18.2.1　矩形 学案 2024—2025学年人教版数学八年级下册

18.2　特殊的平行四边形 18.2.1　矩形 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系;探索并证明矩形的性质,会用矩形性质解决相关问题. 推理能力、几何直观、模型观念 2.理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要结论. 推理能力、模型观念 基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 新知要点 对点小练 1.矩形的定义及性质 (1)定义:有一个角是 的平行四边形.  (2)性质:①具有平行四边形的所有性质. ②角:四个角都是 .  ③对角线:对角线 .  1.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, (1)若∠ACB=70°,则∠AOB= .  (2)若∠BAC=30°,BC=3,则BD= .  2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.(2023·郴州中考)在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,BC=8,则AB边上的中线CD= .  重点典例研析　　启思凝智 教学相长 【重点1】矩形的性质(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P53例1拓展)如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. (1)求证:BD=BE; (2)若∠DBC=30°,BO=1,求四边形ABED的面积. 【举一反三】 (2023·台州中考)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为点F,则BF的长为 .  【技法点拨】 矩形性质的三点应用 (1)证明线段平行、相等或倍分关系. (2)证明角相等或求角的度数. (3)解决与全等有关的问题. 【重点2】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P61T9拓展) 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点N.点M是对角线BD的中点,连接AM,CM.已知AB=AC,AB⊥AC,∠BCD=90°,AM=CD. (1)求证:△ABM ≌△ACM; (2)若BC=4,求AN的长. 【举一反三】 1.(2023·德阳中考)如图,在△ABC中,∠CAD=90°,AD=3,AC=4,BD=DE=EC,点F是AB边的中点,则DF=( ) A. B. C.2 D.1 2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,∠B=30°,点E在BC上,且CE=AC,则∠CDE的大小为 .  【技法点拨】 　直角三角形斜边上中线的性质及其拓展 (1)性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,在Rt△BAC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,则AD=BC. (2)拓展: ①∠1=∠2,∠3=∠4;②∠ADB=2∠3=2∠4,∠ADC=2∠1=2∠2. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·模型观念)矩形是特殊的平行四边形,下列性质中,矩形具有而平行四边形不一定具有的是( ) A.对边平行 B.对边相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等 2.(4分·运算能力、几何直观)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点D与点C被湖隔开,若AC=0.9 km,BC=1.2 km,则D,C两点间的距离为( ) A.0.6 km　 B.0.75 km　 C.1 km　 D.1.5 km 3.(4分·推理能力)如图,在矩形ABCD中,点O,M分别是AC,AD的中点,OM=3,OB=5,则AD的长为 .  4.(8分·几何直观、推理能力)(2024·陕西中考)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF,求证:AF=DE. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.2.1　矩形 第2课时 课时学习目标 素养目标达成 探索并证明矩形的判定,会用矩形判定解决相关问题. 推理能力、几何直观、模型观念 基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势 新知要点 对点小练 矩形的判定方法: (1)定义:有一个角是　直角　的平行四边形.  (2)三个角都是　直角　的四边形.  (3)对角线　相等　的平行四边形.  　要判断一个四边形门框是否为矩形,在下面四个初拟的方案中,可行的是(D) A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否相等 C.测量对角线是否相等 D.测量其中三个角是否为直角 重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒 【重点1】矩形的判定(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P54例2拓展) 如图,在▱ABCD中,DE平分∠ADB,交AB于点E,BF平分∠CBD,交CD于点F. (1)求证:DE=BF; (2)若AD=BD,求证:四边形DEBF是矩形. 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD, ∴∠ADB=∠CBD, ∵DE平分∠ADB,BF平分∠CBD, ∴∠EDB=∠ADB,∠DBF=∠CBD, ∴∠EDB=∠DBF,∴DE∥BF, 又∵AB∥CD,∴四边形DEBF是平行四边形.∴DE=BF. (2)∵AD=BD,DE平分∠ADB, ∴DE⊥AB, ∴∠DEB=90°, 又∵四边形DEBF是平行四边形, ∴四边形DEBF是矩形. 【举一反三】 (2024·日照质检)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,OB=OC,∠BAD的平分线AE交BC于点E. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若AC=6,∠ACB=30°,求CE的长. 【解析】(1)∵在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O, ∴OA=OC,OB=OD, 又∵OB=OC, ∴OA=OB=OC=OD, ∴AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形; (2)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠BAD=90°, 又∵AC=6,∠ACB=30°, ∴AB=AC=3,BC===3, ∵∠BAD的平分线AE交BC于点E, ∴∠BAE=∠BAD=45°,∠BEA=180°-∠ABE-∠BAE=180°-90°-45°=45°, ∴∠BAE=∠BEA,∴BE=AB=3, ∴CE=BC-BE=3-3. 【重点2】矩形性质和判定的综合应用 (几何直观、推理能力) 【典例2】 (2023·大庆中考)如图,在平行四边形ABCD中,E为线段CD的中点,连接AC,AE,延长AE,BC交于点F,连接DF,∠ACF=90°. (1)求证:四边形ACFD是矩形; (2)若CD=13,CF=5,求四边形ABCE的面积. 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠DAF=∠AFC,∠ADC=∠DCF, ∵E为线段CD的中点, ∴DE=CE, ∴△ADE ≌△FCE, ∴AE=EF, ∴四边形ACFD是平行四边形, ∵∠ACF=90°, ∴平行四边形ACFD是矩形. (2)过点E作EG⊥AC于点G, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC, ∵四边形ACFD是矩形, ∴AD=CF,∴AD=BC=CF=5, ∵CD=13,∴DF==12, ∴四边形ABCE的面积等于S△ABC+S△AEC, S△ABC=×AC×BC=×12×5=30,S△ACE=×AC×GE, ∵点E是对角线的中心, ∴GE=AD=, ∴S△ACE=×AC×GE=×12×=15, ∴四边形ABCE的面积为30+15=45. 【举一反三】 如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,过点D作DE⊥BC于E,延长CB到点F,使BF=CE,连接AF,OF. (1)求证:四边形AFED是矩形. (2)若AD=7,BE=2,∠ABF=45°,试求OF的长. 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC,∵BF=CE, ∴FE=BC,∴FE=AD, ∴四边形AFED是平行四边形, ∵DE⊥BC,∴∠DEF=90°, ∴四边形AFED是矩形. (2)由(1)得:∠AFE=90°,FE=AD, ∵AD=7,BE=2, ∴FE=7, ∴FB=FE-BE=5, ∴CE=BF=5, ∴FC=FE+CE=7+5=12, ∵∠ABF=45°, ∴△ABF是等腰直角三角形, ∴AF=FB=5, 在Rt△AFC中,由勾股定理得:AC===13, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC, ∴OF=AC=. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·模型观念)(2024·泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定▱ABCD为矩形的是(D) A.∠A=90° B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD 2.(4分·运算能力、几何直观)如图,在▱ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,△ABO是等边三角形,若AC=8,则平行四边形ABCD的面积是(D) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.16 B.4 C.8 D.16 3.(4分·推理能力)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=6,若要使平行四边形ABCD为矩形,则OB的长度应为　3　.  4.(8分·几何直观、推理能力)(2023·乐山中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB边上任意一点(不与点A,B重合),过点D作DE∥BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,连接EF. (1)求证:四边形ECFD是矩形; (2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离. 【解析】(1)∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形ECFD为平行四边形, ∵∠C=90°, ∴四边形ECFD是矩形. (2)∵∠C=90°,CF=2,CE=4, ∴EF==2, 设点C到EF的距离为h, ∵S△CEF=CE·CF=EF·h, ∴4×2=2h, ∴h=, ∴点C到EF的距离为. 训练升级,请使用　“课时过程性评价 十六” 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.2.1　矩形 第2课时 课时学习目标 素养目标达成 探索并证明矩形的判定,会用矩形判定解决相关问题. 推理能力、几何直观、模型观念 基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势 新知要点 对点小练 矩形的判定方法: (1)定义:有一个角是 的平行四边形.  (2)三个角都是 的四边形.  (3)对角线 的平行四边形.  　要判断一个四边形门框是否为矩形,在下面四个初拟的方案中,可行的是( ) A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否相等 C.测量对角线是否相等 D.测量其中三个角是否为直角 重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒 【重点1】矩形的判定(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P54例2拓展) 如图,在▱ABCD中,DE平分∠ADB,交AB于点E,BF平分∠CBD,交CD于点F. (1)求证:DE=BF; (2)若AD=BD,求证:四边形DEBF是矩形. 【举一反三】 (2024·日照质检)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,OB=OC,∠BAD的平分线AE交BC于点E. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若AC=6,∠ACB=30°,求CE的长. 【重点2】矩形性质和判定的综合应用 (几何直观、推理能力) 【典例2】 (2023·大庆中考)如图,在平行四边形ABCD中,E为线段CD的中点,连接AC,AE,延长AE,BC交于点F,连接DF,∠ACF=90°. (1)求证:四边形ACFD是矩形; (2)若CD=13,CF=5,求四边形ABCE的面积. 【举一反三】 如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,过点D作DE⊥BC于E,延长CB到点F,使BF=CE,连接AF,OF. (1)求证:四边形AFED是矩形. (2)若AD=7,BE=2,∠ABF=45°,试求OF的长. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·模型观念)(2024·泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定▱ABCD为矩形的是( ) A.∠A=90° B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD 2.(4分·运算能力、几何直观)如图,在▱ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,△ABO是等边三角形,若AC=8,则平行四边形ABCD的面积是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.16 B.4 C.8 D.16 3.(4分·推理能力)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC=6,若要使平行四边形ABCD为矩形,则OB的长度应为 .  4.(8分·几何直观、推理能力)(2023·乐山中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB边上任意一点(不与点A,B重合),过点D作DE∥BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,连接EF. (1)求证:四边形ECFD是矩形; (2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.2　特殊的平行四边形 18.2.1　矩形 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系;探索并证明矩形的性质,会用矩形性质解决相关问题. 推理能力、几何直观、模型观念 2.理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要结论. 推理能力、模型观念 基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 新知要点 对点小练 1.矩形的定义及性质 (1)定义:有一个角是　直角　的平行四边形.  (2)性质:①具有平行四边形的所有性质. ②角:四个角都是　直角　.  ③对角线:对角线　相等　.  1.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, (1)若∠ACB=70°,则∠AOB=　140°　.  (2)若∠BAC=30°,BC=3,则BD=　6　.  2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.(2023·郴州中考)在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,BC=8,则AB边上的中线CD=　5　.  重点典例研析　　启思凝智 教学相长 【重点1】矩形的性质(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P53例1拓展)如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. (1)求证:BD=BE; (2)若∠DBC=30°,BO=1,求四边形ABED的面积. 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD,AB∥CD. ∵BE∥AC, ∴四边形ABEC是平行四边形. ∴AC=BE, ∴BD=BE. (2)∵在矩形ABCD中,BO=1, ∴BD=2BO=2×1=2, ∵∠DBC=30°, ∴∠BDC=90°-30°=60°, ∴△OCD是等边三角形. ∴CD=OD=1. ∴AB=CD=1,DE=CD+CE=CD+AB=1+1=2. 在Rt△BCD中,BC===, ∴四边形ABED的面积为(AB+DE)·BC=×(1+2)×=. 【举一反三】 (2023·台州中考)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为点F,则BF的长为　2　.  【技法点拨】 矩形性质的三点应用 (1)证明线段平行、相等或倍分关系. (2)证明角相等或求角的度数. (3)解决与全等有关的问题. 【重点2】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(几何直观、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P61T9拓展) 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点N.点M是对角线BD的中点,连接AM,CM.已知AB=AC,AB⊥AC,∠BCD=90°,AM=CD. (1)求证:△ABM ≌△ACM; (2)若BC=4,求AN的长. 【自主解答】(1)∵点M是对角线BD的中点, ∴BM=DM, ∵∠BCD=90°, ∴BM=DM=CM, 又∵AB=AC,AM=AM, ∴△ABM ≌△ACM(SSS). (2)如图,延长AM交BC于E, ∵AB=AC,BM=CM, ∴AM垂直平分BC, ∴AE⊥BC, ∴∠AEB=90°, 又∵∠BCD=90°, ∴AM∥CD, ∵AM=CD, ∴四边形AMCD是平行四边形, ∴AN=AC, ∵AB⊥AC,AB=AC, ∴在Rt△ABC中,2AC2=BC2=42, ∴AC=2, ∴AN=×2=. 【举一反三】 1.(2023·德阳中考)如图,在△ABC中,∠CAD=90°,AD=3,AC=4,BD=DE=EC,点F是AB边的中点,则DF=(A) A. B. C.2 D.1 2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,∠B=30°,点E在BC上,且CE=AC,则∠CDE的大小为　75°　.  【技法点拨】 　直角三角形斜边上中线的性质及其拓展 (1)性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,在Rt△BAC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,则AD=BC. (2)拓展: ①∠1=∠2,∠3=∠4;②∠ADB=2∠3=2∠4,∠ADC=2∠1=2∠2. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·模型观念)矩形是特殊的平行四边形,下列性质中,矩形具有而平行四边形不一定具有的是(D) A.对边平行 B.对边相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等 2.(4分·运算能力、几何直观)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点D与点C被湖隔开,若AC=0.9 km,BC=1.2 km,则D,C两点间的距离为(B) A.0.6 km　 B.0.75 km　 C.1 km　 D.1.5 km 3.(4分·推理能力)如图,在矩形ABCD中,点O,M分别是AC,AD的中点,OM=3,OB=5,则AD的长为　8　.  4.(8分·几何直观、推理能力)(2024·陕西中考)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF,求证:AF=DE. 【证明】∵四边形ABCD为矩形, ∴AB=CD,∠B=∠C=90°, ∵BE=CF, ∴BE+EF=CF+EF. 即BF=CE, 在△ABF和△DCE中,, ∴△ABF ≌△DCE(SAS), ∴AF=DE. 训练升级,请使用　“课时过程性评价 十五” 学科网（北京）股份有限公司 $$