专题13 复数的三角表示7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题13 复数的三角表示7题型分类 一、复数的辅角 1、辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角. 2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作. 二、复数的三角形式 定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 三、复数的代数式与三角式互化 1、将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同，当，时，. 2、每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等. 四、复数乘法运算的三角表示及其几何意义 1、复数乘法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和. 2、复数乘法运算的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义. 五、复数除法运算的三角表示及其几何意义 1、复数除法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. 2、两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义. （一） 复数的代数式与三角式互化 复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连. 题型1：复数的代数式与三角式互化 1．（2025高一·全国月考）把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量： （1）4； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；作图见解析（2）；作图见解析（3）；作图见解析（4）;作图见解析 【分析】只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式. 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）. 分别对应向量，如图所示.    【点睛】本题考查复数的三角形式，关键是求出复数的模和辐角，复数三角形式中辐角不一定是主值即不一定在内． 2．（2025高一·全国月考）将下列复数的代数形式化成三角形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助复数的三角表示的定义计算即可得答案. （2）借助复数的三角表示的定义计算即可得答案. 【解析】（1），所以， 对应的点在第一象限，所以， 所以． （2），所以， 对应的点在第四象限，所以，所以． 3．（2025高一·上海·随堂练习）把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】由复数的三角形式表示的概念可得解. 【解析】（1）由复数的三角形式表示为，且，且，， 又，所以，解得， 所以； （2）由，所以，解得， 所以； （3）由，所以，解得， 所以； （4）由，所以，解得， 所以. 4．（2024·全国）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角形式直接得到答案. 【解析】复数的三角形式为，，对比选项知B满足. 故选：B 5．（2025高一·全国月考）把下列复数表示成代数形式： （1）； （2）； （3） （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】求出各复数的实部和虚部三角函数值，即可求解. 【解析】解.（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式. 【点睛】本题考查复数三角形式与代数形式互化，属于基础题. 6．（2025高一·全国月考）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. （1）； （2）. 【答案】（1）不是，（2）不是，. 【解析】（1）根据复数的三角形式的定义，结合题意，本题中模是负数，显然不是三角形式，需要借助诱导公式化简； （2）根据复数的三角形式的定义，显然不是复数，借助诱导公式化简即可. 【解析】（1）不是. （2）不是. . 【点睛】本题考查复数的三角形式的辨识，以及化简复数为三角形式的能力，需要注意合理利用诱导公式. 7．（2025高一·湖南月考）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是三角形式，化为三角形式为； (2)不是三角形式，化为三角形式为； (3)不是三角形式，化为三角形式为； (4)是三角形式. 【分析】直接利用复数的三角形式求解即可. 【解析】（1）不是三角形式， ， 其中，故三角形式为； （2）不是三角形式， ， 其中，故三角形式为； （3）不是三角形式， ， ，故三角形式为； （4）是三角形式. 8．（2025高一·上海·随堂练习）下列复数是否是用三角形式来表示的？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 【分析】利用复数的三角形式判断即可． 【解析】（1）解：，，，满足复数三角形式，所以正确； （2）解：，不满足复数的三角形式，所以不正确； （3）解：，，满足复数的三角形式，所以正确； （4）解：，，，满足复数的三角形式，正确； （5）解：，不满足复数的三角形式，不是复数的模，所以不正确； （6）解：不满足复数的三角形式，的前面是，不是，所以不正确． 题型2：欧拉公式 9．（2025·四川成都·模拟预测）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．为虚数 B．函数不是周期函数 C．若，则 D．的共轭复数是 【答案】D 【分析】 A选项，根据题意计算出，A错误；B选项，由是周期函数，得到答案；C选项，根据欧拉公式得到，C错误；D选项，计算出，得到共轭复数. 【解析】A选项，，为实数，A错误； B选项，，由于是最小正周期为的函数，所以是周期函数，B错误； C选项，由题意得，所以， 又时，，故C错误； D选项， ， 故共轭复数是，D正确. 故选：D 10．（2025高一·广东广州·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（    ） A． B．为实数 C． D．复数对应的点位于第三象限 【答案】C 【分析】 利用复数的欧拉公式可判断AB选项；利用欧拉公式以及复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可判断C选项；利用欧拉公式以及复数的几何意义可判断D选项. 【解析】对于A选项，，A错； 对于B选项，为纯虚数，B错； 对于C选项，因为， 因此，，C对； 对于D选项，，则，， 所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限，D错. 故选：C. 11．（2025高一·全国月考）计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角运算公式运算即可. 【解析】因为 所以， 所以， 故选：B. 12．（2025高三·辽宁·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接计算得到，再计算共轭复数得到答案. 【解析】，故. 故选：A. 13．（2025高一·江苏苏州·期中）欧拉公式是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按已知公式展开，由等式列出方程组，解出，进而求解. 【解析】 ， ， ， ，， 即，， . 故选：A. （二） 复数的辅角主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π. 因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的. 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 题型3：求复数的辅角主值 14．（2025高一·福建厦门·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把复数变为一个角的三角形式即可求解. 【解析】因为，所以. 故选：C 15．（2025高一·全国月考）的辐角主值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的三角形式，对选项逐一分析判断即可. 【解析】对于A，若辐角主值为，则，不可能为，故A错误； 对于B，若辐角主值为，则，不可能为，故B错误； 对于C，若辐角主值为，则，当时，，故C正确； 对于D，由于辐角主值的范围为，不可能为，故D错误. 故选：C. 16．（2003·全国）设复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数，利用复数的除法得到，再转化为三角形式求解. 【解析】解：因为复数， 所以， ， ， ， 所以， 故选：C 17．（2025高一·全国月考）设，则复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解． 【解析】解：， 因为， 所以，所以， 所以该复数的辐角主值为． 故选：B. （三） 三角形式下复数的乘、除运算 1.复数乘法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和. 2.复数除法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. 题型4：三角形式下复数的乘法运算 18．（2025高一·全国月考）求证： (1) (2) 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】将各因式化为三角形式，按照复数三角形的乘法法则，即可得证. 【解析】（1）左边 ， ∴. （2）左边 ， ∴. 19．（2025高一·全国月考）已知为虚数单位，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用复数三角形式乘法运算法则计算即可. 【解析】， . 故选：D. 题型5：三角形式下复数的除法运算 20．（2025高一·全国月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用复数运算的三角表示化简可得结果； 【解析】（1）原式． （2）原式 ． 21．（2025高一·全国月考）计算下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】直接根据复数三角形式的运算法则化简求值． 【解析】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查复数三角形式的运算法则，属于基础题． 22．（2025高一·全国月考） . 【答案】 【解析】先将代数形式的复数，以及非标准三角形式的复数，都化为标准三角形式，再用除法法则计算. 【解析】 = 故答案为： . 【点睛】本题考查复数三角形式的除法法则，属基础题，本题中需要将代数形式的复数，以及非标准三角形式的复数化为标准三角形式. 题型6：三角表示下复数的乘方与开方 23．（2004·湖北）复数的值是（    ） A． B．16 C． D． 【答案】A 【分析】 应用复数的三角形式的乘方、除法运算化简求值即可. 【解析】. 故选：A 24．（2025高一·全国月考）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数三角形式的乘方运算可解. 【解析】， 故选:B 25．（2025高一·全国月考）计算：（    ）． A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】首先写成复数的三角形式，再利用乘方公式，即可化简求值. 【解析】设， 所以 . 故选：D 26．（2025高二·广东佛山·期末）在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将表示为三角形式，然后结合棣莫弗定理求得正确答案. 【解析】由题意，得当时，，， ∴ ． ∵， ∴， 故选：D 27．（2025·江西·模拟预测）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据棣莫弗公式及诱导公式代入计算即可． 【解析】解：由已知得， 复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限． 故选：C． （四） 复数乘、除运算的几何意义 1.复数乘法运算的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 2.如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 题型7：复数乘、除运算的几何意义 28．（2024·北京）设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，令对应的复数为的辐角主值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 将给定的复数化成三角形式，再利用复数乘法的三角形式求出的辐角主值，即可计算作答. 【解析】复数，因按顺时针方向旋转后得到向量， 依题意，， 因此复数的辐角主值，所以. 故选：C 29．（2025高一·全国月考）设对应的向量为，将绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量对应的复数（用代数形式表示） 【答案】逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为：；按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为 【解析】将复数对应的向量变换为复数三角形式的乘积，即可求解. 【解析】解：将绕点O按逆时针方向旋转45°所得向量对应的复数为： . 将绕点O按顺时针方向旋转60°所得向量对应的复数为 【点睛】本题考查复数乘法几何意义的应用，考查计算能力，属于中档题 30．（2025高一·全国月考）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）. 【答案】 【解析】根据三角形式的复数乘法意义，应用乘法法则，计算即可. 【解析】与所得向量对应的复数为 = . 【点睛】本题考查复数三角形式乘法的意义，属基础题. 31．（2025高一·全国月考）如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转，得到，求向量对应的复数（用代数形式表示）. 【答案】. 【分析】把绕点O按逆时针方向旋转，等于，计算即可. 【解析】向量对应的复数为 ， 故答案为：. 32．（2025高一·全国月考）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）. 【答案】 【解析】根据复数除法的意义，进行计算即可. 【解析】与所得向量对应的复数为 . 【点睛】本题考查复数的除法的意义，属基础题. 33．（2025高一·全国月考）把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数. 【答案】 【解析】由题意知，复数对应的向量按顺时钟方向旋转，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转的复数，利用复数的运算法则得到结果． 【解析】， 对应向量绕原点顺时针方向旋转，所得向量对应复数为 . 【点睛】本题考查复数的运算，考查复数与向量的对应，复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误，属于基础题． 34．（2025高一·福建泉州月考）在复平面内，点A对应的复数是，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量. (1)求点C对应的复数； (2)已知点B对应的复数z满足，且，求复数z. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用复数的几何意义和复数的乘法运算求解； （2）根据题意，由向量对应的复数或求解. 【解析】（1）解：因为点A对应的复数是，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°， 所以； （2）因为点B对应的复数z满足，且， 所以向量对应的复数， 或， ∴或， ∴或. 一、单选题 1．（2024高一·全国月考）复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 【答案】D 【分析】直接代入三角函数值即可运算求解. 【解析】. 故选：D. 2．（2025高二·云南昭通·期中）棣莫佛定理：若复数，则，计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形得出，再由棣莫佛定理可求得的值. 【解析】因为， 所以，. 故选：A. 3．（2025高一·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【解析】， 所以辐角的主值为. 故选：A 4．（2025高三·全国月考）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的三角形式即可得解. 【解析】依题意，令， 则，所以， 因为，所以， 所以的三角形式是. 故选：D. 5．（2025高三·甘肃月考）复数分别对应复平面内的点，若将按逆时针方向旋转得对应复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的几何意义以及四则运算即可求解. 【解析】由题意， 所以， 所以. 故选：A. 6．（2025高一·河南安阳月考）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】化为三角形式，根据棣莫弗定理求解. 【解析】. 故选：B 7．（2025高一·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【解析】， 故选：C. 8．（2025高一·全国月考）设A，B，C是的内角，是一个实数，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不能确定 【答案】C 【分析】利用复数的三角运算求出，再由虚部为0求解判断. 【解析】依题意，， 由复数是实数，得，在中，， 由，得，因此，解得， 所以是直角三角形. 故选：C 9．（2025高三·上海青浦月考）若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（    ） A．一条直线上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．一支双曲线上 【答案】B 【分析】根据已知条件设出，化简，由此确定正确答案. 【解析】依题意，复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上， 设圆的半径为，则可设， 则 ， 的对应点均在半径为的圆上. 故选：B 10．（2025高三·全国月考）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据欧拉公式写出复数的代数形式，进而确定对应点，即可得答案. 【解析】由题可得， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B 11．（2025高一·全国月考）已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】D 【分析】先根据复数的除法运算求出复数值，然后结合复数性质逐一分析每个选项 【解析】， ，A选项错误， 的虚部是，B选项错误； ，C选项错误， 在复平面内对应的点为，在第一象限，D选项正确. 故选：D 12．（2025高一·全国月考）复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】利用复数的三角形式，可得，可求的最大值，进而求得，计算可判断图形的形状. 【解析】，．， ， 当时，取得最大值， 即当，，即，时，取最大值， 此时，． 又，， ． ． 又， ，且， 该图形为等腰三角形． 故选：D． 13．（2025高一·全国月考）复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（   ） A．3 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可. 【解析】由题意，得， 由复数相等的定义，得 解得，． 故选：C 14．（2025高一·全国月考）复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的三角形式的运算求解即可. 【解析】因为是方程的一个根， 所以． 故选：D. 二、多选题 15．（2025高一·山东济南·期末）任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．当，时， C．当，时， D．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 【答案】AC 【分析】运用题意中提供的棣莫弗定理，结合复数的运算规则，逐项进行运算求解. 【解析】选项A：， 故， 又因为， 所以，选项A正确； 选项B：当，时， 由棣莫弗定理得，， 所以选项B错误； 选项C：当，时， 由棣莫弗定理得，， 所以 所以选项C正确； 选项D：当，时， 由棣莫弗定理得，， 当时， ，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数， 所以选项D错误； 故选：AC. 16．（2025高三·云南月考）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据棣莫佛定理可得的一般形式，故可得正确的选项. 【解析】设，其中，则， 故，而，故， 故，故， 故BD正确，AC错误； 故选：BD. 17．（2025·江西萍乡·模拟预测）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为3 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可判断A；设，则，再根据的范围可判断B；根据可得，再举反例可判断C；两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小可判断D. 【解析】对于A，若，则复平面内以有向线段和为邻边的平行四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知，选项A正确； 对于B，若，则点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆， 设， 则， 因为，可得，故B正确； 对于C， ，取，显然，但，故C错误； 对于D，两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 18．（2025高一·全国月考） ． 【答案】 【分析】写出，的三角表示，应用三角形式除法化简复数即可. 【解析】由，， 所以. 故答案为： 19．（2025高一·全国月考）设，则 ． 【答案】 【分析】将复数表示成三角形式，利用复数三角形式的乘方法则可化简. 【解析】因为， 所以，. 故答案为：. 20．（2025高一·全国月考）1的所有四次方根为 ． 【答案】 【分析】根据四次方根的定义在复数范围内求解即可. 【解析】解：设1的四次方根为，则，所以解得或，则或. 故1的所有四次方根为. 故答案为：. 21．（2025高一·全国月考）利用1的立方根，则8立方根是 ． 【答案】， 【分析】设立方根为形式，由可得且，结合求结果. 【解析】令1的立方根为且，则， 所以，即，且，即，故且， 则且， 当时， 当时， 当时； 同理，令且， 所以，即，且，即，故且， 则且， 当时， 当时， 当时； 故答案为：， 四、解答题 22．（2025高一·全国月考）已知实数，写出下列复数的三角表示． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据复数的三角形式的定义直接求解即可 【解析】（1）复数（）对应的复数为，其辐角为0， 复数的三角形式为； （2）复数（）对应的复数为，对应的点在轴正半轴上，其辐角为， 复数的三角形式为 （3）复数（）对应的复数为，对应的点在轴负半轴上，其辐角为， 复数的三角形式为 （4）复数（）对应的复数为，对应的点在轴负半轴上，其辐角为， 复数的三角形式为 23．（2025高一·全国月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】复数化为三角形式，按三角形式的乘除运算法则，即可求解. 【解析】（1）． （2）原式． 24．（2025高一·全国月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】直接利用复数的三角表示的运算法则结合三角恒等变换计算得到答案. 【解析】（1）原式． （2）原式． 25．（2025高一·重庆月考）任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. (1)试将写成三角形式； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；； (3)计算：的值. 【答案】(1) (2)推导过程见解析 (3) 【分析】（1）求出复数的模，根据复数的三角形式，即可求得答案； （2）设模为1的复数为，利用复数的乘方运算，结合复数的相等以及同角的三角函数关系化简，即可推得结论； （3）由（2）的结论结合恒等变换推出，继而得，，再结合，化简，即可求得答案. 【解析】（1）由于，故， 则； （2）设模为1的复数为， 则 ， 由复数乘方公式可得， 故； （3）首先证明：； 由于，则， 则，故， 则可得 ， ， 所以 . 【点睛】难点点睛：本题考查了复数的新定义问题，解答时要注意理解棣莫弗定理的含义以及复数乘方的运算，解答的难点在于第三问的求值，解答时要利用三倍角公式结合恒等变换化简，并结合进行求解. 26．（2024·河南郑州·模拟预测）复数除了代数形式之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著名的欧拉公式体现了两种形式之间的联系．利用复数的三角形式进行乘法运算，我们可以定义旋转变换．根据，我们定义：在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变换．设点经过旋转角是的旋转变换下得到的点为，且旋转变换的表达式为曲线的旋转变换也如此，比如将“对勾”函数图象上每一点绕原点逆时针旋转后就得到双曲线：． (1)求点在旋转角是的旋转变化下得到的点的坐标； (2)求曲线在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程； (3)等边中，在曲线上，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用欧拉公式和点的旋转变换求解即可； （2）利用欧拉公式和曲线的旋转变换求解即可； （3）设在旋转角是的旋转变换下所得的点分别为，先求出，由题意可知为等边三角形，的面积即为的面积，分类讨论当和同在曲线的下支时和当和同在曲线的上支时，求出，即可得出答案. 【解析】（1）由题可设所求点的坐标为，由 得所求点的坐标为． （2）设曲线上任意一点在旋转角是的旋转变换下所得点坐标为． 则即 得， 所求曲线方程为． （3）由题点在旋转角是的旋转变换下所得的点为． 设在旋转角是的旋转变换下所得的点分别为和． 设曲线在旋转角是的旋转变换下所得曲线为， 则方程为． 则是曲线的下顶点． 由题，为等边三角形，的面积即为的面积． 设的边长为，由双曲线的对称性： 当和同在曲线的下支时，则， 代入的方程得无解． 当和同在曲线的上支时，则， 代入的方程得的面积为． 综上所述，的面积为． 【点睛】关键点睛：本题的关键点是利用欧拉公式和点的旋转变换求出点在旋转角是的旋转变换下所得的点为，设在旋转角是的旋转变换下所得的点分别为，由题意分析知为等边三角形，的面积即为的面积，分类讨论当和同在曲线的下支时和当和同在曲线的上支时，求出，即可得出答案. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册） 专题13 复数的三角表示7题型分类 一、复数的辅角 1、辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角. 2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作. 二、复数的三角形式 定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 三、复数的代数式与三角式互化 1、将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同，当，时，. 2、每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等. 四、复数乘法运算的三角表示及其几何意义 1、复数乘法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和. 2、复数乘法运算的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义. 五、复数除法运算的三角表示及其几何意义 1、复数除法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. 2、两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义. （一） 复数的代数式与三角式互化 复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连. 题型1：复数的代数式与三角式互化 1．（2025高一·全国月考）把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量： （1）4； （2）； （3）； （4）. 2．（2025高一·全国月考）将下列复数的代数形式化成三角形式： (1)； (2)． 3．（2025高一·上海·随堂练习）把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）. (1)； (2)； (3)； (4). 4．（2024·全国）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国月考）把下列复数表示成代数形式： （1）； （2）； （3） （4）. 6．（2025高一·全国月考）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. （1）； （2）. 7．（2025高一·湖南月考）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（2025高一·上海·随堂练习）下列复数是否是用三角形式来表示的？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6)． 题型2：欧拉公式 9．（2025·四川成都·模拟预测）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．为虚数 B．函数不是周期函数 C．若，则 D．的共轭复数是 10．（2025高一·广东广州·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（    ） A． B．为实数 C． D．复数对应的点位于第三象限 11．（2025高一·全国月考）计算的值是（    ） A． B． C． D． 12．（2025高三·辽宁·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 13．（2025高一·江苏苏州·期中）欧拉公式是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知，则（    ） A． B． C． D． （二） 复数的辅角主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0argz<2π. 因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的. 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 题型3：求复数的辅角主值 14．（2025高一·福建厦门·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025高一·全国月考）的辐角主值为（    ）． A． B． C． D． 16．（2003·全国）设复数，则（    ） A． B． C． D． 17．（2025高一·全国月考）设，则复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． （三） 三角形式下复数的乘、除运算 1.复数乘法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和. 2.复数除法运算的三角表示：已知，，则.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. 题型4：三角形式下复数的乘法运算 18．（2025高一·全国月考）求证： (1) (2) 19．（2025高一·全国月考）已知为虚数单位，，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型5：三角形式下复数的除法运算 20．（2025高一·全国月考）计算： (1)； (2)． 21．（2025高一·全国月考）计算下列各式的值： （1）； （2）. 22．（2025高一·全国月考） . 题型6：三角表示下复数的乘方与开方 23．（2004·湖北）复数的值是（    ） A． B．16 C． D． 24．（2025高一·全国月考）计算（    ） A． B． C． D． 25．（2025高一·全国月考）计算：（    ）． A．； B．； C．； D．． 26．（2025高二·广东佛山·期末）在复平面内，复数对应向量为（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（    ） A． B． C． D． 27．（2025·江西·模拟预测）棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （四） 复数乘、除运算的几何意义 1.复数乘法运算的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 2.如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 题型7：复数乘、除运算的几何意义 28．（2024·北京）设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，令对应的复数为的辐角主值为，则（    ） A． B． C． D． 29．（2025高一·全国月考）设对应的向量为，将绕点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45°和60°，求所得向量对应的复数（用代数形式表示） 30．（2025高一·全国月考）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）. 31．（2025高一·全国月考）如图，向量对应的复数为，把绕点O按逆时针方向旋转，得到，求向量对应的复数（用代数形式表示）. 32．（2025高一·全国月考）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）. 33．（2025高一·全国月考）把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数. 34．（2025高一·福建泉州月考）在复平面内，点A对应的复数是，向量绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量. (1)求点C对应的复数； (2)已知点B对应的复数z满足，且，求复数z. 一、单选题 1．（2024高一·全国月考）复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 2．（2025高二·云南昭通·期中）棣莫佛定理：若复数，则，计算（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国月考）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·甘肃月考）复数分别对应复平面内的点，若将按逆时针方向旋转得对应复数，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025高一·河南安阳月考）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 7．（2025高一·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 8．（2025高一·全国月考）设A，B，C是的内角，是一个实数，则是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不能确定 9．（2025高三·上海青浦月考）若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（    ） A．一条直线上 B．一个圆上 C．一条抛物线上 D．一支双曲线上 10．（2025高三·全国月考）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（2025高一·全国月考）已知为虚数单位，复数，则以下命题为真命题的是（   ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 12．（2025高一·全国月考）复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 13．（2025高一·全国月考）复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（   ） A．3 B．12 C． D． 14．（2025高一·全国月考）复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（2025高一·山东济南·期末）任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．当，时， C．当，时， D．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 16．（2025高三·云南月考）设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·江西萍乡·模拟预测）已知复数，（）在复平面内对应的向量分别为，（其中为原点），则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为3 C．若，则 D．若，则 三、填空题 18．（2025高一·全国月考） ． 19．（2025高一·全国月考）设，则 ． 20．（2025高一·全国月考）1的所有四次方根为 ． 21．（2025高一·全国月考）利用1的立方根，则8立方根是 ． 四、解答题 22．（2025高一·全国月考）已知实数，写出下列复数的三角表示． (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（2025高一·全国月考）计算： (1)； (2)． 24．（2025高一·全国月考）计算： (1)； (2)． 25．（2025高一·重庆月考）任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. (1)试将写成三角形式； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；； (3)计算：的值. 26．（2024·河南郑州·模拟预测）复数除了代数形式之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著名的欧拉公式体现了两种形式之间的联系．利用复数的三角形式进行乘法运算，我们可以定义旋转变换．根据，我们定义：在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变换．设点经过旋转角是的旋转变换下得到的点为，且旋转变换的表达式为曲线的旋转变换也如此，比如将“对勾”函数图象上每一点绕原点逆时针旋转后就得到双曲线：． (1)求点在旋转角是的旋转变化下得到的点的坐标； (2)求曲线在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程； (3)等边中，在曲线上，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$