)边长为的正方形； (3)边长为的正八边形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图； （2）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图； （3）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图. 【解析】（1）解：如图①所示，以边所在的直线为轴，以边的高线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 画对应的轴、轴，使， 在轴上截取，在轴上截取， 连接、、，则即为等边的直观图，如图③所示. （2）解：如图④所示，以、边所在的直线分别为轴、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 画对应的轴、轴，使， 在轴上截取，在轴上截取， 作轴，且，连接， 则平行四边形即为正方形的直观图，如图⑥所示. （3）解：如图⑦所示，画正八边形，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系， 设点、在轴上的射影点分别为、， 画对应的轴、轴，使， 在轴上截取，，， 在轴上截取，作轴且， 作轴，且，作轴，且， 作轴，且，作轴，且， 连接、、、、、、、， 则八边形为正八边形的直观图，如图⑨所示. （二） 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图的画法 (1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出. (2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向. (3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致. 题型3：空间几何体直观图的画法 14．（2025高一·全国月考）用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图，其中上、下底面边长分别为2，3，高为2． 【答案】答案见解析 【分析】先根据斜二测画法的规则，画出棱台的上下底面，再在z轴上取一点，使，进而的正四棱台的直观图. 【解析】（1）画轴．画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，，． （2）画下底面．如图①，以O为中心，在x轴上取线段MN，使；在y轴上取线段PQ，使．分别过点M和点N作y轴的平行线，分别过点P和点Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则面ABCD即为四棱台的下底面． （3）画上底面．在z轴上取一点，使，过点分别作，，在平面内以为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图． （4）连线．被遮挡的线画成虚线，擦去辅助线并整理，就得到四棱台的直观图（如图②）．    15．（2025高一·全国月考）已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，侧棱．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）    【答案】作图见解析 【分析】根据斜二测画法的原则，可画出直观图. 【解析】如图所示．    16．（2025高一·湖南月考）画出下列图形的直观图： (1)棱长为4cm的正方体； (2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥． 【答案】(1)画法见解析， ； (2)画法见解析， 【分析】根据要求用斜二测法画出符合要求的直观图 【解析】（1）如下图所示，按如下步骤完成： 第一步：作水平放置的正方形ABCD的直观图，使得AB=4cm，BC=2cm，且∠DAB=45°，取平行四边形ABCD的中心O，作x轴∥AB，y轴∥BD， 第二步：过点O作∠xOz=90°，过点A、B、C、D分别作等于4cm，顺次连接， 第三步：去掉图中的辅助线，就得到棱长为4的正方体的直观图. （2）如下图所示，按如下步骤完成： 第一步：作水平放置的圆的直观图，使cm，cm. 第二步：过作轴，使，在上取点，使=4cm，连接，. 第三步：去掉图中的辅助线，就得到所求圆锥的直观图. 17．（2025高一·湖南月考）画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）． 【答案】详见解析 【分析】利用斜二测画法求解. 【解析】如图所示： 18．（2025高一·全国·随堂练习）画底面边长为3cm、高为3.5cm的正三棱柱的直观图． 【答案】图形见解析 【分析】根据斜二测画法规则，画出该三棱柱的直观图即可． 【解析】①取的中点，画， 用斜二测画法画出水平放置的边长为的正三角形，其中，； ②画平面，在上截取； 画出，；，，且与交于点，如图所示；       ③连接、、，即得正三棱柱， ④最后将，，轴擦去，即可得到正三棱柱的直观图如下：    19．（2025高一·全国月考）画一个底面边长为，高为的正五棱锥（底面是正五边形，顶点在底面的投影是底面的中心），比例尺是． 【答案】答案见解析 【分析】先利用斜二测画法作出边长为的正五边形的直观图，再利用轴作出长度为的高，从而得解. 【解析】依题意，先作出边长为的正五边形， 同时以过正五边形中心且平行于所在的直线为轴，以所在直线为轴，如图，    利用斜二测画法作出正五边形的直观图，如图，    再在直观图中，以过原点且垂直于的直线为轴， 按比例尺在轴作出，连接，如图，    最后将轴去掉，将看不到的线画成虚线，即可得到满足题意的正五棱锥，如图.    （三） 直观图的还原与计算 平面多边形与其直观图面积间关系：一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到直观图的面积为S直，则有S直＝S原. 题型4：由直观图还原平面图形 20．（2025高三·浙江·期末）已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，那么是一个（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】B 【分析】根据斜二测直观图的画法判断． 【解析】在轴上，在轴，因此，在原图形中，，三角形为等边三角形． 故选：B． 21．（2025高二·上海月考）按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么的形状是（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．腰和底边不相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】A 【分析】根据直观图得原图，计算可得答案. 【解析】原如图所示： 由斜二测画法的规则可知，，，， 所以，故为等边三角形. 故选：A． 题型5：求直观图的长度和面积 22．（2025高二·上海普陀月考）如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为 . 【答案】 【分析】按照斜二测画法画出直观图，利用梯形面积公式便可求得其面积. 【解析】如图所示，作出直观图， 则，，， 梯形的高为， ∴直观图的面积为. 故答案为：. 题型6：求平面图形的长度和面积 23．（2025高一·福建宁德·期中）水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形，如图所示．其中，则原平面图形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据斜二测画法的图形性质可得原图形的形状，进而可得面积. 【解析】由直角梯形中，且，作于， 则四边形为正方形，为等腰直角三角形， 故，.    故原图为直角梯形，且上底，高， 下底. 其面积为.    故选：C 24．（2025高三·全国月考）如图，梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据水平放置的平面图形直观图画法画出原图计算可得答案. 【解析】因为，， ， 所以，， 所以． 故答案为：． 25．（2025高一·江西景德镇·期末）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】由斜二测画法的直观图，还原原图形为直角梯形，从而即可计算原图形的面积. 【解析】解：因为，，，， 所以由斜二测画法的直观图知可， 所以由斜二测画法的画法规则还原原图形，如图： 所以，，，，， 所以梯形的面积为． 故选：C． 26．（2025高二·山东济宁·期中）如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 cm． 【答案】8 【分析】由斜二测画法的规则将图形还原为原图形，从而可求解. 【解析】由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在轴上， 可求得其长度为，故在原平面图中其在轴上，且其长度变为原来的倍，即长度为， 其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：． 故答案为：． 27．（2025高一·湖南株洲·期中）如图，是水平放置的斜二测直观图，其中，则原图形的面积是 . 【答案】6 【分析】画出原图形，求出面积即可. 【解析】画出原图形如下： 其中，故. 故答案为：6 28．（安徽省合肥市第七中学紫蓬分校（肥西农兴中学）2024-2025学年高一学期期中考试数学试题）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，    (1)画出它的原图形， (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1)图形见解析 (2)边上的高为，原图形的面积为. 【分析】（1）逆用斜二测画法的原理，平行依旧斜改垂，横等纵二倍竖不变，即可由直观图得出原图. （2）先根据的面积求出，然后利用斜二测画法原理求出高，由此可求出原的面积. 【解析】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使, 连接，，则即为原来的图形，如图②所示：    （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高，且， 在直观图中作于点，    则的面积， 在直角三角形中，，所以， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 29．（2025高二·上海·期末）如图所示直角三角形是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是 .    【答案】 【分析】求得直观图的面积，根据原图的面积与直观图面积之比为，进行计算即可. 【解析】由已知直角三角形中，直角边， 则直角三角形的面积为1， 由原图的面积与直观图面积之比为， 可得原图的面积为， 故答案为：. 一、单选题 1．（2025高二·江西赣州·期末）如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A．2 B． C． D．8 【答案】C 【分析】由斜二测还原图形计算即可求得结果. 【解析】在斜二测直观图中， 由为等腰直角三角形，，可得，. 还原原图形如图：则，则 . 故选：C 2．（2025高一·全国月考）已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m．如果按的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（    ） A．4cm，1cm，2cm，1.6cm B．4cm，0.5cm，2cm，0.8cm C．4cm，0.5cm，2cm，1.6cm D．4cm，0.5cm，1cm，0.8cm 【答案】C 【分析】根据条件所给的比例结合斜二测画直观图的画法规则即可求解. 【解析】由比例可知，所画长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm， 又因为斜二测画直观图的画法： 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于，保持长度不变； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，长度变为原来的一半； 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中平行于轴，保持长度不变. 所以该建筑物按的比例画出它的直观图的相应尺寸分别为4cm，0.5cm，2cm和1.6cm． 故选：C. 3．（2025·上海普陀·模拟预测）一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜二测直观图的特点可知原图形为一直角梯形，由梯形面积公式求解. 【解析】解：如图，恢复后的原图形为一直角梯形， 所以. 故选：B. 4．（专题8.2立体图形的直观图-举一反三系列（人教A版2019必修第二册））如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，再作出水平放置的原平面图形作答. 【解析】在直角梯形中，，， 则， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， ， 所以该平面图形的高为. 故选：C. 5．（江西省宜春市丰城中学2023-2024学年高一创新班上学期期中数学试题）已知正方形的边长为2，它的水平放置的一个平面图形的直观图为（在轴上），则图形的面积是（     ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据斜二测画法的知识求得正确答案. 【解析】根据斜二测画法的知识可知， 所以图形的面积是. 故选：C 【点睛】 6．（2025高一·新疆喀什·期末）已知水平放置的正方形ABCD的斜二测画法直观图的面积为，则正方形ABCD的面积是（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】D 【分析】利用直观图的面积与原图面积的关系求解. 【解析】因为，所以， 所以正方形ABCD的面积为16， 故选：D. 7．（2025·安徽·模拟预测）已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则该四棱锥的体积是 A．4 B． C． D． 【答案】A 【解析】根据三视图以及斜二测画法确定四棱锥的高以及底面面积，再根据锥体体积公式求结果. 【解析】由三视图可知，该四棱锥的高是3，记斜二测画法中的等腰梯形的上底为，高为，则斜二测中等腰梯形的腰为，而积，由斜二测画法的特点知直观图中底面梯形的高为，面积， ，故四棱锥的体积，故选. （也可用结论直接得出：，，） 【点睛】本题考查三视图、斜二测画法以及四棱锥体积，考查基本分析求解能力，属中档题. 8．（2025高一·全国月考）如图是水平放置的四边形的斜二测直观图，且轴，轴，则原四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法，把直观图还原出原平面图形，再求出原平面图形的面积，即可得答案． 【解析】根据题意，因为直观图中，轴，轴， 所以四边形是一个上底为，下底为，高为的直角梯形，    则原四边形的面积． 故选：C． 9．（第一章全章训练）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知点是斜边的中点，且，则的边边上的高为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】在直观图中∥轴，可知原图形中∥轴，故,,求直观图中的长即可求解. 【解析】∵直观图是等腰直角三角形，，∴，根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半, ∴△的边上的高.故选D. 【点睛】本题主要考查了斜二测直观图的画法，属于中档题. 10．（2025高一·河南驻马店·期末）用斜二测画法画的直观图如图所示，其中，，则中边上的中线长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出的原图形，结合三角形的几何性质可求得中边上的中线长. 【解析】在直观图中，，且，则，故， 又因为，则，可得， 故为等腰直角三角形，所以，，故轴， 依据题意，作出的原图形如下图所示：    延长至点，使得，则为的中点， 由题意可知，，，，且， 所以，且，故四边形为平行四边形，则， 取的中点，连接， 因为、分别为、的中点，则. 故选：D. 二、多选题 11．（2025高一·陕西安康·期中）关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直 【答案】ABC 【分析】利用斜二测画法规则，逐项分析判断即可得解. 【解析】对于A，在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行，A正确； 对于B，若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为，B正确； 对于C，梯形平行的两边在直观图仍然平行，两腰不平行，在直观图仍然不平行， 因此一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确； 对于D，在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中可以垂直， 如正方体的直观图中，竖边与横边垂直，D错误. 故选：ABC    12．（2025高一·全国月考）下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（    ） A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的 C．画与直角坐标系对应的时，必须是 D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 【答案】ABD 【分析】根据直观图的画法规则逐个分析判断即可. 【解析】对于A，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变，所以A正确， 对于B，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的，所以B正确， 对于C，由直观图的画法规则，可知画与直角坐标系对应的时，为或，所以C错误， 对于D，由直观图的画法规则，可知在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同，所以D正确. 故选：ABD． 13．（2025高一·全国月考）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是（    ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 【答案】ACD 【分析】根据斜二测画法的要求和结论理解辨析即可． 【解析】根据斜二测画法可知：平行不变，即原图中的平行，则直观图也平行， 原图的相交，直观图中也相交，但相对应的角度会改变，所以B错误，ACD正确. 故选：ACD． 14．（2025高一·浙江·期末）如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】首先算出长度，再利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，从而判断各个选项正误. 【解析】如图所示，在直观图中，过作于， . 又， 所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图： 那么有，故选项B正确； 又因为，故选项A､C错误； 而，故选项D正确. 故选：BD. 15．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长. 【解析】A选项，过点作⊥轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误； B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，⊥， 故四边形的面积为，C正确； D选项，过点作⊥于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误. 故选：BC 16．（湖南省长沙市师大思沁高级中学2024-2025学年高一学期期末数学试题）如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则（    ）    A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为6 【答案】AD 【分析】根据直观图与平面图的关系可得ABCD是直角梯形，计算直角梯形各边长，逐一判断选项中的结论即可. 【解析】如图过作于，    由等腰梯形可得：是等腰直角三角形， 即，即A正确； 还原平面图为下图，    即， 过C作，由勾股定理得，即错误； 故四边形ABCD的周长为：，即C错误； 四边形ABCD的面积为：，即D正确. 故选：AD 17．（2025高二·福建泉州月考）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中以下说法正确的是（    ）    A．是直角三角形 B．长为 C．长为 D．边上的中线长为 【答案】ACD 【分析】根据斜二测画法的规则，即可求解. 【解析】因为轴，由斜二测画法规则知，即为直角三角形，如图所示， 又因为，可得，，所以， 所以边上的中线长度为． 故选：ACD.      18．（2025高一·全国月考）（多选）如图所示，用斜二测画法作水平放置的的直观图，得，其中，是边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据斜二测画法作出的水平放置的直观图和平面直角坐标系中图形关系，进行辨析即可． 【解析】由直观图知为直角三角形，在平面直角坐标系中如图所示， ，，，为的中点， 又，故A，B错误，C，D正确． 故选：CD. 三、填空题 19．（2025高二·上海·期末）已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，，那么的面积为 ． 【答案】 【分析】方法一：先求出的直观图的面积，再代入即得； 方法二：根据的直观图作出的平面图，再求其面积即可. 【解析】方法一：由图知的直观图的面积为：， 则的面积为：. 方法二：根据的直观图作出的平面图为： 其中：，且， 则. 故答案为：. 20．（2025高二·上海浦东新月考）已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是 . 【答案】/ 【解析】利用斜二测画法得到的平面直观图的面积等于原图形面积乘以，结合已知即可求解. 【解答】由于原图和直观图面积之间的关系，可得， 所以原的面积. 故答案为：. 21．（2025高二·上海·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为平面图即可. 【解析】 由题意，在直角梯形中，，则， 故直角梯形的面积为， 故答案为：． 22．（2025高二·上海金山月考）如图是三角形用斜二测画法得到的水平直观图三角形，其中轴，轴，若三角形的面积是．则三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】利用结论平面图形的直观图面积与原图面积之比为，结合三角形的面积是求结论. 【解析】因为平面图形的直观图面积与原图面积之比为， 所以，又， 所以. 故三角形的面积是． 故答案为：. 23．（2025高一·陕西咸阳·期中）已知某水平放置的四边形的斜二测画法直观图是边长为1的正方形，如图所示，则四边形的面积是 .    【答案】 【分析】画出四边形的原图形，进而求出面积. 【解析】连接，则与平行，且有勾股定理得，    故画出四边形的原图形，如下：    四边形为平行四边形，高， 故四边形的面积是. 故答案为： 24．（2025高二·四川成都月考）水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的面积为 . 【答案】 【分析】将直观图还原后即可求出原图中的面积. 【解析】如下图所示：      根据题意可知在直观图（图（1））中补全正方形，易知； 还原回原图如图（2）所示，根据直观图画法可得，且； 故的面积为； 故答案为：. 25．（2025高三·贵州黔西月考）如图，矩形是水平放置的平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为 ． 【答案】 【分析】结合图形求出矩形的面积，再由，即可求解. 【解析】由题意可得，又，所以. 故答案为：. 四、解答题 26．（2025高二·上海·课堂例题）如图是某个水平放置的平面图形的直观图，请画出原来的平面图形． 【答案】作图见解析 【分析】利用直观图的画法规则画出平面图. 【解析】如图： （1）在平面直角坐标系中，在轴上截取，； （2）在轴上截取； （3）过作直线平行于轴，如图截取; （4）连接. 则四边形即为所求. 27．（2025高一·全国月考）如图所示，在中，，边上的高． (1)画出水平放置的的直观图； (2)求直观图的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）利用斜二测画法画出直观图即可； （2）作，为垂足，求出即可求解． 【解析】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图①， ②画出对应的，轴，使， 在轴上取点，，使，， 在轴上取点，使， 连接，，则即为的直观图，如图②． （2）在图②中，作，为垂足， ，， ， ． 28．（2025高一·全国月考）用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图. 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的规则作图． 【解析】（1）用斜二测画法画出水平放置的等腰梯形，如下图所示： 画出相应的轴、轴，使， 过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为， 在轴上取，， 过点作轴，使，过点作轴，使， 连结，则四边形就是等腰梯形的直观图. （2）用斜二测画法画出正五边形的直观图，如下图所示： 连接交于，画出相应的轴、轴，使， 在轴上取，，在轴上取，， 过点作轴，且，过点作轴，且， 连结，则五边形就是所求的直观图. 29．（2025高一·全国月考）如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形．用斜二测画法画出的这个梯形的直观图为．求梯形的高． 【答案】 【分析】根据题意，作出梯形的直观图，结合斜二测画法的规则，结合，得到，直观图的高，即可求解. 【解析】如图（1）所示，过点作，垂足为，过作轴，垂足为， 因为四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，可得， 在直角中，可得，所以， 如图（2）所示，在梯形的直观图中， 分别坐标，，垂足分别为， 因为轴，所以， 延长交于点，根据斜二测画法的规则，可得， 在直角中，可得， 即直观图的高为. 30．（2025高二·上海闵行·期末）设一正方形纸片边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中，为正四棱锥底面中心．， （1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图； （2）设等腰三角形的底角为，试把正四棱锥的侧面积表示为的函数，并求范围． 【答案】（1），画图见解析；（2），. 【分析】（1）本题根据题意先求，再根据题意建立方程求棱长；最后根据棱长画出它的直观图即可； （2）先设，接着建立方程用表示出，再表示出，最后根据的范围求范围即可解题. 【解析】（1）由题意，设正四棱锥的棱长为，则， ， （2）设，则，由，可得， 从而，其中， ∴ 【点睛】本题考查画几何体的直观图、根据几何体的边角关系建立函数关系并求范围，是中档题. 31．（2025高一·全国月考）如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.    【答案】图见解析， 【分析】首先根据斜二测画法的规则，画出四边形的直观图，再结合面积公式，即可计算. 【解析】由斜二测画法可知，在直观图中，，，，，，，，，， 所以 .    学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$