2025年上海市普通高等学校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试数学全真模拟试卷（八）（解析版+原卷版）

2025年上海市普通高等学校 面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 全真模拟数学试卷（八） （满分100分，考试时间100分钟） 班级：___________姓名：___________考号：___________成绩:___________ 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 2．已知不等式的解集是，则a，b分别是（     ） A． B． C． D． 3．已知y对x的回归直线方程为，预测当时，变量y的值为（     ） A．29 B．30 C．31 D．32 4．如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（     ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域中不单调 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 5．“”是“”的（     ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 6．若在上具有单调性，且，则在上（     ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．不能确定增减性 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．函数的定义域为 . 8．已知，则的值为 . 9．如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积S为 . 10．已知数列的通项为，若要使此数列的前项和最大，则的值为 . 11．已知直角三角形的斜边为，向量，，则实数 . 12．已知函数，则 . 13．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为 . 14．已知点和直线，过点且与垂直的直线方程是 . 15．学校开展书画展，从副学生作品中选出副分别挂在1-4号四个不同的展台上，不同的展示方法数为 . 16．已知一条直线经过椭圆的左焦点，与椭圆相交于，两点，若椭圆的右焦点为，则三角形的周长是 . 17．计算： . 18．已知函数在上单调递增，若，则实数的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共6题，满分46分）解答下列各题，需写出必要的步骤． 19．(本小题满分6分)如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.    (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积. 20．(本小题满分7分)已知复数满足，其中为虚数单位. (1)求； (2)若复数，在复平面内对应的点分别为，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数. 21．(本小题满分8分)在等差数列中，公差d为整数，且是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前20项和. 22．(本小题满分8分)在中，角的对边分别为，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 23．(本小题满分8分)已知直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于两点， (1)求抛物线的方程； (2)求以为直径的圆的方程. 24．(本小题满分9分)电影《哪吒之魔童闹海》上映期间，一场电影的票价定为50元时，电影院满座，满座时可容纳600人．若票价每提高元，售出票数就减少张． (1)写出一场电影的票房收入（元）与的函数关系式； (2)已知放映一场电影所需的总成本为元，若不考虑其他因素，票价定为多少时，电影院能获得最大利润？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市普通高等学校 面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 全真模拟数学试卷（八） （满分100分，考试时间100分钟） 班级：___________姓名：___________考号：___________成绩:___________ 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用常用数集的定义化简集合，再利用集合的并集运算即可得解. 【详解】因为， 又，所以. 故选：A. 2．已知不等式的解集是，则a，b分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用绝对值不等式的解集得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为不等式的解集是，可知， 所以有，解得， 所以，解得. 故选：B. 3．已知y对x的回归直线方程为，预测当时，变量y的值为（     ） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】A 【分析】将代入线性回归方程即可求解. 【详解】因为y对x的回归直线方程为， 当时，. 故选:A. 4．如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（     ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．此函数在定义域中不单调 D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应 【答案】C 【分析】由函数图象确定定义域和值域，单调性判断各项的正误. 【详解】由图知：的定义域为，值域为，A、B错； 显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对； 显然，对应自变量x不唯一，D错. 故选：C. 5．“”是“”的（     ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件的定义即可求解. 【详解】设集合，， 显然，集合A是集合B的真子集， 则“”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 6．若在上具有单调性，且，则在上（     ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．不能确定增减性 【答案】B 【分析】根据函数的单调性的定义判断即可. 【详解】因为函数在上具有单调性，且， 又因为，所以函数在上单调递减. 故选：B. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据分式的分母不为，对数的真数大于求解即可. 【详解】， 解得且， 函数的定义域为. 故答案为：. 8．已知，则的值为 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数基本关系式化简求值即可. 【详解】已知，则 故答案为：. 9．如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积S为 . 【答案】/ 【分析】该几何体共有三类面：5个正方形、一个正方形去掉一个圆和一个半球表面． 【详解】表面积S 故答案为：． 10．已知数列的通项为，若要使此数列的前项和最大，则的值为 . 【答案】12 【分析】先判断数列的单调性，根据通项公式可知这是一个等差数列，通过分析公差来确定数列的增减情况，进而找出使得前项和最大时的值。 【详解】对于数列，其通项公式，那么. 因为，所以该数列是一个递减数列. 令，解得. 因为是项数，为正整数，所以当时， 当时，. 这意味着从第13项开始，数列的项都为负数，那么前12项的和是最大的. 故答案为：12. 11．已知直角三角形的斜边为，向量，，则实数 . 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标运算公式直接计算. 【详解】因为直角三角形的斜边为，所以， 又因为，， 所以，解得. 故答案为：. 12．已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据自变量的范围，选择相应的函数式，由内到外计算可得结果. 【详解】函数， ， 所以. 故答案为：. 13．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为 . 【答案】. 【分析】每一关分成两类：第一次成功和第一次失败且第二次成功，分别算出两关的概率相乘即可. 【详解】该选手闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为， 所以该选手能进入第三关的概率为. 故答案为：. 14．已知点和直线，过点且与垂直的直线方程是 . 【答案】 【分析】由直线与所求直线垂直求出直线的斜率，再将点代入点斜式方程整理即可求解. 【详解】解：由直线可知斜率为2， 又因为直线与所求直线垂直， 所以所求直线的斜率为， 将点斜率为代入点斜式方程为， 整理得：． 故答案为：. 15．学校开展书画展，从副学生作品中选出副分别挂在1-4号四个不同的展台上，不同的展示方法数为 . 【答案】 【分析】根据分步计数原理和排列组合的知识进行求解. 【详解】第一步从8幅作品中选4幅，即， 第二步将选出的4幅作品进行排列得到， 因此共有种不同的展示方法. 故答案为：. 16．已知一条直线经过椭圆的左焦点，与椭圆相交于，两点，若椭圆的右焦点为，则三角形的周长是 . 【答案】20 【分析】由椭圆的定义可得，从而三角形的周长为，从而可求解. 【详解】 由椭圆方程可得，则， 如图，根据椭圆的定义可得， 所以三角形的周长：. 故答案为：20. 17．计算： . 【答案】1 【分析】根据题意，结合指数幂和对数的运算，即可求解. 【详解】. 故答案为：1. 18．已知函数在上单调递增，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数单调性的定义建立不等式关系即可得到结论. 【详解】∵函数在上单调递增，且, ∴，即，解得. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6题，满分46分）解答下列各题，需写出必要的步骤． 19．(本小题满分6分)如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.    (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）根据圆柱体积公式直接计算； （2）根据三棱柱体积公式以及正弦定理进行计算即可. 【详解】（1）设底面圆的直径为2r， 由题可知,圆柱的体积， 解得，即圆柱的底面半径为1 （2）因为为正三角形，底面圆的半径为1， 由正弦定理，边长， 所以三棱柱的体积. 20．(本小题满分7分)已知复数满足，其中为虚数单位. (1)求； (2)若复数，在复平面内对应的点分别为，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据共轭复数的定义，结合复数相等的定义进行求解即可； （2）根据平行四边形的性质，结合复数的几何意义进行求解即可. 【详解】（1）设，则， 故， 所以解得：， ∴； （2）由（1）得：， 因为四边形是复平面内的平行四边形 所以 故点对应的复数为. 21．(本小题满分8分)在等差数列中，公差d为整数，且是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前20项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）结合等差数列和等比数列的性质即可求解； （2）由裂项相消法求和即可得出答案. 【详解】（1）∵是与的等比中项， ， ， 或（舍）， 所以，， ∴ （2）∵ ∴， ∴. 22．(本小题满分8分)在中，角的对边分别为，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 【答案】(1)钝角三角形 (2) 【分析】（1）先找到最大边，再由余弦定理判断即可. （2）由三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为角的对边分别为，，， 所以可知， 由余弦定理， 因为，所以，该三角形是钝角三角形. （2）的面积. 23．(本小题满分8分)已知直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于两点， (1)求抛物线的方程； (2)求以为直径的圆的方程. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）设抛物线焦点坐标为，将点代入直线中，求出的值写出抛物线方程即可. （2）设，联立方程组，根据韦达定理求出，的值，根据中点坐标公式求出圆心的坐标，根据两点之间的距离公式求出半径长，由此写出圆的标准方程即可 【详解】（1）抛物线，设抛物线的焦点为， 则在直线上， 所以，抛物线的方程为. （2）设，则满足 ，得：， 则， ， 所以， 则圆的圆心，， ， ， 所以半径， 所以圆的方程为. 24．(本小题满分9分)电影《哪吒之魔童闹海》上映期间，一场电影的票价定为50元时，电影院满座，满座时可容纳600人．若票价每提高元，售出票数就减少张． (1)写出一场电影的票房收入（元）与的函数关系式； (2)已知放映一场电影所需的总成本为元，若不考虑其他因素，票价定为多少时，电影院能获得最大利润？ 【答案】(1); (2)元. 【分析】（1）根据题目已知信息，结合票房收入为票价售出的票数，即可求解； （2）根据二次函数的解析式即可求解最值. 【详解】（1）设票房收入为，票价定为元时，满座时可容纳人． 因为票价每提高元，售出票数就减少张， 所以票价为元，售出票数为张， 所以． （2）设利润为元，放映一场电影所需的总成本为元， 所以 ， 当元时， 即票价为元时，利润最大为元， 即当售价为元时，销售利润最大． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$