21.3 实际问题与一元二次方程 教学设计-2024-2025学年人教版九年级数学上册

21.3 实际问题与一元二次方程 教材分析 《实际问题与一元二次方程》是人教版初中数学九年级上册第二十一章第三节第二课时的教学内容.一元二次方程是初中数学的主要内容，占有重要地位，其中一元二次方程的应用在初中数学应用中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，二次函数的学习基础，具有承前启后的作用，是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型．本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体,通过对它的进一步学习和研究体会数学建模的过程，帮助学生增强应用认识. 学情分析 根据九年级学生的认知结构和心理特征，他们具有强烈的好奇心和求知欲.当他们在解决实际问题时发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的问题；九年级学生已具备一定的建模思想，也接触了一些实际问题，了解将实际问题转化为数学问题的一般步骤，积累了一定的解题经验和方法。学生解决“变化率问题”的困难是：“第一个时间段”，“第二个时间段”变化前、后的数量和平均变化率的关系，在弄清问题背景，分析数量关系后，还要解决第二个时间段的代数式如何表示问题.同时，学生在之前的数学学习中经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验和能力. 核心素养目标 1.通过探究真实情境问题，能找到平均变化率问题中的等量关系，列出一元二次方程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，发展模型观念. 2.能说出运用一元二次方程解决实际问题的一般步骤，进一步提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展应用意识. 3.能根据具体问题的实际意义，检验平均变化率问题中方程解的合理性. 评价任务 本节课设置了两种评价体系，一种是学生根据课堂所学内容，对自己已经学到的内容，对照学习目标进行自我评价反馈，并阐述自己没有打成目标的环节是哪一个，并提出自己的疑惑小组解决.二是课堂检测环节，既能够检测学生对增长率问题的掌握情况，又能让学生体会增长率问题在生活中还有哪些应用.达成目标（1)的标志是：通过审题，分析出“变化率问题”中“第一个时间段”,“第二个时间段”变化前、后的量与平均变化率的关系，从而选择合适的未知数，列出相应的代数式.找等量关系，正确列出方程并求解，从而解决实际问题.达成目标（2）的标志是：对用方程解决实际问题的步骤（审、设、列、解、验、答）进行回顾、总结和深化，体会一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型.达成目标（3）的标志是：对所求的方程能根据实际意义进行检验解的合理性. 学习活动 导语：办一次会，兴一座城! 我们的大美临沂——琅琊古城一夜之间火爆出圈，作为传统文化创新代表，连续三次登上央视，六次在山东卫视被报道，全网热搜不断，最火旅游目的地—“山东临沂”，成为横跨塞北江南，远播西域东海的“热词”. 一、琅琊探学，建构全局 上节课我们经历入梦琅琊，解密琅琊，学习了一元二次方程的定义和解法，这节课我们再次启程，走进盛世琅琊. 【设计意图】 让学生明确在琅琊古城这个大情境下，接下来我们要研究子任务 3 一元二次方程的应用，增长率问题，并给出学习目标，以目标为向导，开启本节课的智慧之旅. 二、琅琊启智，建构新思 临沂火了，引爆的网络宣传流量迅速转化为实际“游量”.五一假期首日琅琊古城景区接待游客2.52万人次，5.1-5.3游客量明显增长，随着五一假期的结束，5.3-5.5游客量有所减少 你能根据提供的信息，计算每天的游客的平均增长率和下降率么？能由此估算五一假期的总游客量么？（计算过程中保留两位小数） 问题 1 解一元一次方程实际应用步骤是什么？ 问题 2 实际问题抽象出几个数学问题？ 问题 3 题目中的已知量、未知量分别是什么？ 问题 4 以 5.1 号到 5.3 号增长率为例，等量关系如何找？ 增长率 5.1日游客量 5.2日游客量 5.3日游客量 10% 2.52 2.52+2.52×10% =2.52(1+10%) 2.52(1+10%)+2.52(1+10%)×10% =2.52(1+10%)2 x 2.52 2.52+2.52×x =2.52(1+x) 2.52(1+x)+2.52(1+x)×x =2.52(1+x)2 【设计意图】 方程是刻画现实世界中数量关系的模型，能够帮助人们解决现实中的实际问题.通过以上 4 个问题，让学生理解用一元二次方程可以解决增长率、下降率的问题.学生解决“变化率问题”的困难是：“第一个时间段”，“第二个时间段”变化前、后的数量和平均变化率的关系，在弄清问题背景，分析数量关系后，还要解决第二个时间段的代数式如何表示问题.为了突破难点以增长率为例，通过填空让学生经历从特殊到一般寻找等量关系，自然生成关于连续增长的数量关系，形成数学模型，建立一元二次方程和平均变化率实际问题之间的联系.从而突破难点. 问题 5 如何列求平均增长率的一元二次方程？ 归纳小结：类似地，这种变化率的问题在实际生活普遍存在，例如人口增长率、成本下降率等.本节讨论的是两轮（即两个时间段）的平均增长率，它可以用一元二次方程作为数学模型，设平均增长率为x，则有下列关系： 变化前数量×( 1＋x )²=变化后数量. 【设计意图】 通过小结，归纳变化率问题的共同特征，并在一元二次方程和连续增长两次的问题之间建立知识联系，帮助学生形成解决同类问题的策略. 问题 6 如何解所列的一元二次方程？ 问题 7 一元二次方程的解都要么？是否符合实际意义？ 一生黑板板书，其余在练习本上做.师生共同规范解题步骤. 【设计意图】 问题 6 的设置在于让学生快速选择合适的解一元二次方程的方法，提高分析、推理、计算能力.问题 7 一元二次方程的根不是实际生活中方程的根，强调检验方程解的合理性.师生共同归纳增长率的范围是大于零的. 问题 8 类比 5.1 号到 5.3 号增长率的分析过程，你能求出 5.3 号到 5.5下降率吗？一生黑板展示，师生共同总结，两轮（即两个时间段）的下降率的等量关 系，设平均下降率为 y，则有下列关系：变化前数量×(1-y)²=变化后数量.通过找等量关系，让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力. 问题 9你能求出五一假期期间的总游客量人数吗？ 2.52+2.52(1+80%)+8.16+8.16×(1-40%)+2.94≈23.05万人 【设计意图】 通过建立的模型计算出五一期间估计的总游客量与实际中游客量的对比，让学生感受这个模型确实是有效的帮我们解决了游客量平均变化率的问题 【设计意图】 通过建立的模型计算出五一期间估计的总游客量与实际中游客量的对比，让学生感受这个模型确实是有效的帮我们解决了游客量平均变化率的问题. 三、琅琊研思，筑基拓新 我们的琅琊古城除了有火爆的人流量和营业额，还有一抹独特的冰箱文化，大家请看，精美、实用又兼具收藏价值的冰箱贴让每一位游客感受古城的文化底蕴.请同学们用数学的眼光分析表格中的素材，用数学的思维提出问题，用数学的语言解决问题，开始行动吧。看哪个小组做的又快又好 文创冰箱贴的研究 素材1 从文创商店了解到，5月1号当天琅琊古城冰箱贴 销售量为1250个，5月3号当天销售量为1800个. 素材2 琅琊古城冰箱贴在制作过程中，成本的控制与冰 箱贴生产工艺的改进有较大的关系，在经过两次工 艺改进后，冰箱贴的成本从10元调整到了8.1元. 提出问题 解决问题 问题1 问题2 【设计意图】 经历了以上的学习过程，让学生经历独立思考，小组讨论提出问题、解决问题.本练习是对前面问题的复习，也是检验学生利用一元二次方程解决实际问题的能力.希望学生可以通过此例形成基本方法，掌握基本步骤. 四、琅琊回望，体系筑新【思维建构】 五、琅琊固本，强化培新 1.随着经济的发展和人们生活水平的提高，春节旅游逐渐成为了人们追求幸福的新方式，越来越多的人选择在春节期间出游，体验不一样的年味．据统计.2022年春节假期国内旅游出游人数约2.5亿人次，2024年达到4.7亿人次，设2022年到2024年春节假期国内旅游出游人数的年平均增长率为x，则根据题意所列方程正确的是（ A） A. 2.5（1+x）2 = 4.7 B. 2.5 （1+x2） =4.7 C. 2.5（1−x）2 = 4.7 D. 2.5 （1–x2）= 4.7 2.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动、某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x,则所列方程正确的是（A ） A. 23（1−𝑥）2 = 18.63 B. 18.63（1+x）2 = 23 C. 18.63（1−x）2 = 23 D. 23 （1−x2）= 18.63 3.在今年举办的东京奥运会上，杨倩在女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是22500个．若月25日和26日较前一天的增长率均为x，则满足的方程是（D ） A．5000 (1+x)2 ＝22500 B．5000 (1+x2)＝22500 C．5000+5000（1+x）+5000 (1+x)2 ＝22500 D．5000（1+x）+5000 (1+x)2 ＝22500 4.为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企连续降价两次后的平均价格比降价之前减少了19%，求平均每次降价的百分率． 解：设平均每次降价的百分率为x， 依题意得：1×(1－x)2＝1－19%， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(舍去)． 答：平均每次降价的百分率为10% 学科网（北京）股份有限公司 $$