专题09 相似三角形模型之一线三等角、手拉手模型、半角模型与对角互补模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（湖北专用）

专题09 相似三角形模型之一线三等角、手拉手模型、半角模型与对角互补模型 目录 1 模型1.相似三角形模型之一线三等角模型 1 模型2.相似三角形模型之手拉手模型 8 模型3.相似三角形模型之半角模型 16 模型4.相似三角形模型之对角互补模型 28 34 模型1.相似三角形模型之一线三等角模型 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例1．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 例2．（2024·甘肃天水·二模）综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____； (2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长； (3)如图3，在四边形中，，，，，求的值． 模型2.相似三角形模型之手拉手模型 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形（只要这两个三角形是相似的）。 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 例1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． 例2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践 “手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股定理等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十分重要的地位和作用． 某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究： 如图①，已知和均是等腰直角三角形，，且，，易证：，． 深入探究： （1）如图②，将图①中绕点A逆时针旋转，连接、，并延长分别与、相交于点、，求证：，． 解决问题： （2）如图③，将图①中绕点逆时针旋转，使与重合，其他条件不变，若，，则_______，_______． 拓展应用： （3）如图④，将图①中绕点逆时针旋转，连接、，若，，，则______，______．（提示：求时，可过点作于点） 模型3.相似三角形模型之半角模型 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 图1 图2 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图5 条件：如图5，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 例1．（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 例2．（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 模型4.相似三角形模型之对角互补模型 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，．点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 例2．（23-24九年级上·吉林长春·期中）【问题解决】如图①，在中，点在边上（点不与点重合），点在边上，且．连结并延长至点，使，连结．求证：． 【拓展探究】如图②，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连结．若，，则的长为__________． 1．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图1，在矩形中，，，点、在、上，且，将四边形绕点逆时针旋转角，连接、相交于点，旋转后的图形如图2所示，则此时的值为 ． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知矩形的一条边，将矩形沿直线折叠使得顶点B落在边上的P点处． (1)求证：； (2)若与的比为，求边的长． 3．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）［问题情景］ （1）如图1，小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为______（直接写出结果） ［变式探究］ （2）如图2．小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长． ［拓展应用］ （3）如图3，小红把三角形放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，，求的值． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动．如图，已知在直角三角形中，，，边的长为4． (1)操作发现 操作：如图（1），分别取边、的中点D、E，连接，则的值为_______． (2)变换探究 如图（2），将绕点A逆时针旋转得到，连接、，直线与直线相交于点F. （Ⅰ）在旋转过程中的值是否发生变化？请说明理由． （Ⅱ）直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小是否发生变化？请说明理由． (3)拓展应用 在旋转过程中，直线与直线相交于点F，当为等腰三角形时，请直接写出的面积． 5．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）问题发现 （1）如图1，在四边形中，，，是上一点，若，则_____； 拓展探究： （2）如图2，在四边形中，是上一点，当时，求证：； 解决问题： （3）如图3，在中，，，点以的速度从点出发，沿边向点运动，点以的速度从点出发，沿边向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．连接，在的右侧作，交射线于点，连接．设运动时间为秒，当（点与点重合除外）是等腰三角形时，直接写出的值． 6．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连结、、，，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 【实践探究】 （1）在图①条件下，若，，则的长为_____． （2）如图②，点、分别在边、上，且，点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图③，在矩形中，，，点、分别在边、上，连结，，已知，，求四边形的面积． 7．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究． 在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且． 【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明； 请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长． 8．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【问题提出】 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系． 【方法感悟】 （1）小明组同学利用构造全等三角形的方法探究三条线段的关系：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，从而得到正确结论．小明组同学的结论是___________； 小亮组同学对小明组构造全等三角形的环节提出了不同的看法，借助旋转三角形的方式探究问题：将绕点A顺时针旋转90°得到，再证明，从而得到与小明组相同的结论． 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，沿边翻折得到，点B的对应点为点D，点E，F分别在边上，且．试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 【问题拓展】 （3）如图4，在四边形ABCD中，，点E，F分别在边上，且，试猜想当与满足什么关系时，可使得．请直接写出你的猜想． （4）如图5，在四边形中，，，与为对角线，．若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 相似三角形模型之一线三等角、手拉手模型、半角模型与对角互补模型 目录 1 模型1.相似三角形模型之一线三等角模型 1 模型2.相似三角形模型之手拉手模型 8 模型3.相似三角形模型之半角模型 16 模型4.相似三角形模型之对角互补模型 28 34 模型1.相似三角形模型之一线三等角模型 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例1．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见详解（2）成立，理由见详解（3）5 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三角形的外角的定义及性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，勾股定理、三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过等量代换得到，再结合，证明，则，即可作答． （2）与（1）过程类似，通过等量代换得到，结合，证明，则，即可作答． （3）因为点为直角顶点作等腰，得，与（1）过程类似，通过等量代换得到，证明，得出的值，再证明，列式代入数值，即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）成立，理由如下： ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴； （3）∵是等腰三角形 ∴ ∵， ∴与（1）、（2）同理，得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得（为线段，负值舍去） ∴． 例2．（2024·甘肃天水·二模）综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____； (2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长； (3)如图3，在四边形中，，，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、公式法解一元二次方程、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识， 添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）证明，则，，即可得到结论； （2）延长至点N，使，证明，则，设，则，，则，解得（负值已舍去）．则，过点M作于点D，求出，，，在中，利用勾股定理求值即可； （3）延长至点P，使，则，连接交的延长线于点Q，过点M作于点N，则四边形为矩形，证明是等腰直角三角形，则，证明为等腰直角三角形，则．设，则，，，证明，得到，即，解得．证明，根据即可求出答案． 【详解】（1）解：． 证明：四边形为矩形， ． ， ， 又， ∵， ∴， ， ，， ． 故答案为：； （2）如图1，延长至点N，使， ． 为等边三角形， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ． 设，则，， ， 解得（负值已舍去）． ∴， 过点M作于点D， 在中，， ，，， 在中，， （3）如图3，延长至点P，使，则， 连接交的延长线于点Q， 过点M作于点N，则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ，， ∴， 为等腰直角三角形，． 设，则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，即， 解得，（舍去）， ． ， ， ， ∴． 模型2.相似三角形模型之手拉手模型 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形（只要这两个三角形是相似的）。 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 例1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2)不改变，理由见解析 (3)（或）， 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】（1）连接，过点D作于点F，证明C，M，N三点共线．四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可． （2），M为中点，，，，证明，即可求解． （3）连接，延长交于点H，四边形和四边形为正方形，则，，，，，证明，即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点D作于点F， ∵与都为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵N为中点， ∴， ∵M为中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴C，M，N三点共线． ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中， ∴， ∴； 连接， ∵，M为中点， ∴CM⊥AB，，， ∴， ∴， ∵，N为中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值不会发生改变． （2）延长交于点H，连接， ∵四边形和四边形为正方形， ∴，，，，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用． 例2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践 “手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股定理等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十分重要的地位和作用． 某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究： 如图①，已知和均是等腰直角三角形，，且，，易证：，． 深入探究： （1）如图②，将图①中绕点A逆时针旋转，连接、，并延长分别与、相交于点、，求证：，． 解决问题： （2）如图③，将图①中绕点逆时针旋转，使与重合，其他条件不变，若，，则_______，_______． 拓展应用： （3）如图④，将图①中绕点逆时针旋转，连接、，若，，，则______，______．（提示：求时，可过点作于点） 【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）， 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）只需要利用SAS证明即可得到，，再证，即可推出即可证明，． （2）同理可证△ABD≌△ACE，则CE=BD，∠ACE=∠ABD，AE=AD=3，可以推出BE=6利用勾股定理求出，证明△AEC∽△FEB，求出，则； （3）如图所示，过点E作EH⊥AB于H，求出，则，利用勾股定理即可求出；求出，证明∠CBE=90°，则，同理可证△ACE≌△ABD，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，． （2）同理可证△ABD≌△ACE， ∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，AE=AD=3， ∴BE=6 ∵∠BAD=90°，AD=3，AB=6， ∴， 又∵∠AEC=∠BEF， ∴△AEC∽△FEB， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，过点E作EH⊥AB于H， ∵∠ABE=45°， ∴∠HEB=45°=∠HBE， ∴BH=EH， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°，， ∴∠CBE=90°， ∴， 同理可证△ACE≌△ABD， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 模型3.相似三角形模型之半角模型 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 图1 图2 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图5 条件：如图5，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 例1．（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点作，且使得，连接，，证明，得到，，证明，得到，设，则，在中，根据勾股定理求解即可； （2）分两种情况：①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点，②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点，根全等三角形的判定与性质和勾股定理求解即可； （3）作，且令，连接，，证明，得到，，推出，证明，得到，证明，即可求解． 【详解】（1）如图，过点作，且使得，连接，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，，， 解得：， ； （2）①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 在中，，即， 解得：， ； ②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点， ，， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 在中，，即， 解得：， ； 综上所述，或； （3）作，且令，连接，， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识并正确作出辅助线． 例2．（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)①，②将绕点顺时针旋转 (2)，理由见详解 (3)5.2 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解； （2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可． 方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出． 【详解】（1）解：①，理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； ②将绕点顺时针旋转即可得到． 理由如下： 在①已经证得，并得到， ， 将绕点顺时针旋转即可得到； 故答案为：①，②将绕点顺时针旋转； （2），理由如下： 延长至点，使得，连接，如图， 与互补， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； （3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ； 解法二：过点作于点，如图， ，， 在矩形中，，，， 设，则有， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 结合，解得， ． 【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 模型4.相似三角形模型之对角互补模型 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，．点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)是，见解析 (2)①4；② 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由旋转知，，从而得，则由“直等补”四边形定义即可求解； （2）①过C作于点F，由四边形是“直等补”四边形，得四边形是矩形，；再证明，得；设，则，在中由勾股定理建立方程求得x的值，从而求得； ②延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与交于点M、N，过G作，与的延长线交于点H．则的周长的值最小；再证明，由对应边成比例求得，从而由勾股定理求得，最后由勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：是；理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转性质得：， ∴， ∴， ∴四边形BEDF为“直等补”四边形； （2）解：①过C作于点F，如图1， 则； ∵四边形是“直等补”四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，设，则， ∵， ∴， 解得，或（舍）， ∴； ②如图2，延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与交于点M、N，过G作，与的延长线交于点H． 则， ∵， ∴， ∴的周长的值最小， ∵四边形是“直等补”四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，证明三角形全等与相似是解题的关键． 例2．（23-24九年级上·吉林长春·期中）【问题解决】如图①，在中，点在边上（点不与点重合），点在边上，且．连结并延长至点，使，连结．求证：． 【拓展探究】如图②，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连结．若，，则的长为__________． 【答案】【问题解决】见解析；【拓展探究】 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】[问题解决]先证明，得到，进而得到，根据两直线平行同旁内角互补，得到； [拓展探究]延长到G，使得，连接，证明，得，再证明，由勾股定理求得，由线段垂直平分线性质得． 【详解】[问题解决] 证明：，， ． ， ． ． ． ． [拓展探究] 延长到G，使得，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 由勾股定理，得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，通过作辅助线构造全等是解题的关键． 1．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图1，在矩形中，，，点、在、上，且，将四边形绕点逆时针旋转角，连接、相交于点，旋转后的图形如图2所示，则此时的值为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】连接，由勾股定理得，，在图2中，，，由旋转得：在图2中，，继而可证明，再根据对应边成比例即可求解． 【详解】解：连接， 在图1中，∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴ ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴在图2中，，， ∴， ∴ 由旋转得：在图2中， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，旋转的的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知矩形的一条边，将矩形沿直线折叠使得顶点B落在边上的P点处． (1)求证：； (2)若与的比为，求边的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 利用“一线三直角”证明，继而得出； 利用相似三角形的性质求出的长，设,则,利用勾股定理列出方程，解方程即可求得的长度． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可知，, , 四边形为矩形， ， , , , ； （2）解：, 与的比为,, , , 设,则, 在中，, ,解得：, ． 3．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）［问题情景］ （1）如图1，小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为______（直接写出结果） ［变式探究］ （2）如图2．小红把三角板放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长． ［拓展应用］ （3）如图3，小红把三角形放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）先利用直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）过点作于，通过证明得到，求出的长，进而得到，即可求出的长； （3）以为顶点作，其中边交与．交延长线与，利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，得到，再结合，，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】（1）解：矩形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． （2）证明：如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 四边形是矩形， ， ． （3）解：如图，以为顶点作，其中边交与．交延长线与， 在平行四边形中，，， ，， 又， ， ，， 又， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 又，， ，即， ． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动．如图，已知在直角三角形中，，，边的长为4． (1)操作发现 操作：如图（1），分别取边、的中点D、E，连接，则的值为_______． (2)变换探究 如图（2），将绕点A逆时针旋转得到，连接、，直线与直线相交于点F. （Ⅰ）在旋转过程中的值是否发生变化？请说明理由． （Ⅱ）直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小是否发生变化？请说明理由． (3)拓展应用 在旋转过程中，直线与直线相交于点F，当为等腰三角形时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）不变，理由见详解；（Ⅱ）不变，理由见详解； (3)的面积为或． 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，中点求出的长，进而求出比值即可； （2）（Ⅰ）根据旋转的性质，证明，得到，（Ⅱ）由相似三角形的性质得出，设与交于点， 求得，即可； （3）分，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵、分别为边、的中点， ∴， ∴； （2）解：（Ⅰ）的比值不变； 由旋转的性质可的出，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的比值不变； （Ⅱ）直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小为定值，不发生改变； 由（Ⅰ）知， ∴， 设与交于点， ∴， ∵， ∴， ∴直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小为定值，不发生改变； （3）解：①当时，如图，过点作，则， 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，过点作，设， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴． 综上：的面积为或． 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键． 5．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）问题发现 （1）如图1，在四边形中，，，是上一点，若，则_____； 拓展探究： （2）如图2，在四边形中，是上一点，当时，求证：； 解决问题： （3）如图3，在中，，，点以的速度从点出发，沿边向点运动，点以的速度从点出发，沿边向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．连接，在的右侧作，交射线于点，连接．设运动时间为秒，当（点与点重合除外）是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）18（2）见解析（3）的值为1或2 【知识点】等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角相似模型，是解题的关键： （1）证明，列出比例式进行求解即可； （2）证明，列出比例式进行求解即可； （3）分点在线段上和点在的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． ， ， ． 故答案为：18； （2）证明：， ． ， ． ， ， ， ． （3）如图1，过点作于点． 在中，， ， ． 根据题意，得． 当点在线段上时． 在等腰中，， ， 当是等腰三角形时，只能是， ． 由（2）中的结论可知， ，解得或（点与点重合，舍去）， ． 如图2，当点在的延长线上时． ， ， 当是等腰三角形时，该三角形是等边三角形， ， ． 由（2）中的结论可知， ，解得或（舍去）， ． 综上所述，的值为1或2． 6．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连结、、，，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 【实践探究】 （1）在图①条件下，若，，则的长为_____． （2）如图②，点、分别在边、上，且，点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图③，在矩形中，，，点、分别在边、上，连结，，已知，，求四边形的面积． 【答案】（1）10；（2），理由见解析：（3）26 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，证出，得出，可证，得出．即可求解； （2）将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，，由“”可证，可得，由直角三角形的性质和平行四边形的性质可求，由勾股定理可求解； （3）延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，则四边形是正方形，得出，设，则，由平行线得出，求出，得出，由（1）得：，在中，由勾股定理得出方程，解方程，再求出四边形的面积即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， 由旋转得：， ，，，， ， 即， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：10； （2）， 理由如下：如图②，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接， ，，，， ， ， ， 又，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ； （3）如图③，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 在矩形中，，， ， ， ， 四边形是正方形， ， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 四边形的面积． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键． 7．（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究． 在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且． 【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明； 请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长． 【答案】（）证明见解析；（），理由见解析；；（） 【分析】（1）由“”可证，可得，即可求解； （2）①先证和是等腰直角三角形，可得，，，，可求，，通过证明，可求，即可求解； ②分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解； （3）连接，，，由题意可得点在线段的垂直平分线上运动，由题意易得，当点E与点A重合时，过点M作于点H，当点E与点C重合时，假设此时的中点为N，即为原来的点M，进而得出点M的运动轨迹，然后问题可求解． 【详解】（）证明：连接，∵，，且当时，， ，，，， ，，∴∠EDF，， 在和中，，∴， ， ，即； （），理由如下：过点作于，于， ，，， ，，和是等腰直角三角形， ，，，，， ，，设，则，，，， ，，，四边形是矩形， ，， 又，，，， ； 如图4，当点在射线上时，过点作于，于， ，，，，，和是等腰直角三角形， ，，，，， ∴，，设，， ，，，，，， 四边形是矩形，，， 又，，，， ； 当点在的延长线上时，如图5，，，， ，，和是等腰直角三角形， ，，，，， ∴，， 设，，，，， ，，，四边形是矩形， ，， 又，，，， ； 综上所述：当点在射线上时，，当点在延长线上时，； （3）解：连接，，，如图（1）， 的中点为，，，∴点在线段的垂直平分线上运动， ∵点D为靠近B的四等分点，∴， 由（2）得，∴ 当点E与点A重合时，过点M作于点H，如图， ∴，∴，∴∴，∴， ∵，代入得，∴； 当点E与点C重合时，假设此时的中点为N，即为原来的点M，如图， ∵，代入得，∴， ∴如图，点M的运动轨迹即为的长， ∵在Rt中，∴∴∴点运动的路径长为 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 8．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）【问题提出】 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系． 【方法感悟】 （1）小明组同学利用构造全等三角形的方法探究三条线段的关系：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，从而得到正确结论．小明组同学的结论是___________； 小亮组同学对小明组构造全等三角形的环节提出了不同的看法，借助旋转三角形的方式探究问题：将绕点A顺时针旋转90°得到，再证明，从而得到与小明组相同的结论． 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，沿边翻折得到，点B的对应点为点D，点E，F分别在边上，且．试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 【问题拓展】 （3）如图4，在四边形ABCD中，，点E，F分别在边上，且，试猜想当与满足什么关系时，可使得．请直接写出你的猜想． （4）如图5，在四边形中，，，与为对角线，．若，，求的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）；（4） 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明 【分析】（1）证明，得到，证明，得到，即可； （2）延长到点G，使，同法（1），即可得出结论； （3）当当，可得到，证明方法同法（2）； （4）将绕点C逆时针旋转的度数，得到，连接，证明，得到，过点作于点，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，进一步求出的长即可． 【详解】（1）延长到点G，使， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）， 延长到点G，使， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当，可得到； 延长到点G，使， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）将绕点C逆时针旋转的度数，得到，连接． 则：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在四边形中，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查半角模型，全等三角形的判定和性质，图形变换，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是添加辅助线，构造全等和相似三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$