第十七章勾股定理达标练习 2024-2025学年人教版数学八年级下册

第十七章勾股定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．a2＋b2＝c2 B．∠A＝∠B＋∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．a＝5，b＝12，c＝13 2．下列各组数中，是勾股数的是（ ） A． B． C． D． 3．下列各组数据不是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（    ） A． B．2 C． D． 5．如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100），沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（　　） A．：2 B．：1 C．：2 D．：1 6．下列四组数：①；②；③；④其中是勾股数的有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 7．下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（　　） A．5，12，14 B．6，8，9 C．7，24，25 D．8，13，15 8．若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x的可能值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 10．在平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（） A．或 B．或 C．或 D．或 11．如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高.已知AB=5,BC=8,则AD的长为 (     )    A．5 B．4 C．3 D．6 12．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 二、填空题 13．甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行2小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若、两船相距海里，则乙船的速度是 ． 14．一个三角形花坛的三边长为，，，则这个花坛的面积是 ． 15．我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 16．如图，分别以的三边为边向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为，，，若，则的形状为 三角形． 17．如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt△ABF中，∠AFB=90°，AF=4，AB=5．四边形EFGH的面积是 ． 三、解答题 18．木工师傅为了让直尺经久耐用,常常在直尺的直角顶点与斜边之间加一个小木条,如下左图所示.下右图为其示意图.若∠BAC=90°,线段AB的长为5,线段AC的长为12,试求出小木条AD的最短长度. 19．先观察图形（如图所示），然后回答问题： （1）设每个小方格的边长是1，则正方形的面积是______，正方形的面积是______，正方形的面积是______． （2）正方形，正方形，正方形的面积之间有何关系？你能发现、、的关系吗？ 20．定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． （1）若是“近直角三角形”，，则 度； （2）如图，在中，．边上是否存在点，使得也是“近直角三角形”，若存在，求出所有点的位置；若不存在，请说明理由． 21．如图，M，N分别为锐角边上的点，把沿折叠，点O落在所在平面内的点C处． (1)如图1，点C在内，若，求的度数； (2)如图2，若，折叠后点C在直线上方，与交于点E，且，求折痕的长． (3)如图3，若折叠后，直线，垂足为点E，且，求此时的长． 22．一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，—只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 23．如图，已知是等边三角形， ，，求的度数． 24．有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十七章勾股定理》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A D A B C B C A 题号 11 12 答案 C D 1．C 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝∠B＋∠C， ∴∠A＝90°， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x， ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴3x＋4x＋5x＝180°，解得x＝15°， ∴∠C＝5×15°＝75°， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 2．D 【分析】本题考查了勾股数：满足勾股定理且是正整数的数；利用勾股数的定义进行判断，逐个计算即可． 【详解】解：、因为，所以不是勾股数； 、因为，所以不是勾股数； 、因为，所以不是勾股数； 、因为，又都是正整数，是勾股数， ∴选项D为勾股数， 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理逆定理，根据“一组正整数，且满足两个较小的数的平方和等于最大数的平方，这样的一组数叫做勾股数”，进行判断即可，理解勾股数的定义及熟练掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不是勾股数，故此选项符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：． 4．D 【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE． 【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6， ∴AB==10， ∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合， ∴AE=BE，AD=BD=AB=5， 设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x， 在Rt△BCE中 ∵BE2=BC2+CE2， ∴x2=62+（8-x）2，解得x=， ∴CE==， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理． 5．A 【分析】过C作CD⊥AB于D，设AD=x，根据特殊三角形的性质，分别用含x的代数式表示出CD，BD，根据AB的长求出x，再根据勾股定理求出AC，BD，即可得到答案． 【详解】解：过C作CD⊥AB于D， 设AD=x， 由题意得∠CAD=45°，∠NBC=60°， 在Rt△ACD中，∠ACD=90°-45°=45°， ∴∠ACD=∠CAD， ∴CD=AD=x， ∴ ， 在Rt△BCD中，∠CBD=90°-60°=30°， ∴BC=2CD=2x， ∴ ， ∵AB=100+100 ， ∴AD+BD=x+x=100+100， ∴（1+）x=100（1+）， ∴x=100， 即AD=100海里， ∴AC=100海里，BC=200海里， ∵时间一定时速度与路程成正比， ∴客轮与补给船的速度之比为100：200=：2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键． 6．B 【分析】勾股数是满足的正整数,根据勾股数的定义进行求解. 【详解】解: ①,是勾股数, ②,是勾股数; ③,因为a不确定是整数,所以不是勾股数; ④（32）2+（42）2≠（52 ）2, 不是勾股数; 故选B. 【点睛】本题主要考查勾股数的定义,解决本题的关键是要熟练掌握勾股数的定义. 7．C 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项验证即可得到答案． 【详解】A、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故此选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理计算三角形两边的平方和是否等于第三边的平方是解决问题的关键． 8．B 【详解】解：当x为斜边时，x＝＝； 当5为斜边时，x＝＝4． ∴x的可能值有2个：或4； 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 9．C 【分析】根据每个小网格都为正方形，设每个网格为1，由勾股定理可以求出AD、AC、 CD的长，再由勾股定理的逆定理得到△ACD为等腰直角三角形，同理可得△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC= ∠DAC． 【详解】解：如图，设正方形每个网格的边长都为1，连接CD、BC， 则， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 同理：， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的性质、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定，解本题的关键要掌握勾股定理及逆定理的基本知识． 10．A 【分析】本题考查了坐标与图形及用勾股定理求两点间距离，熟练掌握坐标与图形及用勾股定理求两点间距离是解题的关键．若点P在轴上，设，可得，，再根据，列出方程，再求解，若点P在轴上，设，再同理求解即可． 【详解】解：若点P在轴上，设， ，， ，， ，即， ， ， ， 若点P在轴上，设， ，点， ，， ，即， ， ， ， 即或， 故选：A． 11．C 【分析】根据等腰三角形的性质求出BD，根据勾股定理计算． 【详解】解：∵AB=AC，AD是BC边上的高，AB=5,BC=8. ∴BD=BC=4， 由勾股定理得，AD= =3（cm）， 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2是解题的关键． 12．D 【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度． 【详解】在AB上取一点G，使AG＝AF． ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4 ∴AB=5， ∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE， ∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴FE＝GE， ∴要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值， 故当C、E、G三点共线时，符合要求， 此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值， 此时，， ∴CH==， 即：CE+EF的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键． 13．海里时 【分析】根据已知判定为直角，根据路程公式求得的长．再根据勾股定理求得的长，从而根据公式求得其速度． 【详解】解：甲的速度是海里时，时间是小时， 海里． ， ． 海里， 海里． 乙船也用小时， 乙船的速度是海里时． 故答案为：海里时． 【点睛】此题考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情况，关键是根据勾股定理求得的长． 14． 【分析】根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状，然后再计算其面积即可． 【详解】解：∵三角形花坛的三边长分别是，，，且 ，， ∴， ∴该三角形为直角三角形，直角边分别为，， ∴该花坛的面积是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．理解和掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 15． 【分析】本题考查数字型规律探究、勾股数，能从数字等式中找到变化规律是解答的关键． 根据给出的3组数以及勾股数的定义即可得出答案． 【详解】解：上述四组勾股数组的规律是：， 即， ∴ 所以第5个勾股数组为， 故答案为：． 16．直角 【分析】设出三个圆的半径，并用其表示的边长，利用勾股定理的逆定理判断其为直角三角形． 【详解】解：设大圆的半径是，两个小圆的半径分别是和， 则，，． ， ， 即． ， 即， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 17．1 【详解】试题分析：因为AB＝5，所以S正方形ABCD＝5×5＝25． Rt△ABF中，AF＝4，AB＝5， 则BF＝＝3， 所以SRt△ABF＝×3×4＝6， 四个直角三角形的面积为：6×4＝24， 四边形EFGH的面积是25－24＝1． 故答案为1． 18． 【分析】先根据勾股定理得出BC的长，当AD⊥BC时，小木条AD的长度最短，再根据等面积法即可求得结果． 【详解】当AD⊥BC时，小木条AD的长度最短，   因为∠BAC=90°，AB=5，AC=12，所以BC=13，   因为三角形ABC的面积=AB×AC=BC×AD，所以AD= 答:小木条AD的最短长度为. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握直角三角形的两种面积公式 19．（1）1，1，2；（2）正方形的面积＋正方形的面积＝正方形的面积．． 【分析】（1）根据图形，由正方形面积公式和三角形面积公式，即可得到答案； （2）由（1）的结论，即可得到面积的关系和直角三角形ABC三边的关系. 【详解】解：（1）根据题意，可得： 正方形的面积=， 正方形的面积=， 正方形的面积=； 故答案为1，1，2. （2）由（1）知，， ∴正方形的面积+正方形的面积=正方形的面积； ∵正方形的面积=，正方形的面积=，正方形的面积=， ∴. 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，以及正方形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理. 20．（1）20；（2）存在，或 【分析】（1）根据题意分析列出等式∠C+2∠A=90°计算即可， （2）存在这样的点E，分情况当点E在边AC上且满足时，根据题意证明，利用勾股定理即可求出即；当点E在边AC上且满足时，根据题意证明，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）20； 由题意知： ∵∠B>90°，∠C=50°， ∴∠C+2∠A=90° ， ∴∠A=20°； （2）存在这样的点E， ①作平分交于， ∴， ∵BE平分， ∴， ∴点E即为所求， 又， 作， 又平分， ， ， ， 在中，， 则， 即， 解得：， 即； ②作，交延长线于， ， ， ∴， 作， 交于， ∵， ∴， ∴点即为所求， 又∵ AB=AB， ， ∴， 设， 根据勾股定理结合和列方程得： ， 解得：， 即， 综上或． 【点睛】此题利用新定义考查直角三角形边上的动点问题，利用三角形全等结合勾股定理求直角三角形的边，有一定难度，理解题意是关键． 21．(1) (2)2 (3)或10 【分析】（1）根据平角的定义得到，根据折叠的性质得到，再根据三角形内角和定理求出的度数即可； （2）先证明，再由三角形内角和定理得到，则，如图，过点N作于点D，在中，求出，在中，则； （3）分点N在线段上，点N在线段的延长线上，两种情况利用勾股定理讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴； （2）解：由折叠的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过点N作于点D， 在中，， ∴， 在中，， ∴； ∴折痕的长为2； （3）解：①若折叠后，直线于点E， ∵， ∴， 若点N在线段上，如上图所示， 由折叠的性质可知：， ∴， 在中，，根据勾股定理，得， ∴， 解得； ②若点N在线段的延长线上，如下图所示， 由折叠可知：， ∴， 在中，，根据勾股定理，得， ∴， 解得． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 22．能，蚂蚁爬行的最短路程是 20cm． 【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】解：能， 如图1所示， cm， 如图2所示： （cm）． ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路程是A－P—B，最短路程为20cm． 【点睛】本题结合立体图形及其展开图考查了勾股定理，一定空间想象能力，熟练掌握勾股定理是解答关键． 23． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，以为一边作等边三角形，连接，则， ，得到，再证明，是直角三角形即可求解，掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：如图，以为一边作等边三角形，连接，则， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 24．5s 【详解】本题考查的是勾股定理的应用 本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是20m，也就是两树树梢之间的距离是20m，两再利用时间关系式求解． 如图 由题意得，， 根据勾股定理，得， 则小鸟所用的时间是． 答：这只小鸟至少5秒才可能到达小树和伙伴在一起． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$