5.1　认识分式 学案2024-2025学年 北师大版数学八年级下册

第2课时 课时学习目标 素养目标达成 1.理解并掌握分式的基本性质及变号法则 抽象能力 2.掌握约分的方法和最简分式的化简方法 运算能力 3.利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形 应用意识 基础主干落实　　博观约取 厚积薄发 新知要点 对点小练 1.分式的基本性质 公式:=(m≠0) 公式:=(m≠0) 1.若根据分式的基本性质=,则M为( ) A.a2-2　　　B.a2-2a C.2a-4　　　 D.2a-1 2.约分 关键:找出分子、分母的 ; 依据:分式的基本性质; 方法:先把分子、分母 (分子、分母为多项式时),然后约去它们的 ,约分的最后结果是将一个分式变为 或 2.下列约分正确的是( ) A.=x3　　　　　 B.=0 C.=x+y D.=x-y 3.最简分式 分子与分母没有 的分式 3.下列分式是最简分式的是( ) A. B. C. D. 重点典例研析　　学贵有方 进而有道 重点1分式的基本性质(运算能力) 【典例1】(教材再开发·P110例2拓展)如果x,y同时扩大3倍,那么分式的值( ) A.扩大3倍 B.扩大9倍 C.变为原来的 D.不变 【举一反三】 1.下列分式从左到右的变形正确的是( ) A.=　　　　 B.= C.= D.= 2.(2024·北京期中)利用分式的基本性质填空: (1)=(a≠0); (2)=. 3.不改变分式的值,把它的分子和分母中的各项系数都化为整数,则所得的结果为 .  【技法点拨】 应用分式的基本性质的两个步骤及三点注意 (1)两个步骤:①观察分析:对式子进行观察、分析,比较变形前后分式的分子或分母发生了怎样的变化,找到同乘(或除以)的整式; ②应用性质:根据分析的结果,应用分式的基本性质进行变形. (2)三点注意:①注意分式变形前后的值要相等; ②注意分式的分子和分母要同乘或同除以同一个数(或式子),不能只对分子或只对分母进行变形; ③所乘(或除以)的整式不能为零. 重点2分式的化简求值(运算能力) 【典例2】先化简,再求值: (1),其中x=-2; (2),其中x=110,y=10. 【举一反三】 1.把下列各式化为最简分式: (1)= ;  (2)= .  2.(2024·北京中考)已知a-b-1=0,求代数式的值. 【技法点拨】 分式化简求值的步骤 易错提醒　约分时要注意分子、分母都是乘积的形式才能进行约分,约分要彻底,化为最简分式. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·运算能力)根据分式的基本性质对分式变形,下列正确的是( ) A.= B.= C.= D.=- 2.(3分·运算能力、推理能力)若表示的是一个最简分式,则☆可以是( ) A.2x B.x C.4x-x2 　D.x2 3.(3分·运算能力)约分: (1)= ;  (2)= .  4.(3分·运算能力)不改变分式的值,把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数,结果为 .  5.(8分·运算能力、推理能力)已知三个整式x2+4x,4x+4,x2. (1)从中选出两个进行加法运算,使所得整式可以因式分解,并进行因式分解; (2)从中选出两个分别作为分式的分子与分母,要求这个分式不是最简分式,并对这个分式进行约分. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1　认识分式 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.了解分式的概念,能判断一个代数式是不是分式 模型观念 2.能判断一个分式何时有意义,能根据条件求分式的值 运算能力、推理能力 3.能用分式表示简单问题中数量之间的关系,能解释简单分式的实际背景或几何意义 抽象能力、应用意识 基础主干落实　　九层之台 起于累土 新知要点 对点小练 1.分式的概念: 1.在式子,,,,中,分式有: .  2.分式有无意义(值为0)的条件: 2.(1)若分式无意义,则x的值是( ) A.±1 B.1 C.-1 D.0 (2)若分式的值为0,则a的值为( ) A.±1 B.0 C.-1 D.1 重点典例研析　　精钻细研 学深悟透 重点1分式的定义(模型观念) 【典例1】(教材溯源·P109习题5.1T1·2022·怀化中考)代数式x,,,x2-,,中,属于分式的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【举一反三】 1.(2024·杭州期末)若是分式,则可以是( ) A.π B.2 023 C.0 D.x 2.下列各式中,哪些是整式?哪些是分式? ,x-1,,,,,(x+y),,. 重点2分式有、无意义的条件(模型观念) 【典例2】(教材再开发·P109例1(2)强化)x取何值时,下列分式有意义: (1);(2);(3). 【举一反三】 1.(2024·汕头期末)当x=-1时,下列分式没有意义的是( ) A.　 B.　 C.　 D. 2.下列各式中,无论x取何值,分式都有意义的是( ) A.　B.　C.　D. 3.(2024·青海中考)若式子有意义,则实数x的取值范围是 .  【技法点拨】 分式有、无意义的条件 分式有意义→B≠0(分母不为0) 分式无意义→B=0(分母为0) 重点3分式的值(运算能力、推理能力) 【典例3】下列关于分式的判断,正确的是( ) A.当x=2时,的值为零 B.当x为任意实数时,的值总为正数 C.无论x为何值,不可能得整数值 D.当x≠3时,有意义 【举一反三】 已知分式,当x=2时,分式的值为零;当x=-2时,分式没有意义.则a+b的值为 .  【技法点拨】 分式值为零的问题求解 (1)利用分子等于0,构建方程. (2)解方程,求出所含字母的值. (3)代入验证:将所求的值代入分母,验证是否使分母为0,不为0此值即为所求,否则,应舍去. (4)写出答案. 素养当堂测评　　(10分钟·16分) 1.(4分·模型观念)下列各式:+1,,,中,是分式的共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(4分·模型观念)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 .  3.(8分·运算能力、推理能力)已知分式,回答下列问题. (1)若分式无意义,求x的值; (2)若分式的值是零,求x的值; (3)若分式的值是正数,求x的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1　认识分式 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.了解分式的概念,能判断一个代数式是不是分式 模型观念 2.能判断一个分式何时有意义,能根据条件求分式的值 运算能力、推理能力 3.能用分式表示简单问题中数量之间的关系,能解释简单分式的实际背景或几何意义 抽象能力、应用意识 基础主干落实　　九层之台 起于累土 新知要点 对点小练 1.分式的概念: 1.在式子,,,,中,分式有:  ,,　.  2.分式有无意义(值为0)的条件: 2.(1)若分式无意义,则x的值是(B) A.±1 B.1 C.-1 D.0 (2)若分式的值为0,则a的值为(C) A.±1 B.0 C.-1 D.1 重点典例研析　　精钻细研 学深悟透 重点1分式的定义(模型观念) 【典例1】(教材溯源·P109习题5.1T1·2022·怀化中考)代数式x,,,x2-,,中,属于分式的有(B) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【举一反三】 1.(2024·杭州期末)若是分式,则可以是(D) A.π B.2 023 C.0 D.x 2.下列各式中,哪些是整式?哪些是分式? ,x-1,,,,,(x+y),,. 【解析】x-1,,(x+y), 的分母中不含有字母,是整式; ,,,,的分母中含有字母,是分式. 重点2分式有、无意义的条件(模型观念) 【典例2】(教材再开发·P109例1(2)强化)x取何值时,下列分式有意义: (1);(2);(3). 【自主解答】(1)要使有意义,得2x-3≠0, 解得x≠, 当x≠时,有意义; (2)要使有意义,得|x|-12≠0, 解得x≠±12, 当x≠±12时,有意义; (3)要使有意义,得x2+1≠0. 当x为任意实数时,有意义. 【举一反三】 1.(2024·汕头期末)当x=-1时,下列分式没有意义的是(D) A.　 B.　 C.　 D. 2.下列各式中,无论x取何值,分式都有意义的是(D) A.　B.　C.　D. 3.(2024·青海中考)若式子有意义,则实数x的取值范围是　x≠3　.  【技法点拨】 分式有、无意义的条件 分式有意义→B≠0(分母不为0) 分式无意义→B=0(分母为0) 重点3分式的值(运算能力、推理能力) 【典例3】下列关于分式的判断,正确的是(B) A.当x=2时,的值为零 B.当x为任意实数时,的值总为正数 C.无论x为何值,不可能得整数值 D.当x≠3时,有意义 【举一反三】 已知分式,当x=2时,分式的值为零;当x=-2时,分式没有意义.则a+b的值为　6　.  【技法点拨】 分式值为零的问题求解 (1)利用分子等于0,构建方程. (2)解方程,求出所含字母的值. (3)代入验证:将所求的值代入分母,验证是否使分母为0,不为0此值即为所求,否则,应舍去. (4)写出答案. 素养当堂测评　　(10分钟·16分) 1.(4分·模型观念)下列各式:+1,,,中,是分式的共有(B) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(4分·模型观念)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是　x≠-2　.  3.(8分·运算能力、推理能力)已知分式,回答下列问题. (1)若分式无意义,求x的值; (2)若分式的值是零,求x的值; (3)若分式的值是正数,求x的取值范围. 【解析】(1)由题意得:2-3x=0,解得x=; (2)由题意得:x-1=0,且2-3x≠0, 解得x=1; (3)由题意得:①, 此不等式组无解; ②, 解得<x<1. ∴分式的值是正数时,<x<1. 训练升级,请使用　“课时过程性评价 二十八” 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 课时学习目标 素养目标达成 1.理解并掌握分式的基本性质及变号法则 抽象能力 2.掌握约分的方法和最简分式的化简方法 运算能力 3.利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形 应用意识 基础主干落实　　博观约取 厚积薄发 新知要点 对点小练 1.分式的基本性质 公式:=(m≠0) 公式:=(m≠0) 1.若根据分式的基本性质=,则M为(B) A.a2-2　　　B.a2-2a C.2a-4　　　 D.2a-1 2.约分 关键:找出分子、分母的公因式; 依据:分式的基本性质; 方法:先把分子、分母分解因式(分子、分母为多项式时),然后约去它们的公因式,约分的最后结果是将一个分式变为最简分式或整式 2.下列约分正确的是(D) A.=x3　　　　　 B.=0 C.=x+y D.=x-y 3.最简分式 分子与分母没有公因式的分式 3.下列分式是最简分式的是(D) A. B. C. D. 重点典例研析　　学贵有方 进而有道 重点1分式的基本性质(运算能力) 【典例1】(教材再开发·P110例2拓展)如果x,y同时扩大3倍,那么分式的值(A) A.扩大3倍 B.扩大9倍 C.变为原来的 D.不变 【举一反三】 1.下列分式从左到右的变形正确的是(D) A.=　　　　 B.= C.= D.= 2.(2024·北京期中)利用分式的基本性质填空: (1)=(a≠0); (2)=. 3.不改变分式的值,把它的分子和分母中的各项系数都化为整数,则所得的结果为 　.  【技法点拨】 应用分式的基本性质的两个步骤及三点注意 (1)两个步骤:①观察分析:对式子进行观察、分析,比较变形前后分式的分子或分母发生了怎样的变化,找到同乘(或除以)的整式; ②应用性质:根据分析的结果,应用分式的基本性质进行变形. (2)三点注意:①注意分式变形前后的值要相等; ②注意分式的分子和分母要同乘或同除以同一个数(或式子),不能只对分子或只对分母进行变形; ③所乘(或除以)的整式不能为零. 重点2分式的化简求值(运算能力) 【典例2】先化简,再求值: (1),其中x=-2; (2),其中x=110,y=10. 【自主解答】(1)==-,当x=-2时,原式=-=-1; (2)==, 当x=110,y=10时,原式==1.2. 【举一反三】 1.把下列各式化为最简分式: (1)= 　;  (2)= 　.  2.(2024·北京中考)已知a-b-1=0,求代数式的值. 【解析】∵a-b-1=0,∴a-b=1, = = = = = =3. 【技法点拨】 分式化简求值的步骤 易错提醒　约分时要注意分子、分母都是乘积的形式才能进行约分,约分要彻底,化为最简分式. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·运算能力)根据分式的基本性质对分式变形,下列正确的是(B) A.= B.= C.= D.=- 2.(3分·运算能力、推理能力)若表示的是一个最简分式,则☆可以是(B) A.2x B.x C.4x-x2 　D.x2 3.(3分·运算能力)约分: (1)= 　;  (2)=　x-4　.  4.(3分·运算能力)不改变分式的值,把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数,结果为 　.  5.(8分·运算能力、推理能力)已知三个整式x2+4x,4x+4,x2. (1)从中选出两个进行加法运算,使所得整式可以因式分解,并进行因式分解; (2)从中选出两个分别作为分式的分子与分母,要求这个分式不是最简分式,并对这个分式进行约分. 【解析】(1)x2+(4x+4)=(x+2)2或x2+(x2+4x)=2x2+4x=2x(x+2); (2)==或==. 训练升级,请使用　“课时过程性评价 二十九” 学科网（北京）股份有限公司 $$