8.1 基本立体图形 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章　立体几何初步 8.1　基本立体图形 第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 立体几何是研究现实世界物体的形状、大小与位置关系的数学分支,立体图形是立体几何的研究对象.在现实生活中,具有立体图形的典型结构特征的空间物体是大量存在的,在此基础上,我们提出本单元的研究内容:研究几何体的结构特征、平面表示以及表面积和体积的计算.具体内容结构如下图所示. 本学习单元的最终目标是能对空间几何体进行分类,能认识一些基本的多面体、旋转体(棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球)的结构特征.在此单元的学习过程中,我们从几何体的实物、模型、图片等的整体观察入手,感受空间几何体的整体结构,然后从几何体的组成要素及其位置关系出发,抽象出空间几何体的结构特征,蕴含着数学抽象和直观想象素养的培养. 学习目标 1.了解空间几何体的分类及其相关概念.(数学抽象) 2.理解棱柱、棱锥、棱台的定义,知道这三种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体.(直观想象、逻辑推理) 3.理解直棱柱、正棱柱、平行六面体、正棱锥、正棱台的结构特征.(直观想象) 基础落实·必备知识一遍过 知识点一:空间几何体的定义、分类与相关概念 1.空间几何体:如果只考虑物体的　　　和　　 　,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的　　　　　　　　就叫做空间几何体.  2.分类:常见的空间几何体有多面体和旋转体两类. 形状 大小 空间图形 3.多面体和旋转体: 类别 多面体 旋转体 定义 一般地,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体   多面体至少由四个面围成 一条　　　　　(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的 　　　　叫做旋转面.  　 的旋转面围成的几何体叫做旋转体  相关 概念 面:围成多面体的各个　　　　叫做多面体的面.  棱:两个面的　　　　叫做多面体的棱.  顶点:棱与棱的　　　叫做多面体的顶点 轴:形成旋转面所绕的 　　　　叫做旋转体的轴 平面曲线 曲面 封闭 多边形 公共边 公共点 定直线 类别 多面体 旋转体 图形     思考辨析 观察下列我们日常熟知的一些物体: (1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形? (2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形,又有曲面图形? (3)哪些物体围成它们的面都是曲面图形? 提示 ②④. 提示 ①③⑤. 提示 ⑥. 知识点二:棱柱的结构特征 1.棱柱: 棱柱 定义 一般地,有两个面　　　　　,其余各面都是　　　,并且相邻两个四边形的公共边都　　　　　,由这些面所围成的多面体叫做棱柱  相关概念 底面:两个互相　　　的面叫做棱柱的底面,它们是全等的多边形  侧面:　　　　　　叫做棱柱的侧面,它们都是平行四边形  侧棱:相邻侧面的　　　　　叫做棱柱的侧棱  顶点:　　　　　　的公共顶点叫做棱柱的顶点  分类 ①依据:底面多边形的边数 ②举例:　　　　　(底面是三角形)、　　　　(底面是四边形) ……  互相平行 四边形 互相平行 平行 其余各面 公共边 侧面与底面 三棱柱 四棱柱 图形及表示 用表示底面各顶点的字母表示.   图中的棱柱记作: 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 2.棱柱的分类: 3.常见的几种四棱柱之间的转化关系: 名师点睛 棱柱的结构特征包括两个方面:一是面,二是棱.棱柱的面共有两种:第一种是底面,上、下共两个底面而且是平行全等的;第二种是侧面,几棱柱就有几个侧面,相邻侧面的公共边即侧棱都是平行的.棱柱的棱也有两种,一种是侧棱,另一种就是底面上的边. 思考辨析 有两个面平行、其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗?试举例说明. 提示 不一定.下图的几何体符合要求但不是棱柱. 知识点三:棱锥的结构特征 1.棱锥: 棱锥 图形及表示 定义 一般地,有一个面是　　　　,其余各面都是__________ 　　　　的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥  用表示顶点和底面各顶点的字母表示.   图中的棱锥记作:棱锥S-ABCD 相关概念 底面:　　　　面叫做棱锥的底面  侧面:有　　　　　　的各个三角形面叫做棱锥的侧面  侧棱:相邻侧面的　　　　叫做棱锥的侧棱  顶点:各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点 分类 ①依据:底面多边形的边数 ②举例:　　　　　(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……  多边形 有一个公 共顶点 多边形 公共顶点 公共边 三棱锥 2.正棱锥:底面是　　　　　　　,并且顶点与底面中心的连线　　　　于底面的棱锥叫做正棱锥.  思考辨析 有一个面是多边形、其余各面是三角形的多面体一定是棱锥吗? 正多边形 垂直 提示 不一定,其余各面必须要有一个公共顶点.如图所示的几何体符合要求,但不是棱锥. 知识点四:棱台的结构特征 棱台 图形及表示 定义 用一个　　　　　　棱锥底面的平面去截棱锥,我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台  用表示底面各顶点的字母表示.   图中的棱台记作:棱台ABCD-A'B'C'D' 相关概念 上底面:原棱锥的截面叫做棱台的上底面 下底面:原棱锥的底面叫做棱台的下底面 侧面:其余各面叫做棱台的侧面 侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱 顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点叫做棱台的顶点 分类 ①依据:由几棱锥截得 ②举例:三棱台(由三棱锥所截得)、　　　　　(由四棱锥所截得)……  平行于 四棱台 名师点睛 1.棱台上、下底面互相平行,而且是两个相似的多边形,它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高的比的平方. 2.棱台的侧面均为梯形. 3.棱台各侧棱延长线交于一点,棱台问题可还原为棱锥问题解决. 思考辨析 如何画出一个规范的棱台? 提示 棱台由棱锥生成.要画出一个规范的棱台,应先画一个棱锥,然后用平行于底面的截面去截棱锥. 重难探究·能力素养速提升 问题1 棱柱、棱锥、棱台都是多面体,它们在结构上有哪些相同点和不同点? 问题2 正多面体的定义是什么?正多面体与普通多面体的区别与联系是什么? 探究点一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 问题3 棱柱、棱锥、棱台的结构特征是什么?该如何辨别? 【例1】 下列关于棱柱的说法: ①所有的面都是平行四边形; ②每一个面都不会是三角形; ③两底面平行,并且各侧棱也平行. 其中正确说法的序号是　　　　　.  ③ 解析 ①错误,底面可以是其他多边形而不全是平行四边形,②错误,底面可以是三角形,③正确,由棱柱的定义可知. 【例2】 (1)判断如图所示的物体是不是棱锥,为什么? 解 该物体不是棱锥.因为棱锥的定义中要求:各侧面都是有一个公共顶点的三角形,但侧面ABC与侧面CDE没有公共顶点,所以该物体不是棱锥. (2)如图所示的多面体是不是棱台? 解 根据棱台的定义,可以得到判断一个多面体是棱台的标准有两个:一是共点,二是平行.即各侧棱延长线要交于一点,上、下底面要平行,二者缺一不可.据此,图①中多面体侧棱延长线不相交于同一点,故不是棱台;图②中多面体侧棱延长线也不相交于同一点,故不是棱台;图③中多面体虽是由棱锥截得的,但截面与底面不平行,因此也不是棱台. 探究点二 多面体表面距离最短问题 问题4 解决多面体表面距离的最短问题,主要用到什么方法? 【例3】 如图所示,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC= ∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值. 解 将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值. ∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°, ∴∠AVA1=90°. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 1.(例1对点题)关于棱柱,下列说法正确的有　　　　　.(填序号)  ①被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱; ②棱柱的侧棱长相等,侧面都是平行四边形; ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体. 解析 ①正确,被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱;②正确,由棱柱定义可知,棱柱的侧棱相互平行且相等,所以侧面均为平行四边形;③不正确,上、下底面是菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体. ①② 1 2 3 2.(例2对点题)有下列三个说法: ①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台; ②两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; ③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. 其中正确的有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 A 1 2 3 解析 ①中的平面不一定平行于底面,故①错误;②③可用反例去检验,如图所示,侧棱延长线不能相交于一点,故②③错误.故选A. 1 2 3 3.(例3对点题)如图所示,在以O为顶点的三棱锥中,过点O的三条棱,任意两条棱的夹角都是30°,在一条棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周,求此绳在A,B之间的最短绳长. 1 2 3 解 作出三棱锥的侧面展开图.如图,A,B两点之间的最短绳长就是线段AB的长度.因为OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=5,即此绳在A,B之间最短的绳长为5. 棱柱 四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 又VA=VA1=4,∴AA1=4, ∴△AEF周长的最小值为4. $$