2025年春九年级数学中考一轮复习 圆 解答专项练习题

2025年春九年级数学中考一轮复习《圆》解答专项练习题（附答案） 1．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC． （1）求∠AOB的度数． （2）求∠EOD的度数． 2．如图，AB、AC为⊙O的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F，∠B＝∠C．求证：CE＝BF． 3．如图，BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数． 4．阅读下列材料： 平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为|P1P2|＝，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为＝r，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程． 例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题． （1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：　 　； （2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系． 5．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交圆于点D，连接AC、BD． （1）请写出五个不同类型的正确结论； （2）若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径． 6．如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E．CE＝1，ED＝3， （1）求⊙O的半径； （2）求AB的长． 7．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m． （1）求拱桥的半径； （2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由． 8．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务关于圆的任务． 关于圆的引理 在《阿基米德全集》的《引理集》中，记述了古希腊的数学家、物理学家阿基米德提出的六个关于圆的引理，其中第二个引理为：如图，在半圆O中，P是上的任意一点，PN⊥直径AB于点N，D在直径AB上，且AN＝ND，在上取一点Q，使，连接BQ，则BQ＝BD． 任务： （1）尺规作图：请根据材料，在图中补全图形．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法）． （2）善思小组的同学尝试证明该引理，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分． 证明：连接PA，PD，PQ，QD． …… 9．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝5，BC＝8，CD＝6，AD＝5，试判断点A、B、C、D是否在同一个圆上，并证明你的结论． 10．“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A（2，3），B（﹣3，﹣7），C（5，11）是否可以确定一个圆． 11．已知：锐角三角形ABC内接于⊙O（AB＞AC），AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、AE交于点F． （1）如图1，若⊙O直径为17，AC＝15，求BF的长； （2）如图2，连接OA，若OA＝FA，AC＝BF，求∠OAD的大小． 12．如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M． （1）求证：＝． （2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°． 13．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若CD＝4，OE＝1，求⊙O的半径． 14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°．连接BD，作CF⊥BD，分别交BD，⊙O于点E，F，连接BF，交AD于点M，AB＝BC． （1）求证：BF∥CD． （2）当AD+CD＝5时，求线段BD的长． 15．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC． （1）求证：△PAD∽△PCB； （2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H． （1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）求证：点H为CE的中点． 17．如图，BC为⊙O直径，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，连接OD． （1）判断⊙O与直线DE交点的个数，并说明理由； （2）AB交⊙O于点F，连接DF．当∠ABC是多少度时，四边形OBFD是菱形？说明理由． 18．已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D为AB延长线一点，连接AC． （Ⅰ）如图①，OB＝BD，若DC与⊙O相切，求∠D和∠A的大小； （Ⅱ）如图②，CD与⊙O交于点E，AF⊥CD于点F连接AE，若∠EAB＝18°，求∠FAC的大小． 19．如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAD+∠ACB＝90°．O是BC垂直平分线与AC的交点，以点O为圆心，OC长为半径作⊙O．求证：AB为⊙O的切线． 20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA到点E，连接CE，∠D＝∠E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若CE＝8，AE＝5，求⊙O半径的长． 参考答案 1．解：（1）连OB，如图， ∵AB＝OC，OB＝OC， ∴AB＝BO， ∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°； （2）∵∠2＝∠A+∠1， ∴∠2＝2∠A， ∵OB＝OE， ∴∠2＝∠E， ∴∠E＝2∠A， ∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°． 2．证明：∵在△BOE和△COF中， ， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF， 又∵OB＝OC ∴CE＝BF． 3．解：设∠B＝x， ∵BD＝OD， ∴∠DOB＝∠B＝x， ∴∠ADO＝∠DOB+∠B＝2x， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO＝2x， ∵∠AOC＝∠A+∠B， ∴2x+x＝114°，解得x＝38°， ∴∠AOD＝180°﹣∠OAD﹣∠ADO＝180°﹣4x＝180°﹣4×38°＝28°． 4．解：（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4． 故答案为：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4． （2）由题意圆心为C（2，0）， ∵A（3，﹣1）， ∴AC＝＝＜2， ∴点A在⊙C内部． 5．解：（1）正确的结论有：CE＝BE，＝，OE＝AC，∠C＝90°，AC∥OD； （2）∵OD⊥BC，OD过圆心O，BC＝8， ∴∠OEB＝90°，BE＝CE＝4， 设⊙O的半径为R，则OB＝OD＝R， 由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2， 即R2＝（R﹣2）2+42， 解得：R＝5， 即⊙O的半径是5． 6．解：（1）∵CE＝1，ED＝3， ∴CD＝CE+DE＝4， ∴⊙O的半径为2； （2）∵直径CD⊥AB， ∴AB＝2AE，∠OEA＝90°， 连接OA，则OA＝OC＝2，OE＝OC﹣CE＝2﹣1＝1， 在Rt△OEA中，由勾股定理得：AE＝＝＝， ∴AB＝2AE＝2． 7．解：（1）如图，连接ON，OB． ∵OC⊥AB， ∴D为AB中点， ∵AB＝12m， ∴BD＝AB＝6m． 又∵CD＝4m， 设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m． 在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62， 解得r＝6.5． （2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m， ∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m）， ∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m）， 在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44， ∴EN＝（m）． ∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m． ∴此货船能顺利通过这座拱桥． 8．解：（1）补全图形如解图所示： （2）如图， ∵＝， ∴PA＝PQ， ∵PN⊥AB于点N， ∴∠PNA＝∠PND＝90°， 又∵AN＝ND，PN＝PN， ∴△APN≌△DPN（SAS）， ∴∠PAD＝∠PDA，PA＝PD． ∴PD＝PQ， ∴∠PQD＝∠PDQ， ∵四边形APQB是圆内接四边形， ∴∠PAD+∠PQB＝180°， ∴∠PDA+∠PQB＝180°， 又∵∠PDA+∠PDB＝180°， ∴∠PQB＝∠PDB ∵∠BQD＝∠BDQ， ∴BQ＝BD． 9．解：A、B、C、D在同一个圆上． 证明：连接BD． 在直角△ABD中，BD＝＝10， 在△BCD中，∵82+62＝100，即BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形． ∴B、C、D在以BD为直径的圆上． 又∵△ABD是直角三角形，则A、B、D在以BD为直径的圆上． ∴点A、B、C、D在以BD为直径的圆上． 10．解：设经过A，B两点的直线解析式为y＝kx+b， 由A（2，3），B（﹣3，﹣7）， 得， 解得． ∴经过A，B两点的直线解析式为y＝2x﹣1； 当x＝5时y＝2x﹣1＝2×5﹣1＝9≠11， 所以点C（5，11）不在直线AB上， 即A，B，C三点不在同一直线上， 因为“两点确定一条直线”， 所以A，B，C三点可以确定一个圆． 11．解：（1）如图1中，作⊙O的直径CM，连接AM，BM． ∵CM是直径， ∴∠CAM＝∠CBM＝90°， ∵CM＝17，AC＝15， ∴AM＝＝＝8， ∵AD⊥CB，BE⊥AC， ∴∠ADC＝∠MBC＝90°，∠BEC＝∠MAC＝90°， ∴AD∥BM，AM∥BE， ∴四边形AMBF是平行四边形， ∴BF＝AM＝8； （2）如图2中，作⊙O的直径CM，连接AM，BM，设AD交CM于J． 由（1）可知四边形AMBF是平行四边形， ∴AM＝BF，AF＝BM ∵AC＝BF， ∴AC＝AM， ∵∠MAC＝90°，MO＝OC， ∴AO⊥CM， ∵AD⊥BC， ∴∠AOJ＝∠CDJ＝90°， ∵∠AJO＝∠CJD， ∴∠DCJ＝∠JAO， ∵AF＝OA，AF＝BM， ∴OA＝BM， ∴CM＝2BM， ∵∠CBM＝90°， ∴sin∠BCM＝＝， ∴∠BCM＝30°， ∴∠OAD＝∠BCM＝30°． 12．（1）证明：如图，∵AB＝CD， ∴＝， ∴+＝+， ∴＝． （2）证明：连接AD． ∵＝， ∴∠ADC＝∠BAD， ∴∠AMC＝∠MAD+∠MDA＝2∠BAD， ∵AD是直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠CAB+∠AMC＝90°， ∴∠CAB+2∠BAD＝90°． 13．（1）证明：∵OC＝OB， ∴∠BCO＝∠B， ∵， ∴∠B＝∠D， ∴∠BCO＝∠D； （2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E， ∴CE＝CD， ∵CD＝4， ∴CE＝， 在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2， ∵OE＝1， ∴， 解得：OC＝3（负数舍去）， ∴⊙O的半径为3． 14．解：（1）∵AB＝BC， ∴， ∵∠ADC＝90°． ∴∠ADB＝∠BDC＝45°， ∵CF⊥BD， ∴∠DCF＝45°， 又∠F＝∠BDC＝45°， ∴∠F＝∠DCF＝45°， ∴BF∥CD； （2）如图： 延长AD至点N，使得DN＝DC，连接NC， ∵∠ADC＝90°，DN＝DC， ∴∠N＝∠DCN＝45°， ∴sinN＝， ∵AD+CD＝5， ∴AD+DN＝AN＝5， ∴∠N＝∠BDC， ∵∠DAC＝∠DBC， ∴△NAC∽△DBC， ∴， ∴， 解得：BD＝5， ∴线段BD的长为5． 15．（1）证明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等）， ∴△PAD∽△PCB； （2）解：∵△PAD∽△PCB， ∴＝， ∵PA＝3，PB＝8，CD＝10， ∴＝， 解得：PD＝4或6， 当PD＝4时，PC＝6， 当PD＝6时，PC＝4， ∵PD＜PC， ∴PD＝4． 16．（1）解：DH与⊙O相切．理由如下： 连接OD、AD，如图， ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， 而AO＝BO， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DH⊥AC， ∴OD⊥DH， ∴DH为⊙O的切线； （2）证明：连接DE，如图， ∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形， ∴∠DEC＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠DEC＝∠C， ∵DH⊥CE， ∴CH＝EH，即H为CE的中点． 17．解：（1）⊙O与直线DE交点的个数为1个， 理由：∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠OBD， ∴∠ODB＝∠ABD， ∴OD∥AB， ∵DE⊥AB， ∴DE⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴直线DE是⊙O的切线， ∴⊙O与直线DE交点的个数为1个； （2）当∠ABC＝60°时， 连接OF， ∵OB＝OF， ∴△OBF是等边三角形， ∴OB＝OF＝BF， ∴OD＝BF， 由（1）知，OD∥BF， ∴四边形OBFD是平行四边形， ∵OB＝OD， ∴平行四边形OBFD是菱形． 18．解：（Ⅰ）如图①，连接OC，BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵DC与⊙O相切， ∴∠OCD＝90°， ∵OB＝BD， ∴BC＝OD＝OB＝BD， ∴BC＝OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝∠COB＝60°， ∴∠BCD＝∠OCA＝30°， ∴∠D＝∠A＝30°； （Ⅱ）如图②，连接BE， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＝90°， ∵∠ACF是圆内接四边形ACEB的外角， ∴∠ACF＝∠ABE， ∴∠FAC＝∠EAB＝18°， 答：∠FAC的大小为18°． 19．证明：连接BO，并延长BO交CD于E， ∵O在BC垂直平分线上， ∴OB＝OC， ∴OB是⊙O的半径，∠ACB＝∠CBE， ∵AC是▱ABCD的对角线， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC＝∠DCA，∠DAC＝∠BCA，∠ABE＝∠BEC， ∵∠BAD+∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠DAC+∠ACB＝90°， ∴∠DCA+∠BCA+∠CBE＝90°， ∴∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠BEC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABE＝90°， ∴OB⊥AB， ∴AB为⊙O的切线． 20．（1）证明：连接OC，如图， ∵AD∥BC， ∴∠B＝∠DAB． ∵∠B＝∠D， ∴∠DAB＝∠D． ∵∠D＝∠E， ∴∠DAB＝∠E， ∴AB∥EC． ∵＝， ∴OC⊥AB， ∴OC⊥EC． ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：连接OC，OB，OC交AB于点F，如图， 由（1）知：AB∥EC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCE为平行四边形， ∴BC＝AE＝5，AB＝EC＝8． ∵OC⊥AB， ∴AF＝BF＝AB＝4． ∴FC＝＝3． 设⊙O半径的长为r，则OF＝OC﹣CF＝r﹣3， ∵OF2+BF2＝OB2， ∴（r﹣3）2+42＝r2， 解得：r＝． ∴⊙O半径的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $$