第7章 万有引力与宇宙航行-【易捷金卷】高中物理学业水平测试一本通（湖南专版）

第七章 万有引力与宇宙航行 1.行星的运动 2.开普勒三定律 3.万有引力定律 4.天体的密度和质量 5.宇宙航行 考点一 行星的运动 1.两种对立的学说 (1)地心说 ① 是宇宙的中心,是静止不动的; ②太阳、月球以及其他星体都绕 运动; ③地心说的代表人物是古希腊科学家 . (2)日心说 ① 是宇宙的中心,是静止不动的, 地球和其他行星都绕太阳运动; ②日心说的代表人物是 . 2.开普勒三定律 (1)开普勒第一定律(轨道定律):所有的行 星围绕太阳运行的轨道都是 ,太阳 处在所有 的一个 上. (2)开普勒第二定律(面积定律):对于每一 个行星而言, 和行星的连线在相等的 时间内扫过相等的 . (3)开普勒第三定律(周期定律):所有行星 的轨道的半长轴的 方跟公转周期 的 方的比值都相等,即 . 太阳系八大行星绕太阳运行的轨道可 粗略地视为圆,下表是各行星的半径和轨道 半径. 行星 名称 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 行星 半径/ ×106m 2.446.056.373.3969.858.2 23.7 22.4 轨道 半径/ ×1011m 0.5791.081.502.287.7814.3 28.7 45.0 从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期 最接近 ( ) A.80年 B.120年 C.165年 D.200年 【解析】 设海王星绕太阳运行的轨道半径 为r1,公转周期为T1,地球绕太阳运行的轨 道半径为r2,公转周期为T2(T2=1年),由 开普勒第三定律得 r31 T21 = r32 T22 ,故 T1= r31 r32 · T2≈164年,最接近165年,故选C. 【答案】 C 考点二 万有引力定律的理解 内容 自然界中任何两个物体都相互吸引, 引力的方向在它们的 上,引 力的大小与物体的质量m1 和m2 的 成正比,与它们之间距离r 的 成反比 公式 F= ,引力常量 G=6.67× 10-11N·m2/kg2,英 国 物 理 学 家 于1798并利用扭秤测出了G值 适用 条件 (1)两质点间的作用 (2)可视为质点的物体间的作用 (3)质量分布均匀的球体间的作用 火星的质量约为地球质量的110 ,半径约 为地球半径的1 2 ,则同一物体在火星表面与在 地球表面受到的引力的比值约为 ( ) A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5 【解析】 万有引力表达式为F=GMm r2 ,则 同一物体在火星表面与地球表面受到的引 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —14— 力的 比 值 为 F火引 F地引 = M火r2地 M地r2火 =0.4,选 项 B 正确. 【答案】 B 考点三 万有引力定律的应用 天体质量和密度的估算 (1)“自力更生法”(g-R):利用天体表面的 重力加速度g和天体的半径R 由GMm R2 =mg,得 M=R 2g G ,ρ= M V = M 4 3πR 3 = 3g4πRG. (2)“借助外援法”(T-r):利用天体的卫 星,已知卫星的周期T(或线速度v)和卫星 的轨道半径r 建立GMm r2 =mv 2 r=mr 4π2 T2 ,则 M= 4π2r3 GT2 v2r G 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 测天体的密度:将天体的质量 M 代入 ρ= M 4 3πR 3 得: ρ= 表面卫星 →ρ= 地球表面的重力加速度为g,地球半径 为R,引力常量为G,可估算地球的平均密 度为 ( ) A.3g4πRG B. 3g 4πR2G C.gRG D. g RG2 【解析】 忽略地球自转的影响,对处于地球 表面的物体,有mg=GMmR2 ,则 M=gR 2 G ,又 V=43πR 3,可得地球的平均密度ρ= M V = 3g 4πRG ,A项正确. 【答案】 A 考点四 万有引力定律在天体运行中的应用 1.三种宇宙速度 第一宇宙速度 (环绕速度) v1= ,是人造地球 卫星的最小 速度, 也是人造地球卫星绕地球做 圆周运动的 速度. 第二宇宙速度 (脱离速度) v2= ,是使物体挣 脱 引力束缚的最小 发射速度. 第三宇宙速度 (逃逸速度) v3= ,是使物体挣 脱 引力束缚的最小 发射速度. 2.卫星的线速度、角速度、周期及向心加速度 与轨道半径的关系 做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全 提供其所需 力,由GMm r2 =mv 2 r= mrω2=m4π 2 T2 r=ma可推导出: v= ω= T= a= 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ⇒当r增大时 v减小 ω减小 T 增大 a减小 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 如图所示,地球和小行星围绕太阳做 匀速圆周运动.只考虑地球和该小行星受到 太阳引力的作用.该小行星公转与地球公转 相比 ( ) A.周期相等 B.小行星的周期小 C.小行星的线速度小 D.小行星的向心加速度大 【解析】 根据万有引力提供向心力可得 GMm r2 =m4π 2 T2 r=mv 2 r=ma 可得 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —24— T= 4π 2r3 GM ,v= GMr ,a=GM r2 由于小行星的公转半径大于地球公转半径, 则小行星公转周期大于地球公转周期;小行 星的线速度小于地球的线速度;小行星的向 心加速度小于地球的向心加速度. 【答案】 C 一、选择题(本题共12小题,每小题4分,共计 48分,每小题所给出的四个选项中只有一项 符合题意) 1.下列对开普勒行星运动定律的理解正确的 是 ( ) A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆, 这些椭圆有一个共同的焦点,太阳就在 此焦点上 B.行星靠近太阳时运动速度小,远离太阳 时运动速度大 C.行星轨道的半长轴越长,其自转的周期 就越大 D.行星椭圆轨道的半长轴的三次方与公转 周期的二次方之比为常数,此常数的大 小与太阳和行星均有关 2.某行星绕太阳运行 的椭圆轨道如图所 示,F1 和F2 是椭圆 轨道的两个焦点,行星在A 点的速率比在B 点的速率大,则太阳是位于 ( ) A.F2 B.A C.F1 D.B 3.太阳系有八大行星,八大行星离太阳的远近 不同,绕太阳运转的周期也不相同.下列反 映公转周期与行星轨道半长轴的关系图象 中正确的是 ( ) 4.某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动,其 轨道半径为月球绕地球运动半径的1 9 ,设月 球绕地球运动的周期为27天,则此卫星的 运动周期是 ( ) A.19 天 B.13 天 C.1天 D.9天 5.如图所示,两球间的距离为r0.两球的质量 分布均匀,质量分别为m1、m2,半径分别为 r1、r2,则两球间的万有引力大小为 ( ) A.G m1m2 r20 B. Gm1m2 r21 C. Gm1m2 (r1+r2)2 D. Gm1m2 (r1+r2+r0)2 6.设想把质量为 m 的物体放在地球的中心, 地球质量为 M、半径为R,则物体与地球间 的万有引力为 ( ) A.零 B.无穷大 C.GMm R2 D.GMm 2R2 7.若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分 别为T 和R,月球绕地球公转周期和公转轨 道半径分别为t和r,则太阳的质量与地球 的质量之比为 ( ) A.R 3T2 r3t2 B.R 3t2 r3T2 C.R 3t2 r2T3 D.R 2T3 r2t3 8.假如人类发现了某星球,人类登上该星球 后,进行了如下实验:在固定的竖直光滑圆 轨道内部,一小球恰好能做完整的圆周运 动,小球在最高点的速度为v,轨道半径为 r.若已测得该星球的半径为R,引力常量为 G,则该星球质量为 ( ) A.v 2r2 GR B. 5v2r2 GR C.5v 2R2 Gr D. v2R2 Gr 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —34— 9.如图所示,a、b是两颗绕地 球做匀速圆周运动的人造地 球卫星,它们距地面的高度 分别是R 和2R(R 为地球半 径).下列说法中正确的是 ( ) A.a、b的线速度大小之比是 2∶1 B.a、b的周期之比是1∶2 2 C.a、b的角速度大小之比是3 6∶4 D.a、b的向心加速度大小之比是9∶2 10.如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过 长达7年的“艰苦”旅行,进入绕土星飞行 的轨道.若“卡西尼”号探测器在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上 绕土星飞行,环绕n周飞行时间为t,已知 引力常量为G,则下列关于土星质量 M 和 平均密度ρ的表达式正确的是 ( ) A.M=4π 2(R+h)3 Gt2 ,ρ= 3π(R+h)3 Gt2R3 B.M=4π 2(R+h)2 Gt2 ,ρ= 3π(R+h)2 Gt2R3 C.M=4π 2t2(R+h)3 Gn2 ,ρ= 3πt2(R+h)3 Gn2R3 D.M=4π 2n2(R+h)3 Gt2 ,ρ= 3πn2(R+h)3 Gt2R3 11.a、b、c、d是在地球大 气层 外 的 圆 形 轨 道 上运 行 的 四 颗 人 造 卫星.其中a、c的轨 道相交于P,b、d 在 同一个圆轨道上,b、c轨道在同一平面上. 某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图所 示,下列说法中正确的是 ( ) A.a、c的加速度大小相等,且大于b的加 速度 B.b、c的角速度大小相等,且小于a的角 速度 C.a、c的线速度大小相等,且小于d 的线 速度 D.a、c存在在P 点相撞的危险 12.火星探测任务“天问一号”的 标识如图所示.若火星和地球 绕太阳的运动均可视为匀速 圆周运动,火星公转轨道半径 与地球公转轨道半径之比为 3∶2,则火星与地球绕太阳运动的 ( ) A.轨道周长之比为2∶3 B.线速度大小之比为 3∶ 2 C.角速度大小之比为2 2∶3 3 D.向心加速度大小之比为9∶4 二、填空题(本题共5小题,每小题4分,共计 20分,将答案直接填写在横线上) 13.如图所示,椭圆为地 球绕太阳运动的轨 道,A、B 两点分别为 地球绕太阳运动的 近日点(行星距离太阳最近的点)和远日点 (行星距离太阳最远的点),地球经过这两 点时的速率分别为vA 和vB;阴影部分为 地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面 积,分别用SA 和SB 表示,则vA vB、SA SB.(均选填“>”“=”或 “<”) 14.为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地 球卫星P,其轨道半径约为地球半径的16 倍;另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球 半径的4倍.P 与Q 的周期之比约为 . 15.已知太阳的质量为M,地球的质量为m1,月球 的质量为m2,当发生日全食时,太阳、月球、地 球几乎在同一直线上,且月球位于太阳与地 球之间,如图所示.设月球到太阳的距离为a, 地球到月球的距离为b,则太阳对地球的引力 F1 和太阳对月球的引力F2 的大小之比为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —44— 16.一卫星在某一行星表面附近绕其做匀速圆 周运动,线速度大小为v.假设宇航员在该 行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体的重力,物体静止时,弹簧测力计的 示数为F,已知引力常量为G,忽略该行星 的自转,则这颗行星的质量为 . 17.已知某星球的质量是地球质量的81倍,半 径是地球半径的9倍.已知地球的第一宇 宙速度为7.9km/s,则若在该星球上发射 一颗人造卫星,其发射人造卫星的速度最 小是 . 三、计算题(本题共5小题,共计32分,要求有 必要的文字说明、方程式和演算步骤) 18.(6分)一个质量均匀分布 的球体,半径为2r,在其 内部挖去一个半径为r的 球形空穴,其表面与球面相切,如图所示. 已知挖去小球的质量为m,在球心和空穴 中心连线上,距球心d=6r处有一质量为 m2 的质点,求: (1)被挖去的小球挖去前对m2 的万有引力 为多大? (2)剩余部分对m2 的万有引力为多大? 19.(6分)地球的公转轨道接近圆,但彗星的 运动轨道则是一个非常扁的椭圆.天文学 家哈雷曾经在1662年跟踪过一颗彗星,他 算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公 转半径的18倍,并预言这颗彗星将每隔一 定时间就会再次出现. (1)若这颗彗星在近日点的线速度为v1,在 远日点的线速度为v2,则哪个线速度大? (2)这颗彗星最近出现的时间是1986年, 它下次飞近地球大约是哪一年? 20.(6分)火星半径是地球半径的12 ,火星质 量大约是地球质量的1 9 ,那么地球表面上 质量为50kg的宇航员(地球表面的重力 加速度g取10m/s2) (1)在火星表面上受到的重力是多少? (2)若宇航员在地球表面能跳1.5m高,那 他在火星表面能跳多高? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —54— 21.(6分)假设在半径为R 的某天体上发射一 颗该天体的卫星,已知引力常量为G,忽略 该天体自转. (1)若卫星距该天体表面的高度为h,测得 卫星在该处做圆周运动的周期为T1,则该 天体的密度是多少? (2)若卫星贴近该天体的表面做匀速圆周 运动 的 周 期 为 T2,则 该 天 体 的 密 度 是 多少? 22.(8分)我国科学家自主研制的世界首颗量 子科学实验卫星“墨子号”成功发射,并进 入预定圆轨道.已知“墨子号”卫星的质量 为m,轨道离地面的高度为h,绕地球运行 的周期为 T,地球半径为 R,引力常量为 G.求: (1)“墨子号”卫星的向心力大小; (2)地球的质量; (3)第一宇宙速度大小. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —64— 11.B 车对桥顶的压力为车重的34 时,mg-34mg=m v2 R ;车 在桥顶对桥面恰好没有压力时:mg=m v21 R ,联立解得:v1= 20m/s,故B正确,A、C、D错误. 12.D 航天器和航天员在太空中受到的引力提供向心力,使 航天器和航天员做环绕地球的圆周运动,故 A错误,D正 确;失重时航天员仍然受到地球引力作用,故B错误;失重 是普遍现象,任何物体只要有方向向下的加速度,均处于失 重状态,故C错误. 13.解析:A、B 两点绕着同一点转动,角速度相等,线速度大小 与转动半径成正比关系,故ωA∶ωB=1∶1,vA∶vB=1∶2. 答案:1∶2 1∶1 14.解析:角速度ω=vr = 0.6 0.2rad /s=3rad/s, 答案:3rad/s 1.8m/s2 15.解析:男女运动员的转速、角速度是相同的. 由ω=2πn得ω=2×3.14×3060 rad /s=3.14rad/s 由v=ωr得r=vω = 4.8 3.14m≈1.53m 由an=ω2r得an=3.142×1.53m/s2≈15.1m/s2. 答案:3.14rad/s 1.53m 15.1m/s2 16.解析:球所受的重力和水平面的支持力在竖直面内,且是一 对平衡力,故球所受到的向心力由杆的OA 段和AB 段的 拉力提供. 分别隔离A、B 受力分析,如图所示.由于A、B 放在水平面 上,故G=FN,又有 A、B 固定在同一根轻杆上,所以 A、B 的角速度相同,设角速度为ω,则由向心力公式可得: 对A:FOA-FAB=mrω2, 对B:FAB'=2mrω2 又FAB=FAB', 联立三式,解得FOA∶FAB=3∶2. 答案:3∶2 17.解析:设球在空中运动时间为t,此时间内圆盘转过θ角,则 R=vt,h=12gt 2 故初速度大小v=R g2h θ=n·2π(n=1,2,3…) 又因为θ=ωt 则圆盘角速度大小ω=n ·2π t =2nπ g 2h (n=1,2,3…). 答案:R g2h 2nπ g 2h (n=1,2,3…) 18.解析:(1)由于曲轴每秒转240060 =40 (周),即n=40r/s,则周 期T=1n= 1 40s ;由ω=2πn可知,曲轴转动的角速度 ω=80πrad/s. (2)由v=ωr可知,距转轴r=0.2m的点的线速度大小 v=ωr=80π×0.2m/s=16πm/s. 答案:(1)140s 80πrad /s (2)16πm/s 19.解析:(1)根据线速度的定义式v=ΔsΔt 可得 v=10010 m /s=10m/s; (2)根据v=ωr可得,ω=vr = 10 20rad /s=0.5rad/s; (3)T=2πω= 2π 0.5s=4πs. 答案:(1)10m/s (2)0.5rad/s (3)4πs 20.解析:(1)由题意可知,当小球运动到最低点时,小球 受重力和绳的拉力2个力的作用,绳的拉力和重力的 合力提供向心力,小球受力示意图如图所示; (2)由(1)可知,球到达最低点时,绳的拉力和重力的 合力提供向心力,FT-mg=m v2 r 则FT=mg+m v2 r=3N. 答案:(1)见解析 (2)3N 21.解析:(1)对灯受力分析可知,合外力方向向右,所以车正向 右转弯; (2)设灯的质量为m,对灯受力分析知 mgtanθ=mv 2 R ,得v= gRtanθ (3)设汽车的质量为 M,汽车刚好不打滑,有μMg=M· v2 R 得μ=tanθ. 答案:(1)向右转弯 (2) gRtanθ (3)tanθ 22.解析:小球绕竖直轴做圆周运动,其轨道平面 在水平面内,对小球受力分析如图所示,设绳 对小球拉力为FT,小球重力为 mg,则绳的拉 力与小球的重力的合力提供小球做圆周运动 的向心力. (1)对小球,利用牛顿第二定律可得: mgtan45°=man an=gtan45°=10.0m/s2 (2)由an=ω2r,r=L'+Lsin45° 联立解得ω≈6.44rad/s (3)FT= mg cos45°≈4.24N. 答案:(1)10.0m/s2 (2)6.44rad/s (3)4.24N 第七章 万有引力与宇宙航行 考点过关 考点一 1.(1)①地球 ②地球 ③托勒密 (2)①太阳 ②哥白尼 2.(1)椭圆 椭圆 焦点 (2)太阳 面积 (3)三次 二次 a3 T2 =k 考点二 连线 乘积 平方 Gm1m2 r2 卡文迪许 考点三 3πr3 GR3T2 3π GT2 3v 2r 4GπR3 考点四 1.7.9km/s 发射 最大 11.2km/s 地球 16.7km/s 太阳 2.向心 GMr GM r3 4π 2r3 GM G M r2 本章练习 1.A 根据开普勒第二定律,行星在近日点时的速率最大,故 选项B错误;根据开普勒第三定律a 3 T2 =k,T 是指行星的公 转周期,且常数k与环绕天体(行星)无关,只与中心天体(太 阳)有关,故选项C、D错误. 2.A 根据开普勒第二定律:行星与太阳的连线在相等的时间 内扫过的面积相等,因为行星在A 点的速率比在B 点的速 率大,所以太阳在离A 点近的焦点上,故太阳位于F2. 3.D 由a 3 T2 =k知a3=kT2,D项正确. 4.C 由于r卫 =19r月 ,T月 =27天,由开普勒第三定律 r3卫 T2卫 = r3月 T2月 ,可得T卫 =1天,故选项C正确. 5.D 两个匀质球体间的万有引力F=Gm1m2 r2 ,r是两球心间 的距离,选D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —79— 6.A 把物体放到地球的中心时r=0,此时万有引力定律不再 适用.由于地球关于球心对称,所以吸引力相互抵消,对整体 而言,万有引力为零,故选项A正确. 7.B 地球绕太阳公转,由太阳对地球的引力提供地球做圆周 运动的向心力得:Gm太 m地 R2 =m地4π 2 T2 R,解得:m太 =4π 2R3 GT2 . 月球绕地球公转,由地球对月球的引力提供月球做圆周运动 的向心力得:Gm地 m月 r2 =m月 ·4π 2 t2 r,解得:m地 =4π 2r3 Gt2 ,所以 太阳的质量与地球的质量之比:m太 m地 = R3t2 r3T2 ,故B正确. 8.D 设小球的质量为 m,该星球的质量为 M,该星球表面的 重力加速度为g,因小球恰好做完整的圆周运动,由牛顿第 二定律以及向心力公式可得mg=mv 2 r ,解得g=v 2 r ,对于该 星球表面质量为 m'的物体,万有引力近似等于其重力,即 m'g=GMm'R2 ,由此可得 M=v 2R2 Gr ,故D正确. 9.C 两卫星均做匀速圆周运动,则有F万 =F向 . 由GMm r2 =mv 2 r 得 v1 v2 = r2 r1 = 3R2R= 3 2 ,故A错误; 由GMm r2 =mr 2πT 2 得 T1 T2 = r31 r32 = 23 2 3 ,故B错误; 由GMm r2 =mrω2 得ω1ω2 = r32 r31 =3 64 ,故C正确; 由GMm r2 =man 得 an1 an2 = r22 r21 =94 ,故D错误. 10.D 设“卡西尼”号的质量为m,它围绕土星的中心做匀速圆周 运动,其向心力由万有引力提供,G Mm(R+h)2 =m(R+h)(2πT )2, 其中T=tn ,解得 M=4π 2n2(R+h)3 Gt2 ;又因为土星体积 V=43πR 3,所以ρ= M V = 3πn2(R+h)3 Gt2R3 ,故D正确. 11.A 由GMm r2 =mv 2 r=mω 2r=m4π 2 T2 r=man 可知,选项B、 C错误,A正确;因a、c轨道半径相同,周期相同,由题图可 知当c运动到P 点时不会与a 相撞,以后也不可能相撞,选 项D错误. 12.C 轨道周长C=2πr,与半径成正比,故轨道周长之比为 3∶2,故 A 错 误;根 据 万 有 引 力 提 供 向 心 力 有GMm r2 = mv 2 r ,得v= GMr ,得v火 v地 = r地 r火 = 2 3 ,故B错误;由万有 引力 提 供 向 心 力,GMm r2 =mω2r,得 ω= GM r3 ,得ω火 ω地 = r3地 r3火 =2 2 3 3 ,故C正确;由GMm r2 =ma, 得a=GM r2 ,得a火 a地 = r2地 r2火 =49 ,故D错误. 13.解析:由开普勒第二定律(面积定律)可知:对于每一个行星 而言,太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积, 所以SA=SB,vA>vB. 答案:> = 14.解析:由开普勒第三定律知 TP2 TQ2 = rP3 rQ3 , 因为rP∶rQ=16R∶4R=4∶1,故TP∶TQ=8∶1. 答案:8∶1 15.解析:由万有引力定律得:太阳对地球的引力 F1=G Mm1 (a+b)2 ,太阳对月球的引力F2=G Mm2 a2 联立可得 F1 F2 = m1a2 m2(a+b)2 . 答案: m1a 2 m2(a+b)2 16.解析:设行星半径为R,行星质量为 M,卫星质量为m1,卫星做 圆周运动的向心力由万有引力提供,则有GMm1 R2 =m1 v2 R ,在行 星表面物体所受的重力等于万有引力,即F=mg'=GMmR2 , 联立解得行星质量为 M=mv 4 GF. 答案:mv 4 GF 17.解析:设地球质量为 M1,半径为R1;该星球的质量为 M2, 半径为R2 由万有引力提供向心力得GMm R2 =mv 2 R ,则v= GMR 故地球和该星球的第一宇宙速度之比 v1 v2 = M1R2 R1M2 = 981= 1 3 则在该星球上发射人造卫星的速度最小为 v2=3v1=23.7km/s. 答案:23.7km/s 18.解析:(1)被挖去的小球挖去前对m2 的万有引力为 F2=G mm2 (d-r)2 =Gmm2 25r2 (2)将挖去的小球填入空穴中,由V=43πR 3,m=ρV 可知, 大球的质量为8m,则挖去小球前大球对m2 的万有引力为 F1=G 8m·m2 (6r)2 =G2mm2 9r2 m2 所受剩余部分的万有引力为F=F1-F2=G 41mm2 225r2 . 答案:(1)Gmm2 25r2 (2)G41mm2 225r2 19.解析:(1)由开普勒第二定律知v1>v2. (2)由开普勒第三定律知r 3 T2 =k 得:(r哈 r地 )3=( T哈 T地 )2 解得:T哈 =T地 183≈76年 即下次飞近地球大约为(1986+76)年=2062年. 答案:(1)v1 (2)2062年 20.解析:(1)在地球表面有mg=GMmR2 在火星表面上有mg'=GM'mR'2 代入数据,联立解得g'=409 m /s2 则宇航员在火星表面上受到的重力 G'=mg'=50×409 N≈222.2N. (2)在地球表面宇航员跳起的高度 H=v 2 0 2g 在火星表面宇航员能够跳起的高度h=v 2 0 2g' 联立解得h=gg'H= 10 40 9 ×1.5m=3.375m. 答案:(1)222.2N (2)3.375m 21.解析:设卫星的质量为m,天体的质量为 M. (1)卫星距天体表面的高度为h时, G Mm(R+h)2 =m4π 2 T21 (R+h),则有 M=4π 2(R+h)3 GT21 天体的体积为V=43πR 3 故该天体的密度为ρ= M V = 4π2(R+h)3 GT21· 4 3πR 3 =3π (R+h)3 GT21R3 (2)卫星贴近天体表面运动时有GMm R2 =m4π 2 T22 R, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —89— 则有M=4π 2R3 GT22 ,ρ= M V = 4π2R3 GT22· 4 3πR 3 =3π GT22 . 答案:(1)3π (R+h)3 GT21R3 (2)3π GT22 22.解析:(1)“墨子号”卫星角速度ω=2πT , “墨子号”卫星的向心力Fn=m(R+h)ω2=m(R+h) 4π2 T2 (2)根据万有引力提供“墨子号”卫星的向心力, 有G Mm(R+h)2 =Fn 解得地球的质量 M=4π 2(R+h)3 GT2 (3)根据万有引力提供物体绕地球表面做匀速圆周运动的 向心力,有GMm R2 =mv 2 R 解得第一宇宙速度v= GMR = 2π(R+h) T R+h R 答案:(1)m(R+h)4π 2 T2 (2)4π 2(R+h)3 GT2 (3)2π (R+h) T R+h R 第八章 机械能守恒定律 考点过关 考点一 1.力 位移 Flocsα 正功 做功 负功 2.(1)恒力 (2)曲线 考点二 1.快慢 Wt Fvcosα 2.(1)Fvcosα (2)FvF (3)Fv 考点三 1.运动 焦耳 标量 12mv 2 2- 1 2mv 2 1 2.动能的变化 Ek2-Ek1 合外力 考点四 1.mgh 地球 参考平面 ΔEP 2.形变量 ΔEP 3.重力或弹力 重力或弹力 本章练习 1.D 公式W=Flcosα中的l是力作用时间内的位移,l不确 定,运动员对足球做的功不能确定,故选D. 2.C 支持力和重力与位移方向垂直,不做功,A、B错误;拉力 和滑动摩 擦 力 做 功 分 别 为 W1=Flcosθ,W2=-μ(mg- Fsinθ)l,C正确,D错误. 3.D 重力和地面对车的支持力的方向都与位移方向垂直,故 重力和地面对车的支持力都不做功,选项A、C错误;拉力的 方向与位移的方向成锐角,故拉力做正功,选项B错误;地 面对车的摩擦力的方向与位移的方向相反,故地面对车的摩 擦力做负功,选项D正确. 4.B 该同学上楼时重力做功,则所做的功 W=mgh≈50×10 ×20J=10000J, 则该同学做功的功率P=Wt = 10000 100 W=100W ,故选B. 5.A 因为火车做匀加速运动,所以牵引力F 不变,但速度在 增大,故牵引力的瞬时功率变大,故选A. 6.C t时间内重 力 做 功 的 平 均 功 率􀭺P=Wt = mg·12gt 2 t = 1 2mg 2t,t时 刻 重 力 做 功 的 瞬 时 功 率P=Fv=mg·gt= mg2t,故C正确. 7.D 重力做功W=mgh,h相等,由于m1>m2>m3,所以W1 >W2>W3,故D正确. 8.D 重力做功与路径无关,根据两点间的高度差即可求得重 力做的功.因A、B 两点间的高度差为 H,则重力做功 W= mgH,D正确. 9.C 设物体的质量为m,则其动能Ek= 1 2mv 2 0,当动能为2Ek 时有,2Ek= 1 2mv' 2,解 得v'= 2v0,故 C 正 确,A、B、D 错误. 10.A 在这段时间内只有水平力对滑块做功,根据动能定理 可知,W=12m ·(-6m/s)2-12m ·(6m/s)2=0,选项A 正确. 11.D 树叶在飘落过程中,空气阻力做负功,机械能减少,故 A错误;沿着斜面匀速下滑的物体,摩擦力做功,故机械能 不守恒,故B错误;物体被起重机匀加速吊起时拉力对物 体做功,故物体的机械能不守恒,故C错误;推出的铅球在 空中运动且不计空气阻力,只有重力做功,机械能守恒,故 D正确. 12.B 运动的过程中小石子的机械能守恒,设小石子在离地 高度为h'时 动 能 等 于 重 力 势 能,根 据 机 械 能 守 恒 可 得: mgh=mgh'+ 12mv 2,由 于 动 能 和 重 力 势 能 相 等,则 有: mgh'=12mv 2,代入数据解得:v= gh= 10×10m/s= 10m/s,故选B. 13.解析:Fcos60°=ma l=12at 2 W=Flcos60° 联立解得W=50J, 物体在竖直方向上没有位移,所以重力和支持力都不做功. 答案;50 0 0 14.解析:对全过程由动能定理可知 W1-W2=0,故 W1∶W2 =1∶1;W1=F1s,W2=F2s',由题图可知s∶s'=3∶4,所 以F1∶F2=4∶3. 答案:4∶3 1∶1 15.解析:物体在最高点时具有的重力势能Ep1=mgh1=1×10 ×0.4J=4J;物体在最高点时具有的机械能等于刚抛出时 的动能,即8J;物体在下落过程中机械能守恒,落地前在任 意位置的机械能都等于8J;物体落地前瞬间的动能Ek= E-Ep2=E-mgh2=8J-1×10×(-1)J=18J, 答案:4J 8J 8J 18J 16.解析:实验中打点计时器可以测量时间,所以不需要秒表, 打点计时器使用的是交流电源,所以低压直流电源不需要, 验证机械能守恒,即验证动能的增加量和重力势能的减少 量是否相等,两边都有质量,所以天平不需要.为了测量点 迹的距离,需要刻度尺,所以缺少的器材是刻度尺、低压交 流电源. 答案:EFG 刻度尺、低压交流电源 17.解析:每两个计数点之间有一个计时点,则相邻两个计数点之间 的时间间隔为t=0.04s,则vB= xAC 2t= 0.1254-0.0320 2×0.04 m /s≈ 1.2m/s,EkB = 1 2mvB 2=0.72J,重锤的重力势能减小量 ΔEp=mgh=1×9.8×0.0740J≈0.73J 答案 :1.2 0.72(0.68~0.72均可) 0.73 18.解析:(1)重力做的功为:WG=mgsin37°· h sin37°=1.5×10 4J (2)各力对运动员做的总功与合力对运动员做的功相同,运 动员所受合力为:F合 =mgsin37°-μmgcos37°=260N 合力方向沿斜坡向下,沿合力方向的位移l= hsin37°=50m 合力做的功W 合 =F合 ·l=260×50J=1.3×104J. 答案:(1)1.5×104J (2)1.3×104J 19.解析:(1)以 桌 面 为 参 考 平 面,物 体 距 参 考 平 面 的 高 度 为 h1=0.4m, 因而物体具有的重力势能为 Ep1=mgh1=2×9.8×0.4J=7.84J 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —99—