江西省赣州市文清香江高级中学2025届高三数学模拟试卷一

赣州市2025届高三数学模拟试卷一 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷(选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 2．已知正项等差数列的公差为，前项和为，且，， 则( ) A． B． C． D． 3．已知为关于的方程的两个虚根，则( ) A． B． C． D． 4．已知样本的平均数等于分位数，则满足条件的实数的个数是 A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，点在直线上．若向量，则在 上的投影向量为( ) A． B． C． D． 6．设分别是双曲线的左、右焦点，为左支上一 点，且满足，直线与的一条渐近线垂直，则的离心率为( ) A． B． C．2 D． 7．已知函数的导函数是，如果函数 的图象如图所示，那么的值分别为( ) A． B． C． D． 8．设集合，，那么集合中满足 的元素的个数为( ) A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地年月的 数据(单位：百亿元)建立了一元线性回归模型，根据最小二乘法得到的经验回 归方程为，其中解释变量指的是月的编号，其中部分数据 如表所示： 时间 月 月 月 月 月 月 编号 /百亿元 (参考数据：，)，则( ) A．经验回归直线经过点 B． C．根据该模型，该地年月的的预测值为百亿元 D．第个样本点的残差为 10．如图，扇形的弧长为，半径 (第10题图2) (第10题图1) 为，线段上有一动点，弧 上一点是弧的三等分点，现将该 扇形卷成以为顶点的圆锥，使得 和重合，则在图的圆锥中( ) A．圆锥的体积为 B．当为中点时，线段在底面的投影长为 C．存在，使得 D． 11．已知都是上的奇函数，为单调函数，．， (为常数)，，则( ) A． B． C．为周期函数 D． 第Ⅱ卷(非选择题共92分) 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知抛物线的焦点为，点在上，且，为坐标原点，则 的面积为 ． 13．已知函数在上单调，， 则的可能取值为 ． 14．已知函数．若恒成立，则的最小值 为 ． 4、 解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为． (1)若小明共投篮次，在投中次的条件下，求第二次没有投中的概率； (2)若小明进行两组训练，第一组投篮次，投中次，第二组投篮次，投中次，求； 16．(15分) 已知的面积为，三个内角所对的边分别为，且． (1)证明：； (2)若，当取最大值时，求． 17．(15分) 如图，三棱柱中，侧面是边长为的菱形，，，为中点，． (1)证明：平面平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 18．(17分) 如图，双曲线的左、右焦点分别为双曲线的左、右顶点，过的直线分别交的左、右两支于两点，交的右支于点(与不重合)，且与的周长之差为2． (1)求的方程； (2)若直线交的右支于两点． ①记直线的斜率为，直线的斜率为， 求的值； ②试探究：是否为定值？并说明理由． 19．(17分) 有无穷多个首项均为1的等差数列，记第个等差数列的第 项为，公差为． (1)若，求的值； (2)若为给定的值，且对任意有，证明：存在实数，满足，； (3)若为等比数列，证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 赣州市2025届高三数学模拟试卷一参考答案 一、单选题（共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C C A A D 2、 多选题（共18分） 题号 9 10 11 答案 AC BCD BC 8． 解析：意即中取值为或的个数之和为或或，所以满足条件的元素的个数为．故应选． 11． 解析：由为单调函数及，知，即，其中 为常数，又为奇函数，所以，．所以．故选项A错误． 由，得 ， ........ 式中令，得，结合，得．故选项B正确． 令，由式可知， 即，， 所以，以为周期． 故选项C正确． 因为， 所以， 即，所以． 故选项D错误．综上，应选BC． 三、填空题 12． 13． 或或 14． 14解析：易知在是连续可导函数，． 由，必有，得 所以，因为，所以. 令，，当时，，递减； 当时，，递增，所以． 所以的最小值为，当且仅当，时取等号．此时恒成立． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 解析：（1）记事件表示共有次投中，事件表示第二次没投中，则 表示一共投中次，且第二次没投中，则从剩余的三次选择两次投中， 故， 2分 表示一共投中次，故， 3分 则． 5分 （2）根据题意，可得取值为，，，；的可能取值为，，； 故的可能取值为，，，，，； 6分 则； ； 8分 ； 9分 ； 10分 ； 11分 ． 12分 所以． 13分 16．（15分） 解析：（1）由，知，即，得． 1分 又由余弦定理知， 2分 所以，即， 3分 由正弦定理及可得 ， 5分 所以或（舍去），所以，所以是倍角三角形． 6分 评注 事实上，由正弦平方差公式及， ． （2）设，则，，由，得． 7分 由正弦定理知，即． 8分 所以 ． 11分 令，，则 ， 13分 令得，，当时，， 单调递增；当时，单调递减．所以当时，取最大值， 从而取得最大值． 综上，为所求． 15分 17．（15分） （第15题图） （第15图答题图1） （第15题答题图2） 解析：（1）连接，． 在菱形中，，，所以为正三角形． 又因为为中点，所以且． 因为，所以． 2分 因为，所以． 3分 又因为平面，，所以平面． 4分 又平面，所以平面平面． 6分 （2）因为，所以． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 7分 取中点，连接，作，交于，则，，两两垂直． 如图，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 8分 则，，，，． ，． 9分 因为平面，所以为平面的法向量． 11分 设平面的法向量为，则，得． 令，得，所以． 13分 所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 15分 18．（17分） 解：(1).设，因为与的周长之差为， 所以，即， 2分 又因为分别为双曲线的左、右顶点，所以， 联立方程组，解得，所以， 4分 故双曲线的方程为. 5分 .①由（1）知，双曲线的方程为， 6分 设，则，可得， 8分 则. 9分 ② 为定值. 10分 理由如下： 由（1）得直线的方程为， 联立方程组，整理得， 11分 设，则， 13分 因为位于双曲线的左､右两支，所以，即， 14分 可得， 15分 又因为，所以直线的方程为， 据双曲线的对称性，同理可得， 16分 以，故为定值. 17分 19. （17分） (1).由题意得， 2分 又， 所以； 4分 (2).证明：因为 ， 所以，即， 5分 以， 6分 因此， 所以， 7分 又，即， 8分 因此， 9分 所以存在实数，满足； 10分 (3).证明：因为为等比数列， 所以，其中为的公比， 于， 11分 当时， 12分 ， 14分 因为， 因此，又， 所以， 因此， 15分 即， 16分 所以. 17分 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 赣州市 202 5 届模拟考试一 高 三 数学答题卡 ) ( 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] ) ( 贴条形码区 ) ( 姓名 考号 班级 考场 准 考 证 号 [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] ) ( 缺考标记 (考生禁填) ) ( 填涂样例 正确填涂 ■ ) ( 请在各题目的答题区域内作答, 超出矩形边框限定区域的答 案无效 一 、选择题 ( 每小题 5 分 ，共 40 分 ) 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 二、多选题 ( 每小题 6 分 ，部分选对得部分分 ，全部选对得 6 分 ，共 18 分 ) 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 1 1 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题 ( 每小题 5 分 ，共 15 分 ) 12 ． ． 13 ． ． 14 ． ． 请勿在此区域答题 ) 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 四 、解答题(5小题，共77分) 15．(13分) 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 16．(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 赣州期末考试高二数学答题卡 第1页 共2页 赣州期末考试高二数学答题卡 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 17．(15分) 19．(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 18．(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 $$