5.3《实际问题与一元一次方程（配套问题）》教学设计-2024-2025学年人教版七年级数学上册

5.3《实际问题与一元一次方程（配套问题）》教学设计 一、教材分析 《实际问题与一元一次方程》是人教版数学七年级册第五单元《一元一次方程》第三部分的内容，这部分内容是在学生学习了一元一次方程的定义和解法后安排的，目的在于让学生更好的掌握运用一元一次方程解决实际问题的一般路径和方法，发展学生的模型意识，培养应用能力。这一部分涉及到多种类型的实际问题，虽然具体问题情境不同，但解决问题的一般思路是一样的。配套问题作为教材中实际问题的第一种类型的问题，找出其中的相等关系并列方程对学生来说既是重点也是难点，需要学生认真探究和分析。 二、学情分析 在学习本节课前，学生已经学习了一元一次方程的定义和解法，也接触了一部分简单的应用一元一次方程解决的实际问题，有初步的用方程解决问题的经验，了解用方程解决问题的优越性，能够从问题中分析出已知量、未知量和部分简单的相等关系，会根据相等关系列方程并求解。但对于一些复杂相等关系的寻找还有一定的困难，不能顺利的从不同角度设不同的未知量为未知数并列方程，对运用方程解决实际问题的一般步骤不太明晰。 三、课时目标 1.通过经历分析实际问题中数量关系的过程，能找到实际问题中的已知量、未知量，分析它们之间的关系，列方程表示问题中的相等关系，初步体会数学模型的思想。（数学抽象、逻辑推理） 2.通过解决实际问题中配套问题的过程，了解生活中的配套问题，掌握如何分析和确定配套问题中的相等关系，发展抽象能力和逻辑分析能力。（数学建模、数学运算） 3. 经历从实际问题中抽象出数学问题、并针对数学问题寻找相等关系、根据相等关系列方程、求解、检验、作答的全过程，能总结出运用一元一次方程解决实际问题的一般路径，发展模型观念和几何直观，提高应用意识和解决问题的能力，感受数学学习的乐趣（直观想象、数据分析） 教学重难点： 1.在具体情境中知道用字母表示未知数，进行设元 2.在具体情境中找到等量关系，列出一元一次方程 3.知道运用一元一次方程解决实际问题的一般步骤，理解方程的模型思想 4. 能够从不同角度分析问题，结合问题灵活设元、列方程 教学过程 教师活动 学生活动 环节一：视频导入，激发兴趣 先回顾之前学过的内容，然后播放一段“劳动创造美好生活”的视频，引出本节课要探 究的内容，激发学生学习兴趣 教师活动： 教师：同学们，前面我们已经学习了一元一次方程的概念、一元一次方程的解法，也接触了一部分应用一元一次方程解决的实际问题，那这节课，我们就继续来探究方程的实际应用，学习其中的一种重要应用——配套问题。（教师板书） 教师：课堂一开始呢，老师给大家准备了一段小视频，让我们一起来看一看，这节课，我们要探究什么内容 同学们看视频 让让同学们了解劳动是幸福的源泉 【设计说明】学生学习新知识的方法和方式是多种多样的， 通过一段视频让学生了解 劳动的价值，将对学生的价值观教育寓于日常教学中；并在视频开始前提醒学生要探究 的内容就在视频中，让学生带着目标观看视频，吸引全体同学的眼球，调动所有学生学 习新知识的积极性，激发学生数学的兴趣。 教师活动： 学生活动： 根据教师提问回答问题 学校购进了10m³的木材用作学生简易木工课程的课堂练习。经测算，1 m³的木材可以做凳面200个或凳腿800条，一个木凳由一个凳面和四条凳腿组装而成。学校为减少木材浪费，准备将这些木材分为两类，分别用来专门制作凳面、凳腿。应该如何分配这些木材，才能使凳面和凳腿刚好配套呢？ 1.学生： 一个木凳有一个凳面和四条凳 腿。1 m³的木材可以做凳面 200 个或凳腿800 条，现有 10m³的木材，如何分配制作凳面和凳腿使用的木材，才能使凳面和凳腿刚好配套？ 1. 教师：请同学们认真阅读生活情境 1，对于这个实际问题，你能不能用数学语言 将它概括为数学问题呢？ 一个木凳有一个凳面和四条凳腿。1 m³的木材可以做凳面200个或凳腿800条，现有10m³的木材，如何分配制作凳面和凳腿使用的木材，才能使凳面和凳腿刚好配套？ 问题1：问题中含有哪些已知量？ 问题2：问题中含有哪些未知量？ 问题3：问题中包含哪些相等关系？ 教师：你对题目的理解非常到位，抽象概 括能力很强，请坐。（教师评价） 2.教师：那同学们，认真阅读这个数学问题，你能根据题目，解决黑板上老师提出的三个问题吗？老师给大家一点思考的时间。（停顿，环视，观察学生思考情况，点名回答） 教师：找的非常精准（教师评价） 3. 教师：你能给同学们解释一下“凳面总量×4=凳腿总量”这个相等关系的原理吗？ 教师：解释的非常到位（教师评价） 教师再做一下解释，链接“比例的基本性 质”知识点 比例的基本性质： 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 如果a：b = c：d，那么 ad = bc 2. 学生：已知量是一套需要 1 个凳面、4 条凳腿、1m³木材可以制作凳面或凳腿的 数量、木材总量 学生：未知量是制作凳面用的木材量、 制作凳腿用的木材量；凳面总量；凳腿总 量 学生：相等关系有凳面用的木材量× 200=凳面总量、凳腿用的木材量×800=凳 腿总量、凳面用的木材量+凳腿用的木材 量=10、凳面总量×4=凳腿总量 3. 学生：题目中一个凳面配四个凳腿， 凳面和凳腿的数量比就是 1:4，用外项之 积等于内项之积，就可以得到凳面数量 乘以 4 等于凳腿总量。 【设计说明】从实际情境中抽象出数学问题是学生用数学知识解决问题的前提，要留给 学生时间，训练其用数学的语言表达现实世界的能力；而从问题中分析已知量、未知量 和相等关系是用方程解决问题的关键，特别是配套问题，寻找相等关系有一定难度，需 要重点关注，提高学生分析问题的能力。 教师活动： 1. 教师：同学们，现在我们已经找到了题目中的已知量、未知量和相等关系，那根据相等关系，我们应该如何设未知数列方程求解呢？请同学们先根据之前学习的表格法填充表格，然后尝试一下如何列方程。（巡视，了解学生填表和列方程情况） 一个木凳有一个凳面和四条凳腿。1 m³的木材可以做凳面200个或凳腿800条，现有10m³的木材，如何分配制作凳面和凳腿使用的木材，才能使凳面和凳腿刚好配套？ 800(10- )=4×200 解：设用 m³的木材做凳面，则用(10- )m³的木材做凳腿. 根据题意，得4×200 = 800(10- )， 解得 = 5 所以 10- = 5 答：用5 m³的木材做凳面，5 m³的木材做凳腿，才能使凳面和凳腿刚好配套. ①凳面用的木材量×200=凳面总量 ②凳腿用的木材量×800=凳腿总量 ③凳面用的木材量+凳腿用的木材量=10 ④凳腿总量=凳面总量×4 2. 教师请同学说明他填的表格及填写的依 据，并说出所列方程 3. 教师请此同学上台向全班同学演示其解题过程，其他同学也同时在练习本上解决问题（巡视，了解学生解题情况） 4. 教师对台上学生的解题情况进行评价 5. 教师指出在巡视过程中出现的其他类型的列方程的方法，并请该同学说明做解题理 学生活动： 1. 自主填表格、列方程 2. 根据教师提问回答问题 3. 回答问题学生上台板演，其他同学在 练习本上书写解题过程 4. 对照台上同学的答题情况进行自我批 改和同桌互评 5. 回答问题学生解释自己不同解题方法 的理由，其他同学尝试理解从不同角 度分析问题 【设计说明】根据相等关系列方程并求解、检验、作答是运用方程解决实际问题的重要 环节，需要学生经历整个分析数量关系的过程并能够详细书写步骤，所以，这里设计了 让学生用表格法整理数据并板演，实际是想让学生通过对板演者的步骤讲评反思自己的 书写步骤，寻找优点和瑕疵，并通过自评与互评提高步骤书写的规范性和准确性。同 时，数学中一题多解的情况非常普遍，通过其他同学的做题思路，可以拓宽自身的思考 角度和分析维度，从而不断提高解决问题能力。 教师活动： 1. 教师：想一想，还可以设哪个量为未知 数？如果改变未知数，式子又该如何列 呢？同学们以小组为单位讨论一下，看 看我们能找到多少种解决问题的方法。 2. 教师：经过同学们刚才的讨论和展示， 我们发现有四种方法可以解决这个问 题，同学们感觉哪种更简便？今后的做 题过程中我们又该如何选择合适的解题 方法呢？ 学生活动： 1.进行小组合作学习讨论，并上台展示 2.观察四种方法所列的式子，寻找优缺点 【设计说明】运用一元一次方程解决实际问题时，可以设任意一个未知量为 x，然后根 据题目中的相等关系，用字母表示其他未知量，并在此基础上列方程解决问题。此处的 设置目的是“一题多解”，让学生从多角度分析问题，发展学生的模型观念和逻辑推理 能力。 环节三：梳理过程，总结思路 通过学生和教师对探究过程的梳理，总结用方程解决实际问题的一般路径。 教师活动： 1. 教师：那到此呢，我们就帮助学校解决了木工课程中木材使用的问题。请同学们回忆一下刚刚的整个解决问题，总结一下我们运用一元一次方程解决实际问题要经历哪些步骤？ 2. 教师；整个过程总结的非常清晰完整。我们用一元一次方程解决实际问题的基本过程就是：先从实际问题出发，通过审题，找到相等关系，从而设未知数，建立一元一次方程的模型，通过解方程，转化为方程的解x=a 的形式，然后检验是否符合实际意义，确定实际问题的解，形成闭环。这样，我们就通过建立数学模型，将实际问题转化成了数学问题，通过解决数学问题，用数学结论解释并解决实际问题。这一过程包括审、设、列、解、检、答等步骤，正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。（总结） 方法一：4×200 = 800(10- ) 方法二：4×200(10- )=800 方法三： 方法四： 学生活动： 1.根据教师提出的问题思考并回答 学生： 先将实际问题转化为数学问题， 然后再根据数学问题，找到其中的已知量、未知量、相等关系，然后根据相等 关系列出式子，求解，检验，最后答。 【设计说明】能够运用一元一次方程解决实际问题是这节课的重点学习目标，通过让学 生经历整个解决问题的过程并总结归纳出一般路径，让学生对应用方程解决实际问题的 步骤有清晰而深刻的认识，发展学生的模型观念，提高学生的抽象能力和应用意识。 教师活动： 1. 教师：我们今天学习的配套问题呢，同 学们能不能总结一下，我们是怎样找到 列方程最需要的相等关系的呢？ 2. 教师：同学们，生活中有哪些配套问题 呢？你能不能举个例子？ 配套问题解题思路： 1. 利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据。 若m件A产品与n件B产品配套，则 配套比为：A产品数量：B产品数量＝ m：n 相等关系为： n×A产品数量 ＝ m× B产品数量 2. 利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据 学生活动： 1. 学生：可以根据一套中物品的数量比 根据比例的基本性质找等量关系，也 可以根据套数相等列式解决。 2. 学生：一副眼镜有一个镜架两个镜 片；一架自行车有一个车架两个轮 子 … 【设计说明】本节课运用一元一次方程解决配套问题的难点就在正确寻找相等关系，虽 然前面的活动过程中有强调如何确定相等关系，但还是要反复总结强调，争取让大部分 同学都能给基本掌握。 环节四：知识巩固，学以致用 通过对同类题目的巩固训练，加深学生对知识的理解，提高学生的知识应用能力 教师活动： 1 一车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 分析：每天生产的螺母数量是螺钉数量的2倍时，它们刚好配套 解：设应安排x名工人生产螺钉,(22-x)名工人生产螺母. 依题意，得 2000(22-x)=2×1200x . 解方程，得 x=10. 所以 22-x=12. 答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母 2 一套仪器由一个A部件和三个B部件构成. 用1 m3钢材可以做40个A部件或240个B部件. 现要用6 m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套 分析：B部件的数量是A部件数量的3倍时，它们刚好配套 解：设应用 x m3钢材做A部件，(6－x) m3 钢材做B部件. 依题意得： 3×40 x＝240 (6－x) . 解方程，得： x＝4. 答：应用4 m3钢材做A部件，2 m3 钢材做B部件，配成这种仪器160套. 教师：这么多的配套问题，我们都可以类比 着刚刚所学的经验来解决问题。这里有两个 问题，你能不能学以致用呢？ 先自己思考，尝试解决。然后在班级内分 享。 学生活动： 先根据所学独立解决问题，然后选代表 将答题过程投屏讲解 【设计说明】布鲁姆将认知目标按照认知程度由低到高分为：记忆、理解、应用、分 析、综合、评价和创造六个层次。按照学生的心理逻辑规律，学生在学习和理解一个知 识后，需要对其进行综合应用，已达到真正内化的程度。这两道题目的设置就是检验学 生对本节课知识的吸收程度，同时在练习的过程中对所学知识进行进一步强化。 教师活动： 教师：看来咱们同学们都掌握的很不错了， 那学校的缝纫课程组还有一个疑难问题，你 能不能帮他们解决？ 请同学们先小组讨论，然后我们请小组代表 上台展示。 学生活动： 学生进行小组合作学习并推选代表展示 【设计说明】根据由易到难原则，这道题目是在学生已基本掌握了运用方程解决配套问 题的方法后，提升题目中数量关系的分析难度，组织学生进行小组合作学习，以满足不 同程度的学生对学习难度的需求，提高学生解决问题能力。 环节五：课堂小结，总结收获 学生总结本节课是收获或疑惑，对本节课的表现进行反思 教师活动： 1.教师：同学们，通过本节课的学习，相信 我们都收获满满，那你有哪些收获和感悟 呢？想一想，也可以写一写，然后我们请同 学分享。 2. 教师：我们今天学习了如何用一元一次方程解决生活中的配套问题，归纳总结了运用一元一次方程解决实际问题的基本过程，提高了模型观念和应用意识；运用表格法进行题目数据整理，发展了几何直观素养。今后我们还会类比着今天探究问题的思想和方法来解决其他类型的实际问题，相信有了今天的学习经验，后期的学习我们会更加得心应手。（教师以视频形式做最后总结） 学生活动： 1. 总结收获并分享 【设计说明】课堂小结是一节课中必不可少的部分，通过小结让学生抓住本节课的重难 点，梳理本节课所用的数学思想和研究方法，提高学生的总结能力，训练学生的语言表 达。这一环节设置了让学生想一想、写一写、说一说，在自己深入思考、总结收获的同 时，也听取其他人的收获，“见贤思齐焉”，从其他人的感悟中再次得到自己的收获。 然后，根据教师的总结，能再次系统的梳理一遍本节课的要点，为下节课的学习做好铺 垫。 六、作业设计 分类作业： 1.基础作业：习题 5.3 第 2.3 题 2.提高作业：习题 5.3 第 11 题 3.活动作业：请同学们利用本节课所研究的内容，联系我们的生活实际， 分小组出一份关于配套问题的数学小报，在本周的“数学小讲堂”进行分享和评选。 学科网（北京）股份有限公司 $$