2025年中考数学一轮复习相似三角形综合解答题专题提升训练

2025年中考数学一轮复习 相似三角形综合解答题 专题提升训练 1．如图，点是的边延长线上一点，与交于点，． (1)求证：； (2)若的面积为4，求的面积． 2．在中，，对角线交于点，，是上两点．延长交于点，延长交于点． (1)如图1，若． ①求证：； ②如图2，连结交于点，连结，若．求证：． (2)如图3，若，，，是否存在最小值？若存在，求出最小值并直接写出的长度；若不存在，请说明理由． 3．在四边形中，对角线，与交于点，且． (1)如图1，若，，当时，求四边形的面积； (2)如图2，若，过中点作分别交，于点，．证明：； (3)如图3，若，点在直线上，将绕点逆时针旋转得到，当线段取最小值时，内部一点满足，当取最小值时，直接写出的面积． 4．如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 5．如图，在中，，，，是线段上的点，且满足，将线段绕点逆时针旋转得到，连结． (1)求证：； (2)连结交线段于点，求的值； (3)点在直线上，当时，求的长． 6．如图，在等边中，点P、D分别是边上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若；求的长． 7．已知：如图，中，，，点D是边上的一个动点（不与B、C点重合），． (1)求证：； (2)若，求的长． 8．在矩形中，E为上的一点，过B作的垂线，垂足为点G，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的面积． 9．如图，在正方形中，点E是边上的一点（不与点C，D重合），点F在边的延长线上，且，连接交于点M，交于点N． (1)求证：； (2)若，求证：． 10．如图，是等边三角形，、分别是、边上的点（点、不与端点重合），，连接、为交于点，点为延长线上一点，且，点为平面内上方、左侧一点，，延长交于点． (1)若点是中点，，求线段的长度； (2)若，请用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明； (3)若，为内部一点，当最小时，直接写出面积的最小值． 11．在菱形中，E，F为线段上的点，且，连接，交于点G． (1)如图（1）所示，若，求：的余弦值的值； (2)连接，在图（2）上求作在与方向上的分向量（保留作图痕迹即可） 12．如图，在中，，，．点P是线段上的一个动点（不包括端点），过点P作的垂线交线段于点Q，连接． (1)求证：． (2)当为等腰三角形时，求的长． 13．如图：点、在线段上，是等边三角形． (1)求证： (2)，，求的长 14．如图在四边形中，点、分别是、上的点，与交于点． (1)如图①，若四边形是矩形，且，求证： (2)如图②，若四边形是平行四边形，且，求证： 15．如图，正方形中，M为上一点，F是的中点，，垂足为F，交的延长线于点E，交于点N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学一轮复习 相似三角形综合解答题 专题提升训练》参考答案 1．(1)见解析 (2)48 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由，证明，则，求得，由，证明，得，则，结合，即可由得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ． （2）解：， ， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， 的面积为48． 2．(1)①见解析；②见解析 (2)存在，， 【分析】（1）①证明即可解答；②证明，得出，再结合①得出，即可得，证明，即可解答． （2）取的中点，证明，得出，作点关于直线的对称点，则，，作交延长线于点，则，，证明，得出，取中点，连接，得出是的中位线，，，则三点共线时，最小．过作于点，求出，，连接，勾股定理求出，根据，求出的最小值为．再证明，根据相似三角形的性质求出即可解答． 【详解】（1）解：①证明：在中， ，， ， 在与中 ， ， ． ②证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：存在． 四边形是平行四边形， ， ， 取的中点，则， ， ， 在和中 ， ， 作点关于直线的对称点，则，， 作交延长线于点，则，， ∴， ∴， ， 取中点，连接， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 则三点共线时，最小． 过作于点， 则， ，， ， ， 连接， ， ， ， 的最小值为． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故此时． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形中位线定理，轴对称的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 3．(1)3 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作于，则，求出，得出，，求出，得出为等腰直角三角形，推出，由勾股定理可得，即可得解； （2）作于，交的延长线于，作交于，令交于，由等腰三角形的性质可得，，，设，则，求出，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，求出 ，由平行线的性质可得，得出为等腰直角三角形，推出，证明，得出，利用相似三角形的判定与性质，得出，即可得证； （3）作，作于，连接，过点作直线，交直线于，证明四边形为正方形，得出，，证明，得出，得出点在直线上运动，从而可得当时，最小，即最小，证明为等腰直角三角形，得出，以为圆心，为半径画圆，点为优弧上一点，则，求出点在上，且在劣弧上，当、、三点共线时，最小，作于，则为等腰直角三角形，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，于，则， ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的面积为； （2）证明：如图，作于，交的延长线于，作交于，令交于， ， ∵，， ∴，，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，作，作于，连接，过点作直线，交直线于， ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵点在直线上，将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当时，最小，即最小， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵内部一点满足， ∴， 以为圆心，为半径画圆，点为优弧上一点，则， ∴， ∴点在上，且在劣弧上， ∴当、、三点共线时，最小， ∵， ∴，， ∴， 作于，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 4．(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，     ∴，       ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，          由（1）知：， ∴，   ∵， ∴． 5．(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据三角函数的定义得到，，由旋转的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，求得； （2）如图2，过点作交BC于点，根据相似三角形的性质得到，得到，由（1）知，根据相似三角形的性质得到，得到， （3）①当点在点下方时，如图3，连结，过点作于点，设，则，根据三角函数的定义得到，求得，解直角三角形得到； ②当点在点上方时，如图4，连结，过点作交BD的延长线于点，设，则，根据三角函数的定义得到，求得，得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1，在中，， ∵，， ∴，， 由旋转的特征，得：， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，过点作交于点 ∴， ∴， 即， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴； （3）解：在Rt△中，， ①当点在点下方时， 如图3，连结，过点作于点， 在中，， 设，则， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ②当点在点上方时， 如图4，连结， 过点作交的延长线于点， 在中，， 设，则， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长为． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 6．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由题意可得，，可证； （2）由，可得，代入数值即可求出的长． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， 又， ． （2）由（1）， ，即， 即， ． 7．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，也考查了等腰直角三角形的判定与性质． （1）先判断为等腰直角三角形得到，再利用三角形内角和得到，利用平角定义得到，则，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论； （2）先由等腰直角三角形性质得，，设，则，再由相似三角形的性质得，即，解方程即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）知为等腰直角三角形， ∴，， 设，则， 由（1）知， ∴， ∴， 解得：， ∴． 8．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识点，熟练掌握其性质并能得到是解决此题的关键． (1)根据矩形的性质证明，然后即可证明； (2)根据勾股定理求出的长，再求出三角形的面积，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得三角形的面积，进而可得四边形的面积． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， ， ， ，， ， ； （2）四边形为矩形， ， 在中，， ，， ， ， ， ， 四边形的面积． 9．(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据正方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，进而即可得到结论； (2)根据已知条件得到，由(1)知，，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是正方形， ， ， ， 由(1)知，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， 由勾股定理得，， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判 定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质的综合运用是解决此题的关键． 10．(1) (2) (3) 【分析】（1）如图所示，过点作于点，过点作于点，解，，进而等面积法求得，再求得，在中，求得，进而即可求解； （2）证明，设得出，过点作，，设与交于点，证明得出，进而得出，又，即可得出结论； （3）连接，以，为直角边分别在其右侧作等腰，，连接，可得，进而可得四点共线时取得最小值，最小值为，过点分别作的垂线，垂足分别为，则，得出，根据四点共线，是等腰直角三角形，连接，在上截取，得出在的一部分弧上运动，过点作于点，当在上时，面积取得最小值，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，进而求得，根据得出，进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵是等边三角形，点是中点，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， 在中， ∴ （2） 证明：∵是等边三角形，， ∴ 又∵， ∴ ∴ 设 ∴ ∴ ∵ ∴， 如图所示，过点作，，设与交于点， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴ （3）解：如图所示，连接，以，为直角边分别在其右侧作等腰，，连接， ∵， ∴ ∴，即 ∴ ∴四点共线时取得最小值，最小值为 如图所示， ∵是等边三角形， ∴， ∵等腰， ∴，， ∴ 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，则 ∵等腰， ∴, ∴， 又∵, ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵四点共线 ∴， 连接，在上截取， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴在的一部分弧上运动， 如图所示，过点作于点，当在上时，面积取得最小值， ∵ ∴ 过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，如图所示，作 ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，求一点到圆上的最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，根据已知条件设，则，，，证明，，根据相似三角形的性质得出，，，，过点作于点，设，则，在，中，根据勾股定理可得，由此建立方程求出，然后根据余弦的定义可得，于是得解； （2）取的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，则，即为所求作． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ，， ， 设，则，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， 即：， ，， ，， ，， 如图，过点作于点， 设，则， 在，中， ， ， 解得：， ； （2）解：如图，取的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接，则，即为所求作， 理由如下： 如图，设交于点， 是的中点，是的中点， ， 又， 是平行四边形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 在与方向上的分向量分别为，． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，求角的余弦值，向量的线性运算，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行公理的推论等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 12．(1)见解析 (2)或6 【分析】（1）由两对应角相等（，），证明． （2）当为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论． ①当点P在线段上时，如图1所示．由三角形相似（）关系计算的长；②当点P在线段的延长线上时，如图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段的中点，从而可以求出． 本题考查相似三角形的性质和判定，直角三角形两个锐角互余，勾股定理，等腰三角形的性质；解题的关键是根据定理进行证明． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵过点作的垂线交线段（如图1）或线段的延长线（如图2）于点， ∴ ， 在与中， ； （2）解：在中，，， 由勾股定理得：， ∵为钝角， ∴当为等腰三角形时，只可能是， ①当点P在线段上时，如题图1所示， 由（1）可知，， ∴，即， 解得： ∴ ②当点P在线段的延长线上时，如题图2所示， ∵， ∴ ∵，， ∴． ∴． ∴，点B为线段中点． ∴ 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或6． 13．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，由三角形的内角定理证明，即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质及等边三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ． ， ， ． ， ， ， ． （2）解：∵是等边三角形， ∴ ， ， ∴， ∴． 14．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，再根据同角的余角相等得到，从而可证明，利用相似三角形对应边成比例即可证明结论； （2）如图，在的延长线上取点，使，利用平行线的性质以及同角的补角相等证明，利用相似三角形对应边成比例即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，在的延长线上取点，使， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等边对等角，平行线的性质，同等的余角（或补角）相等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． （1）由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，可求出，由得出比例式，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$