精品解析：辽宁省沈阳市苏家屯区2024-2025学年九年级下学期期初教学诊断问卷数学试题

2024-2025学年度下学期九年级期初教学诊断问卷 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示，该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 2. 下列四个数中，无理数是（　　） A. B. C. D. 3. 地球的半径约为米，数字用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. “铜山湖”“白云山”“盘古山”和“板桥水库”是泌阳县四个有代表性旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“白云山”的概率是（ ） A B. C. D. 7. 如图，直线，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 某公司今年月份的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额达到万元，求该公司两个月营业额的月均增长率．如果设该公司两个月营业额的月均增长率为，则符合题意得方程是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，D为的中点，，，若，，则四边形的周长为（　　） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 10. 如图，已知两点的坐标分别为，将线段平移得到线段，若点的对应点是，则点的对应点的坐标是（　　） A. （5，2） B. （5，1） C. （4，1） D. （4，2） 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集为___________． 12. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．若点在抛物线上，点的等和点在直线上，则点的坐标为___________． 13. 如图，在中，点为的中点，过点作交于点，过点作交于点，连接交于点，则___________． 14. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，与交于点，为的中点，若四边形的面积为，则的值为___________． 15. 如图，在中，，，，点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 某航空公司为了保证检工作正常进行，事先组织机务人员到外地跟班学习检工作．后又具体分析研究，周密地制订出检的具体实施方案，因而工作效率提高了，经过31名机务人员的艰苦努力，终于提前5天完成了检，为公司节约了数十万元的维修费用．请问：原计划多少天完成检？（根据飞机维护规定，一架飞机每飞行h，要进行一次定期检查，称为检；每飞行h，就要进行一次中大修性质的全面维护、保养、检查工作，称检） 18. 某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项体能测试，以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用（引体向上个数）表示成绩，分成四组：组，组，组，组． 【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求组人数，并补全条形统计图； （2）八年级360人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？ （3）从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义． 19. 某商店购进一批单价为元的日用商品，在半月内，销售量 （单位：件）与销售单价 （单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求半月内与之间的函数解析式； （2）在半月内，若销售单价不低于元，且商店还要完成不少于件的销售任务，当销售单价为多少时，商店获得利润最大？最大利润是多少？ 20. 综合与实践：小刚学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处投射到底部处， 入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到距点最近的三等分点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】如图，点在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长（结果用根式表示）； （2）求之间的距离（结果精确到）．（参考数据：） 21. 如图，为的直径，为的弦，，垂足为点，在直径下方的上取一点，连接并延长，过点作交的延长线于点，连接且平分，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）求的值． 22. 综合与探究： 如图，正方形，点在射线上，连接，过点作，交射线于点． 【问题探究】 （1）如图1，点在线段上，求证： ①； ②； （2）如图2，点在线段上，将线段沿着方向向左平移，使点与点重合，点落在上的点处，与交于点，连接，取的中点，连接，在上取点，使得，若正方形的面积为36，求的最小值； 拓展延伸】 （3）点在射线上，射线与射线相交于点，若，求值． 23. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． （1）求此抛物线的函数解析式： （2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由； （3）过点作轴的平行线交反比例函数图象于点，过点作轴的平行线交轴于点为边上一点，在边上是否存在一点，使得且为等腰三角形；若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期九年级期初教学诊断问卷 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图所示，该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了左视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义． 左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可． 【详解】解：该几何体的左视图如选项D所示， 故选：D． 2. 下列四个数中，无理数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，特殊三角函数值，熟练掌握无理数的定义和特殊三角函数值是解答本题的关键． 根据无理数的定义和特殊三角函数值解答即可． 【详解】解：A、，是有理数，故A选项不符合题意； B、，是有理数，故B选项不符合题意； C、，是无理数，故C选项符合题意； D、，是有理数，故D选项不符合题意； 故选：C． 3. 地球的半径约为米，数字用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义与形式改写即可. 【详解】解: . 故选:B. 【点睛】本题考查将一般数改写为科学记数法的形式,理解掌握科学记数法的定义是解答关键. 4. 下列四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； 故选：D ． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据幂的运算法则，完全平方公式，合并同类项的法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 6. “铜山湖”“白云山”“盘古山”和“板桥水库”是泌阳县四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“白云山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选择两个景点中有“白云山”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设“铜山湖”“白云山”“盘古山”和“板桥水库”四个景点分别用A、B、C、D表示，列表如下： A B C D A ------ B ------ C ------ D ------ 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选择“白云山”的结果数有6种， ∴这两个景点中有“白云山”的概率为， 故选D． 7. 如图，直线，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 延长交于点，根据平行线的性质，得到，根据矩形的性质得到，根据直角三角形的性质计算即可得到答案. 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， 矩形， ， ， ， ， 故选：C. 8. 某公司今年月份的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额达到万元，求该公司两个月营业额的月均增长率．如果设该公司两个月营业额的月均增长率为，则符合题意得方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 根据题意正确列出方程即可． 【详解】解：根据题意得， 故选：D ． 9. 如图，在中，，D为的中点，，，若，，则四边形的周长为（　　） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件，，，结合勾股定理求出的长，根据直角三角形斜边中线的性质，可得；由已知条件，，可得四边形是平行四边形，再结合，可证得四边形是菱形，即可解答 本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线，熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的性质与判定是解题的关键 【详解】∵，，， ∴ ∵D为的中点， ∴ ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形菱形， ∵ ∴菱形的周长为 故选：A 10. 如图，已知两点的坐标分别为，将线段平移得到线段，若点的对应点是，则点的对应点的坐标是（　　） A. （5，2） B. （5，1） C. （4，1） D. （4，2） 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的坐标变化规律是横坐标右加左减，纵坐标上加下减. 根据点到点的坐标变化得到平移规律，根据此平移规律即可得到答案. 【详解】解：点平移后对应点， 点的平移规律是先向右平移个单位，再向上平移个单位， 点的对应点的坐标为， 即， 故选：B. 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键. 先求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可. 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为 故答案为：. 12. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．若点在抛物线上，点的等和点在直线上，则点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的应用、一元二次方程的应用，正确理解等和点的定义是解题关键．先分别设点的坐标为，设点的坐标为，再根据等和点的定义可得，即，解方程求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴可设点的坐标为， ∵点在直线上， ∴可设点的坐标为， ∵点是点的等和点， ∴， 整理得：， 解得或， 当时，，此时点的坐标为； 当时，，此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或． 13. 如图，在中，点为的中点，过点作交于点，过点作交于点，连接交于点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 证明四边形为平行四边形得，，证明得，证明得，即可求解． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， ，， 点为的中点，， 为的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 14. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，与交于点，为的中点，若四边形的面积为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数 的几何意义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这个知识点是解题的关键． 过点作于点，则，得到，得到，设，得到，再由列方程，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 为的中点， ， 点在反比例函数的图象上， 设， ， 根据题意得， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】作边上的中线，证明是等边三角形，进而可证明，得，，分两种情况：当时，当时，结合图形，解直角三角形，再用线段和差即可求解． 【详解】解：作边上的中线， 在中，， ， ， ，是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， 当时，如图所示： 此时， ，， ，， ； 当时，如图所示： ， ，， 综上所述，当为直角三角形时，则的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，角直角三角形的性质、全等三角形的性质及判定，等边三角形的性质及判定，正确作出辅助线，结合图形分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，特殊角三角函数，分数的混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． （1）根据负整数指数幂，特殊角三角函数，绝对值的化简，即可求解； （2）根据分数的混合运算法则，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 某航空公司为了保证检工作正常进行，事先组织机务人员到外地跟班学习检工作．后又具体分析研究，周密地制订出检的具体实施方案，因而工作效率提高了，经过31名机务人员的艰苦努力，终于提前5天完成了检，为公司节约了数十万元的维修费用．请问：原计划多少天完成检？（根据飞机维护规定，一架飞机每飞行h，要进行一次定期检查，称为检；每飞行h，就要进行一次中大修性质的全面维护、保养、检查工作，称检） 【答案】原计划30天完成检 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设原计划天完成检，根工作总量等于功效乘以工时，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设原计划天完成检，由题意，得： ， 解得：； 经检验：是原方程的解； 答：原计划30天完成检． 18. 某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项体能测试，以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用（引体向上个数）表示成绩，分成四组：组，组，组，组． 【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求组人数，并补全条形统计图； （2）八年级360人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？ （3）从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义． 【答案】（1）14；见详解 （2）162 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）用A组的频数除以A组的频率，可得样本容量，再用样本容量分别减去其它三组的频数，即可得出C组的频数，进而补全条形统计图； （2）用400乘样本中成绩不低于10个的人数所占比例即可； （3）根据平均数、中位数和众数解答即可． 本题考查频数分布直方图，中位数、众数、方差和加权平均数，理解中位数、众数、方差的意义以及和加权平均数的计算方法是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：样本容量为：， 故C组人数：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 （人）， 答：估计该校八年级参加测试的360名男生中成绩不低于10个的人数大约有162人； 【小问3详解】 平均数表示抽取的40名学生的平均成绩； 众数表示抽取的40名学生中得分在某个分数的人数最多； 中位数表示取的40名学生中，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的成绩（答案不唯一，任选其中一个说明即可）． 19. 某商店购进一批单价为元的日用商品，在半月内，销售量 （单位：件）与销售单价 （单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求半月内与之间的函数解析式； （2）在半月内，若销售单价不低于元，且商店还要完成不少于件的销售任务，当销售单价为多少时，商店获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为元时，商店获得利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，用待定系数法求函数解析式是解题的关键. （1）根据题意用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意得到，求出，得到商场获得的利润为，计算即可得到答案. 【小问1详解】 解：设半月内与之间的函数解析式为， 根据题意得， 解得 半月内与之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得 解得， 商场获得的利润为， ， 在范围内随的增大而减小， 当销售单价时，商店获得利润最大， 最大利润是（元）， 答：当销售单价为元时，商店获得利润最大，最大利润是元. 20. 综合与实践：小刚学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处投射到底部处， 入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到距点最近的的三等分点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】如图，点在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长（结果用根式表示）； （2）求之间的距离（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，用数形结合的思想解答是解题的关键. （1）根据计算即可； （2）根据求出的值，同理求出的值，计算即可得到答案. 【小问1详解】 解：根据题意得， 的长为； 【小问2详解】 解：根据题意得， ， ， ， 的距离为 21. 如图，为的直径，为的弦，，垂足为点，在直径下方的上取一点，连接并延长，过点作交的延长线于点，连接且平分，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）求的值． 【答案】（1）见解析 （2）40 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）连接，证明是的直径，根据垂径定理求出的半径为10，可得根据勾股定理求出，，再证明，求出，从而可得出的值 【小问1详解】 证明：∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵是的直径， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又 ∴即 ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：连接如图， ∵四边形是矩形， ∴ ∴是的直径， ∴三点共线， 设的半径为， ∵ ∴ ∵且 ∴ 在中，， ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 在中， ∴， 在中， ∴ ∵ ∴ ∴即 ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理解决本题的关键． 22. 综合与探究： 如图，正方形，点在射线上，连接，过点作，交射线于点． 【问题探究】 （1）如图1，点在线段上，求证： ①； ②； （2）如图2，点在线段上，将线段沿着方向向左平移，使点与点重合，点落在上的点处，与交于点，连接，取的中点，连接，在上取点，使得，若正方形的面积为36，求的最小值； 【拓展延伸】 （3）点在射线上，射线与射线相交于点，若，求的值． 【答案】（1）①证明过程见详解；②见详解；（2）5；（3）或 【解析】 【分析】（1）①由题意可得，，，进而可得，即可证明．②由可得，利用线段和差即可得结论； （2）先证明是直角三角形，得，在的延长线上取，连接，，，三点共线时，最小，即可得的最小值； （3）当N在线段的延长线上时，作于，由，证明，由，证明，，然后根据三角形面积公式求解即可；当N在线段上时，作于，由，得出，由，证明，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）①证明：正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ； ②， ， ； （2）解：线段沿着方向向左平移， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， 是的中点， ， 正方形的面积为36， ， ， ， 在的延长线上取，连接，， ， 三点共线时，最小， 此时， 在中， ， ，， ； （3）解：当N在线段的延长线上时，作于， ， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； 当N在线段上时，作于， ， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、平行线分线段成比例等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 23. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． （1）求此抛物线的函数解析式： （2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由； （3）过点作轴的平行线交反比例函数图象于点，过点作轴的平行线交轴于点为边上一点，在边上是否存在一点，使得且为等腰三角形；若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为， （3）的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）直接利用交点式可得抛物线的解析式； （2）求解，，，证明，可得，，再进一步求解即可； （3）分三种情况讨论：如图，当，时，可得，如图，当，时，可得，如图，当，时，过作，且，过作轴于，连接交于，再进一步利用等腰直角三角形的性质全等三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴， 此抛物线的函数解析式； 【小问2详解】 解：∵抛物线， 当时，， ∴，而， ∴， ∴， ∵轴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴， 当时， 取得最大值为， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当，时， ∴， ∵轴，轴，，在的图象上， ，， 过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，当，时， ∴， 过作于， 同理可得：， ∴，， ∴， 如图，当，时， 过作，且，过作轴于，连接交于， ∴，， ∴， 同理可得：，设， ∴，， ∴， ∴，， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当，则， 解得：， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴， 解得：，； 经检验不符合题意，舍去， ∴； 综上：的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与线段最值问题，二次函数与特殊角度问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，反比例函数的应用，锐角三角函数的应用，方程思想的应用，本题的难度很大，属于典型的压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$