18.2 .1矩形性质 讲义 2024-2025学年人教版数学八年级下册

专题18.2.1 矩形的性质（知识梳理及题型总结） ·模块一 矩形的概念 ·模块二 矩形的性质 ·模块三 直角三角形斜边中线的性质 ·模块四 课后作业 模块一 矩形的概念 1．定义 有一个角是90°的平行四边形叫作矩形，也就是长方形。 注：①它是平行四边形；②有一个角是直角，两者缺一不可。 模块二 矩形的性质 应用一：矩形的性质 边：对边平行且相等。 如图：在矩形ABCD中，则AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC。 角：四个角都是直角。 如图：在矩形ABCD中，则∠ABC=∠BCD=∠BAD=∠ADC=90° 对角线：对角线互相平分，对角线相等。 如图：在矩形ABCD中，则AC=BD，OA=OB=OC=OD 对称性：轴对称图形，过每一组对边中点的直线是它的对称轴，共有两条。 中心对称，对称中心是对角线交点O。 【考点1 矩形性质求解】 【例1.1】如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【例1.2】如图，点在矩形的边上，若是等边三角形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】如图，将两个矩形叠合放置，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，则对角线的长为（　　） A． B． C．5 D．4 【变式1.4】如图，在矩形中，，对角线与交于点O，，垂足为点E，且平分，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【考点2 利用矩形的性质证明】 【例2.1】如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（   ） A．平分 B． C．是等边三角形 D． 【例2.2】如图，在矩形中，，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处，则的长为（   ） A．2 B．7 C．18 D． 【变式2.1】如图，在矩形中，点、在边上，且，求证：． 【变式2.2】如图，在矩形中，点M是上一点，连接，且，于点N，求证：． 【变式2.3】如图，在矩形中，的角平分线交于点E，F是延长线上一点，满足，连接，．求证：． 【考点3 矩形在直角坐标系中的坐标】 【例3.1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【例3.2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【变式3.2】在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点A的坐标为，D是OB的中点，E是OC上的一点，当的周长最小时，点E的坐标是（    ） A． B． C． D． 【考点4 矩形折叠问题】 【例4.1】如图，在矩形中，，，P是的中点，点Q在边上，连接，将矩形沿折叠，点B，C，D的对应点分别为分别交于点E，F（点E在点F右侧），则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例4.2】如图，长方形纸片的边在x轴上，且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处．若，则点D的纵坐标为（   ） A．9 B．12 C．14 D．15 【变式4.1】如图，长方形沿对角线折叠，点的对应点为，与相交于点，，，则的长为 ． 【变式4.2】如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边上的点重合．若，，则的长为 ． 【变式4.3】如图，将长方形纸片折叠，使点A恰好落在长方形对角线上的点处，已知，，线段的长度为 ． 模块三 直角三角形斜边中线的性质 1． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，则BD=。 【考点1 直角三角形斜边中线的一半】 【例1.1】如图，中，，，，线段长是5，且两个端点、分别在边，上滑动，点、分别是、的中点，求的最小值（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【例1.2】如图，在中，D为的中点，连接，过点D作于点E．若，则中，边上的高为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1.1】如图，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式1.3】如图，在中，，，以为斜边作，使，，点分别是的中点，连接，则的长为 ． 模块三 课后作业 1．一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的，黄色的三角形的面积是21，则该矩形的面积为（）    A．60 B．70 C．120 D．140 2．如图，矩形中，点是边上任意一点，以为一边的矩形的边经过点，记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 4．如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则的长是 ． 5．如图，在长方形中，，对角线相交于点O且互相平分，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则的值是 ． 6．如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则长为 ． 7．在矩形中，若，对角线，则矩形的面积是 ． 8．如图，过长方形（即，）对角线的交点，且分别交、于点、点，如果长方形的面积是，那么阴影部分的面积是 ． 9．如图，矩形中，对角线与交于点，若．求的度数．    10．已知：如图，在矩形中，E是上一点，且，于点F． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 11．如图所示，已知矩形的对角线与相交于点O，于点E，且，则 ． 12．如图，长方形中，为上一点，将沿翻折至与相交于点，且与相交于点． (1)求证：； (2)求的长． 13．如图，四边形是矩形，三点的坐标分别是，，，对角线交点为，则点的坐标是 ．    14．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 16．在矩形中，点E，F分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在点P处，连接，若，，则的小值为 ． 17．如图，在矩形中，．将矩形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处．    (1)求的长； (2)求梯形的面积． 18．如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的负半轴上，点A在y轴的正半轴上，．在边上取一点D，将纸片沿翻折，使点A落在边上的点E处，求D，E两点的坐标． 19．在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，若，则的度数为 ． 20．如图，在四边形中，平分于，边与的长度差为2，当面积最大时，边的长为 21．如图，在中，是上的一点，分别是的中点，若，则的长是 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18.2.1 矩形的性质（知识梳理及题型总结） ·模块一 矩形的概念 ·模块二 矩形的性质 ·模块三 直角三角形斜边中线的性质 ·模块四 课后作业 模块一 矩形的概念 1．定义 有一个角是90°的平行四边形叫作矩形，也就是长方形。 注：①它是平行四边形；②有一个角是直角，两者缺一不可。 模块二 矩形的性质 应用一：矩形的性质 边：对边平行且相等。 如图：在矩形ABCD中，则AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC。 角：四个角都是直角。 如图：在矩形ABCD中，则∠ABC=∠BCD=∠BAD=∠ADC=90° 对角线：对角线互相平分，对角线相等。 如图：在矩形ABCD中，则AC=BD，OA=OB=OC=OD 对称性：轴对称图形，过每一组对边中点的直线是它的对称轴，共有两条。 中心对称，对称中心是对角线交点O。 【考点1 矩形性质求解】 【例1.1】如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，根据题意，则，点是对角线的交点，则，根据等边对等角，则，，再根据，等边三角形的三线合一，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故选：C． 【例1.2】如图，点在矩形的边上，若是等边三角形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识的应用． 首先由等边三角形的性质得出，又四边形是矩形，则有，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：． 【变式1.1】如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等． 连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即． 故选：A． 【变式1.2】如图，将两个矩形叠合放置，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形两个锐角互余，因为两个矩形叠合放置，所以，因为，则，即可作答． 【详解】解：如图： ∵两个矩形叠合放置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1.3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，则对角线的长为（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键； 本题由坐标系中点到原点的距离计算公式求出的长，然后根据矩形的性质对角线相等，即可求解； 【详解】解：连接，如图： ， ∵顶点B的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴； 故选：A； 【变式1.4】如图，在矩形中，，对角线与交于点O，，垂足为点E，且平分，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理，由矩形的性质可得，可证，可得，由勾股定理可求的长． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵平分 ∴，且，， ∴ ∴，且 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：C． 【考点2 利用矩形的性质证明】 【例2.1】如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（   ） A．平分 B． C．是等边三角形 D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，根据矩形的性质，得到，，进而得到，角平分线推出，进而得到，得到，根据等角的余角相等，推出，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴；故选项B正确； ∴，故选项D正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平分；故选项A正确； ∵， ∴是等腰三角形，无法得到是等边三角形，故选项C错误； 故选C． 【例2.2】如图，在矩形中，，，E为上一点，把沿折叠，使点C落在边上的F处，则的长为（   ） A．2 B．7 C．18 D． 【答案】D 【分析】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，求得，并且根据勾股定理正确地列出方程是解题的关键． 由矩形的性质得，，，由折叠得，，则，所以，由勾股定理得，求得，即可解答． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 把沿折叠，点C落在边上的F处， ，， ，， ， ， ， 解得：， 故选：D． 【变式2.1】如图，在矩形中，点、在边上，且，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．由四边形为矩形得，，然后证明，再由全等三角形的性质即可求证． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式2.2】如图，在矩形中，点M是上一点，连接，且，于点N，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质及全等三角形的判定和性质，正确找出三角形全等的条件是解题的关键． 根据四边形是矩形，可得，，进而可得，即以证明，可得结论． 【详解】证明：∵四边形是矩形，， ，， ． 在和中， ，，， ， ． 【变式2.3】如图，在矩形中，的角平分线交于点E，F是延长线上一点，满足，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，由矩形的性质得，，，由可判定，再由全等三角形的性质，即可得证；掌握矩形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ，， ， 的角平分线交于点E， ， ∴， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ． 【考点3 矩形在直角坐标系中的坐标】 【例3.1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，涉及矩形性质、中点坐标公式等知识，熟练掌握矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键．由矩形的对角线交于一点，且对角线相互平分，从而由中点坐标公式求出对角线交点的坐标，列方程求解即可得到的值，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由中点坐标公式可知中点的坐标为，即； 中点的坐标为，即； ， 解得， ， 故选：D． 【例3.2】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质,矩形的性质，等腰三角形的性质，由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标 【详解】解：过点作于点， 矩形的顶点的坐标分别为，点是的中点， 点 ，， ， 即点 点， 故选：A 【变式3.1】如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出，根据勾股定理求得，设，则．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意，， 由折叠的性质，可知，， ． 设，则．在中，由勾股定理， 得， 解得． 点的坐标为， 故选B． 【变式3.2】在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形的性质求出点的横、纵坐标即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴，， ∵， ∴点的横坐标与点相同，为， 点的纵坐标与点相同，为， ∴点的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题关键是利用矩形“对边平行且相等”的性质解决问题． 【变式3.3】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的顶点A的坐标为，D是OB的中点，E是OC上的一点，当的周长最小时，点E的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出A点关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点E，根据连接两点的连线中，线段最短，可知此时的周长最小，再由待定系数法求得直线DA′函数式，进而求出点E的坐标即可． 【详解】解：如图，作A点关于y轴的对称点，连接，与y轴交于点E， 此时的周长最小， ∵， ∴， 设直线表达式是 ， 则， 解得：， ∴， 所以点E的坐标是． 故选B． 【点睛】本题考查了根据轴对称求最短距离问题，待定系数法求一次函数解析式，以及关于坐标轴对称的点的坐标特点，解题的关键是根据对称把AE转化为 ，利用两点之间线段最短的性质解决问题． 【考点4 矩形折叠问题】 【例4.1】如图，在矩形中，，，P是的中点，点Q在边上，连接，将矩形沿折叠，点B，C，D的对应点分别为分别交于点E，F（点E在点F右侧），则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，要使最大，则点F要离点E最远，当点Q与点B重合时，线段最大，计算出的长度，，即可解答，熟知折叠的性质，得到当点Q与点B重合时，线段最大是解题的关键． 【详解】解：如图， 是的中点， 为定点， ∴要使最大，则点F要离点E最远， ∴当点Q与点B重合时，线段最大，此时点也与点B重合， 根据折叠可得，， 四边形是矩形， ，，， ， 设，则， 点是的中点， , 在中，， 即， 解得， 同理可得. 最大值为． 故选：B． 【例4.2】如图，长方形纸片的边在x轴上，且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处．若，则点D的纵坐标为（   ） A．9 B．12 C．14 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．根据矩形到现在得到，，，由折叠的性质可得出，，，由，得到，，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质可得出，，， ， ，， ， ， ， ， ， 点D的纵坐标为15． 故选：D． 【变式4.1】如图，长方形沿对角线折叠，点的对应点为，与相交于点，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查长方形的性质，折叠的性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用这些性质找出线段之间的关系． 先根据长方形的性质和折叠的性质得到相等的角，从而得出，再在含角的直角三角形中求出的长度，进而求出的长度，最后根据求出的长度． 【详解】四边形是长方形， ， ， 由折叠可知， ，则， 在中，， ， ， ， 又， ． 故答案为：6. 【变式4.2】如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边上的点重合．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是折叠性质、矩形性质、勾股定理、解一元一次方程，解题关键是由折叠性质得到． 由折叠性质得到，设，则，再由矩形性质和勾股定理得到方程后求解即可． 【详解】解：由折叠性质可得， 设，则， 矩形纸片中，， ， 即， 解得． 故答案为：． 【变式4.3】如图，将长方形纸片折叠，使点A恰好落在长方形对角线上的点处，已知，，线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵将沿折叠，使点A恰好落在长方形对角线上的点处， ∴,由折叠可知：， ∴， 设，则， 在中，， ∴,解得， ∴． 故答案为：． 模块三 直角三角形斜边中线的性质 1． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，则BD=。 【考点1 直角三角形斜边中线的一半】 【例1.1】如图，中，，，，线段长是5，且两个端点、分别在边，上滑动，点、分别是、的中点，求的最小值（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，最短距离等知识，连接、,由勾股定理求得,再由直角三角形斜边上的中线性质得出，当在同一直线上时，取最小值，即可得出答案，熟练掌握其性质得出三点在同一直线上时，取最小值是解决此题的关键． 【详解】解：如图，连接, 在中，, 由勾股定理得：, ,点、分别是、的中点， ,, 当在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：, 故选：． 【例1.2】如图，在中，D为的中点，连接，过点D作于点E．若，则中，边上的高为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，中线与面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点A作的延长线于点，连接，结合D为的中点，得，即，因为，，得，进行计算，即可作答． 【详解】解：过点A作的延长线于点，连接，如图： ∵D为的中点，的延长线于点， ∴， ∴ ∵，， 则， 解得 ∴中，边上的高为， 故选：A 【变式1.1】如图，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，正方形的面积计算公式，直角三角形面积的计算公式，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 先根据正方形的面积求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，最后根据勾股定理求出的长，然后即可求出直角三角形的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点是斜边的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 【变式1.2】如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，利用三角形中位线定理得到．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ． ， 故选：B． 【变式1.3】如图，在中，，，以为斜边作，使，，点分别是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，根据平行线的性质得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：、分别是、的中点， ，， ， 在中，为的中点， ， ， ， ， ， 故答案为：． 模块三 课后作业 1．一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的，黄色的三角形的面积是21，则该矩形的面积为（）    A．60 B．70 C．120 D．140 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质以及面积的计算；关键是根据图得出黄色和绿色部分共占总面积的，再找出黄色面积占总面积的百分之几，进而根据除法的意义求解．黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的，而绿色三角形面积占矩形面积的，所以黄色三角形面积占矩形面积的，已知黄色三角形面积是21，用除法即可得出矩形的面积． 【详解】解：黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的， 矩形的面积， ， ， 故选：A． 2．如图，矩形中，点是边上任意一点，以为一边的矩形的边经过点，记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形和三角形的面积问题，熟练掌握矩形的性质，学会利用几何图形的等面积法转换图形面积是解题的关键．连接，由矩形和三角形面积的关系可得：，，从而得到，再把矩形面积切割成3个小图形的面积，利用等式的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 是边上一点， ， 是边上一点， ， ， ， ， 即． 故选：C． 3．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明，即可求解． 【详解】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， 故选：C． 4．如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形的性质以及，可得是等边三角形，从而得到，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在长方形中，，对角线相交于点O且互相平分，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，由求得答案． 【详解】解：连接， ∵长方形中，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，连接，若，则长为 ． 【答案】 【分析】根据矩形，勾股定理可得，可证，得到，则点是线段的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，设，则，在中，由勾股定理得到，则，根据题意可得是等腰三角形，，在中，由勾股定理得到，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是线段的中点， 如图所示，连接， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∴，则， ∵， ∴是等腰三角形，， 在中，， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 7．在矩形中，若，对角线，则矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据矩形性质，求得，利用面积公式解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，矩形的面积，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，对角线， ∴， ∴矩形的面积为：， 故答案为：． 8．如图，过长方形（即，）对角线的交点，且分别交、于点、点，如果长方形的面积是，那么阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关概念是解题关键．首先根据矩形的性质得出，，推出，然后证明，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， 等底同高的三角形面积相等， ， ． 故答案为：． 9．如图，矩形中，对角线与交于点，若．求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握矩形的对角线相等且相互平分的性质． 先由矩形的对角线相等且互相平分推知，结合三角形外角的性质和等腰三角形的性质即求解． 【详解】解：四边形是矩形，对角线与交于点， ，，，， ∴． ． ，． ， ． ． 10．已知：如图，在矩形中，E是上一点，且，于点F． (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)矩形的面积为65 【分析】本题考查了矩形的性质，结合了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）证即可，推出，即可证明； （2）连接，由（1），设，在中，列式求解求出，即可解决． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； （2）连接， 由（1）知， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得，即， ∵， ∴ ∴． 11．如图所示，已知矩形的对角线与相交于点O，于点E，且，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．先证明是线段的垂直平分线，推出是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，长方形中，为上一点，将沿翻折至与相交于点，且与相交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． （1）由折叠的性质得出，从而得到，然后可证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）由，得出，从而得到，设，则，求出，根据勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ． 由翻折的性质可知． 在和中， ， ， ． （2）解：， ． ， ． 设， 则， ． 在中，根据勾股定理，得， ， 解得：， ． 13．如图，四边形是矩形，三点的坐标分别是，，，对角线交点为，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据题意，可得，由中点坐标公式直接求解即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形，三点的坐标分别是，，， ， 矩形对角线交点为， 由平面直角坐标系中中点坐标公式可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质及中点坐标公式，熟记矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键． 14．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质即可求得第四个点的坐标． 【详解】解：点和的横坐标相等， 点和的纵坐标相等， 要使这四个点构成矩形，则第四个点的横坐标与相等，纵坐标与相等， ∴第四个顶点的坐标为； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了矩形在坐标系中的坐标，准确判断是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 【详解】解：连接， 点，， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， 故答案为：． 16．在矩形中，点E，F分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在点P处，连接，若，，则的小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形与折叠、勾股定理、线段最值问题，由题意得，点A、点P关于对称，可得当点B、P、F三点共线时，的最小，此时，点P在对角线上，利用勾股定理求得，由折叠的性质得，，再利用求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，， 则当，即点B、P、F三点共线时，的最小， 此时，点P在对角线上， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， 故答案为：． 17．如图，在矩形中，．将矩形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处．    (1)求的长； (2)求梯形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了矩形的折叠问题、勾股定理、梯形面积等知识． （1）根据折叠的性质，折叠前后边相等，即 得： 在中，根据勾股定理，可将的长求出，知的长，可求出的长，在中，根据，可将的长求出； （2）根据S梯形=，将各边的长代入进行求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可知，. ∵在中，   ∴. 在中，有， 即 解得， ∴. （2）由(1)知：， 梯形的面积. 18．如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的负半轴上，点A在y轴的正半轴上，．在边上取一点D，将纸片沿翻折，使点A落在边上的点E处，求D，E两点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的不变性是解题的关键． 根据折叠结合勾股定理得，故，在中由勾股定理得，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 由折叠得：，， ∴在中， ∴ ∴， 在中，， 又∵， ∴ 即 ∴ ∴． 19．在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半、等边对等角．根据直角三角形两个锐角互余求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，，根据等边对等角可得，，再根据三角形的外角的性质可得：． 【详解】解：，， ， ，，为的中点， ，， ，， 是的外角， ， 同理可得：， ， 故答案为：． 20．如图，在四边形中，平分于，边与的长度差为2，当面积最大时，边的长为 【答案】/ 【分析】本题考查等腰三角形及直角三角形的性质．延长与交于点，构造等腰三角形，时的面积最大． 【详解】解：延长与交于点， ∵平分，于， ∴，， 在和中， ∴， ， ，， ∴为等腰三角形，为中点， ， ， ， 当时，面积最大， ∴此时面积最大． 故答案为：． 21．如图，在中，是上的一点，分别是的中点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质； 连结，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得． 【详解】解：如图，连结，    ∵，是的中点， ∴， 又∵在中，是的中点，， ∴， 故答案为：． 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