第二十八章锐角三角函数热门考点整合课件 2024-2025学年人教版数学九年级下册

第二十八章热门考点整合 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1. 某火箭在一海域成功发射.如图，当火箭上升到点A处时，位于海平 面点R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭 距海平面的高度AL为（　A　） A. a sin θ千米 B. 千米 C. a cos θ千米 D. 千米 （第1题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2. 已知α，β是△ABC的两个角，且 sin α，tanβ是方程2x2－3x＋1＝0的 两个根，则△ABC是（　B　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形或钝角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3. 如图，一个钟摆的摆长OB为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角 ∠BOD最大为2α，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆 至最低位置时的高度之差AC为（　A　） A. （1.5－1.5 cos α）米 B. 米 C. （1.5－1.5 sin α）米 D. 米 （第3题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4. 在△ABC中，AB＝10，tanB＝ .如果△ABC的形状和大小都被确 定，那么线段AC的长度不可能为（　B　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5. 如图，在水平地面上有房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测 得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠DAC＝60°，在屋顶C 处测得∠DCA＝90°，BC＝5米，则树DE的高为（　C　） A. 6 米 B. 6 米 C. 5 米 D. 12 米 （第5题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6. 如图所示为某电影院中一个圆形影厅的示意图，AD是☉O的直径， 且AD＝30m，弦AB是圆形影厅的屏幕.若在点C处观众的视角∠ACB ＝45°，则AB的长为（　D　） A. 20m B. 15m C. 20 m D. 15 m （第6题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7. 如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE. 将菱形ABCD沿AE 翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（　D　） A. 4 B. 5 C. D. （第7题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10， 4），四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE＝ .若直线l把由矩形OABC和 菱形ABEF组成的图形分成面积相等的两部分，则直线l对应的函数解 析式为（　D　） A. y＝3x B. y＝－ x＋ C. y＝－2x＋11 D. y＝－2x＋12 （第8题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点P的坐标为 （－a，a）（a＞0），连接AP交y轴于点B. 若AB∶BP＝2∶1，则 sin ∠PAO的值是（　C　） A. B. C. D. （第9题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10. 如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，tan∠AOB＝ ，顶点A的坐 标为（0，10）.将Rt△OAB绕点O按逆时针方向旋转，每次旋转90°， 则第2024次旋转结束时，点B的坐标为（　A　） A. （3，9） B. （－9，－3） C. （9，－3） D. （－3，－9） （第10题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 二、 填空题（每小题4分，共20分） 11. 如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正切值为 ⁠. （第11题） 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12. 公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图，检测 点设在距离公路20m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用的时 间为2.7s.已知∠B＝45°，∠C＝30°，则这辆汽车从B处行驶到C处 的速度约为 km/h（参考数据： ≈1.7， ≈1.4）. （第12题） 72　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，且 tanα＝ .小强想求tan2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD， 则tan2α的值为 ⁠. （第13题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14. 如图，在△ABC中，AB＝BC，tanB＝ ，D为BC上一点，且满 足 ＝ ，过点D作DE⊥AD，交AC的延长线于点E，则 ＝ ⁠. （第14题） 　 15. BD为等腰三角形ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝ ， 则CD的长为 .　 2＋ 或2－ 或 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 三、 解答题（共50分） 16. （8分）如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4， cos ∠ABC＝ ，BF为边AD上的中线.求： （第16题） （1） AC的长. 解： ∵ AC⊥BD， cos ∠ABC＝ ＝ ，BC＝8， ∴ AB＝10.在Rt△ACB中， 由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （2） tan∠FBD的值. 解： 如图，连接CF，过点F作FE⊥BD于点E. ∵ BF为边AD上的中 线，即F为AD的中点，∴ CF＝ AD＝FD. 在Rt△ACD中，由勾股定 理，得AD＝ ＝ ＝2 ，∴ CF＝ .∵ CF＝ FD，FE⊥CD，∴ CE＝ CD＝2.在Rt△EFC中，由勾股定理，得 EF＝ ＝ ＝3，∴ tan∠FBD＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17. （8分）如图，A，B，C，D分别是某公园内的四个景点，B在A 的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的 北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2千米（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）. （第17题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （1） 求BC的长（结果精确到0.1千米）. 解： 如图，过点B作BE⊥AC于点E. ∵ ∠DAB＝90°，∠DAC＝ 30°，∴ ∠EAB＝60°，则∠EBA＝30°.∴ AE＝ AB＝1千米， BE＝ AE＝ 千米.∵ C在B的北偏西15°方向，∴ ∠EBC＝90° －30°－15°＝45°.∴ △EBC是等腰直角三角形.∴ CE＝BE＝ 千 米，则BC＝ BE＝ × ＝ ≈2.5（千米）. ∴ BC的长约为2.5千米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （2） 甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为D－C－ B，乙选择的路线为D－A－B. 请通过计算说明谁选择的路线较近. 解： 如图，过点C作CF⊥AD于点F. 由（1），知AE＝1千米， CE＝ 千米，∴ AC＝AE＋CE＝（1＋ ）千米.在Rt△ACF中， ∵ ∠CAF＝30°，∴ CF＝ AC＝ 千米，则AF＝ CF＝ 千米.∵ D在C的北偏西60°方向，∴ ∠DCF＝30°. ∴ DF＝ ＝ 千米，则CD＝2DF＝ 千米. ∴ AD＋AB＝ ＋ ＋2＝ ≈5.15（千米）； CD＋BC＝ ＋ ≈4.03（千米）. ∴ CD＋BC＜AD＋AB. ∴ 甲选择的路线较近. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18. （10分）当α，β为锐角且α＋β≠90°时，tan（α＋β）＝ ，利用此公式求解下列问题： （1） 求tan75°的值. 解： tan75°＝tan（30°＋45°）＝ ＝ ＝2＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （2） 若∠A，∠B为锐角且∠A＋∠B＝45°，求（1＋tanA）（1＋ tanB）的值. 解： 当∠A＋∠B＝45°时，tan（A＋B）＝ ＝1，即 tanA＋tanB＝1－tanAtanB. ∴ （1＋tanA）（1＋tanB）＝1＋ tanA＋tanB＋tanAtanB＝1＋1－tanAtanB＋tanAtanB＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （3） 求（1＋tan1°）（1＋tan2°）（1＋tan3°）…（1＋tan43°） （1＋tan44°）的值. 解： 由（2），可知（1＋tan1°）（1＋tan44°）＝（1＋tan2°）（1 ＋tan43°）＝…＝2，∴ 原式＝ ＝222. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 19. （12分）已知△ABC. （第19题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （1） 如图①，若 sin A＝0.8， sin C＝0.6，BC＝20，求AB的长. 解： 如图①，过点B作BH⊥AC于点H. ∵ sin C＝ ＝0.6，BC＝20， ∴ BH＝20×0.6＝12. ∵ sin A＝ ＝0.8， ∴ AB＝ ＝15. （第19题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （2） 如图②，△ABC是锐角三角形，求证：BC∶AC∶AB＝ sin A∶ sin B∶ sin C. 解： 如图②，过点B作BH⊥AC于点H，过点A作AD⊥BC于点D. ∵ sin ∠ABC＝ ， sin C＝ ，∴ sin ∠ABC∶ sin C＝ ＝ . 同理，可得 sin ∠BAC∶ sin C＝ .∴ BC∶AC∶AB＝ sin ∠BAC∶ sin ∠ABC∶ sin C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （第19题答案） （3） 如图③，△ABC是锐角三角形.若∠C＝2∠A，AC＝ BC，直 接写出 的值. 解： ＝ . [解析] 如图③，过点C作CE平分∠ACB，交AB于点E. ∵ AC＝ BC，∴ 设BC＝4x，则AC＝5x.∵ CE平分∠ACB， ∴ ∠ACE＝∠BCE. ∵ ∠ACB＝2∠A，∴ ∠ACE＝∠BCE＝∠A. ∴ AE＝CE. 又∵ ∠B＝∠B，∴ △CBE∽△ABC. ∴ ＝ ＝ . ∴ ＝ ＝ .∴ BE＝ CE. ∴ BE＝ AE，AB＝ AE. ∵ 易知BC·AC＝AB·CE，∴ 4x·5x＝ AE·AE. ∴ AE＝ x. ∴ AB＝6x.∴ 由（2）可知， ＝ ＝ .　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20. （12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点P在边BC 上，连接AP，以AP为边，作矩形APMN（点A，P，M，N按顺时针 方向排列），且矩形APMN∽矩形ABCD. （第20题） （1） 若CP＝5，求∠BAP的正弦值. 解： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ BC＝AD＝8，∠B＝90°.∵ CP＝5， ∴ BP＝3.∵ AB＝4，∴ AP＝ ＝5. ∴ sin ∠BAP＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （2） 在（1）的基础上，求点N到直线AD的距离. 解： 如图①，过点N作NQ⊥DA，交DA的延长线于点Q. ∵ 矩形 APMN∽矩形ABCD，∴ ＝ ＝2，∠NAP＝∠BAD＝90°. ∴ AN＝2AP＝10.∵ ∠QAB＝∠BAD＝∠NAP＝90°，∴ ∠QAN＝ ∠BAP. ∴ NQ＝AN· sin ∠QAN＝AN· sin ∠BAP＝10× ＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 （3） 当矩形APMN的一个顶点落在射线DB上时，求CP的长. 解： 如图②，当DB经过点N时，过点N作NQ⊥AD，交DA的延长线 于点Q. 由（2），知∠QAN＝∠BAP. ∵ ∠AQN＝∠ABP＝90°， ∴ △AQN∽△ABP. ∴ ＝ ＝2.∴ AQ＝2AB＝8.∵ tan∠ADB ＝ ＝ ＝ ，∴ NQ＝ DQ＝8.∴ AQ＝NQ. ∴ ∠BAP＝∠QAN ＝45°.∴ BP＝AB＝4.∴ CP＝BC－BP＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 如图③，当DB经过点M时，过点P作WP⊥BC，交AD于点W，交BD于点R，过点M作MV⊥WP，交WP的延长线于点V. ∵ AD∥BC， ∴ WP⊥AD. ∴ ∠V＝∠AWP＝90°.∴ ∠APW＋∠PAW＝90°. ∵ ∠APM＝90°，∴ ∠APW＋∠MPV＝90°.∴ ∠MPV＝∠PAW. ∴ △PMV∽△APW. ∴ ＝ ＝ ＝2.∴ 易得MV＝2PW＝ 2AB＝8，PV＝2AW. 设BP＝AW＝a，则PV＝2a.∵ 易得∠RMV ＝∠PBR＝∠BDA，∴ tan∠RMV＝tan∠PBR＝tan∠BDA. ∴ ＝ ＝ ＝ .∴ PR＝ BP＝ a.∴ ＝ . ∴ a＝ .∴ BP＝ .∴ CP＝BC－BP＝8－ ＝ . 综上所述，CP的长为4或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 $$