第十七章《勾股定理》单元复习 2024--2025学年人教版八年级数学下册

2024-2025人教版八年级下 数学第十七章《勾股定理》单元复习 一．选择题（共10小题） 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AD平分∠BAC交BC边于点D，若BC＝6，则BD的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．a：b：c＝1：1：2 C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D． 4．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 5．如图，若正方形A的面积为9，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（　　） A．13 B．5 C．36 D． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D在AB边上，连结CD，点E是CD的中点，连结AE．若AB⊥AE，则AE的长是（　　） A．2 B． C． D． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的左侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF．若AC＝26，BC＝20，则四边形EBFC的面积为（　　） A．120 B．240 C．360 D．480 8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于点D，若CB＝10，AC＝6，则△ACD的周长为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 9．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，将△ABC放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将△ABC按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2024次后，点B的横坐标为（　　） A． B． C． D． 10．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以Rt△ABC（∠ACB＝90°）的三条边为边长向外作正方形ABED、正方形ACHI、正方形BCGF，连接CE．若S正方形ABED＝25，S正方形BCGF＝16，则CE的长为（　　） A． B．8 C． D． 二．填空题（共8小题） 11．已知直角坐标平面上点P（4，2）和Q（﹣1，3），那么PQ＝　 　． 12．有两棵树，一棵高11米，另一棵高4米，两树相距24米，一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少飞行 　 　米． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝8，BC＝4时，阴影部分的面积为 　 　． 14．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是 　 　． 15．如图，BC长为3cm，AB长为4cm，AF长为12cm．正方形CDEF的面积为 　 　cm2． 16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是AC边上的中线，DF⊥BE于F，BF＝FE，若BD＝5，CD＝8，则AD＝ 　 　． 17．如图，点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，PA：PB：PC＝3：4：5，以AC为边作△AP′C≌△APB，连接PP′，则有以下结论：①△APP′是等边三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝105°．其中一定正确的是 　 　．（把所有正确答案的序号都填在横线上） 18．如图，在△ABC中，AB＝21cm，AC＝12cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当△APQ为直角三角形时，则t的值为 　 　秒． 三．解答题（共8小题） 19．有一块薄铁皮ABCD，∠B＝90°，各边的尺寸如图所示，若沿对角线AC剪开，得到的两块都是“直角三角形”形状吗？为什么？ 20．周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.65米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 21．劳动教育是新时代教育体系中的重要组成部分．如图，△ABC区域是云岩区某学校为劳动课开辟的劳动场地，小路AD将场地分为“水果培育”和“蔬菜种植”两个部分，现用皮尺测量得到AB＝13m，AC＝15m，AD＝12m，BD＝5m． （1）请判断小路AD是否与BC垂直，并说明理由； （2）求劳动场地△ABC的面积． 22．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O． （1）若AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5，请求出AB2，BC2，CD2，DA2的值； （2）若AB＝6，CD＝10，求BC2+AD2的值； （3）请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 23．先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），这两点的距离P1P2＝．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知点A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离； （2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为﹣1，A，B两点间的距离等于6．试求点A的纵坐标； （3）已知一个三角形各顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣2），B（3，6），C（7，﹣2），你能判断三角形ABC的形状吗？说明理由． 24．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 25．如图，已知△ABC的三边满足AB＝m2﹣n2，BC＝2mn，AC＝m2+n2，其中m、n都是正整数，且m＞n）．l是过点B的一条直线，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，E是线段BD上一点，且∠BCE＝∠ABD． （1）求证：∠ABC＝90°； （2）取边AC的中点F，求证：FD＝FE． 26．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是△ABC边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s． （1）出发2s后，求MN的长； （2）当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，△MNB是等腰三角形？ （3）当点M在边CA上运动时，求能使△BCM成为等腰三角形的t的值． 参考答案 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C A B B B C C 二．填空题（共8小题） 11．． 12．25． 13．16． 14．10km． 15．169 16．6． 17．①②③． 18．3或． 三．解答题（共8小题） 19．解：都是直角三角形．理由如下： 连接AC． 在△ABC中，∵∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形； ∴AC2＝AB2+BC2＝8， 又∵AD2+AC2＝1+8＝9，而DC2＝9， ∴AC2+AD2＝DC2， ∴△ACD也为直角三角形． 20．解：（1）由题意可知：BD＝12米，BC＝20米，CD⊥BD，AB＝DE＝1.65米， 在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝202﹣122＝256， ∴CD＝16（负值已舍去）， ∴CE＝CD+DE＝16+1.65＝17.65（米）， 答：风筝的垂直高度CE为17.65米； （2）∵风筝沿CD方向下降11米，DE保持不变，如图， ∴此时的C′D＝16﹣11＝5（米）， 即此时在Rt△C′DB中，BD＝12米，有BC′＝＝＝13（米）， 相比下降之前，BC缩短长度为20﹣13＝7（米）， ∴他应该往回收线7米． 21．解：（1）AD与BC垂直， 理由：∵AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴△ABD为直角三角形且∠ADB＝90°， ∴AD与BC垂直； （2）∵AD⊥BC， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴CD＝＝＝9（m）， ∴S△ABC＝AD•BC＝AD×（BD+CD）， ∵BD+CD＝5+9＝14（m）， ∴S△ABC＝（m2）． 22．解：（1）∵AC⊥BD， ∴△ABO是直角三角形， ∴AB2＝AO2+BO2， 同理，可得：BC2＝BO2+CO2，CD2＝CO2+DO2，AD2＝AO2+DO2， ∵AO＝2，BO＝3，CO＝4，DO＝5， ∴AB2＝13，BC2＝25，CD2＝41，AD2＝29； （2）由（1）得： BC2+AD2＝（BO2+CO2）+（AO2+DO2） ＝（BO2+AO2）+（CO2+DO2） ＝AB2+CD2， 即：BC2+AD2＝AB2+CD2， ∵AB＝6，CD＝10， ∴BC2+AD2＝62+102＝136； （3）结论：“垂美”四边形的两组对边的平方和相等． 23．解：（1）∵点A（2，4），B（﹣3，﹣8）， ∴AB＝＝13； （2）∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为﹣1，A，B两点间的距离等于6， ∴点A的纵坐标为﹣1﹣6＝﹣7或﹣1+6＝5； （3）三角形ABC为等腰三角形．理由如下： ∵AB＝＝10，AC＝＝10，BC＝＝4， ∴△ABC为等腰三角形． 24．解：（1）海港C受台风影响． 理由：如图，过点C作CD⊥AB于D， ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴△ABC是直角三角形． ∴AC×BC＝CD×AB ∴300×400＝500×CD ∴CD＝＝240（km） ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， ∴海港C受到台风影响． （2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口， ∵ED＝＝70（km）， ∴EF＝140km ∵台风的速度为20km/h， ∴140÷20＝7（小时） 即台风影响该海港持续的时间为7小时． 25．证明：（1）∵AB＝m2﹣n2，BC＝2mn，AC＝m2+n2，其中m、n都是正整数，且m＞n）， ∴AB2+BC2＝（m2﹣n2）2+4m2n2＝m4+n4+2m2n2， AC2＝（m2+n2）2＝[（m﹣n）2+2mn]2＝（m2+n2﹣2mn+2mn）2＝（m2+n2）2＝m4+n4+2m2n2， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形， ∴∠ABC＝90°． （2）∵∠BCE＝∠ABD．∠ABD+∠DBC＝90°， ∴∠BCE+∠DBC＝90°， ∴∠CEB＝90°即CE⊥BD， 又∵AD⊥BD， ∴AD∥CE， 如图，作FH⊥DB，垂足为H， ∴AD∥FH∥CE， ∵F为AC的中点， ∴点H为DE的中点， ∴DH＝HE， ∴FH是线段DE的垂直平分线， ∴FD＝FE． 26．解：（1）当t＝2时，AN＝2t＝4cm，BM＝2t＝8cm． ∵AB＝16cm， ∴BN＝AB﹣AN＝16﹣4＝12（cm）， 在Rt△BPQ中，由勾股定理可得， MN＝＝＝4（cm）， 即MN的长为4cm． （2）由题意可知AN＝2t，BM＝4t， 又∵AB＝16cm， ∴BN＝AB﹣AN＝（16﹣2t）cm， 当△MNB为等腰三角形时，则有BM＝BN， ∴16﹣2t＝4t，解得t＝， ∴出发s后△MNB是等腰三角形． （3）在△ABC中，由勾股定理可求得AC＝20cm， 当点M在AC上运动时，AM＝BC+AC﹣4t＝32﹣4t， ∴CM＝AC﹣AM＝20﹣（32﹣4t）＝4t﹣12， ∵△BCM为等腰三角形， ∴有BM＝BC，CM＝BC和CM＝BM三种情况： ①当BM＝BC＝12时，如图，过B作BE⊥AC，则CE＝CM＝2t﹣6， 在Rt△ABC中，可求得BE＝； 在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2+CE2，即122＝（）2+（2t﹣6）2， 解得t＝6.6或t＝﹣0.6（舍去）， ②当CM＝BC＝12时，则4t﹣12＝12，解得t＝6， ③当CM＝BM时，则∠C＝∠MBC， ∵∠C+∠A＝90°＝∠CBM+∠MBA， ∴∠A＝∠MBA， ∴MB＝MA， ∴CM＝AM＝10，即4t﹣12＝10，解得t＝5.5， 综上可知，当t的值为6.6或6或5.5时，△BCM为等腰三角形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3 学科网（北京）股份有限公司 $$