6.1 第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

第2课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 探究一　组数问题 【例题1】 已知有0,1,2,3,4五个数字． (1)用这五个数字可以排成多少个三位数？ (2)用这五个数字可以排出多少个三位数字的电话号码？ (3)用这五个数字可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 解析　(1)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种排法，第二、三位可以排0，因此共有4×5×5＝100(种)排法，所以可以排成100个三位数． (2)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种)排法，所以可以排出125个三位数字的电话号码． (3)被2整除的数是偶数，末位数字可取0,2,4，因此可以分两类：一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． 规律总结 (1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)优先的方法分类或分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解． (2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则． [注意] 数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位． 【变式1】 (1)用1,3,5,7中的任意一个数作分子，2,4,8,9中的任意一个数作分母，则可构成真分数的个数为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 (2)从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？ ①三位数； ②三位数的偶数． 解析　(1)分四类：①当分子为1时，有，，，，共4个真分数；②当分子为3时，有，，＝，共3个真分数；③当分子为5时，有，，共2个真分数；④当分子为7时，有，，共2个真分数．根据分类加法计数原理，可构成4＋3＋2＋2＝11(个)真分数．故选D项． 答案　D (2)①三位数有三个数位，分别是百位，十位和个位． 故可分三个步骤完成： 第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法； 第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法； 第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24(个)满足要求的三位数． ②分三个步骤完成： 第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法； 第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法； 第3步，排百位，从余下的2个数字中选1个，有2种方法． 故共有2×3×2＝12(个)三位数的偶数． 探究二　选(抽)取与分配问题 【例题2】 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人分别参加相应语种的活动，有多少种不同的选法？ 解析　由题意得9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人，只会英语的有6人，只会日语的有2人，则可分三类： 第一类，“多面手”去参加英语活动时，选出只会日语的1人即可，有2种选法； 第二类，“多面手”去参加日语活动时，选出只会英语的1人即可，有6种选法； 第三类，“多面手”既不参加英语活动也不参加日语活动，则需从只会日语和只会英语的人中各选1人参加活动，有2×6＝12(种)选法． 故共有2＋6＋12＝20(种)不同的选法． 规律总结 选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的，就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行． ②间接法：先去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． 【变式2】 在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋也会下围棋，现从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？ 解析　方法一　分四类：第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6(种)选法； 第2类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋也会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6(种)选法； 第3类，从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋也会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有2×2＝4(种)选法； 第4类，从2名既会下象棋也会下围棋的学生中各选1名分别参加象棋比赛和围棋比赛，有2×1＝2(种)选法． 故共有6＋6＋4＋2＝18(种)不同的选法． 方法二　分两类：第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，这时7人中还有4人会下围棋，从中选1名参加围棋比赛，有3×4＝12(种)选法； 第2类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，这时7人中还有3人会下围棋，从中选1名参加围棋比赛，有2×3＝6(种)选法． 故共有12＋6＝18(种)不同的选法． 探究三　种植与涂色问题 【例题3】 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 解析　如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法． (1)当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，根据分步乘法计数原理，有5×12×3＝180(种)不同的涂法． (2)当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种不同的涂法，由于相邻两格不同色，因此第4个小方格也有4种不同的涂法，根据分步乘法计数原理，有5×4×4＝80(种)不同的涂法． 根据分类加法计数原理，共有180＋80＝260(种)不同的涂法． 规律总结 涂色问题常用的解决方案 (1)选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，应用分步乘法计数原理进行计算． (2)先根据涂色时所用颜色数的多少进行分类处理，再在每一类的涂色方案中应用分步乘法计数原理进行计算，最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法种数求和，即得到最终涂色方法种数． 【变式3】 (1)在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法种数为(　　) A．20 B．24 C．12 D．11 (2)中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1,2,3，…，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同．若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有(　　) 　　 A．1 050种 B．1 260种 C．1 302种 D．1 512种 解析　(1)A种植在左边第1垄时，B种植在第8,9,10垄中的任一垄，有3种不同的种植方法；A种植在左边第2垄时，B种植在第9,10垄中的任一垄，有2种不同的种植方法；A种植在左边第3垄时，B种植在第10垄，只有1种种植方法．B在左边种植的情形与上述情形相同．故共有2×(3＋2＋1)＝12(种)不同的选垄方法．故选C项． (2)由题意可得，只需确定区域1,2,3,4的颜色，即可确定整个伞面的涂色．先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择．当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择；当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择．故不同的涂色方案有7×6×(5×5＋6)＝1 302(种)．故选C项． 答案　(1)C　(2)C 微专题 明易错·误区警示 一、分类计数时考虑不全 【例题1】 有红、黄、蓝三种颜色的旗各3面，每次升起1面、2面、3面旗在旗杆上纵向排列时，分别表示不同的信号，且颜色顺序不同表示的信号也不相同，则可以组成多少种不同的信号？ [解析] 每次升起1面旗可组成3种不同的信号； 每次升起2面旗可组成3×3＝9(种)不同的信号； 每次升起3面旗可组成3×3×3＝27(种)不同的信号． 根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39(种)不同的信号． [易错提醒] 使用分类加法计数原理时，分类的划分标准可以有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则． 二、两个基本计数原理分辨不清 【例题2】 (1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法有(　　) A．4种 B．24种 C．64种 D．81种 (2)某人从甲地到乙地，可以坐火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3趟，则此人的走法共有(　　) A．3种 B．4种 C．7种 D．8种 [解析] (1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中有4种投法；第3封信投到信箱中有4种投法．只要把这3封信投完，就做完了这件事情，根据分步乘法计数原理，共有43＝64(种)投法．故选C项． (2)因为某人从甲地到乙地，坐火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，根据分类加法计数原理，此人的走法共有4＋3＝7(种)．故选C项． [答案] (1)C　(2)C [易错提醒] 解决计数问题的基本策略是合理地分类和分步，然后应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理来计算．解决本题易因标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，误认为是每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地需先坐火车后坐轮船，使用分步乘法计数原理计算． 1．用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有(　　) A．8个 B．10个 C．18个 D．24个 答案　A 解析　个位数字是1或3，所以有2种选择，首位不能为0，则有2种选择，百位数字有2种选择，十位数字只有1种选择，根据分步乘法计数原理，用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数为奇数的有2×2×2×1＝8(个)．故选A项． 2．某班小张等4名同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有(　　) A．27种 B．36种 C．54种 D．81种 答案　C 解析　因为除小张外，每名同学都可以报A，B，C三个课外活动小组中的任意一个，都有3种选择，小张不能报A小组，只有2种选择，所以不同的报名方法有3×3×3×2＝54(种)．故选C项． 3．有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是(　　) A．11 B．10 C．9 D．8 答案　C 解析　设4个班级分别是A，B，C，D，对应的老师分别是a，b，c，d.设a监考的是B，则剩下的3位老师分别监考剩下的3个班级，共有3种不同的方法；同理，当a监考C或D时，剩下的3位老师分别监考剩下的3个班级也各有3种不同的方法．根据分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．故选C项． 4．用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有______种． 解析　先涂区域1，有4种选择，再涂区域2，有3种选择，接着涂区域3，有2种选择，最后剩下的两个区域有2种选择．故不同的涂色方法有4×3×2×2＝48(种)． 答案　48 学科网（北京）股份有限公司 $$