精品解析：四川省职教高考研究联合体普通高校对口招生2024-2025学年高三下学期第四次模拟考试数学试题

2024—2025学年四川省职教高考研究联合体 普通高校对口招生第四次模拟考试 数学试卷 2025-03 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1—2页，第Ⅱ卷2—4页，共4页． 考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（共60分） 注意事项： 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 2．第Ⅰ卷共1大题，15小题，每小题4分，共60分． 一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 若集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知点是角终边上一点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的最小正周期为（ ） A. B. 2 C. D. 4 8. 已知直线经过椭圆的两个顶点，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若函数的图像向左平移个单位后与函数的图像重合，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 某学校高一年级有10个班级，现有4名学生需要分配到该年级去，每个班最多分配一人，则不同的分配方法有（ ） A. 90种 B. 210种 C. 5040种 D. 630种 12. 已知直线，平面，且，则下列说法正确的是（ ） A. 与相交 B. C. D. 13. 当时，在同一坐标系下，函数与的图像可能是（ ） A. B. C. D. 14. 已知实数满足，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数满足对任意的实数都有，且，若，则的值为（ ） A. 7 B. C. D. 0 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 16. 若平面向量，则_______． 17. 的二项展开式中的常数项为_______．（用数字作答） 18. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上不同的两点，且线段中点的纵坐标为3，则_______． 19. 已知等差数列的前5项和，且，则公差_______． 20. 某地居民的人均纯收入最近两年连续增加，其中2023年的增长率为，2024年的增长率为，则该地居民的人均纯收入这两年的平均增长率为_______． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 甲乙两人参加一次答题比赛，他们需要从4道备选题中一次性随机抽取3道作答，如果能正确答对两题以上（含两题）便可获得奖励．已知4道备选题中，甲有2道题能正确完成，2道题不能正确完成；乙每道题正确完成的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响．求： （1）甲恰好正确完成两道题目的概率； （2）乙正确完成题数的分布列及其数学期望． 22. 已知数列数满足，且是公差为2的等差数列． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和． 23. 在中，已知． （1）若，求的面积； （2）若，求的周长． 24. 如图所示，在平行四边形中，是的中点，现分别沿将和翻折，使两点重合，记为点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的大小． 25. 已知直线和圆． （1）求直线截圆所得弦的长； （2）若直线垂直于直线，且和圆相切于点，求点的坐标． 26. 已知函数对一切实数都有成立，且． （1）求的值及函数的解析式； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年四川省职教高考研究联合体 普通高校对口招生第四次模拟考试 数学试卷 2025-03 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1—2页，第Ⅱ卷2—4页，共4页． 考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（共60分） 注意事项： 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 2．第Ⅰ卷共1大题，15小题，每小题4分，共60分． 一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 若集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合，再根据交集的概念求解. 【详解】，， 所以． 故选：C 2. 已知点是角终边上一点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角终边上点坐标得到，再利用二倍角的正切公式求解. 【详解】因为点是角终边上一点， 所以，即， 故选：A. 3. 已知平面向量满足，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数乘向量的坐标表示即可得解. 【详解】平面向量满足，， 故选：. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的真数部分不为0列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 必须有，解得， 函数的定义域为． 故选：A. 5. 已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行直线的性质假设所求直线，再代入经过点的坐标即可得解. 【详解】因为所求直线与直线平行， 设所求直线的方程为， 又直线过点，解得， 故直线的方程为. 故选：D. 6. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由一次不等式的解得到与，再代入所求二次不等式，消去，解之即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以且，即， 则不等式可化为， 两边同时除以，得，解得， 所以关于的不等式的解集为. 故选：A. 7. 函数的最小正周期为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期公式可求解. 【详解】由题可知，函数的的最小正周期为： ． 故选：B 8. 已知直线经过椭圆的两个顶点，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程确定椭圆顶点坐标，进而确定椭圆方程. 【详解】直线与轴和轴的交点分别是、， 椭圆的上顶点为，左顶点为， ，，椭圆的标准方程为 故选：B. 9. 若函数的图像向左平移个单位后与函数的图像重合，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像变换的规则以及诱导公式求解. 【详解】首先函数的图像向左平移个单位后 所得函数图像的解析式为. 其次，， 且其与函数的图像重合， ， 因为，所以． 故选：D. 10. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由直线垂直与斜率的关系、充分条件和必要条件的判定解答本题. 【详解】若，则，解得或， 不能推出， 若，则直线，直线，此时两直线斜率乘积为， 可以推出， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：C. 11. 某学校高一年级有10个班级，现有4名学生需要分配到该年级去，每个班最多分配一人，则不同的分配方法有（ ） A. 90种 B. 210种 C. 5040种 D. 630种 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数计算即可. 【详解】由题可知，从10个班级中选4个分配4名学生， 不同的分配方法有种． 故选：C. 12. 已知直线，平面，且，则下列说法正确的是（ ） A. 与相交 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面关系判断出点在平面上，即可得到. 【详解】， ， ， 两点确定一条直线，． 故选：C. 13. 当时，在同一坐标系下，函数与的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数和一次函数的图像即可得解. 【详解】函数在定义域内单调递增，AC选项排除， 函数的一次项系数为正， 函数在定义域内单调递增，故B正确. 故选：B. 14. 已知实数满足，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性可得，再由作商法结合对数的换底公式比较大小即可. 【详解】因为， 且均为增函数， 由，得， 设， 则， 则， 由于在上为增函数，所以， 所以，则， 由于在上为增函数，所以， 可得． 故选：A. 15. 已知函数满足对任意的实数都有，且，若，则的值为（ ） A. 7 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得函数为奇函数，再由可得，是周期为的周期函数，进而可得，再由即可得解. 【详解】，， 且， ， ，， 函数的周期为， ， ， 故选：B. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 16. 若平面向量，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角的坐标表示和取值范围即可求解. 【详解】因为向量， 所以， 则， 又因为， 所以. 故答案为：. 17. 的二项展开式中的常数项为_______．（用数字作答） 【答案】70 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求解. 【详解】的二项展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为． 故答案为：70. 18. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上不同的两点，且线段中点的纵坐标为3，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦准距的值，设得到，结合抛物线的定义得到，即可求解. 【详解】由，得，即， 设，因为线段中点的纵坐标为3， 得，即． 故答案为：. 19. 已知等差数列的前5项和，且，则公差_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式结合已知条件即可求解. 【详解】因为等差数列的前5项和，，设公差为d， 则，即，解得. 故答案为：2. 20. 某地居民的人均纯收入最近两年连续增加，其中2023年的增长率为，2024年的增长率为，则该地居民的人均纯收入这两年的平均增长率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设出平均增长率，利用函数关系，即可求解. 【详解】设平均增长率为， 则， 所以． 故答案为：. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 甲乙两人参加一次答题比赛，他们需要从4道备选题中一次性随机抽取3道作答，如果能正确答对两题以上（含两题）便可获得奖励．已知4道备选题中，甲有2道题能正确完成，2道题不能正确完成；乙每道题正确完成的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响．求： （1）甲恰好正确完成两道题目的概率； （2）乙正确完成题数的分布列及其数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）分别计算从4道题中一次性随机抽取3道作答的基本事件总数，及甲恰好正确完成两道题目所包含的基本事件数，根据古典概型概率公式计算即可得解； （2）乙正确完成题数，则的取值范围是0，1，2，3，求出取每个值时的概率，即可得分布列，然后根据二项分布期望的求法求解即可. 【小问1详解】 由题意，甲恰好正确完成两道题目的概率为． 【小问2详解】 由题意得，的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 ． 22. 已知数列数满足，且是公差为2的等差数列． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式写出，再由等比数列的定义证明即可； （2）先写出数列的通项，再由等差数列和等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 证明：由题意得，是首项为，公差为2的等差数列， ， ， ， 又，， 是首项和公比都为3的等比数列． 【小问2详解】 由（1）得， ， 故 ． 23. 在中，已知． （1）若，求的面积； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出，再由三角形面积公式计算即可. （2）由正弦定理边化角，结合条件求出，再由勾股定理求出，即可得出的周长． 【小问1详解】 ， ， 将代入上式，得， ， ． 【小问2详解】 由，得， 又， ， 为直角三角形， ， 解得， 的周长为． 24. 如图所示，在平行四边形中，是的中点，现分别沿将和翻折，使两点重合，记为点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，翻折前后同一平面内垂直位置关系不发生改变，线面垂直即可求解. （2）根据线面角的定义找出为直线与平面所成的角，即可求解. 【小问1详解】 ，， 平行四边形是矩形， 翻折前后同一平面内垂直位置关系不发生改变，， 又平面平面，平面， 又平面． 【小问2详解】 ， ， 由（1）知，四边形为矩形，， 又平面平面，平面， 为直线与平面所成的角， 在中，，， 即直线与平面所成角的大小为． 25. 已知直线和圆． （1）求直线截圆所得弦的长； （2）若直线垂直于直线，且和圆相切于点，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由圆的标准方程得到圆心和半径，再利用点到直线的距离和弦长公式即可得解； （2）由直线垂直于直线表示出直线的方程，利用点到直线的距离求出直线的方程，再利用两直线垂直求出直线CP，联立直线方程求出点P的坐标即可得解. 【小问1详解】 由题意得，直线可化为， 圆的圆心坐标为，半径， 则圆心到直线的距离， 弦长． 【小问2详解】 直线垂直于直线， ∴设的方程为， 又直线与圆相切， 圆心到直线的距离， 解得或， 的方程为或， 切点为， 设所在直线的方程为， 将代入，解得， 所在直线的方程为， 联立形成方程组或 分别解得点的坐标为或． 26. 已知函数对一切实数都有成立，且． （1）求的值及函数的解析式； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）. （2）． 【解析】 【分析】（）令，求出的值，再令即可推到出函数的解析式. （）方法一：由得出，令，结合二次函数的最值即可得解. 方法二：由整理为，结合函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 令，则， 令，则， 又， ， ． 【小问2详解】 方法一：由，得，整理得， 当时，不等式恒成立， 令，只需满足即可， 又的图像的对称轴为，图像为开口向上的抛物线， 当，即时，的最小值，解得； 当，即时，的最小值，解得，不符合的前提条件； 当，即时，的最小值，无解； 综上所述，的取值范围是． 方法二：由，得，整理得， 可整理为， 当时，不等式恒成立，即恒成立， 令，只需满足即可， 与在上都是增函数，在上也是增函数， ， ， 的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $