6.4.3 平面向量的应用 正余弦定理 十大题型归纳讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：余弦定理解三角形】 知识讲解 余弦定理 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即在中，角、、所对的边分别为、、，有： 余弦定理的证明 以下是一种基于向量的证明方法： 在中，设，，。 因为，所以。 那么。 根据向量数量积的定义，且，，可得。 同理可证，。 余弦定理在解三角形中的运用 已知三边求角：已知三角形的三边、、，可根据余弦定理的变形公式，，求出三个角、、。 已知两边及夹角求第三边：已知三角形的两边、及其夹角，可根据求出边。 1. 中线向量 定义与表示：在中，设BC边的中点为，则向量就是BC边上的中线向量。根据向量加法的平行四边形法则，有，所以 。 2. 三等点向量 靠近顶点的三等点向量：在中，设是BC边上靠近点的一个三等分点，即。那么，因为，所以。进而。 靠近底边的三等点向量：若是$BC$边上靠近点的一个三等分点，即，此时，，所以，。 应用：在涉及三角形内部分点的向量问题中，三等点向量的这些表达式可用于计算相关向量的模长、夹角等。例如在一个已知两边向量和的三角形中，求某个三等分点与顶点连线向量的长度，就可以先利用上述公式得到该向量的表达式，再通过向量模长公式求解。在一些复杂的几何问题中，当需要利用三角形内部分点的性质时，三等点向量也能帮助建立不同向量之间的联系，从而解决问题 例题精选 1．（24-25高三上·河南·阶段练习）在△ABC中，若，，，则边上的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先利用余弦定理求得的长，再利用三角形等面积法即可求得边上的高. 【详解】由余弦定理，得， 设边上的高为，则，解得. 故选：C. 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知及余弦定理求，再应用平方关系求正弦值. 【详解】由题设， 由三角形内角性质，知. 故选：B 3．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）在中，，且有，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】先由余弦定理求出，可得为直角三角形，由可得为的中点，进而由斜边上的中线等于斜边一半可得的长. 【详解】在中，由余弦定理可得， 则， 即，解得. 则由即，可得， 又，可知是的中点， 故即为斜边上的中线，则. 故选：D. 4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角的对边分别是，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理化角为边，再通过换元转化为分式函数，变形后利用基本不等式求最值求解可得. 【详解】由余弦定理得，代入得， ， 则，即， ， 令，， 则， 当且仅当时， ，即时等号成立， 此时，，即，为等腰直角三角形时， 取到最小值. 故选：B. 相似练习 5．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】由余弦定理求解即可； 【详解】由余弦定理可得， 解得， 所以， 故答案为：. 6．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知内角，，的对边分别为，，.已知，，，则 ． 【答案】3 【分析】结合三角形内角和、诱导公式与余弦定理计算即可得解. 【详解】由， 故， 则，故. 故答案为：3. 7．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）在中，，为的中点，，为上一点，且，则 ． 【答案】 【分析】取中点，连接，从而可得为中点，，再根据，可得，再由余弦定理及数量积的运算律求解即可. 【详解】解：取中点，连接，如图所示：    则有， 又因为， 所以，所以∥， 又因为为中点，所以为中点， 所以， 所以， 又因为为的中点，， 所以， 平方，得， 即， 解得， 在中，由余弦定理可得：， 所以， 在中，由余弦定理可得：， 将两边平方， 得， 所以. 故答案为： 三、解答题 8．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若，求的长. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)变形后利用余弦定理可求； (2)先将代入可得，再将代入得，联立方程组解得，由此将向量用表示，求解向量的模可得. 【详解】（1）由得， 则由余弦定理得， ，. （2）由，解得①， ，，则②， 联立①②可得，，或. ，， 则，且， 所以， 当时，，则长为； 当时，，则长为. 综上所述，的长为或. 【题型二：余弦定理在解三角形中的边角互化】 知识讲解 边角互化方法 边化角 余弦定理的基本形式为，，。在进行边化角时，直接将边的关系通过这些公式转化为角的余弦值关系。例如，已知，根据，可得，从而。 角化边 由余弦定理可得，，。当需要将角化为边时，把角的余弦值用这些边的表达式来替换。比如，若，则可得到，进一步得到，实现了将角的余弦值转化为边的关系。 例题精选 1．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及余弦边角关系可得，进而有，即可求目标函数值. 【详解】由题设，易知，又，则， 所以. 故选：C 2．（20-21高二上·福建莆田·期末）在中，角、、的对边分别为、、，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件及余弦定理的推论即可求解. 【详解】由，得， 由余弦定理的推理得， 又因为, 所以. 故选：C. 二、多选题 3．（23-24高一下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】将，变形为求解. 【详解】因为， 所以， 即， 因为，所以或， 故选：AC 相似练习 4．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用余弦定理和倍角公式得出或，结合角的范围及函数值可得答案. 【详解】依题可得，即，则或， 因为，所以或或． 故选：ACD 三、填空题 5．（23-24高三上·重庆渝北·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知，则角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理将角化为边，然后利用余弦定理公式进行求解. 【详解】由题意知：在中，， 根据正弦定理得：，化简得：， 即，由余弦定理可得， 又因为，所以 故答案为：. 四、解答题 6．（22-23高三上·海南·阶段练习）已知的内角 的对边分别为 ，. (1)求A； 【详解】（1）根据三角形面积公式有 , 因为，所以 ， 得 ， ，不适合该式，所以 ， 由，得. 【题型三：正弦定理解三角形】 知识讲解 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即（为三角形外接圆半径）。 正弦定理的证明过程 利用三角形外接圆证明 设的外接圆半径为，圆心为。连接BO并延长交圆于点，连接CD。 因为和所对的弧都是，根据同弧所对的圆周角相等，所以。 在中，，又因为，，所以，即。 同理可证，，所以。 利用三角形面积公式证明 已知三角形面积公式。 由，可得，两边同时除以abc，得到，即。 同理，由可证，所以。 正弦定理在解三角形中的应用 已知两角和一边解三角形 已知中、和边，由三角形内角和可求出，再根据正弦定理，可得，。 已知两边和其中一边的对角解三角形 已知、和，根据正弦定理，可得。 求出后，根据的取值范围确定的值，可能有一解、两解或无解的情况。再由求出，最后根据求出 例题精选 1．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知的内角的对边分别是，且，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】A 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理，，于是，结合， 于是. 故选：A 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，若，，，则角的大小为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理求得，由此求得角的大小. 【详解】由正弦定理得，即， 又因为，则， 所以或. 故选：D 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根据正弦定理可求的值． 【详解】∵， ∴由余弦定理， 则得， ∴解得：，或（舍去）， ∴由正弦定理可得：． 故选：B. 相似练习 4．（24-25高三上·全国·阶段练习）△ABC的三个内角、、所对的边分别为、、，若， ，则＝（      ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算得解. 【详解】由正弦定理得，所以. 故选：B 5．（24-25高三上·山东·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及和角的正弦公式、二倍角公式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得， 则， 而，因此， 所以. 故选：B 二、填空题 6．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）记的内角的对边分别为，，，已知，，则 ；若，，则 ． 【答案】 / 【分析】应用辅助角公式有，结合角的范围求，再应用正弦定理求. 【详解】因为， 所以， 故，又，可得， 根据正弦定理有，则. 故答案为：， 三、解答题 7．（23-24高一下·天津·阶段练习）根据下列条件解三角形： (1)，，； (2)，，； 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】根据正弦定理和余弦定理解三角形. 【详解】（1）因为，，所以. 由正弦定理得：， ，. （2）由余弦定理可得：，所以. ，所以，所以. 【题型四：正弦定理在解三角形中的边角互化】 知识讲解 利用正弦定理进行边角互化的方法 边化为角 正弦定理（为三角形外接圆半径），由此可得，，。当已知边的关系需要化为角的关系时，直接将边用上述式子进行替换。例如，在中，将边化为角可得，化简为。 角化为边 由正弦定理变形可得，，。若已知角的关系要转化为边的关系，就用这些式子进行替换。比如，已知，则可得，即。 边角互化的注意事项 定理使用条件 正弦定理适用于任意三角形，但在使用时要确保是在三角形的情境中，不能脱离三角形的基本条件和性质。 多解情况 在已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求角时，可能会出现多解的情况。例如已知，和，由求出后，因为，所以可能有两个值（为锐角或钝角），需要根据大边对大角等三角形的性质进行判断和取舍。 三角形内角和 要始终牢记三角形内角和为，即。在边角互化后进行计算或推导时，经常需要利用这个条件进行角度的转换和计算。比如求出和后，求时就可以利用。 化简与计算 在进行边角互化后的化简和计算过程中，要熟练运用三角函数的基本公式和运算规则，避免出现计算错误。例如，在利用两角和或差的正弦公式等进行化简时，要准确使用公式 例题精选 1．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）在中，设． (1)求； 【详解】（1） 由正弦定理得 ， 整理得：， 即：，又因为， 所以,又，所以； 2．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）记的内角，，的对边分别是，，，已知. (1)求； 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 化简得， 因为，即，所以， 得，因为， 所以，又， 所以. 3．（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若的面积为，且，求的周长． 【详解】（1）解法1：因为，由正弦定理得， 即， 因为，则，故； 解法2：因为，由余弦定理得， 整理得，可得， 由余弦定理可得. 相似练习 4．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）在中，角所对的边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若的面积为，的平分线交于点，且1，求的值. 【详解】（1）由正弦定理知，， 因为 所以， 又， 所以， 因为，，故，， 所以，故， 所以. 5．（24-25高三下·广东·开学考试）若中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角； (2)若，，求的面积. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，，则，整理得， 而，则，解得， 所以. 6．（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； 【详解】（1）由，得， 因为 ，所以, 则有： 移项可得： 因为 ， 所以. 【题型五：正弦定理判断三角形解的个数】 知识讲解 1.解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 已知中，和，根据正弦定理，可得，此时有以下几种情况： 因为大边对大角，所以，为锐角，此时有唯一解，三角形有一解。 ：由于正弦函数的值域是，所以此时无解，三角形无解。 ：则，三角形有一解。 ：可能为锐角，也可能为钝角。当时，三角形有一解；当时，三角形有两解。 例题精选 1．（23-24高一下·河南洛阳·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】只有已知两边及一边的对角时才可能有两解，还需通过正弦定理、三角形的性质判断． 【详解】对于选项A：已知两边及夹角，由三角形全等可知只有一解，故A错误； 对于选项B：由正弦定理可得， 所以无解，故B错误； 对于选项C：由正弦定理可得， 且，则，可知角B有两解，所以有两解，故C正确； 对于选项D：已知三边，根据的取值要么无解，要么只有一解，不可能有两解，故D错误． 故选：C． 二、多选题 2．（23-24高一下·云南昭通·期中）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（    ） A．，有两解 B．，有两解 C．，有两解 D．，有一解 【答案】BD 【分析】ABC选项，根据得到三角形有一解，由得到三角形有两解，D选项，由余弦定理得到唯一，故三角形有一解. 【详解】对A：由知，，所以三角形有一解，A错误； 对B：由，即，所以三角形有两解，B正确； 对C：由，即，故三角形为直角三角形，有一解，C错误； 对D：， 由余弦定理得，唯一，已知两边及其夹角知三角形有一解，D正确. 故选：BD． 3．（24-25高二上·广东汕头·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定2个三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】CD 【分析】利用正弦定理逐项判断确定三角形的个数. 【详解】对于A：因为两边及其夹角唯一确定一个三角形，所以A选项的条件可确定1个三角形； 对于B：由正弦定理可知，，无解， 故B选项的条件不能确定三角形； 对于C：由正弦定理可知，，又，即， 所以或，故C选项的条件可确定2个三角形； 对于D：由正弦定理可知，， 又，即，又易知，则有两个解， 故D选项的条件可确定2个三角形. 故选：CD 相似练习 【多选】4．（23-24高一下·江苏连云港·期中）记的内角，，的对边分别为，，，则满足下列选项的三角形有唯一解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出角即可判断A；利用余弦定理求出即可判断B；利用正弦定理判断C、D. 【详解】对于A：因为，所以，故有唯一解，故A正确； 对于B：因为，由余弦定理， 所以，故有唯一解，故B正确； 对于C：因为， 由正弦定理，即， 结合且知有解，则有解，故C错误； 对于D：因为，由正弦定理，即， 结合，可得，故只能取锐角，所以有唯一解，故D正确． 故选：ABD 三、填空题 5．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知的内角所对的边分别为，则使得有两组解的的值为 ．（写出满足条件的一个整数值即可）． 【答案】 【分析】先根据正弦定理表示出，再根据三角形有两组解的条件确定的取值范围，从而得出满足条件的的整数值. 【详解】由正弦定理，已知，， 可得. 因为，，要使有两组解，则有两个值. 要使有两个值，则且，即. 所以满足条件的一个整数值. 故答案为： 6．（23-24高一下·山东济南·期中）在中，角，，的对边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由正弦定理可得，依题意可得且，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】由正弦定理可得，即， 因为三角形有两解，所以且，则，即，所以， 即的取值范围是. 故答案为： 【题型六：通过正弦余弦定理判断三角形的形状】 知识讲解 利用正弦定理判断 角化边 根据正弦定理（为三角形外接圆半径），可得，，。将三角形中的角的正弦值都用边来表示，代入已知条件进行化简。若化简后得到，则三角形为等腰三角形；若得到，则为等边三角形等。 边化角 由正弦定理将边化为角，如，，。若化简后得到，因为，所以，三角形为等腰三角形；若得到，则，三角形为等边三角形；若得到，根据正弦定理及勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形。 利用余弦定理判断 判断边的关系 余弦定理，，。若已知三边关系，可直接代入余弦定理求出角的余弦值，进而判断角的大小。若，则，，三角形为直角三角形；若，则，为钝角，三角形为钝角三角形。 判断角的关系 若已知角的关系，可根据余弦定理将角化为边。例如，若，根据余弦定理，化简可得，即或，则三角形为等腰三角形或直角三角形。 综合运用正弦定理和余弦定理 在一些复杂的问题中，需要同时运用正弦定理和余弦定理来判断三角形的形状。例如，已知，先用正弦定理将边化为角，得到，即，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形。 【边化角易错点】 角的取值范围考虑不全：由得出时，默认了，是三角形的内角，且在范围内。但如果没有明确说明，是三角形内角，可能会出现多解情况。例如等情况在三角函数意义上也是的解，但在三角形中不成立。 忽略诱导公式：当得到如时，只得出，而忽略了这种情况，这是因为正弦函数的性质，导致遗漏三角形为直角三角形的情况。 利用余弦定理判断 判断边的关系易错点 余弦定理公式记忆错误：余弦定理等三个公式容易记混，尤其是这一项的符号和系数，记错会导致后续计算错误。 判断钝角三角形时忽略其他角：当根据得出为钝角，判断三角形为钝角三角形时，不能忽略对其他角的判断。有可能存在其他角也为钝角的情况（虽然在三角形中最多只能有一个钝角，但从严谨性角度需要考虑），或者在判断过程中出现计算错误导致误判。 【附加正切公式判断】 钝角三角形 若、、中有一个值小于，不妨设，则，是钝角三角形。 若，根据三角形内角和为，即，所以。因为、、是三角形内角，所以、、中必有一个小于，是钝角三角形。 锐角三角形 若，，，则、、均为锐角，是锐角三角形。 若，结合前面，可得，因为（若和都大于，其和必然大于），所以，则、同号，又因为，所以、、都大于，是锐角三角形。 例题精选 1．（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】根据余弦定理进行转化，判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理，， 因为，所以. 故选：A 2．（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 【答案】D 【分析】利用余弦定理将等式整理得到，对或分类讨论即可判断． 【详解】由， 由余弦定理得， 化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确． 故选：D． 3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）记为的内角的对边，则“为直角三角形”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦化简确定三角形形状，再利用充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】在中，由及正弦定理，得 ，则， 而，则，两边平方整理得，而， 于是，，因此为直角三角形； 反之，为直角三角形，或或， 所以“为直角三角形”是“”的必要不充分条件，B正确. 故选：B 相似练习 二、多选题 4．（23-24高一下·湖北·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则一定为锐角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则 D．若，，，则有两解 【答案】AC 【分析】对于A选项，利用三角形的内角和定理和两角和的正切公式即可判断； 对于B选项，利用向量的数量积的定义即可判断； 对于C、D选项，利用正弦定理及大边对大角即可判断. 【详解】对于A选项，在中，， 则， 所以， 因为三角形中最多只有一个钝角，所以，即三个角都为锐角，故A正确； 对于B选项，因为，所以，所以为锐角，但无法判断角和角，故B错误； 对于C选项，在中，由及正弦定理，得，根据三角形大边对大角的性质知，故C正确； 对于D选项，由正弦定理得， 又由得，因此有一解，故D错误． 故选：AC. 三、填空题 5．（21-22高一下·广西北海·期末）在中，角A，，的对边分别为，，，且，则的形状为 三角形． 【答案】直角 【分析】根据正弦定理，角化边，可得，由此可判断三角形形状. 【详解】根据正弦定理得，则， 为直角三角形． 故答案为：直角 6．（23-24高三上·广东广州·开学考试）在中，，则的形状为 三角形． 【答案】直角 【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式、余弦定理化简作答. 【详解】在中，由，得，即， 由余弦定理得，整理得， 所以是直角三角形. 故答案为：直角 【题型七：正弦定理余弦定理的综合应用】 知识讲解 正弦定理的运用 角化边或边化角：对于已知条件中含有角的正弦值与边的关系的情况，可利用正弦定理（为三角形外接圆半径）进行角化边或边化角，以便进行后续计算。 求边或角：已知两角和一边，求其他边时，可根据正弦定理列出等式求解。例如，已知、和，由可求出。 余弦定理的运用 求边：当已知两边及其夹角，求第三边时，使用余弦定理。例如，已知、和，可求出。 求角：已知三边求角时，可通过余弦定理的变形公式来计算角的大小。 逐步求解其他三角形 传递已知条件：将已求出的三角形的边和角的信息，作为已知条件代入与之相关的其他三角形中。 重复运用定理：按照上述正弦定理和余弦定理的运用方法，继续求解其他三角形的未知边和角，直到所有三角形的未知元素都被求出 【注意角度关系在定理中的运用】 正弦定理中角度关系：在正弦定理中，若已知两个角和的关系，比如，可将转化为，再根据两角和的正弦公式展开，结合已知条件进行求解。 余弦定理中角度关系：在余弦定理中，如果与其他三角形中的角存在关系，如（、是另一个三角形中的角），那么，然后利用两角和的余弦公式展开，再代入余弦定理进行计算。 逐步求解其他三角形 角度传递与转化：在求解过程中，要善于将一个三角形中求出的角度关系传递到其他三角形中。例如，若在一个三角形中求出，且该角与另一个三角形中的互余，则可得出。 利用两角和差公式求角：当遇到需要求某个角的度数，但不能直接通过正弦定理或余弦定理得出时，可考虑利用两角和差公式。比如已知和的值，且、与要求的角存在和差关系，如要求的角，则可根据，先求出和的值，再计算的值，进而确定的度数。 例题精选 1．（2025·江西·一模）如图，在中，的平分线与AB交于点，. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理结合二倍角的余弦公式求解余弦值即可. （2）利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系求出，再依据求出的长度，再利用余弦定理求出，最后用正弦定理求解结果即可. 【详解】（1）如图，在中，由题意得， 设，则，， 则由余弦定理得， 因为是的平分线，所以，， 由二倍角公式得. （2）由（1）知，易得， 所以， 由余弦定理得， 结合诱导公式得， 在中，由正弦定理得， 因为，所以，， 由余弦定理得， 因为，所以，由正弦定理得. 2．（2025高三·全国·专题练习）在中，为边上一点，已知，，． (1)若，求的值； (2)若，求边的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，根据三角形的内角和定理可求出，利用余弦定理求出，然后利用正弦定理可求得的值； （2）利用正弦定理结合化简得出，即，结合两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系可求得、的值，进而可得出、的值，再由正弦定理可求得、的长，由此可求得的长. 【详解】（1）设，则，因为，所以，即， 所以，    在中，由余弦定理， 所以， 再由正弦定理，所以． （2）在中，由正弦定理，即，同理， 因为，所以，即， 化解得，于是， 即，即， 因为，所以，， 从而，， 再由正弦定理，得， 所以，，故． 3．（2025·福建厦门·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)设D为边AB的中点，若，且，求a． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得. （2）利用和角的正弦公式，正弦定理及余弦定理求解即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 即，即， 而，即，则，又， 所以. （2）依题意，，则，或， 当时，由， 得， 在中，由正弦定理得，，则， 在中，由余弦定理得， 因此， 当时，， ，， 所以或. 相似练习 4．（24-25高三上·山东青岛·期末）记的内角的对边分别为，已知 ． (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，利用和角的正弦公式求解即得； （2）利用正弦定理用表示，再用余弦定理列出方程求解. 【详解】（1）由，可得, 则， 整理得， ，， 因此，又， 所以. （2）因为是上靠近的三等分点，且， 则，，， 在中，由正弦定理得， 在中，由余弦定理可得， 即，即， 故. 5．（2024·全国·一模）已知在锐角中，内角的对边分别为，且满足 (1)求； (2)若，点在延长线上，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理将角化为边，再用余弦定理即可求出角B的值 （2）利用正弦定理先求出，进而得到，再利用余弦定理即可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理，得， 由余弦定理，得，所以． 因为为三角形内角，所以． （2）在中，由正弦定理，得， 所以． 因为为锐角三角形，所以．所以． 在中，由余弦定理，得， 所以，所以． 所以． 6．（2025·黑龙江·模拟预测）在锐角中，，， (1)求； (2)若为的中点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理即可得到答案. （2）先由余弦定理求得，或，再利用余弦定理即可求得结果，将不符合题意的舍去即可. 【详解】（1），， 由正弦定理得：，，             又因为为锐角，. （2）在中由余弦定理得： ，或     若，则，则为钝角，舍去             ，因为为中点， 在中，              在中， 【题型八：射影定理及应用】 知识讲解 射影定理内容 在任意三角形ABC中，设角、、所对的边分别为、、，则有： 1. 2. 3. 射影定理的证明 1. 利用余弦定理证明 · 对于，由余弦定理，。 · 则 对其化简： · 同理可证和。 例题精选 1．（2022·山西临汾·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为 . 【答案】/0.75 【分析】利用三角形射影定理结合正弦定理可得，再由和角的正切公式，配方变形即可计算作答. 【详解】在中，由射影定理及得：， 由正弦定理边化角为：，于是得， 由得，，即角是钝角，， ， 当且仅当，即时取“=”， 所以tanA的最大值为. 故答案为： 2．（24-25高二下·陕西西安·开学考试）已知的内角为所对应的边分别为，且．则角的大小为 . 【答案】 【分析】由正弦定理得，由三角形内角的关系得. 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 故答案为：. 相似练习 3．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）在中，内角的对边分别是，若，且，则 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理得， 则, 于是，而，则，又，因此， 所以. 故答案为： 4．（2024·广西柳州·模拟预测）已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则 ． 【答案】 【分析】由正弦定理及三角形中角之间的关系可得的值，再由角C的范围，可得角C的大小；再由，可得，由此即可求出结果． 【详解】因为， 由正弦定理可得， 可得， 在三角形中，，且， 所以，，所以，所以， 因为，所以， 所以． 故答案为： 【题型九：求三角形中的面积或周长】 知识讲解 基于两边及其夹角的三角形面积公式 1. 公式表述：，其中、为三角形的两边，为与的夹角。同理，根据三角形不同边与角的对应关系，该公式还可表示为或。 2. 推导过程 · 以为例，假设在中，边，，为与的夹角。 · 过点作于点，在中，，因为，所以。 · 而三角形的面积，将，代入可得。 其他常用的面积公式： 1. 已知底和高：，其中为三角形的底边，是这条底边对应的高。这是最基础的三角形面积公式 2. 已知三边：海伦公式，这里、、是三角形的三边，为半周长。 3. 已知外接圆半径：，其中、、为三角形三边，为三角形外接圆半径。 4. 已知内切圆半径：，其中是半周长，为三角形内切圆半径。 已知面积、两边及夹角求周长思路分析 1. 求面积： 当已知三角形的两边、及它们的夹角时，根据面积公式，可直接代入数据求出三角形的面积。这一步利用了正弦函数与三角形两边及其夹角的关系，通过简单乘法运算得出面积。 2. 求第三边： 接着，利用余弦定理。此定理建立了三角形三边与一个内角余弦值的等式关系。已知、、，将其代入该公式，先计算出的值，然后对其开平方（因为边长），从而得到第三边的长度。 3. 求周长： 最后，三角形的周长，将前面求出的、以及刚得到的相加，就能得出三角形的周长。 例题精选 1．（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，角的对边分别是，． (1)求； (2)若，的面积是，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理即可求； （2）根据三角形面积求得，再利用余弦定理求得，即可求得答案. 【详解】（1）由题意在中，得， 故 ， 由于，所以. （2）由（1）及题意可知的面积是，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 于是的周长为. 2．（2025·广西·一模）记内角的对边分别为，已知， (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出角，进而求出. （2）利用和角的正弦及正弦定理、三角形面积公式计算得解. 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 解得，而，则，由，得， 又，所以. （2）由（1），得， 由正弦定理得， 所以的面积为 3．（2025·黑龙江·一模）已知中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由正弦定理进行边角互化，再利用二倍角的正弦公式结合特殊角的三角函数关系即可求得答案； （2）由为的中点得，左右平方实数化可得边，再利用三角形的面积求解即可. 【详解】（1）由正弦定理，得， 又，所以，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，解得，即. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得到， 又，， 所以，整理可得， 解得或（舍去） 所以的面积. 相似练习 4．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）在中，角所对的边分别为为边的中点，，且. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过正弦定理和余弦定理建立等式，求解出边的值； （2）利用角的关系和余弦定理建立方程，联立求解出线段长度，进而求出的三角函数值，最后根据三角形面积公式求出三角形面积。 【详解】（1）由正弦定理，， 由余弦定理，， 所以，即，解得. （2）设， 因为，所以， 解得， 在中，， 联立方程得，解得，， 所以，， . 5．（河北省秦皇岛市部分重点中学2025届高三下学期抽测数学试题）记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若的周长为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合三角函数公式求出角； （2）先根据已知条件求出三边长度，再利用余弦定理求出的值，最后根据三角形面积公式求出面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，. 将其代入中，得到. 因为，所以，可得. 根据二倍角公式则. 因为，所以，，得到，即. 所以，则. （2）因为，又， 所以，. 由余弦定理得， 又因为， 故，解得. 则，所以. 所以. 【第二问分成两个三角形面积】6．（2025·福建泉州·一模）四边形中，． (1)求； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一，根据余弦定理求边和，再根据正弦定理求；方法二：中，利用正弦定理，求，再根据两角和的正弦公式，即可求解； （2）方法一：根据平行线的性质，以及余弦定理求，再分别求和的面积，即可求解；方法二：同样先求，再求梯形的高，即可求解. 【详解】（1） 解法一：在中，， 由， 即，整理得， 得或（舍） 又， 由，即 解得． 解法二：在，由， 得， 故， （2）方法一：因为，所以， 在中，由余弦定理，得， 故， 在中，由， 即，整理得， 解得（舍去）或， 在中， 由可得，， 故四边形的面积为． 方法二：因为，所以， 由（1）可得， 在中，由， 即，整理得， 解得（舍去）或， 在中，边上的高为， 故四边形的面积为． 【题型十：解三角形的实际应用】 知识讲解 常见应用场景 1. 测量距离 · 两点间不可直接到达的距离：例如，要测量一条河流两岸 A、B 两点间的距离。由于河水阻隔无法直接测量，可在河的一侧选取一点 C，测量出 AC、BC 的长度以及∠ACB 的大小。然后利用余弦定理，即可求出 AB 的距离。 · 两点间视线受阻的距离：当测量两个建筑物之间被其他障碍物阻挡视线的距离时，可通过在不同位置测量角度和距离，构建三角形来求解。如在两个建筑物所在平面外一点 P，分别测量出点 P 到两建筑物底部 A、B 的距离 PA、PB，以及∠APB，同样借助余弦定理算出 AB 的距离。 2. 测量高度 · 底部可到达的物体高度：对于如旗杆、树木等底部可到达的物体，在距离底部一定距离的地方，测量出观测点到物体底部的距离，以及观测物体顶部的仰角。假设观测点到旗杆底部距离为 a，仰角为 α，根据正切函数关系，旗杆高度 h = a・tanα。 · 底部不可到达的物体高度：当测量如山顶上的塔、远处的高楼等底部不可到达的物体高度时，通常需要在两个不同位置测量仰角和这两个位置之间的距离。例如，在山脚下的 A、B 两点测量山顶塔尖的仰角分别为 α、β，AB 之间距离为 d。设塔高为 h，山高为 H，可通过构建两个直角三角形，利用三角函数关系联立方程求解。 3. 航海问题 · 确定船只位置：在茫茫大海上，船只可通过测量与已知灯塔、海岛等标志物的方位角和距离来确定自身位置。如船只在航行过程中，测量到灯塔在其北偏东 30° 方向，距离为 10 海里，再测量另一个海岛在其南偏东 60° 方向，距离为 8 海里，通过构建三角形，利用正弦定理或余弦定理确定船只的准确位置。 · 计算航行距离和方向：船只从一个港口驶向另一个港口，已知出发港口与目的港口的位置，以及航行过程中的航向和速度等信息，可通过解三角形计算出实际航行的距离和到达目的港口所需的时间。例如，一艘船从港口 A 出发，航向为北偏西 45°，速度为 15 节（1 节 = 1 海里 / 小时），已知港口 B 在港口 A 的西偏北 30° 方向，距离为 50 海里，通过解三角形求出船到达港口 B 所需的时间。 涉及定理 1. 正弦定理：（R 为三角形外接圆半径）。在实际应用中，当已知三角形的两角和一边，或者已知两边和其中一边的对角时，常使用正弦定理求解其他边和角。例如在测量距离问题中，如果测量出两个角度和一条边，就可以利用正弦定理求出其他边的长度。 2. 余弦定理：，，。当已知三角形的三边，或者已知两边及其夹角时，余弦定理可用于求解三角形的其他元素。在测量距离、航海等问题中，很多情况下都是已知三角形的一些边和角的信息，通过余弦定理可以准确计算出未知的边和角。 解题关键步骤 1. 分析题意，构建三角形：仔细阅读题目，理解实际问题的背景和要求，将实际问题中的相关信息转化为三角形的边和角。确定哪些是已知量，哪些是未知量，并明确它们在三角形中的位置。 2. 选择合适的定理：根据已知条件和所求问题，判断使用正弦定理还是余弦定理，或者两者结合使用。若已知两角和一边，优先考虑正弦定理；若已知三边或两边及其夹角，则优先使用余弦定理。 3. 进行计算求解：将已知数据代入选定的定理公式中，进行准确的计算。在计算过程中，要注意三角函数值的准确性，以及运算顺序和精度。 例题精选 1．（23-24高一下·安徽黄山·期中）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，在中，利用正弦定理求解. 【详解】设，则，且， 在中，， ∴，即， 解得． 故选：B． 2．（24-25高三上·山东泰安·期中）某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，楼顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为，则估算黄鹤楼的高度CD为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理及直角三角形边界关系求得正确答案. 【详解】在中，， 在中，，， 所以， 由正弦定理， 得， 在中，. 所以估算黄鹤楼的高度CD为. 故选：C 3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为26，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为（    ） A．64 B．74 C．52 D．91 【答案】C 【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度. 【详解】在中，， ，， 在中，， 由，， 在中，m. 故选：C. 相似练习 4．（23-24高一下·四川内江·期末）内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔.它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工.三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神.内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点与与塔底在同一水平面，并测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（    ） A．米 B．米 C．米 D．60米 【答案】D 【分析】由正弦定理求得米，结合锐角三角函数即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为米，所以在三角形中，由正弦定理得，解得米， 在直角三角形中，米. 故选：D. 5．（23-24高一下·河北沧州·期末）河北定州开元寺塔是世界上现存最高的砖木结构古塔（如图），著名古建专家罗哲文誉其为“中华第一塔”．为了测量开元寺塔的高度，一研究小组选取了与该楼底部O在同一水平面内三个共线的测量基点A，B，C，分别测得塔顶P点的仰角为，，，且，示意图如图，则该塔高（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，，，在和利用余弦定理列方程，然后由，可得，从而可求出. 【详解】设，由在点A，B，C处分别测得塔顶P点的仰角为，，， 则，，， 在，由余弦定理知， 中，由余弦定理知， 因为A，B，C三点共线．所以， 则．解得， 故选：D． 6．（23-24高二下·湖北宜昌·阶段练习）湖北武汉的黄鹤楼是中国古代四大名楼之一，因唐代诗人崔颢的《黄鹤楼》而名扬天下，小张同学打算利用镜面反射法测量黄鹤楼的高度.如图所示，小张将平面镜置于黄鹤楼前的水平地面上，他后退至从镜中正好能看到楼顶的位置，测量出人与镜子的距离.沿直线将镜子向后移距离，再次从镜中观测楼顶，并测量出此时人与镜子的距离.若小张的眼睛距离地面的高度为，则黄鹤楼的高度可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意由三角形相似解出，再由图形，解出即可. 【详解】 如图，由知：，即， 由可知，即， 则，可得. 故选：A. 二、填空题 7．（23-24高一下·浙江宁波·期中）“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理计算可得，结合计算即可求解. 【详解】因为，，所以， 在中，由正弦定理可得， 则， 在直角三角形中，， 所以． 故答案为：． 【补充知识：二倍角公式推导应用】 知识讲解 在中，已知，求证。 证明思路 由余弦定理，将即代入可得。 再根据正弦定理（为外接圆半径），，，，将化为。 因为，，，将其代入上式并化简可得，即。 因为，所以，即 【法二】证明过程： 1. 由正弦定理（为外接圆半径），可得，，。 已知，将上述正弦定理代入可得：。 两边同时约去，得到。 2. 因为，所以，那么。 将代入中，得到。 3. 根据三角函数的平方关系，对和进行转化： 。 两边同时乘以，得到。 移项可得。 4. 再根据三角函数的和差化积公式，对进行变形： 。 因为，所以，则，两边同时除以，得到，即。 5. 由于，那么，在这个区间内，所以，即。 综上，在中，当时，得证。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）在中，内角所对各边分别为，且，则角（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽·期末）在中，内角所对的边分别为，且满足，则（    ） A． B． C． D．2 3．（2025·四川南充·二模）已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，.则（   ） A．2 B．3 C． D． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 二、多选题 5．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（   ） A．的周长为12 B． C． D． 6．（21-22高一下·山东青岛·期中）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．的面积为 C．的周长为 D．外接圆半径为 7．（23-24高一下·福建宁德·期末）已知三个内角的对应边分别为，且，则（ ） A．若，则 B．若，则在上投影向量的模长为1 C．若，，则角有两解 D．若，则 三、填空题 8．（2025·吉林延边·一模）在中，角的对边分别为，，，且的周长为，则角为 . 9．（24-25高三下·河南·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且，则 ． 四、解答题 10．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）在中，. (1)求角； (2)若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积. 11．（24-25高三上·山东枣庄·期末）在中，为钝角，. (1)求； (2)若，求的面积. 12．（23-24高一下·福建福州·期末）在四边形 中，，，，. (1)求和; (2)求. 13．（22-23高二下·福建厦门·期末）如图，在平面四边形中，已知，，，点在上且，，.    (1)求的值： (2)求的面积. 14．（21-22高一下·福建莆田·期末）在①；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 问题：已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，且___． (1)求b的值； (2)若，求△ABC外接圆的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 2024-2025高一下学期数学重难点题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C D B BC BC ACD 1．A 【分析】利用余弦定理结合给定条件得到，再依据三角形中角的范围求解即可. 【详解】因为，且由余弦定理得， 所以，解得，而在中，，则，故A正确. 故选：A． 2．C 【分析】利用余弦定理求出，即可求出，再由二倍角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 由余弦定理得， ，， ，则. 故选：C. 3．D 【分析】根据已知条件，利用三角形的内角和性质，利用两角差的正弦公式求得角，进而利用正弦定理得解. 【详解】由于三角形的内角和为，即：,已知，所以：， 代入到中，得到：， 展开并化简：,即， 整理得到：，即， 根据正弦定理：,即. 故选：D. 4．B 【分析】应用正弦定理判断满足条件的三角形个数即可. 【详解】． 满足条件的三角形有2个． 故选：B. 5．BC 【分析】利用同角公式及余弦定理求解判定即可. 【详解】对于B，由为锐角，且，得，B正确； 对于AC，由余弦定理得， 得，则，A错误，C正确； 对于D，由余弦定理得，D错误. 故选：BC 6．BC 【分析】由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简或，即；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论． 【详解】，，可得，可得外接圆半径，故D错误； 因为， 所以， 所以， 所以， 当时，即，所以，，可得； 当时，即，由正弦定理得；故A不一定成立； 当时，此时，，，所以，， 所以的周长为：，的面积为：； 当时，，，，解得，， 所以的周长为：，的面积为：； 故BC一定成立. 故选：BC. 7．ACD 【分析】对于A,画出图形根据三点共线的向量表达式判断； 对于B，用投影向量的模长公式计算判断； 对于C，画出图形，求出高线，比较大小来判断解的个数； 对于D，用数量积和余弦定理综合考虑即可判断. 【详解】对于A,如图所示， ，根据三点共线的向量表达式得到.故A正确. 对于B，在上投影向量的模长为．故B错误. 对于C，如图所示，求得，则有两组解,故C正确. 对于D，，则为钝角，则，即， 即，故，故D正确． 故选：ACD. 8． 【分析】由题意知，先根据正弦定理边化角，再利用余弦定理求出角即可. 【详解】由题意知，， 由正弦定理得，，即，所以， 由余弦定理得，， 又，所以. 故答案为：. 9． 【分析】利用余弦定理、正弦定理角化边求解即得. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 由正弦定理得. 故答案为： 10．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，进而根据和差角公式可得，即可求解； （2）根据余弦定理，结合题中条件可得，，再由余弦定理求解（ⅰ），利用三角形面积公式求解（ⅱ）. 【详解】（1）因为，即， 由正弦定理可得， ， 即，可得， 且，则，可得， 又因为，所以. （2）（ⅰ）∵，由余弦定理，，又∵（*）， 整理得：，即，代入（*）可得， 由余弦定理，； （ⅱ）∵，由（ⅰ）得：， 解得， ∴. 11．(1) (2) 【分析】（1）先应用二倍角余弦公式计算结合正弦定理计算求解即可； （2）应用正弦定理结合两角和正弦求解，最后应用面积公式计算. 【详解】（1）因为，又， 所以，又， 所以. 在中，由正弦定理得， 因为，所以. 因为为钝角， 所以. （2）因为， 所以. 由（1）知， 所以. 又 所以. 12．(1)； (2) 【分析】（1）在中应用正弦定理求出，根据三角形内角性质即可求出，由可求出； （2）中应用余弦定理求即可. 【详解】（1）在中由正弦定理得：， 因为，， 故， 又，则. 所以 （2）由，， 故， 因为， 所以在中由余弦定理得：， 故. 13．(1) (2) 【分析】（1）中利用正弦定理即可求得的值，利用余弦定理求得，再求出，从而求出； （2）依据两角和公式求得，再求出，在中求出，即可求出的面积． 【详解】（1）因为，点在上且，所以，， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 由余弦定理得， 所以， 所以； （2）因为 ， 显然为锐角，所以， 在中，，，解得， 所以的面积为. 14．(1)条件选择见解析， (2) 【分析】（1）解法一：选①,由正弦定理结合诱导公式化简，可求出b的值； 解法二：选②，由正弦定理结合两角和的正弦定理化简，可求出b的值； 解法三：选③由正弦定理化简，可求出b的值； （2）解法一：由，得出，对其两边同时平方可求出， 再由余弦定理求出，可求出外接圆的半径，即可求出答案. 解法二：因为，所以设，在△ABD，△ACD中，由余弦求出，在△ABC中，由余弦定理得，两式求解可得出，求出，可求出外接圆的半径，即可求出答案. 【详解】（1）（1）解法一：选①． 所以 ． ， 又，所以， 由正弦定理得． 因为，所以 解法二：选②． 所以由正弦定理得． 所以． 所以． 因为，所以 又因为，所以． 解法三：选③． 在△ABC中，由正弦定理． 得． 因为，所以． 因为，所以． （2）解法一：因为，所以， 即， 所以， 所以． 又，所以，解得或，又，所以． 在△ABC中，由余弦定理得 ，所以． 由正弦定理得，所以． 所以△ABC外接圆的面积． 解法二：因为，所以设，则，，在△ABD中，由余弦定理得， 即①． 在△ACD中，由余弦定理得， 即，②． 由①×2＋②得：，又，所以．③ 在△ABC中，由余弦定理得 ． 又，所以．④ 由③④解得，所以 在△ABC中，由正弦定理得，所以． 所以△ABC外接圆的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一下学期数学常考题型归纳 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：余弦定理解三角形】 知识讲解 余弦定理 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即在中，角、、所对的边分别为、、，有： 余弦定理的证明 以下是一种基于向量的证明方法： 在中，设，，。 因为，所以。 那么。 根据向量数量积的定义，且，，可得。 同理可证，。 余弦定理在解三角形中的运用 已知三边求角：已知三角形的三边、、，可根据余弦定理的变形公式，，求出三个角、、。 已知两边及夹角求第三边：已知三角形的两边、及其夹角，可根据求出边。 1. 中线向量 定义与表示：在中，设BC边的中点为，则向量就是BC边上的中线向量。根据向量加法的平行四边形法则，有，所以 。 2. 三等点向量 靠近顶点的三等点向量：在中，设是BC边上靠近点的一个三等分点，即。那么，因为，所以。进而。 靠近底边的三等点向量：若是$BC$边上靠近点的一个三等分点，即，此时，，所以，。 应用：在涉及三角形内部分点的向量问题中，三等点向量的这些表达式可用于计算相关向量的模长、夹角等。例如在一个已知两边向量和的三角形中，求某个三等分点与顶点连线向量的长度，就可以先利用上述公式得到该向量的表达式，再通过向量模长公式求解。在一些复杂的几何问题中，当需要利用三角形内部分点的性质时，三等点向量也能帮助建立不同向量之间的联系，从而解决问题 例题精选 1．（24-25高三上·河南·阶段练习）在△ABC中，若，，，则边上的高为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）在中，，且有，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D．1 4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角的对边分别是，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 相似练习 5．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则 ． 6．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知内角，，的对边分别为，，.已知，，，则 ． 7．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）在中，，为的中点，，为上一点，且，则 ． 三、解答题 8．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若，求的长. 【题型二：余弦定理在解三角形中的边角互化】 知识讲解 边角互化方法 边化角 余弦定理的基本形式为，，。在进行边化角时，直接将边的关系通过这些公式转化为角的余弦值关系。例如，已知，根据，可得，从而。 角化边 由余弦定理可得，，。当需要将角化为边时，把角的余弦值用这些边的表达式来替换。比如，若，则可得到，进一步得到，实现了将角的余弦值转化为边的关系。 例题精选 1．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高二上·福建莆田·期末）在中，角、、的对边分别为、、，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 相似练习 4．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高三上·重庆渝北·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知，则角的大小为 ． 四、解答题 6．（22-23高三上·海南·阶段练习）已知的内角 的对边分别为 ，. (1)求A； 【题型三：正弦定理解三角形】 知识讲解 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即（为三角形外接圆半径）。 正弦定理的证明过程 利用三角形外接圆证明 设的外接圆半径为，圆心为。连接BO并延长交圆于点，连接CD。 因为和所对的弧都是，根据同弧所对的圆周角相等，所以。 在中，，又因为，，所以，即。 同理可证，，所以。 利用三角形面积公式证明 已知三角形面积公式。 由，可得，两边同时除以abc，得到，即。 同理，由可证，所以。 正弦定理在解三角形中的应用 已知两角和一边解三角形 已知中、和边，由三角形内角和可求出，再根据正弦定理，可得，。 已知两边和其中一边的对角解三角形 已知、和，根据正弦定理，可得。 求出后，根据的取值范围确定的值，可能有一解、两解或无解的情况。再由求出，最后根据求出 例题精选 1．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知的内角的对边分别是，且，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，若，，，则角的大小为（   ） A． B． C． D．或 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 4．（24-25高三上·全国·阶段练习）△ABC的三个内角、、所对的边分别为、、，若， ，则＝（      ） A．2 B． C． D．3 5．（24-25高三上·山东·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）记的内角的对边分别为，，，已知，，则 ；若，，则 ． 三、解答题 7．（23-24高一下·天津·阶段练习）根据下列条件解三角形： (1)，，； (2)，，； 【题型四：正弦定理在解三角形中的边角互化】 知识讲解 利用正弦定理进行边角互化的方法 边化为角 正弦定理（为三角形外接圆半径），由此可得，，。当已知边的关系需要化为角的关系时，直接将边用上述式子进行替换。例如，在中，将边化为角可得，化简为。 角化为边 由正弦定理变形可得，，。若已知角的关系要转化为边的关系，就用这些式子进行替换。比如，已知，则可得，即。 边角互化的注意事项 定理使用条件 正弦定理适用于任意三角形，但在使用时要确保是在三角形的情境中，不能脱离三角形的基本条件和性质。 多解情况 在已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求角时，可能会出现多解的情况。例如已知，和，由求出后，因为，所以可能有两个值（为锐角或钝角），需要根据大边对大角等三角形的性质进行判断和取舍。 三角形内角和 要始终牢记三角形内角和为，即。在边角互化后进行计算或推导时，经常需要利用这个条件进行角度的转换和计算。比如求出和后，求时就可以利用。 化简与计算 在进行边角互化后的化简和计算过程中，要熟练运用三角函数的基本公式和运算规则，避免出现计算错误。例如，在利用两角和或差的正弦公式等进行化简时，要准确使用公式 例题精选 1．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）在中，设． (1)求； 2．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）记的内角，，的对边分别是，，，已知. (1)求； 3．（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求； (2)若的面积为，且，求的周长． 相似练习 4．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）在中，角所对的边分别为，满足. (1)求角的大小； 5．（24-25高三下·广东·开学考试）若中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角； 6．（24-25高三下·福建泉州·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； 【题型五：正弦定理判断三角形解的个数】 知识讲解 1.解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 已知中，和，根据正弦定理，可得，此时有以下几种情况： 因为大边对大角，所以，为锐角，此时有唯一解，三角形有一解。 ：由于正弦函数的值域是，所以此时无解，三角形无解。 ：则，三角形有一解。 ：可能为锐角，也可能为钝角。当时，三角形有一解；当时，三角形有两解。 例题精选 1．（23-24高一下·河南洛阳·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、多选题 2．（23-24高一下·云南昭通·期中）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（    ） A．，有两解 B．，有两解 C．，有两解 D．，有一解 3．（24-25高二上·广东汕头·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定2个三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 相似练习 【多选】4．（23-24高一下·江苏连云港·期中）记的内角，，的对边分别为，，，则满足下列选项的三角形有唯一解的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知的内角所对的边分别为，则使得有两组解的的值为 ．（写出满足条件的一个整数值即可）． 6．（23-24高一下·山东济南·期中）在中，角，，的对边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是 . 【题型六：通过正弦余弦定理判断三角形的形状】 知识讲解 利用正弦定理判断 角化边 根据正弦定理（为三角形外接圆半径），可得，，。将三角形中的角的正弦值都用边来表示，代入已知条件进行化简。若化简后得到，则三角形为等腰三角形；若得到，则为等边三角形等。 边化角 由正弦定理将边化为角，如，，。若化简后得到，因为，所以，三角形为等腰三角形；若得到，则，三角形为等边三角形；若得到，根据正弦定理及勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形。 利用余弦定理判断 判断边的关系 余弦定理，，。若已知三边关系，可直接代入余弦定理求出角的余弦值，进而判断角的大小。若，则，，三角形为直角三角形；若，则，为钝角，三角形为钝角三角形。 判断角的关系 若已知角的关系，可根据余弦定理将角化为边。例如，若，根据余弦定理，化简可得，即或，则三角形为等腰三角形或直角三角形。 综合运用正弦定理和余弦定理 在一些复杂的问题中，需要同时运用正弦定理和余弦定理来判断三角形的形状。例如，已知，先用正弦定理将边化为角，得到，即，则或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形。 【边化角易错点】 角的取值范围考虑不全：由得出时，默认了，是三角形的内角，且在范围内。但如果没有明确说明，是三角形内角，可能会出现多解情况。例如等情况在三角函数意义上也是的解，但在三角形中不成立。 忽略诱导公式：当得到如时，只得出，而忽略了这种情况，这是因为正弦函数的性质，导致遗漏三角形为直角三角形的情况。 利用余弦定理判断 判断边的关系易错点 余弦定理公式记忆错误：余弦定理等三个公式容易记混，尤其是这一项的符号和系数，记错会导致后续计算错误。 判断钝角三角形时忽略其他角：当根据得出为钝角，判断三角形为钝角三角形时，不能忽略对其他角的判断。有可能存在其他角也为钝角的情况（虽然在三角形中最多只能有一个钝角，但从严谨性角度需要考虑），或者在判断过程中出现计算错误导致误判。 【附加正切公式判断】 钝角三角形 若、、中有一个值小于，不妨设，则，是钝角三角形。 若，根据三角形内角和为，即，所以。因为、、是三角形内角，所以、、中必有一个小于，是钝角三角形。 锐角三角形 若，，，则、、均为锐角，是锐角三角形。 若，结合前面，可得，因为（若和都大于，其和必然大于），所以，则、同号，又因为，所以、、都大于，是锐角三角形。 例题精选 1．（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 2．（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）记为的内角的对边，则“为直角三角形”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 相似练习 二、多选题 4．（23-24高一下·湖北·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则一定为锐角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则 D．若，，，则有两解 三、填空题 5．（21-22高一下·广西北海·期末）在中，角A，，的对边分别为，，，且，则的形状为 三角形． 6．（23-24高三上·广东广州·开学考试）在中，，则的形状为 三角形． 【题型七：正弦定理余弦定理的综合应用】 知识讲解 正弦定理的运用 角化边或边化角：对于已知条件中含有角的正弦值与边的关系的情况，可利用正弦定理（为三角形外接圆半径）进行角化边或边化角，以便进行后续计算。 求边或角：已知两角和一边，求其他边时，可根据正弦定理列出等式求解。例如，已知、和，由可求出。 余弦定理的运用 求边：当已知两边及其夹角，求第三边时，使用余弦定理。例如，已知、和，可求出。 求角：已知三边求角时，可通过余弦定理的变形公式来计算角的大小。 逐步求解其他三角形 传递已知条件：将已求出的三角形的边和角的信息，作为已知条件代入与之相关的其他三角形中。 重复运用定理：按照上述正弦定理和余弦定理的运用方法，继续求解其他三角形的未知边和角，直到所有三角形的未知元素都被求出 【注意角度关系在定理中的运用】 正弦定理中角度关系：在正弦定理中，若已知两个角和的关系，比如，可将转化为，再根据两角和的正弦公式展开，结合已知条件进行求解。 余弦定理中角度关系：在余弦定理中，如果与其他三角形中的角存在关系，如（、是另一个三角形中的角），那么，然后利用两角和的余弦公式展开，再代入余弦定理进行计算。 逐步求解其他三角形 角度传递与转化：在求解过程中，要善于将一个三角形中求出的角度关系传递到其他三角形中。例如，若在一个三角形中求出，且该角与另一个三角形中的互余，则可得出。 利用两角和差公式求角：当遇到需要求某个角的度数，但不能直接通过正弦定理或余弦定理得出时，可考虑利用两角和差公式。比如已知和的值，且、与要求的角存在和差关系，如要求的角，则可根据，先求出和的值，再计算的值，进而确定的度数。 例题精选 1．（2025·江西·一模）如图，在中，的平分线与AB交于点，. (1)求； (2)若，求的值. 2．（2025高三·全国·专题练习）在中，为边上一点，已知，，． (1)若，求的值； (2)若，求边的长． 3．（2025·福建厦门·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)设D为边AB的中点，若，且，求a． 相似练习 4．（24-25高三上·山东青岛·期末）记的内角的对边分别为，已知 ． (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，且，求的长． 5．（2024·全国·一模）已知在锐角中，内角的对边分别为，且满足 (1)求； (2)若，点在延长线上，且，求． 6．（2025·黑龙江·模拟预测）在锐角中，，， (1)求； (2)若为的中点，求. 【题型八：射影定理及应用】 知识讲解 射影定理内容 在任意三角形ABC中，设角、、所对的边分别为、、，则有： 1. 2. 3. 射影定理的证明 1. 利用余弦定理证明 · 对于，由余弦定理，。 · 则 对其化简： · 同理可证和。 例题精选 1．（2022·山西临汾·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为 . 2．（24-25高二下·陕西西安·开学考试）已知的内角为所对应的边分别为，且．则角的大小为 . 相似练习 3．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）在中，内角的对边分别是，若，且，则 4．（2024·广西柳州·模拟预测）已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则 ． 【题型九：求三角形中的面积或周长】 知识讲解 基于两边及其夹角的三角形面积公式 1. 公式表述：，其中、为三角形的两边，为与的夹角。同理，根据三角形不同边与角的对应关系，该公式还可表示为或。 2. 推导过程 · 以为例，假设在中，边，，为与的夹角。 · 过点作于点，在中，，因为，所以。 · 而三角形的面积，将，代入可得。 其他常用的面积公式： 1. 已知底和高：，其中为三角形的底边，是这条底边对应的高。这是最基础的三角形面积公式 2. 已知三边：海伦公式，这里、、是三角形的三边，为半周长。 3. 已知外接圆半径：，其中、、为三角形三边，为三角形外接圆半径。 4. 已知内切圆半径：，其中是半周长，为三角形内切圆半径。 已知面积、两边及夹角求周长思路分析 1. 求面积： 当已知三角形的两边、及它们的夹角时，根据面积公式，可直接代入数据求出三角形的面积。这一步利用了正弦函数与三角形两边及其夹角的关系，通过简单乘法运算得出面积。 2. 求第三边： 接着，利用余弦定理。此定理建立了三角形三边与一个内角余弦值的等式关系。已知、、，将其代入该公式，先计算出的值，然后对其开平方（因为边长），从而得到第三边的长度。 3. 求周长： 最后，三角形的周长，将前面求出的、以及刚得到的相加，就能得出三角形的周长。 例题精选 1．（24-25高三下·上海·阶段练习）在中，角的对边分别是，． (1)求； (2)若，的面积是，求的周长． 2．（2025·广西·一模）记内角的对边分别为，已知， (1)求； (2)若，求的面积． 3．（2025·黑龙江·一模）已知中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，，，求的面积. 相似练习 4．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）在中，角所对的边分别为为边的中点，，且. (1)求； (2)若，求的面积. 5．（河北省秦皇岛市部分重点中学2025届高三下学期抽测数学试题）记的内角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若的周长为，求的面积． 【第二问分成两个三角形面积】6．（2025·福建泉州·一模）四边形中，． (1)求； (2)若，求四边形的面积． 【题型十：解三角形的实际应用】 知识讲解 常见应用场景 1. 测量距离 · 两点间不可直接到达的距离：例如，要测量一条河流两岸 A、B 两点间的距离。由于河水阻隔无法直接测量，可在河的一侧选取一点 C，测量出 AC、BC 的长度以及∠ACB 的大小。然后利用余弦定理，即可求出 AB 的距离。 · 两点间视线受阻的距离：当测量两个建筑物之间被其他障碍物阻挡视线的距离时，可通过在不同位置测量角度和距离，构建三角形来求解。如在两个建筑物所在平面外一点 P，分别测量出点 P 到两建筑物底部 A、B 的距离 PA、PB，以及∠APB，同样借助余弦定理算出 AB 的距离。 2. 测量高度 · 底部可到达的物体高度：对于如旗杆、树木等底部可到达的物体，在距离底部一定距离的地方，测量出观测点到物体底部的距离，以及观测物体顶部的仰角。假设观测点到旗杆底部距离为 a，仰角为 α，根据正切函数关系，旗杆高度 h = a・tanα。 · 底部不可到达的物体高度：当测量如山顶上的塔、远处的高楼等底部不可到达的物体高度时，通常需要在两个不同位置测量仰角和这两个位置之间的距离。例如，在山脚下的 A、B 两点测量山顶塔尖的仰角分别为 α、β，AB 之间距离为 d。设塔高为 h，山高为 H，可通过构建两个直角三角形，利用三角函数关系联立方程求解。 3. 航海问题 · 确定船只位置：在茫茫大海上，船只可通过测量与已知灯塔、海岛等标志物的方位角和距离来确定自身位置。如船只在航行过程中，测量到灯塔在其北偏东 30° 方向，距离为 10 海里，再测量另一个海岛在其南偏东 60° 方向，距离为 8 海里，通过构建三角形，利用正弦定理或余弦定理确定船只的准确位置。 · 计算航行距离和方向：船只从一个港口驶向另一个港口，已知出发港口与目的港口的位置，以及航行过程中的航向和速度等信息，可通过解三角形计算出实际航行的距离和到达目的港口所需的时间。例如，一艘船从港口 A 出发，航向为北偏西 45°，速度为 15 节（1 节 = 1 海里 / 小时），已知港口 B 在港口 A 的西偏北 30° 方向，距离为 50 海里，通过解三角形求出船到达港口 B 所需的时间。 涉及定理 1. 正弦定理：（R 为三角形外接圆半径）。在实际应用中，当已知三角形的两角和一边，或者已知两边和其中一边的对角时，常使用正弦定理求解其他边和角。例如在测量距离问题中，如果测量出两个角度和一条边，就可以利用正弦定理求出其他边的长度。 2. 余弦定理：，，。当已知三角形的三边，或者已知两边及其夹角时，余弦定理可用于求解三角形的其他元素。在测量距离、航海等问题中，很多情况下都是已知三角形的一些边和角的信息，通过余弦定理可以准确计算出未知的边和角。 解题关键步骤 1. 分析题意，构建三角形：仔细阅读题目，理解实际问题的背景和要求，将实际问题中的相关信息转化为三角形的边和角。确定哪些是已知量，哪些是未知量，并明确它们在三角形中的位置。 2. 选择合适的定理：根据已知条件和所求问题，判断使用正弦定理还是余弦定理，或者两者结合使用。若已知两角和一边，优先考虑正弦定理；若已知三边或两边及其夹角，则优先使用余弦定理。 3. 进行计算求解：将已知数据代入选定的定理公式中，进行准确的计算。在计算过程中，要注意三角函数值的准确性，以及运算顺序和精度。 例题精选 1．（23-24高一下·安徽黄山·期中）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东泰安·期中）某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，楼顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为，则估算黄鹤楼的高度CD为（   ）    A． B． C． D． 3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为26，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为（    ） A．64 B．74 C．52 D．91 相似练习 4．（23-24高一下·四川内江·期末）内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔.它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工.三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神.内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点与与塔底在同一水平面，并测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（    ） A．米 B．米 C．米 D．60米 5．（23-24高一下·河北沧州·期末）河北定州开元寺塔是世界上现存最高的砖木结构古塔（如图），著名古建专家罗哲文誉其为“中华第一塔”．为了测量开元寺塔的高度，一研究小组选取了与该楼底部O在同一水平面内三个共线的测量基点A，B，C，分别测得塔顶P点的仰角为，，，且，示意图如图，则该塔高（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·湖北宜昌·阶段练习）湖北武汉的黄鹤楼是中国古代四大名楼之一，因唐代诗人崔颢的《黄鹤楼》而名扬天下，小张同学打算利用镜面反射法测量黄鹤楼的高度.如图所示，小张将平面镜置于黄鹤楼前的水平地面上，他后退至从镜中正好能看到楼顶的位置，测量出人与镜子的距离.沿直线将镜子向后移距离，再次从镜中观测楼顶，并测量出此时人与镜子的距离.若小张的眼睛距离地面的高度为，则黄鹤楼的高度可表示为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24高一下·浙江宁波·期中）“天封塔”位于宁波市海曙区大沙泥街西端与解放南路交汇处，是宁波重要地标之一，为中国江南特有的仿宋阁楼式砖木结构塔，具有宋塔玲珑精巧、古朴庄重的特点，也是古代明州港江海通航的水运航标．某同学为测量天封塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高 ． 【补充知识：二倍角公式推导应用】 知识讲解 在中，已知，求证。 证明思路 由余弦定理，将即代入可得。 再根据正弦定理（为外接圆半径），，，，将化为。 因为，，，将其代入上式并化简可得，即。 因为，所以，即 【法二】证明过程： 1. 由正弦定理（为外接圆半径），可得，，。 已知，将上述正弦定理代入可得：。 两边同时约去，得到。 2. 因为，所以，那么。 将代入中，得到。 3. 根据三角函数的平方关系，对和进行转化： 。 两边同时乘以，得到。 移项可得。 4. 再根据三角函数的和差化积公式，对进行变形： 。 因为，所以，则，两边同时除以，得到，即。 5. 由于，那么，在这个区间内，所以，即。 综上，在中，当时，得证。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）在中，内角所对各边分别为，且，则角（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽·期末）在中，内角所对的边分别为，且满足，则（    ） A． B． C． D．2 3．（2025·四川南充·二模）已知的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，.则（   ） A．2 B．3 C． D． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 二、多选题 5．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（   ） A．的周长为12 B． C． D． 6．（21-22高一下·山东青岛·期中）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．的面积为 C．的周长为 D．外接圆半径为 7．（23-24高一下·福建宁德·期末）已知三个内角的对应边分别为，且，则（ ） A．若，则 B．若，则在上投影向量的模长为1 C．若，，则角有两解 D．若，则 三、填空题 8．（2025·吉林延边·一模）在中，角的对边分别为，，，且的周长为，则角为 . 9．（24-25高三下·河南·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且，则 ． 四、解答题 10．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）在中，. (1)求角； (2)若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积. 11．（24-25高三上·山东枣庄·期末）在中，为钝角，. (1)求； (2)若，求的面积. 12．（23-24高一下·福建福州·期末）在四边形 中，，，，. (1)求和; (2)求. 13．（22-23高二下·福建厦门·期末）如图，在平面四边形中，已知，，，点在上且，，.    (1)求的值： (2)求的面积. 14．（21-22高一下·福建莆田·期末）在①；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 问题：已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，且___． (1)求b的值； (2)若，求△ABC外接圆的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 2024-2025高一下学期数学重难点题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$