17.3.4 求一次函数的表达式 学案 2024—2025学年华东师大版数学八年级下册

4.求一次函数的表达式 课时学习目标 素养目标达成 1.会用待定系数法求一次函数的表达式 抽象能力、运算能力 2.会利用一次函数表达式、性质、图象解决简单的实际问题 模型观念、运算能力、应用意识 基础主干落实　　起步起势 向上向阳 新知要点 待定系数法求一次函数表达式的思维模型 对点小练 在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+3(k≠0)的图象经过点A(-1,1),则这个一次函数的表达式是(C) A.y=-2x+3 B.y=x+3 C.y=2x+3 D.y=x+3 重点典例研析　　学贵有方 进而有道 重点1 待定系数法求一次函数表达式(模型观念、运算能力) 【典例1】(教材再开发·P51做一做延伸) 如图,在直角坐标系中,一次函数y=-2x+8的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B,在y轴上取一点C,连结BC,使AC=BC. (1)求点C的坐标和直线BC的表达式; (2)在线段AB上取一点D,若点D的横坐标为2,请你在x轴上找一点P,使得PD+PC的值最小,并求出此时点P的坐标. 【自主解答】(1)当x=0时,y=-2×0+8=8, ∴A(0,8), 当y=0时,-2x+8=0,解得x=4,∴B(4,0), 设C(0,t),则OC=t,AC=BC=8-t, 在Rt△OBC中,42+t2=(8-t)2,解得t=3,∴C(0,3), 设直线BC的表达式为y=kx+b, 把B(4,0),C(0,3)分别代入得,解得, ∴直线BC的表达式为y=-x+3; (2)作点C关于x轴的对称点C',连结DC'交x轴于点P,如图, ∵PC=PC', ∴PC+PD=PC'+PD=DC', ∴此时PC+PD的值最小, 当x=2时,y=-2x+8=4, ∴D(2,4), ∵点C'与C(0,3)关于x轴对称, ∴C'(0,-3), 设直线DC'的表达式为y=k'x+b', 把C'(0,-3),D(2,4)分别代入 得,解得, ∴直线DC'的表达式为y=x-3, 当y=0时,x-3=0,解得x=, ∴P点坐标为(,0). 【举一反三】 1.(2024·临汾期中)如图,一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点B(4,0),则该函数的表达式为(B) A.y=-x+3 B.y=-x+3 C.y=-x+4 D.y=-x+4 2.(2024·北京期中)函数y=mx+1(m≠0)的图象经过(2,-1),那么m=　-1　.  【技法点拨】 求一次函数表达式的四个步骤 (1)设:设函数表达式为y=kx+b(k≠0). (2)代:将已知点的坐标或x,y的对应值代入所设表达式中,得到关于系数k,b的方程组. (3)解:解方程组求得系数k,b的值. (4)写:将k,b的值代入所设表达式中,写出表达式. 重点2 实际情境下求一次函数表达式(运算能力、应用意识) 【典例2】(教材溯源·P50例4·2023连云港中考)目前,我市对市区居民用气户的燃气收费,以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯: 阶梯 年用气量 销售价格 备注 第一 阶梯 0~400 m3(含 400)的部分 2.67元 /m3 若家庭人口超 过4人的,每增 加1人,第一、 二阶梯年用气 量的上限分别 增加100 m3, 200 m3. 第二 阶梯 400~1 200 m3 (含1 200)的 部分 3.15元 /m3 第三 阶梯 1 200m3以上的 部分 3.63元 /m3 (1)一户家庭人口为3人,年用气量为200 m3,则该年此户需缴纳燃气费用为 　　　　元;  (2)一户家庭人口不超过4人,年用气量为x m3(x>1 200),该年此户需缴纳燃气费用为y元,求y与x的函数表达式; (3)甲户家庭人口为3人,乙户家庭人口为5人,某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3 855元,求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气?(结果精确到1 m3) 【自主解答】(1)200×2.67=534(元). 答案:534 (2)根据题意得:y=400×2.67+(1 200-400)×3.15+3.63(x-1 200)=3.63x-768, ∴y与x的函数表达式为y=3.63x-768(x>1 200); (3)∵400×2.67+(1 200-400)×3.15=3 588<3 855, ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯, 由(2)知,当y=3 855时,3.63x-768=3 855, 解得x≈1 273.6, 又∵2.67×(100+400)+3.15×(1 200+200-500)=4 170>3 855,且2.67×(100+400)=1 335<3 855, ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯,但未达到第三阶梯, 设乙户年用气量为a m3,则有2.67×500+3.15(a-500)=3 855,解得a=1 300, 1 300-1 273.6=26.4≈26 m3, 答:该年乙户比甲户多用约26 m3的燃气. 【举一反三】 1.(2024·山西中考)生物学研究表明,某种蛇在一定生长阶段,其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数,部分数据如表所示,则y与x之间的关系式为(A) 尾长(cm) 6 8 10 体长y(cm) 45.5 60.5 75.5 A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5 C.y=15x D.y=15x+45.5 2.(2024·深圳模拟)某社区采购春节慰问礼品,购买了甲、乙两种类型的粮油套装.甲种粮油套装单价比乙种粮油套装单价多30元,用1 200元购买甲种粮油套装和用900元购买乙种粮油套装的数量相同. (1)求甲、乙两种粮油套装的单价分别是多少元. (2)社区准备再次购买甲种和乙种粮油套装共40件,购买乙种粮油套装不超过甲种粮油套装的3倍,且商家给出了两种粮油套装均打八折的优惠.问购买甲种和乙种粮油套装各多少件时花费最少?最少花费是多少元? 【解析】(1)设甲种粮油套装的单价为x元, 则乙种粮油套装的单价为(x-30)元, 根据题意得,=,解得,x=120, 经检验,x=120是原方程的根,∴x-30=90, 答:甲、乙两种粮油套装的单价分别是120元和90元; (2)设购买甲种粮油套装m件,购买乙种粮油套装(40-m)件,购买总花费w元,由题意得,40-m≤3m, 解得,m≥10,w=120×0.8m+90×0.8(40-m)=24m+2 880, ∵24>0,∴w随m的减小而减小. 当m=10时,w取得最小值3 120,∴40-m=30, 答:购买甲种粮油套装10件和乙种粮油套装30件时花费最少,最少花费是3 120元. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.求一次函数的表达式 课时学习目标 素养目标达成 1.会用待定系数法求一次函数的表达式 抽象能力、运算能力 2.会利用一次函数表达式、性质、图象解决简单的实际问题 模型观念、运算能力、应用意识 基础主干落实　　起步起势 向上向阳 新知要点 待定系数法求一次函数表达式的思维模型 对点小练 在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+3(k≠0)的图象经过点A(-1,1),则这个一次函数的表达式是( ) A.y=-2x+3 B.y=x+3 C.y=2x+3 D.y=x+3 重点典例研析　　学贵有方 进而有道 重点1 待定系数法求一次函数表达式(模型观念、运算能力) 【典例1】(教材再开发·P51做一做延伸) 如图,在直角坐标系中,一次函数y=-2x+8的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B,在y轴上取一点C,连结BC,使AC=BC. (1)求点C的坐标和直线BC的表达式; (2)在线段AB上取一点D,若点D的横坐标为2,请你在x轴上找一点P,使得PD+PC的值最小,并求出此时点P的坐标. 【举一反三】 1.(2024·临汾期中)如图,一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点B(4,0),则该函数的表达式为( ) A.y=-x+3 B.y=-x+3 C.y=-x+4 D.y=-x+4 2.(2024·北京期中)函数y=mx+1(m≠0)的图象经过(2,-1),那么m= .  【技法点拨】 求一次函数表达式的四个步骤 (1)设:设函数表达式为y=kx+b(k≠0). (2)代:将已知点的坐标或x,y的对应值代入所设表达式中,得到关于系数k,b的方程组. (3)解:解方程组求得系数k,b的值. (4)写:将k,b的值代入所设表达式中,写出表达式. 重点2 实际情境下求一次函数表达式(运算能力、应用意识) 【典例2】(教材溯源·P50例4·2023连云港中考)目前,我市对市区居民用气户的燃气收费,以户为基础、年为计算周期设定了如表的三个气量阶梯: 阶梯 年用气量 销售价格 备注 第一 阶梯 0~400 m3(含 400)的部分 2.67元 /m3 若家庭人口超 过4人的,每增 加1人,第一、 二阶梯年用气 量的上限分别 增加100 m3, 200 m3. 第二 阶梯 400~1 200 m3 (含1 200)的 部分 3.15元 /m3 第三 阶梯 1 200m3以上的 部分 3.63元 /m3 (1)一户家庭人口为3人,年用气量为200 m3,则该年此户需缴纳燃气费用为 元;  (2)一户家庭人口不超过4人,年用气量为x m3(x>1 200),该年此户需缴纳燃气费用为y元,求y与x的函数表达式; (3)甲户家庭人口为3人,乙户家庭人口为5人,某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3 855元,求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气?(结果精确到1 m3) 【举一反三】 1.(2024·山西中考)生物学研究表明,某种蛇在一定生长阶段,其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数,部分数据如表所示,则y与x之间的关系式为( ) 尾长(cm) 6 8 10 体长y(cm) 45.5 60.5 75.5 A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5 C.y=15x D.y=15x+45.5 2.(2024·深圳模拟)某社区采购春节慰问礼品,购买了甲、乙两种类型的粮油套装.甲种粮油套装单价比乙种粮油套装单价多30元,用1 200元购买甲种粮油套装和用900元购买乙种粮油套装的数量相同. (1)求甲、乙两种粮油套装的单价分别是多少元. (2)社区准备再次购买甲种和乙种粮油套装共40件,购买乙种粮油套装不超过甲种粮油套装的3倍,且商家给出了两种粮油套装均打八折的优惠.问购买甲种和乙种粮油套装各多少件时花费最少?最少花费是多少元? 学科网（北京）股份有限公司 $$