【解三角形中的中线角平分线高线】六大题型归纳讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【解三角形中的中线角平分线高线】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：与中线有关的求值】 知识讲解 一.如图，中，为的中线，则有以下两种方法： ①向量法：,平方即可； ②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 二.中线长定理：在中，AD是BC边上的中线（为BC中点，，，），则中线AD的长度满足。 证明： 因为是BC的中点，所以。 在中，根据余弦定理可得： ① 在中，根据余弦定理可得： ② 由于，根据诱导公式，所以。 将①、②两式联立可得： 等式两边同时乘以（，因为AD是三角形的中线长度，不为），得到： 去括号得： 移项可得： 合并同类项得： 两边同时除以得： 两边同时开平方得： 即。 三：（中线交点重心）设的三个顶点对应的向量分别为、、，为的重心，、、分别为BC、AC、AB边的中点。 1. 因为是BC中点，根据向量加法的平行四边形法则（或向量的中点公式），有。 又因为重心分中线AD的比为，即，那么。 所以。 2. （为平面内任意一点） 由于，，。 把上述式子代入中，可得： 。 展开括号得到。 移项可得，两边同时除以，即。 例题精选 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 2．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）在中，角、、所对的边为、、，已知. (1)求角的值； (2)若为边的中点，且，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理求出的值，结合角的可得出角的值； （2）由题意可得出，可得出，利用平面向量数量积的运算性质得出关于的等式，解出的值，结合三角形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）由余弦定理可得，因为，故. （2）在中，因为为边的中点，所以 故，即， 所以，，即 解得或（舍）， 所以. 3．（2025高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，. (1)求； (2)若的面积为，，为的中点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合三角形内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式得到求解； （2）法一：由的面积为得到，再利用余弦定理得到，然后由两边平方即可求解；法二，根据得，再结合余弦定理即可求解；法三：利用中线定理得到求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 因为，所以， 故， 即， 又，所以， 所以，得， 又，所以. （2）法一：由，得. 由余弦定理得， 即，得. 由题知， 两边同时平方得， 故. 法二，同法一得. 易知， 则， 即， 得，得； 法三，同法一得.所以由中线定理得到， 所以，所以. 相似练习 4．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）记的内角的对边分别为，已知 (1)求； (2)设的中点为，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换求解即可； （2）利用和和向量数量积的运算律联立解出和，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为的内角的对边分别为， ， 所以由正弦定理边化角可得①， 又因为中，所以②， 将②式代入①式可得， 因为，， 所以，即， 因为，所以，. （2）因为为中点，， 所以③， ④， ③④联立解得，， 所以，的面积. 5．（24-25高三下·广东·开学考试）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)证明：； (2)若边上的中线的长为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再用余弦定理可解. （2）根据余弦定理列方程求解即可 【详解】（1）由正弦定理可得，所以， 由及余弦定理得， 代入，得， 化简得，故； （2）因为，所以，故， 在中，由余弦定理可得， 即， 解得. 6．（2025·黑龙江·一模）已知中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由正弦定理进行边角互化，再利用二倍角的正弦公式结合特殊角的三角函数关系即可求得答案； （2）由为的中点得，左右平方实数化可得边，再利用三角形的面积求解即可. 【详解】（1）由正弦定理，得， 又，所以，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，解得，即. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得到， 又，， 所以，整理可得， 解得或（舍去） 所以的面积. 【题型二：与中线有关的最值与范围问题】 知识讲解 解题思路： 利用中线长定理 结合余弦定理转化为边的关系：根据中线长定理（以$BC$边上的中线为例），再结合余弦定理等，将问题中的条件和所求的最值转化为关于三角形三边，，的表达式，然后利用不等式或函数的性质求解。 建立等式关系求解：若已知三角形的一些边或角的关系，可通过中线长定理建立等式，再根据已知条件进行化简和变形，将中线表示为某个变量的函数，进而求函数的最值。 利用向量法 将中线向量用边向量表示：设$AD$是中$BC$边上的中线，则。通过向量的运算和性质，将中线相关的问题转化为向量的模长、数量积等问题。 利用向量模长公式求最值：根据，结合已知条件，如，的关系或的取值范围等，利用不等式等方法来求的最值。 利用三角形的面积关系 结合中线与面积的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，即。利用三角形面积公式等，结合已知条件建立等式或不等式关系。 通过面积与中线的关系求最值：例如，若已知三角形的面积为定值，根据面积公式和中线长定理，可建立关于中线和三角形边、角的等式，再通过不等式等方法求出中线的最值。 利用三角函数法 将中线用三角函数表示：在三角形中，根据已知的角度和边长关系，通过正弦定理（为三角形外接圆半径）或余弦定理，将中线用三角函数表示出来。 根据三角函数的性质求最值：例如，若将中线表示为（为三角形中的某个角）的形式，然后根据三角函数等的性质，结合的取值范围，求出中线的最值。 例题精选 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法运算及数量积模的运算，推导出，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式，将表示为角的三角函数表达式，结合正弦函数的性质算出的取值范围． 【详解】由是边上的中线，得， 则， 由正弦定理得，得，， 则， 而， ， 于是 ， 由为锐角三角形，，得，即， 则，，因此，即， 所以的取值范围为. 故选：C 2．（21-22高三上·全国·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在，中利用余弦定理，并结合，利用诱导公式，消去角， 求得，结合中使用余弦定理，得到， 然后结合基本不等式求得的取值范围，进而得到中线长的取值范围. 【详解】是边上的中线， 在中，①， 在中，②. 又，， 由①＋②得. 由余弦定理得. ， ， ，即， . 故选C. 二、填空题 3．（21-22高三上·河南·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设是中点，用向量表示，平方转化为数量积求中线长，然后由求出取值范围，即可得结论． 【详解】设是中点，则， ， 又，所以，当且仅当时等号成立． 所以，． 故答案为：． 相似练习 4．（2023·浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为且， (1)求； (2)求边上中线长的取值范围． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理进行边角转化，分析运算即可； （2）利用余弦定理和基本不等式可得，再根据，结合向量的相关运算求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理得， 且，则，可得，即， 且，则， 由正弦定理，其中为的外接圆半径， 可得， 又因为， 所以. （2）在中，由余弦定理，即， 则，当且仅当时，等号成立， 可得，即 设边上的中点为D， 因为，则 ， 即，所以边上中线长的取值范围为. 5．（2023·广东广州·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由余弦定理结合正弦定理，可得出角的正切即可求出角； （2）由，结合正弦定理应用辅助角公式，根据锐角三角形中角的范围，即可应用三角函数值域求出范围 【详解】（1）由余弦定理得， 即， 由正弦定理得 ， ，即， . （2）由余弦定理得：，则. 由正弦定理得 所以， 因为是锐角三角形，所以，即， 则. 中线长的取值范围是. 6．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且. (1)求; (2)若，为的中点，求中线的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换求解即可； （2）由向量数量积的运算律可得，再利用余弦定理和正弦定理化简，结合锐角三角形条件即可求解. 【详解】（1）因为是锐角三角形的三个内角，所以，， 根据正弦定理可得，即， 所以，则， 整理得，即， 又，所以，即. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以且，解得， 所以，所以，所以， 所以中线的取值范围是. 【题型三：与角平分线有关的求值】 知识讲解 角平分线定理 内容：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。即在中，AD为的角平分线，则。 证明 方法一（利用平行线分线段成比例定理）：过作交BA的延长线于。因为，所以，。又因为AD是角平分线，，所以，则。由，根据平行线分线段成比例定理可得，把代入可得。 方法二（利用三角形面积法）：中，AD为的平分线。，。因为AD是角平分线，，且，所以。 角平分线长公式 1. 首先，根据三角形面积公式，的面积可以表示为。 2. 由三角形面积公式（m,n为三角形两边，为m,n夹角）可得： ； ； 。 3. 那么，等式两边同时约去，得到。 4. 根据二倍角公式，则，将其代入上式可得： 。 5. 因为，所以，，等式两边同时除以，得到，则。 6. 再根据余弦定理，以及半角公式，可得： 。 7. 已知，则，，所以，则。 8. 将代入，可得： 。 例题精选 1．（2024·新疆喀什·三模）在中，，，，是边一点，是的角平分线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】由余弦定理得到，由正弦定理和得，求出，进而得到，在中，由正弦定理得到答案. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 其中，， 所以，， 故， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 故， 在中，由正弦定理得， 即，解得. 故选：A 二、填空题 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，AD是的角平分线，D在BC边上，，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得的值，进而求得A的值，由已知利用角平分线的性质可得，由余弦定理，角平分线的性质可得，进而解得c，b的值，进而根据余弦定理可得a的值． 【详解】因为，所以由正弦定理得，即， 故，由，可得． 因为AD是的角平分线，D在BC边上，可得， 所以由余弦定理可得，， 因为，所以由角平分线定理可得， 即， 整理可得，所以由余弦定理可得． 故答案为：. 3．（23-24高一下·山东临沂·期中）在中，已知的角平分线，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】由三角形的等面积法，可得，的值，进而求出的值． 【详解】因为，，的角平分线， 由等面积可得， 即， 即， ，因为， 所以，， 所以． 故答案为：． 相似练习 4．（24-25高三上·重庆·期中）在中，角的对边分别为．已知，； (1)求角的值； (2)的角平分线交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，可得，结合角度范围即可得角的值； （2）根据余弦定理与三角形面积关系求解得长度，再由计算可得的长． 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； （2）由（1）知， 由余弦定理得， 则可得， 由，可得，所以， 因为，即， 所以. 5．（23-24高一下·广东惠州·期末）已知有下面三个条件： ①；②；③； 请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在中，角所对的边分别是，，，且________. (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得，得到，即可求解；选择②：由正弦定理化简得到，得到，即可求解；选择③，化简得到,即，由余弦定理求得，即可求解； （2）根据题意结合，列出方程，即可求解. 【详解】（1）选择①：由，可得， 即，即， 因为，所以； 选择②：因为②，由正弦定理得， 可得， 因为，可得，所以， 即，可得， 因为，可得，所以； 选择③：由，可得, 又由正弦定理得，再由余弦定理得， 因为，所以. （2）若是的角平分线，则， 且，即， 解得. 6．（23-24高一下·湖南株洲·期末）在中，角所对的边分别为，向量，，且，为线段上一点. (1)求角的大小； (2)若为角的角平分线，，的周长为15，求的长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由，得，然后利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简变形可求得角； （2）利用余弦定理结合已知条件可求得，再由为角的角平分线，可得，利用三角形面积公式化简可求出的长. 【详解】（1）解：，，且， ， 由正弦定理得， ， ，， 在三角形中，， ，， ∵，. （2）解：，， 由余弦定理得， 即，解得. 为角的角平分线，， ∵， ∴， ∴，得 . 【题型四：与角平分线有关的最值与范围问题】 知识讲解 【解题思路】 利用角平分线定理 定理内容：在中，$AD$为的角平分线，则有。 思路：通过角平分线定理得到边的比例关系，再结合其他条件，如三角形的周长、面积等，建立关于所求量的等式或不等式，进而求解最值或取值范围。例如，已知角平分线AD和边AB、AC的关系，以及三角形周长为定值，可根据角平分线定理将边BD、DC用AB、AC表示出来，再利用周长关系得到一个等式，然后根据均值不等式等方法求相关量的最值。 结合余弦定理 定理内容：对于，，，。 思路：若已知角平分线所分角的大小以及三角形的一些边的关系，可在角平分线所分的两个小三角形中分别应用余弦定理，得到关于角平分线长度或其他边的表达式，再根据已知条件确定变量的取值范围，从而求出最值。比如，在中，AD是的角平分线，已知，，，可在和中分别用余弦定理表示出BD和DC，再结合角平分线定理建立等式，进而求解与角平分线相关的量的取值范围。 借助三角形面积公式 公式内容：，且。 思路：利用这一关系，结合角平分线将角平分的性质，通过面积公式得到边与角平分线的关系。例如，，，，由可得到关于$AD$的表达式，再根据三角形的已知条件，如角的范围、边的关系等，确定$AD$的最值或取值范围。 建立函数关系 思路：根据已知条件，选取合适的变量，如角、边等，将所求的与角平分线有关的量表示为该变量的函数，然后根据函数的性质，如单调性、值域等，求解最值或取值范围。比如，设角平分线所分的一个角为，通过三角函数的关系将角平分线长度或其他相关量表示为的函数，再根据的取值范围，利用函数的单调性求函数的最值，从而得到角平分线相关量的最值。 例题精选 1．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知△的内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若△的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理进行角换边得，再利用余弦定理即可得到答案； （2）求出，结合三角形面积公式得，再利用二倍角的余弦公式得，最后再次根据三角形面积公式和基本不等式即可得到答案. 【详解】（1）由正弦定理，得，即， 故根据余弦定理有. （2）因为为三角形内角，则由（1）知， 因为的面积为，所以， 即，解得， 又因为，，所以，所以， 所以． 于是. 那么． 所以（当且仅当时等号成立） 故的最大值为． 【求值】2．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为，且，则（    ） A． B． C．3 D．或3 【答案】A 【分析】根据题意，在和中，利用正弦定理求得，在由余弦定理求得，再由，结合面积公式，求得，即可求解. 【详解】由，因为，可得， 又由边上的角平分线，所以， 在中，可得， 在中，可得, 因为，且， 所以，即， 在中，由余弦定理可得， 所以， 又由，即， 因为，可得，即，可得， 所以. 故选：A.    3．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知在中，角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若的角平分线交于点，且，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，化简后求解即可； （2）根据角平分线性质，得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理及，得， 由得， 所以，所以， 由于，则，所以，即． 又，所以． （2）因为的角平分线交于点，且，      所以， 根据三角形面积公式可得， 又，得，得，当时等号成立， 所以，即的面积最小值为． 4．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角B； (2)若点D在上，为的角平分线，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行角换边，再结合余弦定理即可得到答案； （2）根据面积法得，再利用乘“1”法即可得到最小值. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得，即， 又因为，则， 因为，所以. （2）因为 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当时，取得最小值. 5．（23-24高一下·湖北·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且的角平分线与边交于点，且，则的最小值为 . 【答案】18 【分析】由正弦定理角化边得，由角平分线性质以及三点共线可得，，，结合可得，结合“乘1法”即可求解. 【详解】因为，所以，因为， 所以，因为，所以， 因为平分，注意到 ，根据菱形的性质以及平行四边形法则可知， 与共线（同向），所以设， 注意到三点共线，所以， 又，所以，解得， 所以，等号成立当且仅当， 综上所述，的最小值为18. 故答案为：18. 6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出； （2）利用余弦定理得到，由三角形面积公式和求出，表达出，利用两次基本不等式求出最值. 【详解】（1）由题意知中，， 故 即， 即， 所以， 而，故， 故，即， 又，故； （2）由余弦定理：， 又， 所以，所以， 所以， 当且仅当时，取等号，则的最小值为. 7．（23-24高一下·四川达州·阶段练习）已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为，求内角的角平分线AD长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得，利用余弦定理，求得， 进而求得的值； （2）根据，列出方程求得，结合余弦的倍角公式，得到，利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理，得， 整理得，所以， 因为，所以，所以. （2）解：因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于，所以，， 由于，可得，所以， 所以， 因为，当且仅当时，等号取得到， 所以，可得. 相似练习 【题型五：三角形的高线问题】 知识讲解 如图中，平分，则有以下三个结论： ①等面积法：；② ③ 例题精选 1．（2025·北京平谷·一模）在中，. (1)求的大小； (2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式即可求解，或者利用余弦定理边角互化求解， （2）根据三角形存在可知不能选①，选②，利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解，或者利用正弦定理求解，进而根据和差角公式求解,由面积公式求解，选③根据高，即可利用选②的方法求解. 【详解】（1）方法一：由正弦定理及，得 .① 因为， 所以.② 由①②得 因为，所以. 所以.因为，所以. 方法二：在中，因为， 由余弦定理得， 整理得 所以，所以. （2）若选条件①：；，所以,而，这与矛盾，故不能选①. 选条件②： 方法一：由余弦定理，得 即，解得. 所以 方法二：由正弦定理，所以，因为 ，所以， 所以. 选条件③： 边上的高，所以， 以下与选择条件②相同. 2．（2025·江西上饶·一模）已知的内角的对边分别为，． (1)求； (2)若，边上的高为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合二倍角公式求角. （2）根据，可求，根据正弦定理可得的数量关系，再结合余弦定理，可求的值，进而可求的周长. 【详解】（1）由， 所以. 由正弦定理可得：，因为，所以. 所以，又，所以. （2）因为，边上的高为， 所以. 根据正弦定理：. 由余弦定理：， 所以或（舍去），所以. 所以的周长为：. 3．（24-25高三下·河南驻马店·开学考试）在中，内角、、所对的边分别为、、，且满足． (1)求； (2)若，，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理求出的值，求出的面积，即可求出边上的高． 【详解】（1）由正弦定理，有，有，                     通分后，有，有， 因为，则， 又由，有，可得，                     又由，可得. （2）设边上的高为， 由及余弦定理，有，                     的面积为， 则. 相似练习 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【详解】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 5．（2025·江西新余·一模）在中，已知角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求三角形ABC的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由余弦边角关系及已知可得，再应用余弦定理即可求角的大小； （2）由三角形面积公式，应用等面积法列方程得，结合（1）的结论，并应用余弦定理求边长，进而确定三角形的周长. 【详解】（1）由题设及余弦定理知，整理得， 所以，，则； （2）由题意及（1）知：，则， 由，即， 所以（负值舍），故，而， 所以三角形ABC的周长为. 6．（24-25高三上·江苏·阶段练习）记的内角、、的对边分别为、、，且. (1)求； (2)若边上的高为，且，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解法一：由已知条件结合正弦定理、两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； 解法二：由已知条件结合余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由三角形的面积公式可得出，利用余弦定理结合已知条件可得出关于的方程，即可解得的值. 【详解】（1）解法一：由及正弦定理得， 所以， 即，即， 因为、，则， 所以，所以； 解法二：由及余弦定理得， 所以，即，所以， 又，所以. （2）记边上的高为，则， 由（1）得，所以， 所以由余弦定理可得， 所以，所以，所以或（舍），故. 【题型六：中线角平分线高线综合】 例题精选 1．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A中，由正弦定理可得中线的表达式，判断出A的真假；B中，由三角形等面积法求出角平分线的表达式，判断出B的真假；C中，由三角形等面积法求出高的表达式，判断出C的真假；D中，由选项的分析，可得三角形的面积的表达式，判断出D的真假． 【详解】A：设为的中线，由可得,可得， 即，所以A正确； B中，设，设为的角平分线，所以， 由三角形等面积法可得， 可得， 所以，即，所以B正确； 设为边上的高，由等面积法可得， 所以，因为，由余弦定理可得， 所以， 所以， 即，所以C正确； D中，由C可得，所以D不正确． 故选：D． 二、解答题 2．（2025·福建福州·模拟预测）在中，点在边上，平分，设，． (1)若，，证明：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法1:应用正弦定理求出角相等即可证明；方法2：应用角平分线结合余弦定理计算结合全等证明； （2）结合角平分线和面积公式计算得出即可得出边长范围. 【详解】（1）方法1:因为，平分，所以，， 又，所以，由正弦定理可得，所以， 又，所以，所以，所以， 且，所以，则， 所以． 方法2：因为，平分，所以，， 又，由余弦定理得， 则，所以，即，且， 则，故． （2）因为， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，故． 3．（2022·福建·三模）的内角，，所对的边分别为，，. (1)求的大小； (2)为内一点，的延长线交于点，________，求的面积. 请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题. ①为的外心，； ②为的垂心，； ③为的内心，. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由余弦定理得， ，可得 根据可得答案； （2）选①，设的外接圆半径为，由正弦定理得，为外心得 ，与盾，故不能选①. 选②，为的垂心得，由 ， ，得，利用，求得，可得出为等边三角形，再由面积公式可得答案. 选③，为的内心，所以， 由和正弦定理可得，结合，和面积公式可得答案； 【详解】（1）在中，由余弦定理得，又因为，， 所以，整理得. 在中，由余弦定理得，所以， 即又因为，所以. （2）选①， 设的外接圆半径为，则在中，由正弦定理得，即，因为为外心，所以，与盾，故不能选①. 选②， 因为为的垂心，所以， 又，所以在中，， 同理可得， 又因为，所以，即 ， 又因为在中，， 所以，因此， 故，为方程两根，即， 因为，，所以，所以为等边三角形， 所以. 选③， 因为为的内心，所以， 由， 得， 因为，所以，即， 由（1）可得，即，所以， 即， 又因为，所以，所以. 相似练习 4．（21-22高二上·湖北宜昌·阶段练习）如图，在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知，且为边上的中线，为的角平分线． （1）求线段的长； （2）求的面积． 【答案】（1）6   （2） 【分析】（1）根据题意，二倍角公式展开结合正弦定理可得.进而得到；又由，即得解； （2）根据题意，因为平分，所以，由此可得，由，则，利用即得解. 【详解】（1）根据题意，， 由正弦定理，有. 又，， ∴； 又由， 解得，即 （2）根据题意，因为平分， 所以， 故， 变形可得， 由（1），又，则， 所以. 5．（21-22高三下·重庆九龙坡·阶段练习）已知函数. (1)若在上单调递增，求正数的取值范围； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，D、E、H为边上的点.从以下给出的3个条件中选择其中1个条件，并根据所选择的条件判断是否存在满足条件的三角形？若存在，求出的周长；若不存在，请说明理由（若多种选择作答，则按第一种解答给分）.①边的中线；②A角的角平分线；③边的垂线. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）化简并求出其中的一个单调递增区间，从而得到为它的一个子区间； （2）若选择①，求出，不合题意.故此时不存在满足条件的三角形.若选择②，利用三角形的面积关系可得，再构造出关于的方程；若选择③，利用三角形的面积关系可得故，再构造出关于的方程； 【详解】（1）由题， . 令，则. 令，则在上单调递增. 由在上递增，则，解得. 故正数的取值范围为. （2）（2）由，，则，则. 因为，由余弦定理，（*）. 若选择①，设，则. 因为D为中点，有，又， 在中，由余弦定理有. 同理在中，. 故. 代入（*）式，则，不合题意.故此时不存在满足条件的三角形. 若选择②，由为角平分线，则. 由，且，有. 即. 由（*）式，有，将上式代入，则有. 解得. 此时的周长为. 若选择③，由为垂线，则，故. 由（*）式，有，将上式代入，则有. 此时，的周长为. 6．（2023高三上·全国·专题练习）在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积． 【答案】 【分析】由三角恒等变换化简可得出，利用角平分线定理可得出，结合可得出，，然后在、中，应用余弦定理可得出，结合已知条件可得出的值，分析可知，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】解：因为， 所以，， 即，由正弦定理可得， 因为的角平分线交于，则，所以，． 又因为，，由可得， 即，则，． 在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得．② 因为， 则①②可得，，即， 即，即，解得， 此时满足，故，所以，． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 2．（23-24高一下·湖北襄阳·期中）中,,点在线段上,下列结论正确的是（） A．若是中线,则 B．若是高,则 C．若是角平分线,则 D．若,则是线段的三等分点 三、解答题 3．（24-25高三上·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 4．（2025·辽宁沈阳·一模）的内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线．若，，． (1)求的长； (2)求的长. 5．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知向量，，函数. (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)在锐角中，，，为的内角，，的对边，BC边上的中线，且，求面积的最大值. 6．（24-25高三上·河北石家庄·期中）在中，角所对的边为且满足. (1)求； (2)当时，求边上中线的范围. 7．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 8．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小： (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 9．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)的角平分线与交于点，求的最小值. 10．（2024·江西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且． (1)求角； (2)若的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 2024-2025高一下学期重难点题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 答案 B AC 1．B 【分析】利用向量性质得，平方后求得，再由余弦定理求得，由角平分线定理求得，然后由余弦定理求得后在中计算出． 【详解】是边中点，则， 所以， 即，解得， ， 是的平分线，则，， ， 在中，， 故选：B． 2．AC 【分析】分别使用向量解决三角形中线长问题，等面法求解高线、角平分线问题，两次使用余弦定理解决三等分点问题. 【详解】 A选项：由余弦定理知： 因为是中线，则 则 则 B选项： 则 则故B错误. C选项： 即 则则故C正确. D选项：在中 在中 即若是线段的三等分点，则 但不是方程的解，则选项D错误. 故选：AC. 3．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理将已知的正弦关系转化为边的关系，再利用余弦定理求出角。 （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，最后利用向量关系求出中线BD的长。 【详解】（1）因为，所以， 又因为 所以，，得， 所以，由余弦定理得， 又B为三角形内角， 所以， （2）因为的面积为，，， 所以，，所以，又， 因为BD为的中线，所以，， 所以，， 所以 4．(1) (2) 【分析】（1）先根据条件求角，结合平面向量的数量积求的长. （2）设，利用列式可求的长. 【详解】（1）由 所以，又，所以. 因为为中点，所以， 所以. 所以，即. （2）因为平分，所以. 设， 由. 所以. 故. 5．(1)， (2) 【分析】（1）利用平面向量坐标运算的性质得到，再利用三角函数的性质求解最小正周期和单调减区间即可. （2）法一利用向量中线定理得到，再结合基本不等式求解最值，法二利用多次余弦定理得到，再结合基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）依题意得 ， ，因此函数的最小正周期， 由，解得， 所以的单调递减区间是. （2）由（1）知，，即， 在锐角中，，则，即， 法一：由向量中线定理得， 所以， 所以，化简得， 由重要不等式得，当且仅当时取等， 所以，解得， 故， 当且仅当时取等，故面积的最大值为. 法二：在中，由余弦定理得， 即， 在中，由余弦定理得， 即， 因为， 所以， 两式子相加得， 在中，由余弦定理得， 化简得到， 代入中，整理得， 由重要不等式得，当且仅当时取等， 所以，解得， 故， 当且仅当时取等，故面积的最大值为. 6．(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦公式化简求解. （2）利用余弦定理，结合基本不等式求出的范围，再利用向量数量积的运算律求出范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得， 则，即， 于是，而，，则， 所以. （2）由（1）及余弦定理，得， 当且仅当时取等号， 因此，由为边上中线，得， 则， 所以边上中线的范围是. 7．(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理转化整理为，再利用余弦定理求解； （2）根据，利用两角和的余弦得到，进而得到，结合外接圆半径为2可求出三角形的边长，在中利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）因为， 所以, 即,即, 因为，所以. （2）. 所以，从而， 所以， 因为外接圆半径为，所以外接圆直径为， 由正弦定理得， 所以 因为的角平分线为，所以，所以 在中，由正弦定理得，即，解得 8．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理，边化角，然后化简计算即可： （2）先利用余弦定理解出，，然后利用正弦定理计算出角与角，然后利用两角和差公式计算即可； （3）先利用等面积法得到，因为，再由正弦定理可知，然后计算出的值即可. 【详解】（1）由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以， 因为，所以； （2）因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得， 且， 所以 ； （3）因为，是角平分线，即， 因为， 所以，由正弦定理可知， 所以，所以， 整理可得， 又因为，且， 即，解得. 9．(1) (2)． 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式计算可得； （2）由等面积法得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）由得， 由正弦定理得，即， 由，所以，化简得， 所以，所以. （2）由， 得， 即，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 10．(1)； (2)． 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简可求得，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用正弦定理可求得的值，利用可得，余弦定理可得，两式联立可得，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又，所以， 所以， 即， ，故， ，即， 又，则． （2） 由（1）可知，，又外接圆的半径为； 由正弦定理可知， 所以， 因为是的平分线，故， 又， 由， 可得，即．① 由余弦定理可知，，即．② 由①②可知． 所以， 又，则， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 【解三角形中的中线角平分线高线】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：与中线有关的求值】 知识讲解 一.如图，中，为的中线，则有以下两种方法： ①向量法：,平方即可； ②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 二.中线长定理：在中，AD是BC边上的中线（为BC中点，，，），则中线AD的长度满足。 证明： 因为是BC的中点，所以。 在中，根据余弦定理可得： ① 在中，根据余弦定理可得： ② 由于，根据诱导公式，所以。 将①、②两式联立可得： 等式两边同时乘以（，因为AD是三角形的中线长度，不为），得到： 去括号得： 移项可得： 合并同类项得： 两边同时除以得： 两边同时开平方得： 即。 三：（中线交点重心）设的三个顶点对应的向量分别为、、，为的重心，、、分别为BC、AC、AB边的中点。 1. 因为是BC中点，根据向量加法的平行四边形法则（或向量的中点公式），有。 又因为重心分中线AD的比为，即，那么。 所以。 2. （为平面内任意一点） 由于，，。 把上述式子代入中，可得： 。 展开括号得到。 移项可得，两边同时除以，即。 例题精选 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 2．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）在中，角、、所对的边为、、，已知. (1)求角的值； (2)若为边的中点，且，，求的面积. 3．（2025高三·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，. (1)求； (2)若的面积为，，为的中点，求. 相似练习 4．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）记的内角的对边分别为，已知 (1)求； (2)设的中点为，若，求的面积． 5．（24-25高三下·广东·开学考试）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)证明：； (2)若边上的中线的长为，求. 6．（2025·黑龙江·一模）已知中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，，，求的面积. 【题型二：与中线有关的最值与范围问题】 知识讲解 解题思路： 利用中线长定理 结合余弦定理转化为边的关系：根据中线长定理（以$BC$边上的中线为例），再结合余弦定理等，将问题中的条件和所求的最值转化为关于三角形三边，，的表达式，然后利用不等式或函数的性质求解。 建立等式关系求解：若已知三角形的一些边或角的关系，可通过中线长定理建立等式，再根据已知条件进行化简和变形，将中线表示为某个变量的函数，进而求函数的最值。 利用向量法 将中线向量用边向量表示：设$AD$是中$BC$边上的中线，则。通过向量的运算和性质，将中线相关的问题转化为向量的模长、数量积等问题。 利用向量模长公式求最值：根据，结合已知条件，如，的关系或的取值范围等，利用不等式等方法来求的最值。 利用三角形的面积关系 结合中线与面积的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，即。利用三角形面积公式等，结合已知条件建立等式或不等式关系。 通过面积与中线的关系求最值：例如，若已知三角形的面积为定值，根据面积公式和中线长定理，可建立关于中线和三角形边、角的等式，再通过不等式等方法求出中线的最值。 利用三角函数法 将中线用三角函数表示：在三角形中，根据已知的角度和边长关系，通过正弦定理（为三角形外接圆半径）或余弦定理，将中线用三角函数表示出来。 根据三角函数的性质求最值：例如，若将中线表示为（为三角形中的某个角）的形式，然后根据三角函数等的性质，结合的取值范围，求出中线的最值。 例题精选 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高三上·全国·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（21-22高三上·河南·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是 ． 相似练习 4．（2023·浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为且， (1)求； (2)求边上中线长的取值范围． 5．（2023·广东广州·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围. 6．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且. (1)求; (2)若，为的中点，求中线的取值范围. 【题型三：与角平分线有关的求值】 知识讲解 角平分线定理 内容：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。即在中，AD为的角平分线，则。 证明 方法一（利用平行线分线段成比例定理）：过作交BA的延长线于。因为，所以，。又因为AD是角平分线，，所以，则。由，根据平行线分线段成比例定理可得，把代入可得。 方法二（利用三角形面积法）：中，AD为的平分线。，。因为AD是角平分线，，且，所以。 角平分线长公式 1. 首先，根据三角形面积公式，的面积可以表示为。 2. 由三角形面积公式（m,n为三角形两边，为m,n夹角）可得： ； ； 。 3. 那么，等式两边同时约去，得到。 4. 根据二倍角公式，则，将其代入上式可得： 。 5. 因为，所以，，等式两边同时除以，得到，则。 6. 再根据余弦定理，以及半角公式，可得： 。 7. 已知，则，，所以，则。 8. 将代入，可得： 。 例题精选 1．（2024·新疆喀什·三模）在中，，，，是边一点，是的角平分线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 二、填空题 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，AD是的角平分线，D在BC边上，，则a的值为 ． 3．（23-24高一下·山东临沂·期中）在中，已知的角平分线，则的正弦值为 ． 相似练习 4．（24-25高三上·重庆·期中）在中，角的对边分别为．已知，； (1)求角的值； (2)的角平分线交于点，求的长． 5．（23-24高一下·广东惠州·期末）已知有下面三个条件： ①；②；③； 请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在中，角所对的边分别是，，，且________. (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长. 6．（23-24高一下·湖南株洲·期末）在中，角所对的边分别为，向量，，且，为线段上一点. (1)求角的大小； (2)若为角的角平分线，，的周长为15，求的长. 【题型四：与角平分线有关的最值与范围问题】 知识讲解 【解题思路】 利用角平分线定理 定理内容：在中，$AD$为的角平分线，则有。 思路：通过角平分线定理得到边的比例关系，再结合其他条件，如三角形的周长、面积等，建立关于所求量的等式或不等式，进而求解最值或取值范围。例如，已知角平分线AD和边AB、AC的关系，以及三角形周长为定值，可根据角平分线定理将边BD、DC用AB、AC表示出来，再利用周长关系得到一个等式，然后根据均值不等式等方法求相关量的最值。 结合余弦定理 定理内容：对于，，，。 思路：若已知角平分线所分角的大小以及三角形的一些边的关系，可在角平分线所分的两个小三角形中分别应用余弦定理，得到关于角平分线长度或其他边的表达式，再根据已知条件确定变量的取值范围，从而求出最值。比如，在中，AD是的角平分线，已知，，，可在和中分别用余弦定理表示出BD和DC，再结合角平分线定理建立等式，进而求解与角平分线相关的量的取值范围。 借助三角形面积公式 公式内容：，且。 思路：利用这一关系，结合角平分线将角平分的性质，通过面积公式得到边与角平分线的关系。例如，，，，由可得到关于$AD$的表达式，再根据三角形的已知条件，如角的范围、边的关系等，确定$AD$的最值或取值范围。 建立函数关系 思路：根据已知条件，选取合适的变量，如角、边等，将所求的与角平分线有关的量表示为该变量的函数，然后根据函数的性质，如单调性、值域等，求解最值或取值范围。比如，设角平分线所分的一个角为，通过三角函数的关系将角平分线长度或其他相关量表示为的函数，再根据的取值范围，利用函数的单调性求函数的最值，从而得到角平分线相关量的最值。 例题精选 1．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知△的内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若△的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值． 【求值】2．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为，且，则（    ） A． B． C．3 D．或3 3．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知在中，角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若的角平分线交于点，且，求面积的最小值． 4．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角B； (2)若点D在上，为的角平分线，，求的最小值． 5．（23-24高一下·湖北·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且的角平分线与边交于点，且，则的最小值为 . 6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值． 7．（23-24高一下·四川达州·阶段练习）已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为，求内角的角平分线AD长的最大值. 相似练习 【题型五：三角形的高线问题】 知识讲解 如图中，平分，则有以下三个结论： ①等面积法：；② ③ 例题精选 1．（2025·北京平谷·一模）在中，. (1)求的大小； (2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 2．（2025·江西上饶·一模）已知的内角的对边分别为，． (1)求； (2)若，边上的高为，求的周长． 3．（24-25高三下·河南驻马店·开学考试）在中，内角、、所对的边分别为、、，且满足． (1)求； (2)若，，求边上的高． 相似练习 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 5．（2025·江西新余·一模）在中，已知角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求三角形ABC的周长. 6．（24-25高三上·江苏·阶段练习）记的内角、、的对边分别为、、，且. (1)求； (2)若边上的高为，且，求. 【题型六：中线角平分线高线综合】 例题精选 1．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（2025·福建福州·模拟预测）在中，点在边上，平分，设，． (1)若，，证明：； (2)若，求的取值范围． 【模拟精选题】3．（2022·福建·三模）的内角，，所对的边分别为，，. (1)求的大小； (2)为内一点，的延长线交于点，________，求的面积. 请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题. ①为的外心，； ②为的垂心，； ③为的内心，. 相似练习 4．（21-22高二上·湖北宜昌·阶段练习）如图，在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知，且为边上的中线，为的角平分线． （1）求线段的长； （2）求的面积． 5．（21-22高三下·重庆九龙坡·阶段练习）已知函数. (1)若在上单调递增，求正数的取值范围； (2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，D、E、H为边上的点.从以下给出的3个条件中选择其中1个条件，并根据所选择的条件判断是否存在满足条件的三角形？若存在，求出的周长；若不存在，请说明理由（若多种选择作答，则按第一种解答给分）.①边的中线；②A角的角平分线；③边的垂线. 6．（2023高三上·全国·专题练习）在中，记角、、所对的边分别为、、，已知，中线交于，角平分线交于，且，，求的面积． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 2．（23-24高一下·湖北襄阳·期中）中,,点在线段上,下列结论正确的是（） A．若是中线,则 B．若是高,则 C．若是角平分线,则 D．若,则是线段的三等分点 三、解答题 3．（24-25高三上·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 4．（2025·辽宁沈阳·一模）的内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线．若，，． (1)求的长； (2)求的长. 5．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知向量，，函数. (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)在锐角中，，，为的内角，，的对边，BC边上的中线，且，求面积的最大值. 6．（24-25高三上·河北石家庄·期中）在中，角所对的边为且满足. (1)求； (2)当时，求边上中线的范围. 7．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 8．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小： (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 9．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)的角平分线与交于点，求的最小值. 10．（2024·江西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且． (1)求角； (2)若的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 2024-2025高一下学期重难点题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$