专题4.3 平行四边形的性质与判定（中考常考点分类专题）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题4.3 平行四边形的性质与判定（中考常考点分类专题） 第一部分【知识点与考点目录】 【知识点一】平行四边形的性质 【考点1】利用平行四边形的性质求值...........................................1 【考点2】利用平行四边形的性质证明...........................................5 【考点3】平行四边形性质的应用...............................................7 【知识点二】平行四边形的判定 【考点4】判断能否构成平行四边形............................................10 【考点5】添加一个条件构成平行四边形........................................13 【考点6】证明四边形是平行四边形............................................15 【考点7】已知平行四边形三个点坐标，求第四个点的坐标........................18 【知识点三】平行四边形的性质与判定综合 【考点8】利用平行四边形性质与判定求值......................................22 【考点9】利用平行四边形性质与判定证明......................................25 【考点10】利用平行四边形性质与判定应用.....................................27 【知识点四】平行四边形的性质与判定几何变换综合 【考点11】平行四边形中的平移变换...........................................30 【考点12】平行四边形中的旋转变换...........................................33 【考点13】平行四边形中的折叠问题...........................................36 【考点14】平行四边形中的最值变换...........................................40 第二部分【考点展示与方法点拨】 【知识点一】平行四边形的性质 【考点1】利用平行四边形的性质求值 1．（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形；理由见分析；（2）①B；②． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 解：（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 2．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，，，进而得出，再由等角对等边的性质，得到，即可求出的长． 解：在中，， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：5． 3．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 【考点2】利用平行四边形的性质证明 1．（2023·四川成都·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解． 解：∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点， A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 2．（2025·贵州·一模）如图，在中，平分，平分，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，由平行四边形的性质得，由角平分线的定义得，可证，同理可证，由得，可证B正确，无法判断A，C，D选项是否正确． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，∴． 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得，． ∵， ∴， ∴，即，故B选项符合题意， A，C，D选项不能证出，故不符合题意． 故选B． 2．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在中，平分，交于点． （1）实践与操作：过点A作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）见分析；（2），证明见分析 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”作图； （2）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明． 解：（1）解：如图，即为所求； （2）解：，证明如下： 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 【考点3】平行四边形性质的应用 1．（2020·山东临沂·中考真题）如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（    ） A． B． C． D．的大小与P点位置有关 【答案】C 【分析】过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，表示出S1+ S2，得到即可． 解：如图，过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E， 根据平行四边形的性质可知PE⊥BC，AD=BC， ∴S1=AD×PF，S2=BC×PE， ∴S1+ S2 =AD×PF+BC×PE =AD×（PE+PE） =AD×EF =S， 故选C． 【点拨】本题考查了三角形的面积和平行四边形的性质，解题的关键是作出平行四边形过点P的高． 9．（2023·山东青岛·一模）已知：及其一边上的两点A，B．求作：平行四边形，使点C到两边的距离相等． 【答案】图见分析（答案不唯一） 【分析】根据点C到两边的距离相等，得到点C在的角平分线上，作出的角平分线，取一点，连接，以为圆心，的长为半径画弧，以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，则四边形即为所求． 解：如图所示：平行四边形，即为所求；（答案不唯一） 【点拨】本题考查复杂作图．熟练掌握到角两边距离相等的点在角平分线上，角平分线的尺规作图方法，是解题的关键． 2．（20-21八年级下·浙江·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，以A，B，C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是 （写出所有情况） 【答案】（2，2），（8，-2），（-4，-8） 【分析】首先画出坐标系，再分别以AC、AB、BC为对角线通过线段平移作出平行四边形，进而可得D点坐标． 解：如图，当四边形ACBD为平行四边形时， D（2，2）； 当四边形ABCD为平行四边形时， D（8，-2）； 当四边形ABDC为平行四边形时， D（-4，-8）； 故答案为：（2，2），（8，-2），（-4，-8）． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、平移的性质、坐标与图形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质与平移的性质是解题的关键． 【知识点二】平行四边形的判定 【考点4】判断能否构成平行四边形 1．（2024·四川乐山·中考真题）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意； B、∵， ∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意； C、∵， ∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、∵，不能得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点拨】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 2．（21-22八年级下·福建漳州·期末）在四边形中，现给出下列结论： ①若，，则四边形是平行四边形； ②若，，则四边形是平行四边形； ③若，，则四边形是平行四边形； ④若，，则四边形是平行四边形． 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②③ 【分析】由于符合题目的已知条件的除了平行四边形之外，还有等腰梯形，故①错误；因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以②正确；根据，可得，又由于，可判定，再依据平行四边形的定义可得结论；过点作于，在上截取，连接，根据线段垂直平分线性质可得出 ，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，再结合平行四边形的性质，可证出，，这样的四边形满足题目已知条件，但不符合命题的结论，不是平行四边形，所以④错误，这样就可得解． 解：①因为一组对边平行，另一组对边相等可以是平行四边形，也可以是等腰梯形，所以①错误； ②因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以②正确； ③∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 因此③正确； ④作，连接， 过点作于，在上截取，连接， ∵，， ∴， 将绕点顺时针旋转，使与重合，得到， 由作图可知：，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 显然，图中的四边形不是平行四边形． 所以④错误； 故答案为：②③． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，旋转的性质与作图，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解本题的关键，同时要注意真命题需要证明，假命题只需举出反例即可． 3．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点；直线过点和点，且轴．点从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，设点运动的时间为（秒）． （1）求直线的函数表达式及点的坐标； （2）运动秒后，点坐标为 ，点坐标为 ；（用含的式子表示） （3）若以为顶点的四边形为平行四边形，求的值． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数与平行四边形的综合，动点问题，正确表示动点的坐标结合平行四边形的性质建立方程是解题的关键． （1）先求点和的坐标，再根据待定系数法求解析式； （2）先求动点运动的路程，即线段的长度，再确定动点的坐标； （3）根据一组对边平行且相等判定平行四边形，再用含的代数式表示和的长，建立方程求解即可． 解：（1）解：对于，当时，，当时，， ∴，， 把和代入，得 ， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：运动秒后，，， ∴点坐标为，点坐标为， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴当时，以为顶点的四边形为平行四边形， ∵， ∴， 解得：． 【考点5】添加一个条件构成平行四边形 1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件 ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解． 解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一） 2．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）已知四边形，与相交于点O，已知，则添加下列哪个条件可判定四边形为为平行四边形（    ） ①， ②，③，④ A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行；2、一组对边平行且相等；3、两组对边分别相等；4、对角线互相平分；5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，逐一判断即可． 解：如图， ①添加，不能使四边形是平行四边形，故不合题意； ②添加， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定，故符合题意； ③添加，根据可得， 又， ∴， ∴， ∴可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定，故符合题意； ④添加，不能使四边形是平行四边形，故不合题意； 故选：C． 3．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上，． （1）求证：； （2）连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】（1）见分析；（2）添加（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定； （1）根据平行四边形的性质得出，，结合已知条件可得，即可证明； （2）添加，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴即， 在与中， ， ∴； （2）添加（答案不唯一） 如图所示，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 当时，四边形是平行四边形． 【考点6】证明四边形是平行四边形 1．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，证明，得到，再结合中点的定义得出，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 解：证明：∵，∴． ∵，，， ∴①． 又∵，， ∴（②）． ∴．∴四边形是平行四边形． 故选：D． 2．（2024·河南驻马店·二模）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图所示，在中，，，，是 的中点，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，延长到，使，连接，，证明四边形是平行四边形，由阿波罗尼奥斯定理得，即可求解，掌握平行四边形的判定和性质，熟练运用阿波罗尼奥斯定理是解题的关键． 解：如图所示，    延长到，使，连接，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 由阿波罗尼奥斯定理得，， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点7】已知平行四边形三个点坐标，求第四个点的坐标 1．（23-24八年级下·四川凉山·期末）将以点、、、为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，若点为坐标原点，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（    ） A．或） B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的平行四边形存在性，熟练掌握此类考点的平移法或中点法是解题的关键．分三种情况进行讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别利用对边的平移方式相同解决即可． 解：当为对角线时，如图：    利用点到点的平移同点到点的平移方式， 即向右平移个单位，向上平移个单位， 则点平移后为， 即； 当为对角线时，如图：      利用点到点的平移同点到点的平移方式， 即向左平移个单位，向上平移个单位， 则点平移后为， 即； 当为对角线时，如图：    利用点到点的平移同点到点的平移方式， 即向左平移个单位，向下平移个单位， 则点平移后为， 即； 综上，点坐标为或或， 故选：D． 2．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）平面直角坐标系中，平行四边形中，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标平移，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的特点，列出方程． 用平移点的坐标的方法，求点的坐标即可． 解：设点的坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴经过平移可以与重合， ∵，，， ，， 解得：，， ∴点的坐标为； 故答案为： 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为 【答案】或或 【分析】此题考查了平行四边形的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分情况讨论． 设第四个顶点的坐标为，根据平行四边形的性质分三种情况，然后分别列出方程组求解即可． 解：∵一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，， 设第四个顶点的坐标为 当点和是对角顶点坐标时， ∴ ∴第四个顶点的坐标为； 当点和是对角顶点坐标时， ∴ ∴第四个顶点的坐标为； 当点和是对角顶点坐标时， ∴ ∴第四个顶点的坐标为； 综上所述，第四个顶点的坐标为或或． 故答案为：或或． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，点E在上，，垂足为F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求长． 【答案】（1）见分析；（2）6 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的性质以及勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形是解题的关键． （1）证，再由，即可得出结论； （2）先由，再由勾股定理求出，然后由角平分线的性质得，最后由平行四边形的性质求解即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴． 【知识点三】平行四边形的性质与判定综合 【考点8】利用平行四边形性质与判定求值 1．（2024·辽宁·中考真题）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，和的角平分线分别交于点E和F，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设与的交点为H，过点A作，交于点O，根据平行四边形的性质可得，，，即可得，再根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质和等腰三角形的判定可得，，即可求得，，即可求解． 解：如图，设与的交点为H，过点A作，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：A． 【点拨】本题考查平行四边形的性质与判定、平行线的性质、等腰三角形判定、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质与判定和等腰三角形判定是解题的关键． 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，的面积为12，将沿方向平移到处，使点与C重合，连结交于点D，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平移的性质、与三角形中线有关的面积的计算，连接，由平移的性质可得：，，，从而得出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，即可得解． 解：如图：连接， ， 由平移的性质可得：，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点9】利用平行四边形性质与判定证明 1．（2024·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）①或②，证明见分析；（2）6 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 解：（1）解：选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）得， ∵，， ∴． 2．（22-23九年级下·河南新乡·期中）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接、、、，与交于点，添加下列条件不能使四边形成为菱形的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是一道关于菱形判定的题目，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质； 根据平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定对选项一一进行判定即可求解； 解：四边形为平行四边形， ，， ， ， 四边形为平行四边形． A．， ， 又， ， 四边形为菱形，故本选项正确； B．无法判定平行四边形是菱形，故本选项错误； C．， ，， 对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故本选项正确； D．，， ， 平行四边形为菱形，故本选项正确． 故选B． 3．（23-24八年级下·全国·期中）如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查平行四边形的判定与性质，和等（同）底等高的两个平行四边形面积相等，和同底等高的两个三角形的面积相等．由已知可得，四边形和四边形都是平行四边形，可推出4个结论是否成立． 解：， 四边形是平行四边形，故①正确； ， 四边形是平行四边形， ，故②正确； ， 四边形和四边形等底等高， ，故③正确； 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，故④错误； 故答案为：①②③． 【考点10】利用平行四边形性质与判定应用 1．（2024·河南周口·二模）如图，在平行四边形中，E是边上一点． （1）过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）在上截取，结合可得四边形是平行四边形，则； （2）根据平行线的性质得出，，即可证明． 解：（1）解：如图，即为所求． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴． 【点拨】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知、、、四点的坐标依次为、、、，若一次函数的图像将四边形面积分成相等的两部分，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、坐标与图形、一次函数图像上点的坐标特征，先证明四边形平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到一次函数的图像经过平行四边形对角线的交点，利用中点坐标公式求得交点坐标，将交点坐标代入一次函数解析式中求得m值即可． 解：∵、、、四点的坐标依次为、、、， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵一次函数的图像将四边形面积分成相等的两部分， ∴一次函数的图像经过平行四边形对角线的交点， ∵，， ∴则该平行四边形对角线的交点坐标为， 将代入中，得， 解得， 故选：A． 3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知，，，若，，则的度数可表示为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边的性质和全等三角形的性质是解题的关键，根据题意易得四边形为平行四边形，进而易得，利用等量代换即可得到的度数． 解：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【知识点四】平行四边形的性质与判定几何变换综合 【考点11】平行四边形中的平移变换 1．（2020·浙江金华·中考真题）如图，平移图形，使其与图形可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是 ． 【答案】140° 【分析】利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可以求得α的度数． 解：如图，延长AB交CE于点D， 由平行线的性质，得∠BDC＝180°﹣70°＝110°， 又∵∠C＝180°﹣150°＝30°， ∴α＝∠ABC＝∠BDC+∠C＝110°+30°＝140°． 故答案为：140°． 【点拨】此题重点考查平行线的性质及三角形内角和定理，关键是正确地作出辅助线并找到两部分图形中相应的角的关系． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在轴的正半轴上，且点，，直线以每秒个单位长度的速度沿轴向下平移，经过 秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移，首先连接，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分，然后计算出过且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移个单位，进而可得求解，掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积是解题的关键． 解：连接，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分， ∵四边形是平行四边形， ∵， ∴，， ∴， 设的解析式为， ∵平行于， ∴， ∴， ∵过， ∴， ∴的解析式为， ∴直线要向下平移个单位， ∵速度为每秒个单位长度， ∴时间为秒， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，，将沿射线方向平移个单位得到，顶点分别与对应，若以点为顶点的三角形是等腰三角形，且为腰，则的值是 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 已知为等腰三角形的腰，所以可以分2种情况讨论：①当时，是等腰三角形．作，垂足为，于，则四边形是平行四边形，列方程得到的值；②当时，是等腰三角形，得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，由勾股定理列方程即可得到结论． 解：分2种情况讨论： ①当时， 作，垂足为，于，则四边形是平行四边形， ，，， ， ； ②当时， 将沿射线方向平移个单位得到， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 综上所述：当或时，是等腰三角形． 故答案为：6或． 【考点12】平行四边形中的旋转变换 1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，对角线绕着对称中心按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交、于点、，若，图中阴影部分的面积为，则的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，，再证明得到，过点A作，交于点H，则，可得，再证明，则． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是平行四边形的对称中心， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点A作，交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 2．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，，，面积为120，点是边上一点，连接，将线段绕着点旋转得到线段，如果点恰好落在直线上，那么线段的长为    【答案】2或14 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，勾股定理，注意分类讨论；由题意得；分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况，利用旋转性质及勾股定理即可求解．根据题意确定是解题的关键． 解：∵线段绕着点旋转得到线段，点恰好落在直线上， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：； 当线段绕着点顺时针旋转时，如图， ∴， ∴； 当线段绕着点逆时针旋转时， 则在点P的右侧， ∴； 综上，的长为2或14； 故答案为：2或14． 3．（19-20八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C 的坐标分别为（2，0）、（1，3），将△AOC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置，D的坐标为（1，-）.若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，则点P的坐标为 . 【答案】（-1，0）或（1，0）或（3，0） 【分析】设P点坐标为（a，0），另一个顶点为Q，坐标为（0，b），分三种情况讨论，根据平行四边形对角线互相平分，则两条对角线的中点相同，利用中点坐标公式建立方程求出a即可得到P点坐标. 解：设P点坐标为（a，0），另一个顶点为Q，坐标为（0，b）,分三种情况讨论： ①如图1，当AP、DQ为对角线时， ∵A（2，0），D （1，-），由平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式可得， ，解得， ∴P点坐标为（-1，0） ②如图2，当AQ、PD为对角线时， 同理可得，解得 ∴P点坐标为（1，0） ③如图3，当AD、PQ为对角线时， 同理可得，解得 ∴P点坐标为（3，0） 综上可得P点坐标为（-1，0）或（1，0）或（3，0） 【点拨】本题考查了坐标系中构成平行四边形的问题，熟练掌握平行四边形的性质，分类讨论，利用中点坐标公式建立方程是解题的关键. 【考点13】平行四边形中的折叠问题 1．（2024·江苏常州·一模）如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠问题，平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定；先根据平行四边形性质和折叠性质证得：，，，进而得是等边三角形，进而得出结论． 解：平行四边形，， ，， ， 沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处， ，，，， ，， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平行四边形的性质证出，而，进而得到四边形是平行四边形，由折叠可得，垂直平分，即可得出是直角三角形，再证明，得到，即，最后在中，运用勾股定理进行计算即可得到的长． 解：由折叠可得，，， 平行四边形中，， ， ， ， ，而， 四边形是平行四边形， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 又， ， 是直角三角形， ， ， 又，， ， ， ， 又是的中点，， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了折叠问题，平行四边形的判定与性质，等角对等边以及勾股定理的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，E是上的点，延长交的延长线于点G， 将沿折叠，得到，  连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，先由平行线的性质得到，再由折叠的性质得到，，进而可证明是等腰直角三角形，得到，，再证明四边形是平行四边形，得到，则，即可得到． 解：∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点14】平行四边形中的最值变换 1．（20-21八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是 ． 【答案】13 【分析】先由平移性质证明四边形为平行四边形，从而得，进而使得，再作关于直线的对称点，由对称性得，再由，求出，，由勾股定理求出即可． 解：连接，∵平行四边形， ∴，， 由平移性质得：，， 四边形为平行四边形， ， ， 作关于直线的对称点，连接，，交延长线于， 由对称性得：，，， ， ，， ， ，， ∵， ， ， 的最小值为， 故答案为： 【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、最短路径问题、勾股定理，解决此题的关键是证明四边形为平行四边形、再作关于直线的对称点，将的最小值转化为． 2．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，求出的值，进而求出的值，根据证明，得到，即可推出四边形周长，当的值最小时，即可得到四边形周长的最小值，利用垂线段最短即时，求出最小值，即可得出答案． 解：如图所示，过点作，垂足为， ，，， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形周长， 当的值最小时，四边形的周长最小，此时，即为最小值， 四边形的周长最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，线段的最值问题，全等三角形的判定与性质，解题关键是利用三角形全等的性质转换线段之间的关系表达出周长． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，E、F分别为边、上的点，且，连接，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查平行四变形的判定和性质，含30度直角三角形及轴对称的性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，作点C关于的对称点H，连接，根据平行四边形的性质及判定得出四边形为平行四边形，再由轴对称的性质确定当点B、E、H三点共线时， 的最小值为的长，然后结合图形利用勾股定理求解即可． 解：连接，作点C关于的对称点H，连接，如图所示：    ∵平行四边形，，，， ∴，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点C、H关于对称， ∴， ， ， 当点B、E、H三点共线时， 的最小值为的长， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 平行四边形的性质与判定（中考常考点分类专题） 第一部分【知识点与考点目录】 【知识点一】平行四边形的性质 【考点1】利用平行四边形的性质求值...........................................1 【考点2】利用平行四边形的性质证明...........................................2 【考点3】平行四边形性质的应用...............................................3 【知识点二】平行四边形的判定 【考点4】判断能否构成平行四边形.............................................4 【考点5】添加一个条件构成平行四边形.........................................5 【考点6】证明四边形是平行四边形.............................................5 【考点7】已知平行四边形三个点坐标，求第四个点的坐标.........................6 【知识点三】平行四边形的性质与判定综合 【考点8】利用平行四边形性质与判定求值.......................................7 【考点9】利用平行四边形性质与判定证明.......................................7 【考点10】利用平行四边形性质与判定应用......................................8 【知识点四】平行四边形的性质与判定几何变换综合 【考点11】平行四边形中的平移变换............................................9 【考点12】平行四边形中的旋转变换...........................................10 【考点13】平行四边形中的折叠问题...........................................11 【考点14】平行四边形中的最值变换...........................................11 第二部分【考点展示与方法点拨】 【知识点一】平行四边形的性质 【考点1】利用平行四边形的性质求值 1．（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 2．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则 ． 3．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【考点2】利用平行四边形的性质证明 1．（2023·四川成都·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2025·贵州·一模）如图，在中，平分，平分，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在中，平分，交于点． （1）实践与操作：过点A作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【考点3】平行四边形性质的应用 1．（2020·山东临沂·中考真题）如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（    ） A． B． C． D．的大小与P点位置有关 9．（2023·山东青岛·一模）已知：及其一边上的两点A，B．求作：平行四边形，使点C到两边的距离相等． 2．（20-21八年级下·浙江·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，以A，B，C为顶点画平行四边形，则第四个顶点D的坐标是 （写出所有情况） 【知识点二】平行四边形的判定 【考点4】判断能否构成平行四边形 1．（2024·四川乐山·中考真题）下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（  ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·福建漳州·期末）在四边形中，现给出下列结论： ①若，，则四边形是平行四边形； ②若，，则四边形是平行四边形； ③若，，则四边形是平行四边形； ④若，，则四边形是平行四边形． 其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号） 3．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点；直线过点和点，且轴．点从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，设点运动的时间为（秒）． （1）求直线的函数表达式及点的坐标； （2）运动秒后，点坐标为 ，点坐标为 ；（用含的式子表示） （3）若以为顶点的四边形为平行四边形，求的值． 【考点5】添加一个条件构成平行四边形 1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件 ，使四边形是平行四边形． 2．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）已知四边形，与相交于点O，已知，则添加下列哪个条件可判定四边形为为平行四边形（    ） ①， ②，③，④ A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 3．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上，． （1）求证：； （2）连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【考点6】证明四边形是平行四边形 1．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024·河南驻马店·二模）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图所示，在中，，，，是 的中点，则的长为 ．    【考点7】已知平行四边形三个点坐标，求第四个点的坐标 1．（23-24八年级下·四川凉山·期末）将以点、、、为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，若点为坐标原点，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（    ） A．或） B．或 C．或或 D．或或 2．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）平面直角坐标系中，平行四边形中，，，则点的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，点E在上，，垂足为F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求长． 【知识点三】平行四边形的性质与判定综合 【考点8】利用平行四边形性质与判定求值 1．（2024·辽宁·中考真题）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 2．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，和的角平分线分别交于点E和F，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，的面积为12，将沿方向平移到处，使点与C重合，连结交于点D，则的面积为 ． 【考点9】利用平行四边形性质与判定证明 1．（2024·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 2．（22-23九年级下·河南新乡·期中）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接、、、，与交于点，添加下列条件不能使四边形成为菱形的是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·期中）如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【考点10】利用平行四边形性质与判定应用 1．（2024·河南周口·二模）如图，在平行四边形中，E是边上一点． （1）过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，求证：． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知、、、四点的坐标依次为、、、，若一次函数的图像将四边形面积分成相等的两部分，则的值为（    ） A． B． C． D．1 3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知，，，若，，则的度数可表示为 ．    【知识点四】平行四边形的性质与判定几何变换综合 【考点11】平行四边形中的平移变换 1．（2020·浙江金华·中考真题）如图，平移图形，使其与图形可以拼成一个平行四边形，则图中的度数是 ． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在轴的正半轴上，且点，，直线以每秒个单位长度的速度沿轴向下平移，经过 秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，，将沿射线方向平移个单位得到，顶点分别与对应，若以点为顶点的三角形是等腰三角形，且为腰，则的值是 ． 【考点12】平行四边形中的旋转变换 1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，对角线绕着对称中心按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交、于点、，若，图中阴影部分的面积为，则的面积是 ． 2．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平行四边形中，，，面积为120，点是边上一点，连接，将线段绕着点旋转得到线段，如果点恰好落在直线上，那么线段的长为    3．（19-20八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C 的坐标分别为（2，0）、（1，3），将△AOC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置，D的坐标为（1，-）.若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，则点P的坐标为 . 【考点13】平行四边形中的折叠问题 1．（2024·江苏常州·一模）如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为 ． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形纸片折叠，使得点落在边上的处，折痕为．再将翻折，点恰好落在的中点处，连接，若，则线段的长为 ． 3．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，E是上的点，延长交的延长线于点G， 将沿折叠，得到，  连接，若，，则的长为 ． 【考点14】平行四边形中的最值变换 1．（20-21八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是 ． 2．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是 ． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，E、F分别为边、上的点，且，连接，，则的最小值为 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$