10.2 事件的相互独立性课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.2 事件的相互独立性 邯郸市荀子中学 郭素霞 必修二 第十章 概 率 学习目标 1.理解两个随机事件相互独立的概念； 2.掌握相互独立事件同时发生的概率计算公式，并能通过计算公式解决实际问题； 3.理解互斥事件与相互独立事件的区别. 新知引入 1.三张奖券有一张可以中奖. 现由三名同学依次无放回地抽取，请问最 后一名去抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的影响吗？ 会 第一位同学没有中奖 A 最后一名同学中奖 B 条件概率 一般地， 设A、B为两个事件，且P(A)>0，在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，记作P(B |A) P( A) P(B | A)  P( AB) 事件B的发生受A的影响 新知引入 2.三张奖券有一张可以中奖. 现由三名同学依次有放回地抽取，请问最 后一名去抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的影响吗？ 不会 第一位同学没有中奖 A 最后一名同学中奖 B 什么关系？ 新知学习 探究 下面两个随机试验各定义了一对随机事件A 和B，你觉得事件A 发生与否会影响事件B发生的概率吗？分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？ 试验1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”． 1:正面向上 0:反面向上 样本空间： 事件A＝{(1,1)，(1,0)} 事件B＝{(1,0)，(0,0)} 事件AB＝{(1,0)} 互不影响 新知学习 探究 下面两个随机试验各定义了一对随机事件A 和B，你觉得事件A 发生与否会影 响事件B生的概率吗？分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？ 试验2 一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异．采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A＝“第一次摸到球的标号小于3”，B＝“第二次摸到球的标号小于3”． 互不影响 样本空间，共16个样本点 事件，共8个样本点 事件，共8个样本点 事件，共4个样本点 所以，. 新知学习 2.三张奖券有一张可以中奖. 现由三名同学依次有放回地抽取，请问最 后一名去抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否中奖的影响吗？ 不会 第一位同学没有中奖 A 最后一名同学中奖 B 什么关系？ 样本空间，共27个样本点 事件共18个样本点 事件9个样本点 事件6个样本点 所以，. 设三张奖券标号为1，2，3，其中1号为中奖号码 新知学习 总结归纳 对任意两个事件A与B，如果 P(AB) = P(A)P(B) 成立，则称事件 A与事件B相互独立，简称为独立 事件相互独立 必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立. 新知学习 总结归纳 （2）相互独立事件：两个事件的发生彼此互不影响，可以同时发生， 相互独立事件与互斥事件的区别 （1）互斥事件：两个事件不可能同时发生， P ( A +B ) =P ( A)+P ( B )； P ( A B ) =P ( A)P ( B ). 抛掷一枚骰子，事件A为“出现1点”，事件B为“出 现 2 点” ，事件A和B是否为相互独立事件？ 练一练 新知学习 探究 互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系．如果事件A 与事件B 相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？ 以有放回摸球试验为例，分别验证A 与 ，与B， 与 是否独立，你有什么发现？ 一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异．采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A＝“第一次摸到球的标号小于3”，B＝“第二次摸到球的标号小于3”． 试验2 事件“第一次摸到球的标号不小于3”，事件“第二次摸到球的标号不小于3” 与: 与互斥 与相互独立 新知学习 总结归纳 对任意两个事件A与B，如果 P(AB) = P(A)P(B) 成立，则称事件 A与事件B相互独立，简称为独立 事件相互独立 1.必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立. 2.如果事件与事件相互独立，则与，与 ，与，也相互独立. 新知学习 例1 典例解析 一个袋子中有标号分别为１，２，３，４的４个球，除标号外没有其他差异．采用 不放回方式从中任意摸球两次．设事件＝ “第一次摸出球的标号小于３”，事件＝ “第二次摸出球的标号小于３”，那么事件与事件是否相互独立？ 此时，因此，事件与事件不独立 解:因为样本空间，且， ， 所以， 新知学习 典例解析 练习1 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设事件A为“抽到K”， 事件B为“抽到红牌”，事件C为抽到J”，那么下列每对事件是否是相互独立事件？ (1)A与B； (2) A与C. 解： (1)抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到K，故事件A，B 有可能同时发生， 又， 事件为“既抽到K又抽到红牌”，即“抽到红桃K或方块K”， ， 所以，即A与B相互独立. 新知学习 解： (2)抽到K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K，A与C互斥，事件C与事件A不可能同时发生， 所以0 因为， 所以，即A与B不是相互独立事件. 典例解析 练习1 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设事件A为“抽到K”， 事件B为“抽到红牌”，事件C为抽到J”，那么下列每对事件是否是相互独立事件？ (1)A与B； (2) A与C. 新知学习 总结归纳 (1)直接法:根据实际意义直接进行判断； (3)条件概率法：当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． 判断两个事件是否相互独立的方法 (2)定义法：如果事件A，B 满足 P ( AB ) =P ( A) P ( B )， 则事件A，B 为相互独立事件； 新知学习 例2 典例解析 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： （１）两人都中靶； （２）恰好有一人中靶； （３）两人都脱靶； （４）至少有一人中靶． 思路点拨 设“甲中靶”， “乙中靶”．从要求的概率可知，需要先分别求，的对立事件，的概率，并利用，， 构建相应的事件. 新知学习 (1)“两人都中靶”，由事件的独立性定义， 得. 根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得 解:设 “甲中靶”，“乙中靶”，则 “甲脱靶”，“乙脱靶”. 由于两个人射击的结果互不影响，所以与相互独立，与，与，与都相互独立. 由已知可得，. (2)“恰好有一人中靶”，且互斥， (3)事件“两人都脱靶”，所以 新知学习 所以 （4）由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为 (4)事件“至少有一人中靶”，且，与两两互斥， 法一 法二 新知学习 典例解析 练习1 天气预报报道：元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3．假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内： （１）甲、乙两地都降雨的概率； （２）甲、乙两地都不降雨的概率； （３）至少一个地方降雨的概率． 解：设“甲地下雨”，“乙地下雨”，，日与互相独立. (1)因为“甲、乙两地都降雨”，所以. (2)因为“甲、乙两地都不降雨”，事件和也互相独立，所以 新知学习 (3)解法2（间接法）：因为“至少一个地方降雨”.而与互为对立事件，所以 典例解析 练习1 天气预报报道：元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3．假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内： （１）甲、乙两地都降雨的概率； （２）甲、乙两地都不降雨的概率； （３）至少一个地方降雨的概率． 0.06+0.8×0.3+0.2× 0.7=0.44. (3)解法1（直接法）：其中至少一个地方降雨的事件为， 由于 两两互斥， 根据 概率加法公式和独立事件的定义，其中至少有一个地方降雨的概率为 新知学习 (2)确定这些事件可以同时发生； 总结归纳 求相互独立事件同时发生的概率的一般步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； P ( AB )  P ( A) P ( B ). (3)求出每个事件的概率，再求积, 新知学习 例3 典例解析 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为. 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. 求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 思路点拨 两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生. 新知学习 所以 解:设 分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语 的事件. ， 且 与互斥，与 分别相互独立， 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是 设“两轮活动'星队’猜对3个成语”，则， 根据独立性假定，得 ， ， 新知学习 练习1 典例解析 甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛.比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选手之间均进行一场比赛.每场比赛实行三局两胜制，即最先赢得两局的选手获得胜利，本场比赛随即结束.假定每场比赛、每局比赛结果互不影响. (1)若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为，求甲获得本场比赛胜利的概率； (2)若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为，，，试确定甲第二场比赛的对手，使得甲在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大. 新知学习 解：(1)设甲在第i局获胜为事件Ai（i＝1，2，3），事件B＝“甲获得本场比赛胜利”， 则B＝A1A2∪（A2A3）∪（A1A3）， 所以P（B）＝×＋××＋××＝. (2)若甲在第二场与乙比赛，则甲胜乙，且在甲与丙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场， 此时，甲恰好连胜两场的概率P1＝××2＝； 若甲在第二场与丙比赛，则甲胜丙，且在甲与乙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场， 此时，甲恰好连胜两场的概率P2＝××2＝； 若甲在第二场与丁比赛，则甲胜丁，且在甲与乙、甲与丙的比赛中，甲只胜一场， 此时，甲恰好连胜两场的概率P3＝××2＝. 新知学习 典例解析 例4 某人某天乘火车从甲地到乙地去办事,若当天从甲地到乙地的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求: (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率; (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率. 解:用分别表示这三列火车正点到达的事件， 则， 所以. 新知学习 (1)由题意，得事件A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为 (2)由题意，得事件A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为 新知学习 练习1 典例解析 面对新冠病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是、 、 ， 求：(1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能够研制出疫苗的概率． 解：(1)令事件A、B、C分别表示A、B、C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A、B、C相互独立， 他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故 新知学习 练习1 典例解析 面对新冠病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是、 、 ， 求：(1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能够研制出疫苗的概率． （2）令事件A、B、C分别表示A、B、C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A、B、C相互独立， 则 新知学习 练习1 典例解析 面对新冠病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是、 、 ， 求：(1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能够研制出疫苗的概率． (3)令事件 A、B、C 分别表示A、B、C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A、B、C 相互独立，“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率 随堂练习 1、下列各对事件，哪些是互斥事件？哪些是相互独立事件？为什么？ (1)在高一地理会考中，"甲的成绩合格"与"乙的成绩不合格" (2)在一口袋内装有3个白球和2个黑球，"则从中任取一个，得到白球"与在剩下的4个球中，任意取出一个，得到黑球" (3)"掷一枚硬币，得到正面向上"与掷一骰枚子，向上的面是3点" 不是互斥事件，而是相互独立事件。 不是互斥，也不相互独立事件 不是互斥事件，而是相互独立事件。 2.某闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5,只有通过前一关才能进入下一关,且是否通过每关相互独立,一选手参加该节目,则该选手只闯过两关的概率为(　 　) A.0.48 B.0.46 C.0.32 D.0.24 B 随堂练习 3.根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立. (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率. (3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？ 解:(1)记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”， 则由题意得A与B，A与，与B，与都是相互独立事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.6. 记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3. （2）记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D=B,所以P(D)=P(B)=P)P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3 新知学习 5.根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立. (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率. (3)求一位车主车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？ (3)记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”， 方法一：则事件E包括，且它们彼此为互斥事件 所以 方法二:事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件. 所以 课堂小结 总结归纳 1、定义：对任意两个事件与，如果成立，则称事件与相互独立，简称为独立. 2.事件是否发生不影响事件发生的概率，事件是否发生不影响事件发生的概率，则事件与事件相互独立，从而有 3.相互独立的定义，既可以用来判断两个事件是否独立，也可以在相互独立的条件下求积事件的概率 4.公式变形：， 5.必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立；互斥不独立. 6.若与独立，则与，与，与也独立 事件的相互独立性 课堂小结 与相互独立事件A，B有关的概率计算公式 总结归纳 新知学习 作业 1.《选择性必修第三册》P253“复习巩固” 1，2； *3.分析如下三个随机试验及指定的随机事件，并解答下面的问题． Ｅ１：抛掷两枚质地均匀的硬币；事件A ＝ “两枚都正面朝上”． Ｅ２：向一个目标射击两次，每次命中目标的概率为０．６；事件B ＝ “命中两次目标”． Ｅ３：从包含２个红球、３个黄球的袋子中依次不放回任意摸出两球；事件C＝ “两次都摸到红球”． （１）用适当的符号表示试验的可能结果，分别写出各试验的样本空间； （２）指出这三个试验的共同特征和区别； （３）分别求A，B，C的概率． 2.《选择性必修第三册》P253“综合运用” 4，5； 新知学习 *3.分析如下三个随机试验及指定的随机事件，并解答下面的问题． ：抛掷两枚质地均匀的硬币；事件 “两枚都正面朝上”． ：向一个目标射击两次，每次命中目标的概率为0.6；事件 “命中两次目标”． ：从包含２个红球、３个黄球的袋子中依次不放回任意摸出两球；事件 “两次都摸到红球”． （１）用适当的符号表示试验的可能结果，分别写出各试验的样本空间； （２）指出这三个试验的共同特征和区别； （３）分别求的概率． 解:(1)用h表示正面朝上，t表示反面朝上，E1试验的样本空间为:S1={hh,ht,th,tt}; 用y表示命中目标，n表示没有命中，E2试验的样本空间为:S2={yy,yn,ny,nn}; E3试验的样本空间为:S3={(红1，红2),(红1，黄1)(红1，黄2)，(红1，黄3)，(红2，红1)，(红2,黄1)，(红2，黄2)，(红2，黄3)，(黄1，红1)，(黄1.红2)，(黄1，黄2)，(黄1，黄3),(黄2，红1)，(黄2，红2),(黄2黄1)，(黄2，黄3)，(黄3，红1)，(黄3，红2)，(黄3，黄1)，(黄3,黄2) 新知学习 *3.分析如下三个随机试验及指定的随机事件，并解答下面的问题． ：抛掷两枚质地均匀的硬币；事件 “两枚都正面朝上”． ：向一个目标射击两次，每次命中目标的概率为0.6；事件 “命中两次目标”． ：从包含２个红球、３个黄球的袋子中依次不放回任意摸出两球；事件 “两次都摸到红球”． （１）用适当的符号表示试验的可能结果，分别写出各试验的样本空间； （２）指出这三个试验的共同特征和区别； （３）分别求的概率． (2)共同特征:试验可以在相同条件下重复进行;试验的所有结果是明确可知的，并且不止一个;每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果， 区别:三个试验的样本空间中的样本点不同， (3)由(1)可知: 事件A，B的各种情形 概率计算公式 A，B同时发生 P(AB)＝P(A)P(B) A，B都不发生 P()＝P()P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B) A，B最多有一个发生 P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B) A，B至少有一个发生 P＝1－P()＝1－P()P()＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B) A，B恰好有一个发生 P＝P(A＋B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B) $$