2025年上海市普通高等学校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试数学全真模拟试卷（四）（解析版+原卷版）

2025年上海市普通高等学校 面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 全真模拟数学试卷（四） （满分100分，考试时间100分钟） 班级：___________姓名：___________考号：___________成绩:___________ 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．在一次实验中，测得的四组值分别是，则y与x之间的线性回归方程为（　　） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 3．设是两个非空集合，且，则“”是“”的（　　） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 4．已知函数是幂函数，则（　　） A． B．2 C． D．1 5．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过淮安方特、龙宫大白鲸世界、西游乐园三个景点时，甲说：我去过的景点比乙多，但没去过淮安方特；乙说：我没去过龙宫大白鲸世界；丙说：我们三个人去过同一个景点．则乙一定去过的景点是（　　） A．淮安方特 B．龙宫大白鲸世界 C．西游乐园 D．不能确定 6．乘积展开后共有（　　） A．7项 B．8项 C．项 D．项 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．函数，的最大值为 ． 8．抛物线上一点到焦点的距离等于6，则 ． 9．函数y＝－ax＋1与y＝ax2在同一坐标系中的图象大致是图中的 ． 10．若，则直线必过定点 ． 11．已知，则的值是 ． 12．已知向量，，且，则 ． 13．已知等比数列的前项和为，且，则实数的值为 ． 14．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为 ． 15．近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为 ． 16．如图所示，在直角梯形中，已知上底长为，下底长为，且．若以下底所在的直线为轴，把这个梯形旋转一周，得到一个几何体，则这个几何体的体积为 ． 17．若，则x的取值范围为 ． 18．在中，，则此三角形的最大边长为 ． 三、解答题（本大题共6题，满分46分）解答下列各题，需写出必要的步骤． 19．(本小题满分6分)已知复数，，求： (1)在复平面内画出与这两个复数对应的向量和向量； (2)分别求出与的共轭复数，并分别求出它们的模. 20．(本小题满分7分)某同学制作橡皮泥模具，将一个半径为，圆心角为的扇形卡纸卷成圆锥形纸杯，并通过打印技术制作出一个内空的半球体形状的塑料盖子，该半球体盖子的直径与卡纸杯杯口圆的直径相等，如图所示，求： (1)该模具的表面积（含盖子）； (2)若用此模具装橡皮泥，则最多能装多少立方厘米的橡皮泥？（保证盖子刚好合上，且模具材料厚度不计） 23．(本小题满分8分)已知等差数列的前项和为，且，公差． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值． 22．(本小题满分8分)在锐角中，内角所对的边分别为，已知，，. (1)求角的值； (2)求的面积. 23．(本小题满分8分)已知函数是上的偶函数，且当时，. (1)求函数的解析式； (2)求方程的根. 24．(本小题满分9分)过椭圆内一点引一条弦，使弦被点M平分． (1)求这条弦所在的直线方程； (2)求该弦长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市普通高等学校 面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 全真模拟数学试卷（四） （满分100分，考试时间100分钟） 班级：___________姓名：___________考号：___________成绩:___________ 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．在一次实验中，测得的四组值分别是，则y与x之间的线性回归方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中逐个验证即可． 【详解】由的四组值分别是， 得，， 所以这组数据的样本中心点为， 代入A中，，故A错误， 代入B中，，故B错误， 代入C中，，故C错误， 代入D中，符合题意，故D正确， 故选：D. 2．不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解绝对值不等式，即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得. 故选：A. 3．设是两个非空集合，且，则“”是“”的（　　） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合之间的包含关系及充分性和必要性的定义即可得解. 【详解】因为，所以能推出，但不能推出， 所以“”是“”的必要条件. 故选：. 4．已知函数是幂函数，则（　　） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】利用幂函数的定义求得函数解析式，即可求解. 【详解】函数是幂函数，则，， 则函数，， 故选：C. 5．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过淮安方特、龙宫大白鲸世界、西游乐园三个景点时，甲说：我去过的景点比乙多，但没去过淮安方特；乙说：我没去过龙宫大白鲸世界；丙说：我们三个人去过同一个景点．则乙一定去过的景点是（　　） A．淮安方特 B．龙宫大白鲸世界 C．西游乐园 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据题意分析结合集合的交集思想即可求解. 【详解】先从乙说的出发，可以推出乙可能去过淮安方特或西游乐园， 再由甲说的，可以推出甲去过龙宫大白鲸世界和西游乐园， 则乙只能去过淮安方特和西游乐园中的一个， 再结合丙说的，利用集合交集的思想，即可判断出乙一定去过西游乐园. 故选：C. 6．乘积展开后共有（　　） A．7项 B．8项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】根据乘法计数原理计算即可. 【详解】的结果中， 每一项都必须是在三个式子中， 任取一项后，相乘得到结果的式子， 而在中任取一项有种取法， 在中任取一项有种取法， 在中任取一项有种取法， 则展开式中共有项， 故选：D. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．函数，的最大值为 ． 【答案】2 【分析】根据函数的单调性求最大值. 【详解】当时，是减函数，则为增函数， 所以，当时，取最大值. 故答案为：2. 8．抛物线上一点到焦点的距离等于6，则 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义列出等式即可解得. 【详解】由题，抛物线上一点到焦点距离为， 则，解得，故， 将点代入抛物线方程，可得， 解得. 故答案为：. 9．函数y＝－ax＋1与y＝ax2在同一坐标系中的图象大致是图中的 ． 【答案】④ 【分析】由题意结合二次函数、一次函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】由题意函数y＝ax2为二次函数，且对称轴为直线，过点，故排除①、②； 当时，函数y＝ax2的图象开口朝下，函数y＝－ax＋1单调递增，故③错误； 当时，函数y＝ax2的图象开口朝上，函数y＝－ax＋1单调递减，且过点，故④正确. 故答案为：④. 10．若，则直线必过定点 ． 【答案】 【分析】由条件根据直线方程的定义求解. 【详解】因为，所以， 所以点在直线上， 所以直线必过定点， 故答案为：. 11．已知，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】将等式两边同时平方结合同角三角函数基本关系式即可得解. 【详解】因为，将等式两边平方得， 令，则，解得， 所以， 故答案为：. 12．已知向量，，且，则 ． 【答案】7 【分析】根据向量内积的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量，，且 则，解得：， 故答案为：7. 13．已知等比数列的前项和为，且，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的前n项和，结合等比中项的性质，即可求解. 【详解】因为等比数列的前项和为，且， 所以，，， 所以，即， 解得. 故答案为：. 14．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为 ． 【答案】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解. 【详解】由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”， 但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥， 所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球冠军的概率为. 故答案为：. 15．近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为 ． 【答案】150 【分析】7个人去三个景点，每个景点至少2人，则两个景点两人，一个景点3人，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，分类相加即可. 【详解】由题，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点， 第一类：仅要好的两位女生去同一景点； 第二类：要好的两位女生和另一位同学去同一景点， 总方法数为. 故答案为：150. 16．如图所示，在直角梯形中，已知上底长为，下底长为，且．若以下底所在的直线为轴，把这个梯形旋转一周，得到一个几何体，则这个几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】由题意知，得到的几何体为一个圆锥和一个圆柱的组合体，再利用圆柱和圆锥体积公式即可求解. 【详解】由题意知，该几何体为一个圆锥和一个圆柱的组合体， 其体积． 故答案为：. 17．若，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为对数函数在上为增函数， 因为， 所以，解得，即， 所以x的取值范围为. 故答案为：. 18．在中，，则此三角形的最大边长为 ． 【答案】 【分析】首先根据最大角分析出最大边，然后根据内角和定理求出另外一个角，最后用正弦定理求出最大边． 【详解】因为为最大角，所以最大边为， 根据三角形内角和定理： 在中有正弦定理有：， . 故答案为：． 三、解答题（本大题共6题，满分46分）解答下列各题，需写出必要的步骤． 19．(本小题满分6分)已知复数，，求： (1)在复平面内画出与这两个复数对应的向量和向量； (2)分别求出与的共轭复数，并分别求出它们的模. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据复数几何意义确定点坐标，再在复平面内作点和向量； （2）根据共轭复数及复数的模的概念即可求出. 【详解】（1）如图，复数，对应的点分别为，，对应的向量分别为，.    （2），，，， ，. 20．(本小题满分7分)某同学制作橡皮泥模具，将一个半径为，圆心角为的扇形卡纸卷成圆锥形纸杯，并通过打印技术制作出一个内空的半球体形状的塑料盖子，该半球体盖子的直径与卡纸杯杯口圆的直径相等，如图所示，求： (1)该模具的表面积（含盖子）； (2)若用此模具装橡皮泥，则最多能装多少立方厘米的橡皮泥？（保证盖子刚好合上，且模具材料厚度不计） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由圆锥的展开面求得底面半径，再利用圆锥的表面积公式和球的表面积公式即可得解； （2）根据圆锥的体积和球的体积公式求值即可. 【详解】（1）设圆锥的底面半径，即半球的半径为， 因为，且扇形的半径为， 则有，解得， 所以模具的表面积为 . （2）已知圆锥的母线长为，底面半径为， 则圆锥的高为， 该模型的体积为 . 即最多能装立方厘米的橡皮泥. 23．(本小题满分8分)已知等差数列的前项和为，且，公差． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值． 【答案】(1); (2)10. 【分析】（1）利用等差数列的前n项和公式以及通项公式，即可求解. （2）利用等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】（1）由题意知，公差， 所以，即， 所以. （2）由（1）知， 所以， 又因为，即， 化简得，解得或， 所以若，则. 22．(本小题满分8分)在锐角中，内角所对的边分别为，已知，，. (1)求角的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由诱导公式求出角，再由三角形内角和即可求解； （2）由正弦定理求出边，由两角和的正弦公式求出，再由三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，，即， ，，又， . （2），，， 由正弦定理得， 又， 的面积，得. 23．(本小题满分8分)已知函数是上的偶函数，且当时，. (1)求函数的解析式； (2)求方程的根. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）设，则，再利用函数为偶函数求解. （2）分，，利用指数方程的解法求解. 【详解】（1）设，则， 所以， 因为函数为偶函数， 所以， 所以函数的解析式为. （2）当时，， ； 当时，. ， 所以方程的解集为. 24．(本小题满分9分)过椭圆内一点引一条弦，使弦被点M平分． (1)求这条弦所在的直线方程； (2)求该弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出直线与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，结合为弦的中点，求出弦所在直线的斜率，即可得到直线的方程. （2）联立方程求出直线与椭圆的交点坐标，利用两点间的距离公式即可求得弦长. 【详解】（1）设直线与椭圆的交点为，，为AB的中点， 所以，． 又A，B两点在椭圆上，则，， 两式相减得， 所以，即， 故所求直线方程为，即． （2）联立方程，得， 解得， 所以直线与椭圆的交点为，， 所以弦长为弦长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$