实际应用与二元一次方程组和三元一次方程的解法学案2024-2025学年人教版七年级数学下册

第三课时 实际问题与二元一次方程组（二） 【课前预习】 【知识点1 调配与配套问题】 1.比例问题:如果甲、乙数量比为a:b，则； 2.“二合一”问题:如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等于乙产品数的a倍，即； 3.“三合一”问题:如果甲产品a件，乙产品b件，丙产品c件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：. 【知识点2 古代问题】 1．和差倍分问题：较大量＝较小量+多余量，总量＝倍数×倍量． 2．盈不足问题：每次数量×份数﹣盈＝总数量，每次数量×份数+亏＝总数量． 3．鸡兔同笼问题：注意鸡有两只脚，兔有四只脚． 【知识点3 图形与表格问题】 1．图表信息题的关键信息隐藏在图形和表格中，需读懂图中所提供的数据，提炼图中所给的信息，从中找出相等关系，再选取适当量为元列出方程组． 2．图形问题，其等量关系的确定一般借助图形的边长(周长)和面积，具体方法是根据单个图形的形状，按图形的拼接方式确定边长(周长)和面积之间的等量关系． 【题型分类】 【1】调配问题 【2】配套问题 【3】和差倍分问题 【4】盈不足问题 【5】从图表中获取问题 【6】从几何图形中获取信息 【课堂互动】 【题型1 调配问题】 【例1】为庆祝建党100周年，更加深入了解党的光荣历史，我校团委计划组织全校共青团员到曾家岩周公馆、红岩村纪念馆、烈士墓渣滓洞一线开展红色研学之旅．计划统一乘车前往，若调配30座客车若干辆，则有8人没有座位；若调配36座客车，则用车数量将减少1辆，并空出4个座位．设计划调配30座客车x辆，全校共青团员共有y人，则根据题意可列出方程组为（　　） A． B． C． D． 【训练1-1】乙组人数是甲组人数的一半，若将乙组人数的三分之一调入甲组，则甲组比乙组多15人，设甲组原有x人，乙组原有y人，则可得方程组为 　 　． 【训练1-2】在抗击新冠肺炎疫情期间，各省市积极组织医护人员支援武汉．某省组织医护人员统一乘车去武汉，原计划调配45座客车若干辆，则有30人没有座位；若调配同样数量的60座客车，则有45个座位无人坐． （1）该省有多少医护人员支援武汉？ （2）若同时调配45座和60座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【训练1-3】北京和上海都有检测新冠肺炎病毒的仪器可供外地使用，其中北京有10台，上海有4台． （1）已知武汉需要8台，温州需要6台，从北京、上海将仪器运往武汉、温州的费用如表所示，有关部门计划用8000元运送这些仪器，请你设计一种运送方案，使武汉、温州能得到所需仪器，而且运费正好够用． （2）为了节约运送资金，中央防控工作组统一调配仪器，分配到温州的仪器不能超过5台，则如何调配？ 运费表 单位：（元/台） 终点 起点 温州 武汉 北京 400 800 上海 300 500 【题型2 配套问题】 【例2】机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问安排　 　名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套． 【训练2-1】为紧急安置50名雅安地震灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，且所有帐篷都住满人，则搭建方案共有　 　种． 【训练2-2】某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好全部运走，怎样调配劳力才能使挖出来的土能及时运走且不窝工？ 【训练2-3】某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只．现计划用132m这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 【题型3 和差倍分问题】 【例3】《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两．问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【训练3-1】《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为 　 ． 【训练3-2】《九章算术》中有这样一题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？大意为：现有若干人合伙出钱买一只鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？请解答上述问题． 【训练3-3】我国古代数学著作《九章算术》记载这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，问几何？”其大意为：现有木棍，不知道它的长短，用绳子去量，绳子多了4尺5寸；把绳子对折后再量，绳子又短了1尺，问：木棍有多长？ 【题型4 盈不足问题】 【例4】《九章算术》中“盈不足术”问题的原文为：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”译文为：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？”设共同购买该物品的有x人，该物品的价格是y元，则根据题意，列方程组为（　　） A． B． C． D． 【训练4-1】《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为 　 　． 【训练4-2】中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一．书中有一盈不足问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”译文：今有数人共同买金子，每人出400，多出来3400；每人出300，多出来100，问：共有多少人？金价是多少？请解决这个问题． 【训练4-3】《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．书中有如下问题：今有其买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？ 大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少4元钱，问有多少人？该物品价值多少元？ 【题型5 从图表中获取问题】 【例5】已知关于x，y的二元一次方程2x﹣3y＝t，其取值如下表，则p的值为（　　） x m m+2 y n n﹣3 t 5 p A．16 B．17 C．18 D．19 【训练5-1】篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分，下表是某队全部比赛结束后的部分统计结果： 胜 负 合计 场数 y 10 积分 2x 16 表中x，y满足的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 【训练5-2】新房装修后，甲居民购买家居用品的清单如下表，因污水导致部分信息无法识别，根据下表解决问题： 家居用品名称 单价（元） 数量（个） 金额（元） 挂钟 30 2 60 垃圾桶 15 塑料鞋架 40 艺术饰品 a 2 120 电热水壶 35 1 b 合计 8 310 （1）直接写出a＝　 ，b＝　 　； （2）甲居民购买了垃圾桶，塑料鞋架各几个？ （3）若甲居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品，共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？ 【训练5-3】小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题： （1）小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？ （2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？ 商品名 单价（元） 数量（个） 金额（元） 签字笔 3 2 6 自动铅笔 1.5 ● ● 记号笔 4 ● ● 软皮笔记本 ● 2 9 圆规 3.5 1 ● 合计 8 28 【题型6 从几何图形中获取信息】 【例6】如图，7个大小、形状完全相同的小长方形组成一个周长为68的大长方形ABCD．求大长方形ABCD的面积． 【训练6-1】如图，在长方形ABCD中，放入8个完全相同的小长方形． （1）每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ （2）图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 【训练6-2】小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为他爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖． （1）若小语用长40cm，宽34cm的长方形纸片恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等，则该茶叶盒的容积是多少？ （2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒200元购进一批茶叶，按进价增加18%作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了6元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利1800元，求这批茶叶共进了多少盒？ 【训练6-3】某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）． （1）如果加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？ （2））如果加工成有盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．现工厂有35块铁板，每块铁板都可以裁剪成长方形铁片和正方形铁片，且有以下三种裁剪方式． 方式①：每块铁板可裁成3张长方形铁片； 方式②：每块铁板可裁成4张正方形铁片； 方式③；每块铁板可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片． 问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少铁盒？ 第四课时 三元一次方程组的解法 【课前预习】 【知识点1 三元一次方程组及解法】 1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断． 2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题． 3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组． 【知识点2 三元一次方程组的应用】 1．列方程组解决问题的一般步骤：（1）审题；（2）设元；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答. 2．列方程组时需要注意以下几方面 （1）单位必须统一，例如时间单位. （2）解方程组后一定要把解代回实际问题中检验，不合题意的要舍去. 【题型分类】 【1】三元一次方程组的解 【2】用消元法解三元一次方程组 【3】用换元法解三元一次方程组 【4】构建三元一次方程组解题 【5】运用整体思想求值 【6】三元一次方程组的应用 【课堂互动】 【题型1 三元一次方程组的解】 【例1】若二元一次方程组的解同时也是方程2x﹣my＝﹣1的解，那么m的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．3 D．4 【训练1-1】三元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【训练1-2】若二元一次方程3x﹣y﹣7＝0，2x+3y﹣1＝0和2x+y﹣m＝0有公共解，则m的取值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．3 D．4 【训练1-3】如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b＝　 　． 【题型2 用消元法解三元一次方程组】 【例2】解方程组：． 【训练2-1】解方程组：． 【训练2-2】解方程组：． 【训练2-3】解方程组 【题型3 用换元法解三元一次方程组】 【例3】已知：，且3a+2b﹣4c＝9，则a+b+c的值等于　 　． 【训练3-1】已知方程组，则x：y：z＝　 　． 【训练3-2】已知，那么代数式　 　． 【训练3-3】解方程组： 方程组中的①式实际包含三个等式：，，，只需任取其中两个（另一个通过这两个代换即可得），便可以与②式联立成三元一次方程组，如，然后用一般方法求解．对原方程组也可以用换元的方法来求解．令k，则有x＝2k，y＝3k，z＝4k③，把③代入②，得4k+3k+4k＝22，解得k＝2，所以x＝4，y＝6，z＝8，所以原方程组的解为． 借鉴上述“换元法”，解方程组． 【题型4 构建三元一次方程组解题】 【例4】当x＝﹣2时，代数式ax2+bx+c的值是5；当x＝﹣1时，代数式ax2+bx+c的值是0；当x＝1时，代数式ax2+bx+c的值是﹣4；则当x＝2时，代数式ax2+bx+c的值是　 　． 【训练4-1】在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60，则a＝　　，b＝　　，c＝　　． 【训练4-2】在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝0；当x＝5时，y＝60；当x＝0时，y＝﹣5．求a2+2ab+c2的值． 【训练4-3】已知y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y＝8；当x＝0时，y＝2；当x＝﹣2时，y＝4． （1）求a，b，c的值； （2）当x＝﹣3时，求y的值． 【题型5 运用整体思想求值】 【例5】阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为： 请你解决以下问题： （1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组 （2）已知x、y、z，满足试求z的值． 【训练5-1】若2x+y+z＝10，3x+y+z＝12，则x+y+z＝　8　． 【训练5-2】阅读以下材料： 若x+3y+5z＝5，x+4y+7z＝7，求x+y+z的值． 解：x+y+z＝3（x+3y+5z）﹣2（x+4y+7z）＝3×5﹣2×7＝1． 答：x+y+z的值的为1． 根据以上材料提供的方法解决如下问题： 若2x+5y+4z＝6，3x+y﹣7z＝﹣4，求x+y﹣z的值． 【训练5-3】解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组： 解方程组 小曹同学的部分解答过程如下： 解：　①　+　②　，得3x+4y＝10，④ 　②　+　③　，得5x+y＝11，⑤ 　⑤　与　④　联立，得方程组 （1）请补全小曹同学的解答过程： （2）若m、n、p、q满足方程组，则m+n﹣2p+q＝　　． 【题型6 三元一次方程组的应用】 【例6】汽车在平路上每小时行30千米，上坡时每小时行28千米，下坡时每小时行35千米，现在行驶142千米的路程用去4小时30分钟，回来使用4小时42分钟，问这段路中平路有多少千米？去时上、下坡各有多少千米？ 【训练6-1】某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组的和的，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？ 【训练6-2】如图中的□、△、○分别代表一个数字，且满足以下三个等式： □+□+△+○＝17 □+△+△+○＝14 □+△+○+○＝13， 则□、△、○分别代表什么数字？并说明理由． 【训练6-3】为了推动我市消费市场快速回暖，加快消费水平复苏和振兴，市人民政府决定，举办“春暖瓯越•温享生活”消费券多次投放活动，每期消费券共可减68元，共5张，其中A型1张，B型2张，C型2张，如下表： A型 B型 C型 满168元减38元 满50元减10元 满20元减5元 在此次活动中，小明父母领到多期消费券． （1）若小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元，已知她用了3张A型消费券，5张B型的消费券，则用了　 　张C型的消费券． （2）若小明父母使用消费券共减了230元． ①若他们用12张三种不同类型的消费券消费，已知C型比A型的消费券多1张，请求出他们用这三种不同类型的消费券各多少张？ ②若他们共领到6期消费券（部分未使用），用A，B，C型中的两种不同类型的消费券消费，直接写出他们使用哪两种消费券各多少张． 学科网（北京）股份有限公司 $$